专题03 实数重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题03 实数重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数的性质 题型四 实数与数轴 题型五 实数的大小比较 题型六 实数的混合运算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 实数运算的实际运用 题型十 与实数运算相关的规律题 题型十一 求一个数的近似数 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（2021九年级·浙江·专题练习）下列说法其中错误的个数（    ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0． A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有下列四种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2021七年级下·全国·专题练习）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 3．（23-24八年级上·河北邢台·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ，，，0，，， 其中，甲说“”，乙说“”，丙说“” （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________． （2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；     【经典例题二 实数的分类】 【例2】（22-23七年级·全国·假期作业）下列说法：的平方根与的立方根都是无理数是无限小数；是分数；若是一个数的平方，则是有理数.其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·山东济南·模拟预测）实数中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在7，0，，，，，，π中，无理数有x个，有理数有y个，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）： ①，②π，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨0，⑩（每两个1之间依次多一个0）． 正数：{   …}； 整数：{   …}； 分数：{   …}； 非负有理数：{   …}； 无理数：{   …}； 负实数：{   …}． 【经典例题三 实数的性质】 【例3】（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中互为相反数的一组是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 2．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）已知，为实数，且，则的绝对值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0． （1）如果，其中a、b为有理数，那么a= ，b= ； （2）如果，其中a、b为有理数，求的平方根； （3）若x，y是有理数，满足，求的算术平方根． 【经典例题四 实数与数轴】 【例4】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，数轴上点A与点B表示的数互为相反数，若点A表示的数是，用圆规以B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则与点C对应的实数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 2、（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f． (1)点A表示的数是______，表示的点可能是______； (2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大； (3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______； (4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______． 【经典例题五 实数的大小比较】 【例5】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京·模拟预测）在同一条数轴上分别用点表示实数 ，0 ， ，   ，则其中最左边的点表示的实数是 （   ） A． B．0 C． D． 2、（23-24七年级下·四川广安·期中）若，，则a、b、c的大小关系是 3．（23-24七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【经典例题六 实数的混合运算】 【例6】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）计算的值为（　　） A． B． C．32 D．0 1．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 2．（2023·广东·模拟预测）计算： ． 3．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）计算 (1)； (2) 【经典例题七 程序设计与实数运算】 【例7】（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的y等于（    ） A． B． C．4 D． 2．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 3．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图所示的是一个数值转换器． (1)当输入的x值为9时，输出的y值为________；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________． (2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？ 【经典例题八 新定义下的实数运算】 【例8】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，.现对82进行如下操作；，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对260只需进行（    ）次操作后变为1． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）我们规定：表示不超过x的最大整数，如：，，，那么的值为 ． 3．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）定义等于不超过实数x的最大整数，定义，例如，． (1)填空（直接写出结果）：__________，__________，__________． (2)计算：． 【经典例题九 实数运算的实际运用】 【例9】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 3．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【经典例题十 与实数运算相关的规律题】 【例10】（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 1．（23-24七年级下·北京·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（   ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 2．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则 . 3．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【经典例题十一 求一个数的近似数】 【例10】（2024七年级上·浙江·专题练习）近似数的准确数的范围是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米，把8848.86精确到百位的近似数是 ． 3．（23-24七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列各数：，，，，，，，，（每两个之间多一个），其中是无理数的有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 4．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）任意实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似的：对数字900进行了次操作后变为1，那么的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）比较大小： （填“”或“”） 7．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是 ． 8．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）（1）计算： ； （2）计算： ． 9．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 10．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 11．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）阅读下面的内容：因为，所以．所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题： (1)求的整数部分和小数部分． (2)若和的小数部分分别是和，求的值． