专题04 平方根、立方根、实数计算题专项训练（9大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题04 平方根、立方根、实数相关90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算题 题型三 立方根相关的计算题 题型四 平方根、立方根的综合 题型五 实数的混合运算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 与实数运算相关的规律题 【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）解方程： 3．（23-24七年级下·北京大兴·期中）已知，求的值 4．（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）（1）         （2） 5．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 7．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解方程： (1)； (2) 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程 (1)； (2)； 9．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）求的值 (1)； (2) 10．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）求下列各式中的x (1) (2) 【经典例题二 平方根相关的计算题】 11．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）求满足下列各式的未知数x： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）一个正数x的两个平方根分别是与，求x与m的值． 13．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． 14．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若实数m，n满足，求的值． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知x，y满足，求的平方根． 16．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如果一个正数的平方根是和，则这个数为多少？ 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个正数的两个平方根分别为和，求的值． 18．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知与互为相反数，求的值． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【经典例题三 立方根相关的计算题】 21．（21-22七年级下·云南玉溪·期末）计算： 22．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 23．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知的平方根为，的立方根是3，求的平方根． 24．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数的一个平方根是，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 25．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 26．（18-19七年级下·广东东莞·期末）已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1)求的值； (2)求的立方根 27．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知和互为相反数，求的值． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 29．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，求的值． 30．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知是的算术平方根，． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【经典例题四 平方根、立方根的综合】 31．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）已知是的算术平方根，31．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知的平方根是x，的立方根是y，求的值． 32．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知的立方根是2，的算术平方根是3，c是的整数部分．求的值． 33．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）（1）已知与是正数的两个不同的平方根，求的值． （2）已知：的立方根是，的算术平方根是，是整数部分，求的平方根． 34．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．求的平方根． 35．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 36．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 37．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知x是的立方根，8是的算术平方根，z是的整数部分．求的平方根． 38．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 39．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 40．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的立方根． 【经典例题五 实数的混合运算】 41．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2)． 42．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）（1）计算：． （2）； 43．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）计算． 44．（22-23七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 45．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）计算： (1) (2) 46．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)． 47．（2024八年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 48．（2024·四川遂宁·模拟预测）计算： 49．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 50．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【经典例题六 无理数整数部分的有关计算】 51．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 52．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即， 所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 53．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知： 的整数部分是，小数部分是，计算的值． 54．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知的整数部分为，的小数部分为，求： (1)的值． (2)的值． 55．（24-25八年级上·全国·课后作业）请回答下列问题： （1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么________， ________； （2）x是的小数部分，y是的整数部分，那么________， ________； （3）在（2）的条件下，求的平方根． 56．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来来表示的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是，又例如∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值． (3)已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值． 57．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： (1)的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； (2)已知的小数部分是a，的小数部分为，那么__________； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的平方根． 58．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 59．