专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 题型七 估计算术平方根、立方根的取值范围 题型八 无理数的大小估算 题型九 无理数整数部分的有关计算 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（22-23七年级下·广西崇左·期中）下列说法正确的是（    ） A．任意实数都有平方根 B．任意实数都有立方根 C．任意实数都有平方根和立方根 D．正数的平方根和立方根都只有一个 1．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）． A． B．正整数 C．和 D． 2．（23-24八年级上·北京·单元测试）若是225的算术平方根，则的立方根是 ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）求下列各式的值． (1)若a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，求的值； (2)若的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根； (3)如图，在方格中阴影正方形的边长是 ，它的整数部分是 ，小数部分是 （小正方格的边长为1个长度单位）． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期中）已知4的平方根是x，27的立方根是y，则的值为（    ） A．5 B．1 C．1或5 D．或5 2．（23-24七年级下·北京大兴·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是，求这个正整数．华罗庚脱口而出：．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，，可以确定是两位数；②由，，可知，的十位数字是；③考虑到至的立方中，只有的立方个位数字是，所以确定的个位数字是，所以．请你根据上述步骤求出的立方根是 ． 3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知正数的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）若的立方根是4，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，则x+y的值为（　　） A．﹣6 B．﹣6或﹣10 C．﹣2或﹣6 D．2或﹣2 2．（23-24七年级下·河南许昌·期中）已知x没有平方根，且，则x的立方根为 ． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知的平方根为，的立方根为2． (1)求的算术平方根； (2)若c是的整数部分，求的平方根． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 1．（23-24八年级上·宁夏·课后作业）用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 3、（23-24八年级上·河北沧州·期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（23-24七年级下·福建厦门·期中）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为的正方形的边长 B．的算术平方根 C．体积为的正方体的棱长 D．方程中未知数的值 1．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为20ml，则该铁块棱长大小的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南三门峡·期中）李师傅打算把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长是多少 ？ 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 1．（2024·重庆·一模）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示那么化简的结果（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则的算术平方根是 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 【经典例题七 估计算术平方根、立方根的取值范围】 【例7】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 1．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）【观察发现】 ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【经典例题八 无理数的大小估算】 【例8】（23-24七年级下·山东济宁·期末）若m，n为连续整数，且，则的值是（    ） A．6 B．12 C．20 D．42 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知 、是两个连续整数，且满足 ，则 、分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知均为正整数． (1)若则 ； (2)若，则满足条件的的个数总比的个数少 个． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）比较与的大小． 【经典例题九 无理数整数部分的有关计算】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（2024·山东淄博·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 3．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）下列各数：，π，，，，（两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）实数，，在数轴上的位置如图所示，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．没有立方根 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 4．（23-24七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东德州·期中）按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）的立方根是，的算术平方根是，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）在，0，，这几个数中无理数的个数有 个． 9．（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 10．（23-24七年级下·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ． 11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知：某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是，的小数部分为． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）求下列各式中的x． (1)； (2)． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 题型七 估计算术平方根、立方根的取值范围 题型八 无理数的大小估算 题型九 无理数整数部分的有关计算 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（22-23七年级下·广西崇左·期中）下列说法正确的是（    ） A．任意实数都有平方根 B．任意实数都有立方根 C．任意实数都有平方根和立方根 D．正数的平方根和立方根都只有一个 【答案】B 【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意； B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意； C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意； D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． 1．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）． A． B．正整数 C．和 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的立方根和它的平方根相等都是；正数的平方根有两个，立方根有一个； ∴一个实数的平方根与它的立方根相等只有， 故选：． 2．（23-24八年级上·北京·单元测试）若是225的算术平方根，则的立方根是 ． 【答案】3 【分析】根据算术平方根求出225的算术平方根15，利用算术平方根建立方程，再根据立方根的定义计算． 【详解】解：∵225的算术平方根是15， ∴， 解得， 的立方根是． 故答案为3． 【点睛】本题考查算术平方根，一元一次方程，立方根，掌握算术平方根，一元一次方程，立方根定义是解题关键． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）求下列各式的值． (1)若a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，求的值； (2)若的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根； (3)如图，在方格中阴影正方形的边长是 ，它的整数部分是 ，小数部分是 （小正方格的边长为1个长度单位）． 