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）把下列各数填入相应的集合： 、、、、、、、． (1)有理数集合{ ___________…}； (2)无理数集合{ ___________…}； (3)正实数集合{ ___________…}； (4)负实数集合{ ___________…}． 13．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2) 14．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 类比思想是我们数学学习中常用的一种思想方法，例如类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． 又例如：∵，∴ 我们类比这个方法，可以求出中x的值 ∵， ∴ ∴或 解得：或 (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：________； (2)请根据前面的定义，求出625的四次方根和的五次方根； (3)仿照上面的例子，求下列x的值： ①     ② 15．（22-23七年级上·山东泰安·期末）阅读下面的文字：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 根据以上资料，请解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数的性质 题型四 实数与数轴 题型五 实数的大小比较 题型六 实数的混合运算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 实数运算的实际运用 题型十 与实数运算相关的规律题 题型十一 求一个数的近似数 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（2021九年级·浙江·专题练习）下列说法其中错误的个数（    ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据实数与数轴的关系，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义去判断即可． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确； ②无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误； ③16的平方根是，用式子表示应该是，原说法错误； ④因为负数有立方根，原说法错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．原说法正确． ∴错误的说法有3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，无理数，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义，熟记关系和各自的定义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有下列四种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案． 【详解】①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如：； ③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的． 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 【答案】 错误 正确 错误 错误 错误 错误 错误 正确 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可 【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误． (2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确． (3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误． (4)( 错误)0是有理数；故答案为：错误． (5)( 错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误． (6)( 错误)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数；故答案为：错误． (7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误． (8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以     实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 3．（23-24八年级上·河北邢台·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ，，，0，，， 其中，甲说“”，乙说“”，丙说“” （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________． （2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；     【答案】（1）甲；（2）正实数为，，负分数为 【分析】（1）根据无理数的概念即可判断； （2）根据实数相关概念填空即可． 【详解】（1）是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错； （2）正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：、； 负分数为：． 【点睛】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键． 【经典例题二 实数的分类】 【例2】（22-23七年级·全国·假期作业）下列说法：的平方根与的立方根都是无理数是无限小数；是分数；若是一个数的平方，则是有理数.其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数及有理数和无理数的概念逐个判断即可． 【详解】解：的平方根是的立方根是，所以错误； 无理数是无限不循环小数，所以无理数是无限小数，所以正确； 是无理数，而分数是有理数，所以错误； 例如是的平方，则是无理数．所以错误． 说法正确的有个． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数、有理数、无理数的概念的应用，区别有理数和无理数是解题关键． 1．（2024·山东济南·模拟预测）实数中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 根据实数的分类可得，即可求解． 【详解】有理数有，有6个； 无理数有，有2个； 即， ， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在7，0，，，，，，π中，无理数有x个，有理数有y个，则 ． 【答案】36 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，理解定义是解题的关键，有理数是指有限小数和无限循环小数，无理数是指无限不循环小数．根据定义判定即可． 【详解】解：7，0，，，，是有理数， ，π是无理数， 故， ． 故答案为：36． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）： ①，②π，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨0，⑩（每两个1之间依次多一个0）． 正数：{   …}； 整数：{   …}； 分数：{   …}； 非负有理数：{   …}； 无理数：{   …}； 负实数：{   …}． 【答案】②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，根据实数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：，， 正数：{②⑤⑧⑩…}； 整数：{①④⑦⑨…}； 分数：{③⑤⑥…}； 非负有理数：{⑤⑨…}； 无理数：{②⑧⑩…}； 负实数：{①③④⑥⑦…}； 故答案为：②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦． 【经典例题三 实数的性质】 【例3】（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中互为相反数的一组是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查实数的运算，实数的性质，化简各数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是相反数，不符合题意； B、与是相反数，符合题意； C、，不是相反数，不符合题意； D、与不是相反数，不符合题意； 故选B． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）已知，为实数，且，则的绝对值为 ． 【答案】/ 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得a、b值即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0． （1）如果，其中a、b为有理数，那么a= ，b= ； （2）如果，其中a、b为有理数，求的平方根； （3）若x，y是有理数，满足，求的算术平方根． 【答案】（1）2，-3；（2）±3；（3） 【分析】（1）根据题意可得：a-2=0，b+3=0，从而可得解； （2）把已知等式进行整理可得，从而得2a-b=9，a+b=0，从而可求得a，b的值，再代入运算即可； （3）将已知等式整理为，从而得3x-7y=9，y=3，从而可求得x，y的值，再代入运算即可． 【详解】解：（1）由题意得：a-2=0，b+3=0， 解得：a=2，b=-3， 故答案为：2，-3； （2）∵， ∴， ∴2a-b-9=0，a+b=0， 解得：a=3，b=-3， ∴=9， ∴的平方根为±3； （3）∵， ∴， ∴3x-7y=9，y=3， ∴x=10， ∴=10-3=7， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题主要考查实数的运算，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的等式． 