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是__________； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 60．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，的整数部分为，小数部分为． 由此我们得到：如果 其中x是整数， 且， 那么 (1)如果， 其中a是整数， 且， 那么 ， ； (2)如果 其中C是整数，且，那么 ， (3)已知 其中m是整数，且，求的平方根． 【经典例题七 程序设计与实数运算】 61．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 62．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 63．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 64．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 65．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 66．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 67．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 68．（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 69．（21-22七年级下·河北邯郸·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)当m=1时，输出的结果为________． (2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果． 70．（21-22七年级下·浙江台州·期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为9时，y值为 ； (2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值； (3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可） 【经典例题八 新定义下的实数运算】 71．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为________和________； (2)若数对的一个开方对称数对是，则________； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 72．（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）已知、为两个任意有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并求出运算结果：． 73．（23-24八年级上·山东德州·开学考试）如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根… (1)求256的四次方根； (2)计算； (3)一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a． 74．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 75．（2024七年级下·安徽·专题练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 76．（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 77．（23-24七年级下·河北唐山·期中）用△定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如： (1)求 (2)若， 求m的值． 78．（23-24七年级下·重庆梁平·阶段练习）类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为______；的五次方根为______． (2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______． (3)解方程： ① ② 79．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知，为实数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)任意选择两个实数，，分别计算和，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？ (3)对于实数、、，这种运算※是否满足结合律，请通过计算判断． 80．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 【经典例题九 与实数运算相关的规律题】 81．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 82．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 83．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 84．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 85．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 86．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 87．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）数学运算中，我们发现：两个数的和与这两个数的差的积．等于这两个数的平方差，即．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．比如： ， ， ， ， …… 利用你发现的规律解答下列问题： (1)已知，试比较与的大小； (2)计算：． 88．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 89．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 90．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平方根、立方根、实数相关90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算题 题型三 立方根相关的计算题 题型四 平方根、立方根的综合 题型五 实数的混合运算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 与实数运算相关的规律题 【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程． （1）利用平方根的性质解方程即可； （2）整理后，利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ∴； （2）解：， 整理得， ∴， 解得或． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，整理方程，利用平方根的定义求解即可． 【详解】解： ，． 3．（23-24七年级下·北京大兴·期中）已知，求的值 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，可得，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 或． 4．（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）（1）         （2） 【答案】（1）；（2）或； 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键； （1）先移项，再求出，再根据平方根的定义解方程即可； （2）先移项，再求出，再根据平方根的定义解方程即可； 【详解】解：（1）， ， ， 解得：； （2）， ， ， ， 解得：或； 5．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是利用平方根是含义解方程，掌握平方根的含义是解本题的关键； （1）先把方程化为，再解方程即可； （2）直接利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， 或 或． 6．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（）根据平方根的概念进行求解即可； （）根据立方根的概念进行求解即可； 本题考查了平方根，立方根的概念，熟练掌握求一个数的平方根和立方根是解题的关键． 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： ， ∴． 7．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）先把18移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时开平方，再解方程即可； （2）先把方程两边同时除以27，再把方程两边同时开立方，最后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）先把25移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时开立方即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 9．