【答案】(1)或 (2)的平方根是 (3)，3， 【分析】本题主要考查实数的性质，正确掌握相关的定义是解题的关键． （1）直接利用相反数、互为倒数、绝对值的性质代数计算； （2）直接利用立方根和平方根的定义的定义求解即可； （3）利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5， ， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或； （2）解：的立方根是3，的算术平方根是4， ， ， ， 的平方根为， 即的平方根是； （3）解：在方格中阴影正方形的边长， ， 它的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：，3，． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数的性质和立方根，根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关系式求出、的值，然后代入求解，最后求数的立方根即可，正确运用非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期中）已知4的平方根是x，27的立方根是y，则的值为（    ） A．5 B．1 C．1或5 D．或5 【答案】C 【分析】根据平方根，立方根计算出的值，即可求出答案． 【详解】由于4的平方根是x，27的立方根是y ， ， 或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平方根和立方根的计算，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键，本题的易错点在于忽略了平方根有两个答案． 2．（23-24七年级下·北京大兴·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是，求这个正整数．华罗庚脱口而出：．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，，可以确定是两位数；②由，，可知，的十位数字是；③考虑到至的立方中，只有的立方个位数字是，所以确定的个位数字是，所以．请你根据上述步骤求出的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可．理解题干中的解题方法是解题的关键． 【详解】解：设的立方根是， ∵，， ∴可以确定是两位数， ∵，，， ∴的十位数字是， ∵至的立方中，个位数字为的只有的立方， ∴确定的个位数字是，即． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知正数的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，根据平方根的性质可得，即得，进而可得，即得到，最后根据立方根的定义即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵正数的两个不同的平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）若的立方根是4，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义，平方根的定义．由已知根据立方根的定义可得到，继而可求得x的值，进而可以求的平方根． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴，即， 解得， ∴， ∴的平方根是． 故选：D． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，则x+y的值为（　　） A．﹣6 B．﹣6或﹣10 C．﹣2或﹣6 D．2或﹣2 【答案】C 【分析】根据平方根和立方根的定义分别求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵（±2）2＝4， ∴4的平方根是±2， 即x＝±2， ∵﹣64的立方根是y， ∴y＝﹣4， 当x＝2时，x+y＝2+（﹣4）＝﹣2， 当x＝﹣2时，x+y＝﹣2+（﹣4）＝﹣6. 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题的关键能够根据平方根和立方根的定义是求出x、y的值． 2．（23-24七年级下·河南许昌·期中）已知x没有平方根，且，则x的立方根为 ． 【答案】 【分析】根据题意，去掉绝对值的值为27，在根据题意x没有平方根直接算出立方根即可． 【详解】解：∵去掉绝对值的值为27， ∴x=27， 又∵x没有平方根 ∴x=-27， ∴x的立方根为-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、平方根的性质和立方根的计算，解决此题的关键是不漏题目条件，掌握基本的计算即可． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知的平方根为，的立方根为2． (1)求的算术平方根； (2)若c是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）根据平方根和立方根建立等式，求出，的值，进而算出的值，最后求出其算术平方根，即可解题； （2）利用算术平方根的性质估算出的整数部分，进而算出的值，最后求出其平方根，即可解题． 【详解】（1）解：的平方根为，的立方根为2， ，， 解得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根是6； （2）， ， 的整数部分为3， 即， 由（1）得，， ， 而25的平方根为， 的平方根． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义和求解，根据题目的方法步骤进行分析即可． 【详解】解：①由，，能确定是两位数； ②由205379的个位上的数是9，因为，能确定的个位上的数是9； ③如果划去205379后面的三位379得到数205，而，，由此能确定的十位上的数是5． 即， ∴的每位数上的数字之和为， 故选：D． 1．（23-24八年级上·宁夏·课后作业）用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【详解】用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中. (计算值精确到0.001) 原数 1 … 计算值 1.000 0.707 0.577 … 0.236 0.229 0.224 由计算结果可知，这20个数按题目中给出的顺序依次减小. 由于选出的数的和应小于1，所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求. 因为， 而， 所以选取的数最多是4个. 故本题应选A. 点睛： 本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索. 本题解题的关键在于结合各个数的计算值总结出这一系列数的变化规律. 在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再利用所得的规律和题意寻找突破口. 盲目尝试不仅费时费力而且容易出错. 2．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 【答案】（n为不小于2的整数） 【分析】分析被开方数的变换规律即可求得 【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点： ①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5， ②整数部分与分数部分的分母有下列关系：， 2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为（n为不小于2的整数） 故答案为：（n为不小于2的整数）． 【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键． 3、（23-24八年级上·河北沧州·期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 【答案】（1） ①右，1；②左，1；（2）①1.732，17.32 ；②；（3）， ． 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：右，1； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向左移动1位， 故答案为：左，1； （2）①根据总结的规律可得：，， 故答案为：1.732，17.32； ②根据总结的规律可得：， ， 故答案为：； （3）， ，． 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（23-24七年级下·福建厦门·期中）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为的正方形的边长 B．的算术平方根 C．体积为的正方体的棱长 D．方程中未知数的值 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根，根据算术平方根的定义解答即可，熟记算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：A、面积为的正方形的边长为，故选项不符合题意； B、的算术平方根是，故选项不符合题意； C、体积为的正方体的棱长是，故选项符合题意； D、方程中未知数的值为，故选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为20ml，则该铁块棱长大小的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了无理数的估算和立方根的应用，运用立方根知识进行估算求解即可． 【详解】由题意得，该铁块棱长是， ∵ ， 该铁块棱长大小的范围是． 故选：A． 2．