【经典例题四 实数与数轴】 【例4】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，数轴上点A与点B表示的数互为相反数，若点A表示的数是，用圆规以B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则与点C对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，实数与数轴，数轴上两点之间的距离等知识．熟练掌握相反数，实数与数轴，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 由题意知，点B表示的数是，则，点C对应的实数是，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，点B表示的数是， ∴， ∴点C对应的实数是， 故选：C． 1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 2、（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：面积为2的正方形的顶点在数轴上， ， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上的点所表示的数为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f． (1)点A表示的数是______，表示的点可能是______； (2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大； (3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______； (4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______． 【答案】(1)，E； (2)B，F； (3)； (4)或4． 【分析】（）根据数轴可以直接写出点表示的数，由，可得表示的点可能是点E； （2）利用数轴上两点间的距离即可求解； （3）点D是的中点，，得到，又由点A表示的数是，可确定点E表示的数； （4）利用数轴上两点间的距离即可求解； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【详解】（1）解：由数轴可得， 点A表示的数是， ∵， ∴表示的点可能是点E， 故答案为：，E； （2）解：由数轴可得，在原点左侧，点B到原点的距离最大， ∴点B表示的数最小， 在数轴上，点F到原点的距离最大， ∴点F表示的数的绝对值最大， 故答案为：B，F； （3）解：∵点D是的中点，， ∴， ∴点A表示的数是， ∴点E表示的数是， 故答案为：； （4）解：由数轴可知，点C表示的数是1， ∵点G到点C的距离为3， ∴点G对应的数是或， 故答案为：或． 【经典例题五 实数的大小比较】 【例5】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据题意得出，，再结合，即可得出，从而得解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：A． 1．（2024·北京·模拟预测）在同一条数轴上分别用点表示实数 ，0 ， ，   ，则其中最左边的点表示的实数是 （   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟记数轴上的数右边的总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最左边的点表示的实数是， 故选C． 2、（23-24七年级下·四川广安·期中）若，，则a、b、c的大小关系是 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根计算，绝对值，比较实数大小，先计算题目中的算术平方根，再比较大小即可． 【详解】解：由题可得： ，，， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 【经典例题六 实数的混合运算】 【例6】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）计算的值为（　　） A． B． C．32 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数运算、运用平方差公式进行运算等知识，熟练掌握平方差公式是解题关键．首先根据平方差公式计算，在根据乘法运算律进行计算，然后求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 1．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据算术平方根与立方根、实数的运算法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不可合并，则此项错误，不符合题意； B、与不可合并，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、2与不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2023·广东·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先开方、乘方、除法运算转化为乘法运算，再计算乘法运算和减法运算； （2）先开方、去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题七 程序设计与实数运算】 【例7】（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的y等于（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． 根据数值转换器，输入，进行计算，判断结果是否为无理数，若不是，则继续计算即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【答案】 0或1 5，25（答案不唯一） 【分析】此题考查了算术平方根、实数的分类．熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键． （1）由，，即可得到答案为； （2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答； （3）根据题意写出两个满足要求的x值，如25和5，即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴输入的x为16，输出的y值是； 故答案为： （2）∵1和0的算术平方根还等于它本身， ∴输入0或1后，始终输不出y值， 故答案为：0或1； （3）∵，5的算术平方根是， ∴两个满足要求的x值可以是25或5． 故答案为：5，25（答案不唯一）． 3．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图所示的是一个数值转换器． (1)当输入的x值为9时，输出的y值为________；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________． (2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？ 【答案】(1)；25 (2)他输入的x值是0或者1 【分析】(1)把x=9代入程序框图中计算，判断结果是有理数还是无理数，即可得出y的值，把x=25代入程序框图中计算，判断结果是有理数还是无理数，即可得出y的值，从而可以得到输入的x的值． (2)根据题意可知，他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，找出符合条件的数即可求解． 【详解】（1）①当输入的x的值为9时， 所以输出的y值为, 故答案为： ②当输入的x的值为25时， 所以经过两次取算术平方根运算，输出的y值为； 所以输入的x值为25； 故答案为：25 （2）存在输入非负整数x后，始终输不出y的值，当x=0或者1时，始终输不出y的值； 所以他输入的x值是0或者1 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 【经典例题八 新定义下的实数运算】 【例8】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算发展进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，.现对82进行如下操作；，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对260只需进行（    ）次操作后变为1． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】[x]表 示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可． 【详解】． ∴对260只需进行4次操作后变为1． 故选：B． 【点睛】此题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解． 2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）我们规定：表示不超过x的最大整数，如：，，，那么的值为 ． 【答案】217 【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，以及算术平方根，掌握的意义是解题的关键．根据的定义进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，， ， ， ， ， 故答案为：217． 3．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）定义等于不超过实数x的最大整数，定义，例如，． (1)填空（直接写出结果）：__________，__________，__________． (2)计算：． 