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）求的值 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求平方根，立方根． （1）将方程化为后，求的平方根即可； （2）将方程化为，求出的立方根，得到，进而即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 即； （2）解： ∴， ∴， 即， ∴ ∴． 10．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）求下列各式中的x (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）先移项，再由即可求解； （2）先移项，然后把括号前系数化为1，把看成一个整体，再由即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ． 【经典例题二 平方根相关的计算题】 11．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）求满足下列各式的未知数x： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平方根的定义，根据平方根的定义求解即可．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义求解即可． （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴； （2）解： ∴． 12．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）一个正数x的两个平方根分别是与，求x与m的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，由平方根的性质得，即可求解；理解一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 解得 ∴ ． 13．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． 【答案】这个正数为． 【分析】本题考查了平方根的定义．根据一个数的两个平方根互为相反数，列式解答即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴ 解得：， ∴， ∴这个正数为． 14．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若实数m，n满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根，熟练掌握几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，是解决此类为题的关键． 由题可知平方后的式子与被开方的式子都为0，列式得，，求得m、n的值，再代入进行计算，即可解题． 【详解】∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知x，y满足，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，平方根等知识．熟练掌握算术平方根的非负性，绝对值的非负性，平方根是解题的关键． 由题意知，，可求，根据的平方根为，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 16．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如果一个正数的平方根是和，则这个数为多少？ 【答案】81 【分析】本题考查了平方根的概念，根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ， ， ， 这个数为81． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个正数的两个平方根分别为和，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，即可求得的值． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一个非负数的算术平方根的非负性的性质，本题主要运用了算术平方根、平方、绝对值的非负性，求出a，b，c的值，再带入求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数，， ，， ，，． ． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 解得：，； （2）， 的平方根为； 【经典例题三 立方根相关的计算题】 21．（21-22七年级下·云南玉溪·期末）计算： 【答案】7 【分析】此题考查了算术平方根，有理数的乘方，立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根，有理数的乘方，立方根，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 22．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 【详解】（1）解： 的算术平方根是1， ， 解得； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ． （2）解：由（1）知，，，， ， 的平方根是； 的立方根是． 23．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知的平方根为，的立方根是3，求的平方根． 【答案】的平方根为． 【分析】本题考查了平方根和立方根的意义．先根据平方根和立方根的意义求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵的平方根为，的立方根是3 ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 24．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数的一个平方根是，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，； (2)的算术平方根为6． 【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估值等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）25的平方根是，的立方根是，，据此即可求解； （2）将a、b的值代入求出的值，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵数的一个平方根是， ∴， 即， ∵的立方根是， ∴，又， ∴， ∵，c是的整数部分， ∴； （2）解：当，时，， ∴的算术平方根为6． 25．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 26．（18-19七年级下·广东东莞·期末）已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1)求的值； (2)求的立方根 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根的概念： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案； （2）根据平方根的概念和（1）所求求出，则，据此根据立方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵8的立方根是2， ∴的立方根是2． 27．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知和互为相反数，求的值． 【答案】5 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了相反数的、算术平方根、绝对值、立方根等概念以及非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，进行化简，即可求解； （2）根据有理数的立方，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，立方根的化简及混合计算．根据平方根及立方根的定义求出或，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或，， 当时， ； 当时，原式没有意义，舍去． 30．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知是的算术平方根，． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求算术平方根，平方根，立方根； （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，得出，即可求解； （2）将，代入，求算术平方根，再求平方根即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的算术平方根是， ∴， ∵， ∴，解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 【经典例题四 平方根、立方根的综合】 31．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）已知是的算术平方根，31．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知的平方根是x，的立方根是y，求的值． 【答案】0或 【分析】本题考查了平方根和立方根综合应用，掌握相关定义即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是; 即：； ∵的立方根是, ∴ ∴或 32．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知的立方根是2，的算术平方根是3，c是的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的估算．