精品解析：山东省滨州市2024-2025学年人教版九年级上册数学阶段测试卷（二次函数～圆）

九年级数学试题 一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 5或 3. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P是等边的边上的一点，连接．将绕点A逆时针旋转得到，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6. 如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 8. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 9. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，P是平分线上一点，OP＝10，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②MN的值不变；③OM＋ON＝10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题(每小题3分，共计24分) 11. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 12. 已知中，，点I是它内心，则___________． 13. 若抛物线的顶点在x轴上，则________ 14. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … … … … 下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③线的对称轴是直线；④函数的最大值为．其中所有正确的结论为____________． 15. 如图，已知四边形是内接四边形，为延长线上一点，，则等于_________． 16. 如图，在正六边形中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边落在x轴上.若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 17. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 18. 把二次函数化为的形式，则______． 三、解答题（本大题共9个小题，满分66分，解答时请写出必要的演推过程） 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的． （2）画出绕点顺时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留）． 20. 如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 21. 如图，一圆弧形桥拱圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 22. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．求证：； 23. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 24. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 25. 在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径经过点E，且交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分面积． 26. 昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，富民苹果受到广大消费者青睐．某果农经销某品牌的富民苹果，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，日销量为30千克．经市场调查发现，若该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元． （1）求日销量y与x之间的函数关系式； （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 27. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题 一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 5或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，根据直角三角形斜边上的中线长等于三角形外接圆的半径求解即可． 【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8， 斜边长， ∴斜边上的中线长为5， 即此直角三角形外接圆半径为5， 故选：A． 3. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：根据平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线为， 即， 故选C． 【点睛】本题主要考查平移规律“左加右减，上加下减”，熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 4. 如图，点P是等边的边上的一点，连接．将绕点A逆时针旋转得到，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再由旋转的性质得到，由此可证明是等边三角形，，再求出，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选B． 5. 如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，从而可得，先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后在中，利用勾股定理进行计算可求出的长即可． 【详解】解：设 ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴ 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理，以及勾股定理是解题的关键． 6. 如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 7. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是90°，求出∠ADC，再根据圆周角的性质，求出∠ABC． 【详解】解：∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∵， ∴∠ADC=90°-32°=58°， ∴∠ABC=∠ADC=58°， 故选：C． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角是90°和圆周角的性质，解题关键是根据同弧把要求的角转化为与已知有关系的角． 8. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】分别将两个三角形的三个顶点与B，C，D，三角相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心． 【详解】解，连接FC，PC， 由图可知， ，且， 连接EC，RC， 由图可知， ，且， 连接GC，QC， 由图可知， ，且， 故点C为旋转中心， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的旋转，能够判断旋转中心是解决本题的关键． 9. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用，得到，则，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵时，， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（m为任意实数）， ∴，所以④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 10. 如图，P是平分线上一点，OP＝10，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②MN的值不变；③OM＋ON＝10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE=PF， 在Rt△POE和Rt△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM=NF，PM=PN，S△PEM=S△PNF， ∵ ∴是等边三角形，故①正确； ∵S△PEM=S△PNF， ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确； ∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=10，故③正确； ∵M，N的位置变化， ∴MN的长度是变化的，故②错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共计24分) 11. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高． 【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm ∴圆锥的底面半径为=2， 故圆锥的高为=4cm 故答案为：4 【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式． 12. 已知中，，点I是它的内心，则___________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 若抛物线的顶点在x轴上，则________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点位置求参数的问题，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式． 先表示出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在轴上得到，求出b的值即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 抛物线的顶点坐标为：， 抛物线的顶点在x轴上， ， 解得：， 故答案为：． 14. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … … … … 下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③线的对称轴是直线；④函数的最大值为．其中所有正确的结论为____________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．利用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数的性质对各选项判断即可得答案. 【详解】解：抛物线经过，，三点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∵， 抛物线开口向下，故①正确； ， 对称轴直线，最大值为，故③正确，④错误； 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小，故②正确； 综上所述：正确的结论有①②③， 故答案为：①②③． 15. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在正六边形中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边落在x轴上.若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形，图形和坐标，勾股定理，先根据正六边形得到，，然后再中利用勾勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵正六边形，点A的坐标为 ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，一次函数与二次函数图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 18. 把二次函数化为的形式，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键．把转化为顶点式，即可得解． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共9个小题，满分66分，解答时请写出必要的演推过程） 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的． （2）画出绕点顺时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据关于y轴对称的特点，找到A、B、C的对应点，然后顺次连接即可得到答案； （2）根据绕原点旋转90度的特点，画出旋转图形即可； （3）旋转时线段扫过的面积进行求解即可． 【小问1详解】 如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，即为所求， 【小问3详解】 ，． ． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，画绕原点旋转90度的旋转图形，勾股定理，扇形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20. 如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】（1）；；；；（2）相等，证明见解析 【解析】 【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出、、、的关系，可得答案； （2）利用平方差公式证明即可得到相等． 【详解】解：（1）在中，，，，，是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， 方法一：如图，连接，，，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 方法二：∵是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴、、都是的切线，切点分别为点，，， ∴，， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；；；； （2）相等． 证明：∵， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 【答案】（1）桥拱的半径为50米； （2）水面上涨的高度为10米． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用． （1）根据垂径定理和勾股定理求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【小问1详解】 解：如图1， 设圆的半径是r， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； 【小问2详解】 解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 22. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．求证：； 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形内接于，可得，由，可得，证明，即可得证．解题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【详解】证明：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理， （1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 【小问1详解】 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 24. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【解析】 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 25. 在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F． （1）求证：是切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可证明，即得出，结合题意可证，即得出是的切线； （2）连接，过点O作于点M，易证四边形为矩形，即得出，，．设，则，根据勾股定理可列出关于x的方程，解之，即得出，，结合含30度角的直角三角形的性质可证明为等边三角形，得出，即可求出和的长，再求出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点O作于点M， ∴四边形为矩形， ∴，，． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积计算等知识，综合性强，较难．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 26. 昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，富民苹果受到广大消费者青睐．某果农经销某品牌的富民苹果，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，日销量为30千克．经市场调查发现，若该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元． （1）求日销量y与x之间的函数关系式； （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）日销量y与x之间的函数关系式为 （2）当销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题． （1）该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克，列函数关系式； （2）根据销售利润(每千克销售价每千克进价）销售量，列函数关系式，用配方法将函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； 【小问1详解】 解：由题意得：， 答：日销量y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴时，w随x的增大而增大， ∵这种产品的销售价不得高于28元每千克， ∴当时，有最大值192元， ∴当销售价定为28元/千克时，每天可获最大销售利润192元； 27. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【小问1详解】 解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； 【小问3详解】 解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$