【答案】(1)1，， (2) 【分析】（1）定义等于不超过实数x的最大整数，定义，依此即可求解； （2）根据与求值后，再计算加减法即可求解． 【详解】（1）． 故答案为：1，， （2） ； 故答案为：． 【点睛】此题考查新定义，无理数的估算，实数的混合运算，注意的应用． 【经典例题九 实数运算的实际运用】 【例9】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 3．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 【经典例题十 与实数运算相关的规律题】 【例10】（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 1．（23-24七年级下·北京·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（   ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 【答案】A 【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．找到规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得各步显示的数如下： 第一步：，第二步：，第三步：； 第四步： ，第五步：，第六步：； 第七步：，第八步：，第九步：； …… 所以显示的数是六步一个循环， ∵， ∴按了第2020下后荧幕显示的数与第四步相同，所以显示的数是0.01． 故选：A． 2．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则 . 【答案】57 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），令求出a与b的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， 则． 故答案为：57． 【点睛】此题主要考查了数字类规律探索，找出题中的规律：（的正整数）是解本题的关键． 3．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第个等式为； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可． 【详解】（1）解：第⑥个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 【经典例题十一 求一个数的近似数】 【例10】（2024七年级上·浙江·专题练习）近似数的准确数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数和准确数，掌握近似数和准确数的定义是解题关键．近似数可能是由原数“四舍”得到的，也可能是“五入”得到的，若是“四舍”得到的，则原数的十分位上是0，百分位上的数小于5，据此进行解答即可． 【详解】解：结合四舍五入法取近似值的方法可知：只有大于等于小于的数，经过四舍五入才能得，所以a的范围是：． 故选：C． 1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：A、（精确到千分位），故选项不符合题同意； B、（精确到），故选项符合题同意； C、（精确到），故选项不符合题同意； D、（精确到个位），故选项不符合题同意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米，把8848.86精确到百位的近似数是 ． 【答案】 【分析】先用科学记数法表示8848.86，然后把十位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：8848.86=≈（精确到百位）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法和有效数字，用科学记数法表示数是解题的关键． 3．（23-24七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列各数：，，，，，，，，（每两个之间多一个），其中是无理数的有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，先化简，再根据无理数的定义即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴下列各数：，，，，，，，，（每两个之间多一个），其中是无理数的有，，，，（每两个之间多一个），共个， 故选：． 2．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）任意实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似的：对数字900进行了次操作后变为1，那么的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． 【详解】解：第一次第二次第三次第四次， 即对数字900进行了4次操作后变为1． 故选：B． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 若， 那么， ． ，故④不正确； 故选：B． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．先求出两个数的差，然后根据求出的差的正负，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、平方根，先估算出，再结合题意得出，，求出的值，再根据平方根的定义求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵x的整数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）（1）计算： ； （2）计算： ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查实数的混合运算； （1）利用算术平方根直接运算即可； （2）先去绝对值和运算平方，然后合并解题． 【详解】解：（1）， （2）， 故答案为：4，． 9．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为：， ∴，， ∴空白部分的面积为； 故答案为：． 10．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）阅读下面的内容：因为，所以．所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题： (1)求的整数部分和小数部分． (2)若和的小数部分分别是和，求的值． 【答案】(1)整数部分是3，小数部分是 (2)1 【分析】本题考查了无理数的整数和小数部分问题，正确理解题意是解题关键． （1）根据即可求解； （2）由（1）即可确定和，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是； （2）解：的小数部分是，的整数部分是5， 的小数部分是， ，， ． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）把下列各数填入相应的集合： 、、、、、、、． (1)有理数集合{ ___________…}； (2)无理数集合{ ___________…}； (3)正实数集合{ ___________…}； (4)负实数集合{ ___________…}． 【答案】(1)、、、； (2)、、、； (3)、、、、； (4)、、 【分析】本题主要考查有理数、实数的分类等知识点，熟练掌握实数的定义及其分类是解题的关键． 根据有理数、实数的定义及其分类求解即可． 【详解】（1）解：有理数有：、、、． 故答案为：、、、． （2）解：无理数有、、、． 故答案为：、、、． （3）解：正实数有：、、、、． 故答案为：、、、、． （4）解：负实数集合、、． 故答案为：、、． 13．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2)13 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及立方根,算术平方根，幂的运算，绝对值化简等知识点,解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和混合运算． （1）根据算术平方根，立方根的定义化简计算即可； （2）根据算术平方根，立方根的定义，幂的运算，先进行化简，再进行计算； 【详解】（1）解： （2）解： 14．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 类比思想是我们数学学习中常用的一种思想方法，例如类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． 又例如：∵，∴ 我们类比这个方法，可以求出中x的值 ∵， ∴ ∴或 解得：或 (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：________； (2)请根据前面的定义，求出625的四次方根和的五次方根； (3)仿照上面的例子，求下列x的值： ①     ② 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根 (2)， (3)①或；②或． 【分析】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， ∴或 ∴或； ② ∴ ∴ ∴或． 15．（22-23七年级上·山东泰安·期末）阅读下面的文字：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 根据以上资料，请解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 【答案】(1)3， (2)的值为3 (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的混合运算，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， 的的整数部分为3，小数部分为 故答案为：3，； （2），， 的整数部分为2，小数部分，的整数部分为， ， 的值为3； （3），而， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$