解题的关键在于对各知识的熟练掌握与正确运算．根据立方根，算术平方根，无理数的估算，进行求解作答即可． 【详解】解：的立方根是2，的算术平方根是3， ，， ，， ， ， 的整数部分是3，即， ． 33．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）（1）已知与是正数的两个不同的平方根，求的值． （2）已知：的立方根是，的算术平方根是，是整数部分，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根的定义先求出值，再求出的平方根，即可求解； （2）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：（1）与是正数的两个不同的平方根， ， 解得：， ， ； （2）的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：，， 是整数部分， ， ， 的平方根是． 34．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出方程是解题的关键． （1）根据一个正数的平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a、b、c的方程求值，再计算平方根即可． 【详解】解：解：依题意：， 解得， ∴， ∴． （2）解：依题意：，，， 解得，，， ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 35．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：； （2）由(1)知，， ， 的立方根为． 36．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据立方根和算术平方根的定义求出的值是解此题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可得出答案； （2）由（1）得：，求出的值，最后根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的立方根是2，的算术平方根是3， ，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， 的平方根为． 37．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知x是的立方根，8是的算术平方根，z是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握平方根，立方根的意义是解题的关键．根据平方根，立方根的意义求出x的值，的值，再估算出的值，求出z的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵x是的立方根， ∴， ∴， ∵8是的算术平方根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵z是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 38．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质． 根据平方根的性质可得x的值，代入可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质即可求得b，然后代入求解即可． 【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是和， 所以 所以 所以 因为与相等 所以 所以 所以． 所以的算术平方根是． 39．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键． （1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出3a−b+c的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）当时， ∴， ∴的平方根是． 当时， ∴， ∴的平方根是． 综上所述，的平方根是或． 40．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2)4 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，无理数大小的估算，熟记概念是解答本题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义，可列式求出a和b的值，对的估算，即可求得c的值； （2）将a，b，c的值代入即可得出答案． 【详解】（1）的平方根是， ， 解得， 的算术平方根是1， ， ， 解得， 是的整数部分，， ． （2），，， ， 所以的立方根是4． 【经典例题五 实数的混合运算】 41．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，准确熟练地化简各式是解题的关键． （1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算开平方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）（1）计算：． （2）； 【答案】（1）3（2）3 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先计算平方，求算术平方根，立方根，求绝对值，然后再行进加减运算即可． （2）先计算平方，求算术平方根，立方根，求绝对值，然后再行进加减运算即可． 【详解】解：（1） （2） 43．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）计算． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 44．（22-23七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、平方根、立方根以及乘方，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简算术平方根、立方根，再计算加减法即可； （2）先化简算术平方根、立方根以及乘方，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 46．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算等知识点， （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可； （2）先乘方，算术平方根、立方根，去绝对值符号，再计算加减即可； 解题的关键是掌握实数的运算顺序及有关运算法则． 【详解】（1）解： ； （2） ． 47．（2024八年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)53 【分析】本题考查了实数的运算，涉及的知识有：平方根、立方根的定义，二次根式的化简公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式、计算绝对值、立方根和乘方，再计算加减即可； （2）先化简二次根式、立方根和乘方，再计算括号内的，最后计算乘法和加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 48．（2024·四川遂宁·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，算术平方根，化简绝对值，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： 49．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 50．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查实数的运算，熟知开立方，求算术平方根及实数的运算法则是正确解决本题的关键． （1）先开立方、求算术平方根及绝对值再合并即可； （2）先求算术平方根及绝对值再合并即可． 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式. 【经典例题六 无理数整数部分的有关计算】 51．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小： （1）根据题目中的解法可得到取值范围，进而得到结果； （2）根据题意得到小数部分以及整数部分，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是，小数部分是：， 故答案为：；； （2）解：， ， 的小数部分为a， ， ， ， ， ． 52．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即， 所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3； (2)或 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各数的小数部分是解题关键． （1）根据夹逼法可求的整数部分和小数部分； （2）首先估算出，的值，进而得出的值，可求满足条件的的值． 【详解】（1）解：（1）， 的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3；； （2）， ， 整数部分是3，整数部分是12， 小数部分是，小数部分是， ，， ， ， 解得或， 故满足条件的的值为或 53．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知： 的整数部分是，小数部分是，计算的值． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算和求代数式的值，先估算出，得到，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 54．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知的整数部分为，的小数部分为，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算： （1）根据无理数的估算方法得到，则，据此求出A、B的值即可得到答案； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得． 55．（24-25八年级上·全国·课后作业）请回答下列问题： （1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么________， ________； （2）x是的小数部分，y是的整数部分，那么________， ________； （3）在（2）的条件下，求的平方根． 【答案】（1）4，5；（2），3；（3） 【分析】本题主要考查了无理数的估算能力，掌握“逐步逼近”的估算方法成为解题的关键． （1）因为，所以，据此即可解答； （2）由（1）可得，进而确定、的取值范围，然后取得x、y的值即可； （3）由x是的小数部分然后代入求得的值，进而求得的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ 故答案为：4，5； （2）∵， ∴，， ∵x是的小数部分，y是的整数部分， ∴， 故答案为：，3 （3）∵， ∴， ∴的平方根为． 56．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来来表示的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是，又例如∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值． (3)已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求出即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ， ，， ． 57．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： (1)的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； (2)已知的小数部分是a，的小数部分为，那么__________； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的平方根． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键． （1）先估算出的取值范围，再确定的整数部分和小数部分； （2）先估算出和的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可； （3）先估算出的取值范围，再确定、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故答案为； （2）解：∵， ， ， ∴的整数部分为3，小数部分为； ， ， ∴的整数部分为5，小数部分为， ， 故答案为：1； （3）解：， ， ， ∴的整数部分为，小数部分为， ， ∴9的平方根为． 58．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)3， (2)6 (3)11 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分为，即； ∵， ∴的整数部分是4，即； ∴ （3）解：∵， ∴， ∴ ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴， ∴的算术平方根为 59．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是__________； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3； (2)或2． 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算的大小确定m、n的值，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的小数部分， ∴， 是1的平方根， 解得或． 60．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，的整数部分为，小数部分为． 由此我们得到：如果 其中x是整数， 且， 那么 (1)如果， 其中a是整数， 且， 那么 ， ； (2)如果 其中C是整数，且，那么 ， (3)已知 其中m是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)2， (2)， (3) 【分析】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定，的值； （2）估算出，可得，即可确定，的值； （3）根据题意确定出、的值，代入求值并求出其平方根即可． 【详解】（1），其中是整数，且，， ，， 故答案为：2，； （2），其中是整数，且， 又， ，， 故答案为：，； （3），其中是整数，且， ，， ， 的平方根是． 【经典例题七 程序设计与实数运算】 61．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 62．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 63．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 64．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 65．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值； （3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 66．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意， 综上所述，． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 67．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)0，1 (3)， 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 68．（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)x的值不唯一，x=3或x=27 (3)存在，1，0，或-1 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解； （2）立方根逆运算即可． （3）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有1，0，或-1． 【详解】（1）， 则y=； （2）答案不唯一． x＝或 x＝． 故答案是3或27． （3）当输入的x=-1、0和1时，取它们的立方根始终是-1、0和1，是有理数， ∴输入的x=-1、0和1时，始终输不出 y值 【点睛】本题考查立方根以及无理数，正确理解题目中规定的运算是解题的关键． 69．（21-22七年级下·河北邯郸·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)当m=1时，输出的结果为________． (2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果． 【答案】(1)0 (2)-2 【分析】（1）将m=1代入流程图，逐步计算即可； （2）根据题意求出m的值，代入流程图计算即可求出值． 【详解】（1）解：当m=1时， ； （2）根据题意得：m==3， ∴． 【点睛】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 70．（21-22七年级下·浙江台州·期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为9时，y值为 ； (2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值； (3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可） 【答案】(1) (2)不能 (3)5或25（答案不唯一） 【分析】（1）根据运算流程图，即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值． 【详解】（1）解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为， 即； 故答案为： （2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数， 所以不能输出y； 故答案为：不能 （3）解：当时，，此时x=5； 当时，，，此时x=25； 故答案为：5或25（答案不唯一） 【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键． 【经典例题八 新定义下的实数运算】 71．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为________和________； (2)若数对的一个开方对称数对是，则________； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）根据新定义运算解答即可求解； （）根据新定义即可求解； （）根据新定义，分两种情况解答即可求解； 本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴数对的开方对称数对为和， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：若，， 则，， ∴； 若，， 则，， ∴； 的值为或． 72．（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）已知、为两个任意有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并求出运算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查的知识点是新定义下的实数运算、有理数的四则混合运算，解题关键是理解题意． （1）根据题中定义的运算方法进行运算即可； （2）根据题中定义的运算方法进行运算即可； （3）根据题中定义的运算方法进行运算即可； （4）根据题中定义的运算方法进行运算即可． 【详解】（1）解：依题得：． （2）解：依题得：． （3）解：依题得：， ， ， ， ， ． （4）解：例如：（答案不唯一）． 73．（23-24八年级上·山东德州·开学考试）如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根… (1)求256的四次方根； (2)计算； (3)一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）根据是四次方根的定义即可求出答案； （2）根据是四次方根及五次方根的定义即可求出答案； （3）根据是六次方根的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， 的四次方根为； （2）， ； （3）∵a的六次方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴． 74．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 【答案】(1) 与 (2)不是；是 (3)共轭实数 ， 是无理数，详见解析 (4) (5)共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握新概念是解决此题关键． （1）根据题意写出一对共轭实数即可； （2）利用新定义判断即可； （3）根据新定义得共轭实数是无理数； （4）由得，然后根据有理数、无理数的概念即可得到答案； （5）根据实数的运算计算即可． 【详解】（1）解：与 是一对共轭实数， 故答案为：与（答案不唯一）； （2）与 不是共轭实数， 与 是共轭实数， 故答案为：不是，是； （3）解：共轭实数， 是无理数，理由如下： ∵是开方开不尽的数， ∴无理数，而是不等于0的有理数， ∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数； （4）解：由得， ∵a、为有理数， ∴为有理数， ∴必为有理数方能与相等，而为有理数， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4； （5）解：， ， ∴共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 ． 75．（2024七年级下·安徽·专题练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）2，5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：（1），，， ， ，， 故答案为：2，5； （2），，且， ，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：3； （4）最大的正整数是255， 理由是：，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 76．（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 77．（23-24七年级下·河北唐山·期中）用△定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如： (1)求 (2)若， 求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程： （1）根据新运算的法则，列出算式计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意，得：， ∴， ∴． 78．（23-24七年级下·重庆梁平·阶段练习）类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为______；的五次方根为______． (2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______． (3)解方程： ① ② 【答案】(1)； (2)，全体实数 (3)①；② 【分析】本题考查新定义——四次方根与五次方根的定义．求解时注意正数的四次方根有2个． （1）根据四次方根、五次方根的定义即可解答； （2）根据四次方根、五次方根的意义即可解答； （3）①根据四次方根的定义即可求解；②根据五次方根的定义即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴81的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：， （2）若有意义，则， ∴a的取值范围为：． 若有意义，则a的取值范围为全体实数． 故答案为：，全体实数 （3）①∵，又 ∴； ②∵ ∴， ∵， ∴． 79．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知，为实数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)任意选择两个实数，，分别计算和，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？ (3)对于实数、、，这种运算※是否满足结合律，请通过计算判断． 【答案】(1) (2)此运算满足交换律 (3)这种运算※不满足结合律 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义的运算法则． （1）根据新定义的运算法则即可求出答案； （2）选择两个实数分别运算，比较其结果，即可判断； （3）分步计算求出和的值，再做出判断即可． 【详解】（1）解：； （2）此运算满足交换律 ，， ， ， ， 此运算满足交换律； （3）这种运算※不满足结合律， 、、， ， ， 这种运算※不满足结合律． 80．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)与 (2)1 (3)或 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得出答案； （3）根据新定义得出方程组，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 数对的一对“对称数对”是与， 故答案为：与 （2）解：数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：1； （3）解：数对一个“对称数对”是， 或， 或． 【经典例题九 与实数运算相关的规律题】 81．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 82．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 83．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 84．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． （1）由所给等式得到规律不难写出第6个式子； （2）利用上述规律可知即可求值； （3）分析所给的等式的形式即可得出第n个等式 【详解】（1）解：①； ②； ③； …… 可得第6个等式为： （2）解： ； （3）解：用（为正整数）表示的等式为： 85．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 86．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律解答即可； （2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可； （3）灵活运用（2）中变化规律求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ． 87．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）数学运算中，我们发现：两个数的和与这两个数的差的积．等于这两个数的平方差，即．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．比如： ， ， ， ， …… 利用你发现的规律解答下列问题： (1)已知，试比较与的大小； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方差公式，数字类的规律探索： （1）根据题意，结合平方差公式和实数的运算法则求出和的结果即可得到结论； （2）先根据题意得到规律，进而得到，据此化简所求式子即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ……， 以此类推，可知 ， ∴， ∴ ． 88．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 89．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干列举的等式，总结规律可得答案． （2）总结规律即可解答． （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 90．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 【答案】(1)2022 (2) 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， ． 又, ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$