（23-24七年级下·河南三门峡·期中）李师傅打算把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长是多少 ？ 【答案】20 【分析】根据题意，虽然形状发生了变化，但是其体积仍然是没有变化的，以此计算即可． 【详解】解：由题意得长方体体积为：， 所以立方体棱长， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了立方根的运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 1．（2024·重庆·一模）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示那么化简的结果（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置可得，，，再根据算术平方根，绝对值和立方根的定义化简即可． 【详解】由数轴可得，，， ∴ ＝ ＝ 故选C． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的运算是解题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则的算术平方根是 【答案】1 【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的方程，求出a、b后再代入进行计算求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23, ∴a=5,b=6, ∴b-a=1， ∴的算术平方根是1， 故答案是：1. 【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2； (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为， 则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， 正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， , 点A与重合， 点D在数轴上表示的数为, 故答案为：． 【经典例题七 估计算术平方根、立方根的取值范围】 【例7】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴的结果在3和4之间， 故选：C． 1．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先进行实数的运算，再进行估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴； 故选C． 【点睛】本题考查实数的运算，无理数的估算．熟练掌握算术平方根，立方根的定义，无理数的估算，是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 【答案】． 【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可. 【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3， ∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）【观察发现】 ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)整数部分为3，小数部分为； (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）按照材料1的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的整数部分为3，小数部分为； （2）的立方根是3，的算术平方根是4， ，， 解得：，， 是整数部分， ， ， 的平方根是． 【经典例题八 无理数的大小估算】 【例8】（23-24七年级下·山东济宁·期末）若m，n为连续整数，且，则的值是（    ） A．6 B．12 C．20 D．42 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键．估算出即可求得m，n的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知 、是两个连续整数，且满足 ，则 、分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 、分别是，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知均为正整数． (1)若则 ； (2)若，则满足条件的的个数总比的个数少 个． 【答案】 3 2 【详解】(1) 为正整数，． (2) 的个数为的个数为满足条件的的个数总比的个数少2个． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，估算出的大小，即可知道的大小，从而比较出与的大小． 【详解】解：， 因为， 所以，所以， 所以， 即， 所以． 【经典例题九 无理数整数部分的有关计算】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据，可得a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵、为两个连续整数， ∴，， ， 故选：D． 1．（2024·山东淄博·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 所以其面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】203 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算： （1）仿照题干中的做法即可求解； （2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值； （3）求出的整数部分x和小数部分y，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6，； （2）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴； 同理，∵，∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴， ∴； （3）解：∵，∴， ∴， ∴，即 ∴的整数部分为4，小数部分为， ∵，x是整数，， ∴，， ∴． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）下列各数：，π，，，，（两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查无理数，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：，故开方开不尽，， 故在实数，π，，，，（两个1之间依次多一个0）中，无理数有π，，，（两个1之间依次多一个0），共4个． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）实数，，在数轴上的位置如图所示，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，立方根，算术平方根，先根据各点在数轴上的位置判断出，，的符号，再化简可得出结论． 【详解】解：由图可知，， ， ∴， ∵，， 原式 ， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．没有立方根 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根的定义，正确得出各数的立方根是解题关键． 利用立方根的定义分别分析得出正确答案即可． 【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误； B、的立方根是，故此选项错误； C、的立方根是，故此选项错误； D、的立方根是，故此选项正确； 故选：D． 4．（23-24七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．（23-24七年级下·山东德州·期中）按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，无理数，直接利用算术平方根，立方根的定义按照程序图的步骤进行计算即可． 【详解】解：由所示的程序可得：64的算术平方根是8，8是有理数，故8取立方根为2，2的算术平方根为，为无理数，输出即可， 故选：B． 6．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）的立方根是，的算术平方根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据立方根和算术平方根的定义求出和的值，即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）在，0，，这几个数中无理数的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的定义、立方根、算术平方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数成为解题的关键． 根据有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数，据此即可解答． 【详解】解：，0，都是有理数， 都是无理数， 所以无理数有3个． 故答案为：3． 9．（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 10．（23-24七年级下·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可． 【详解】解∵， ∴， ∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是3，而整数0至的立方中，只有的末位数字是3， ∴的末位数字是7； 又∵划去的后面三位得到19， 而， ∴的十位数字是2； ∴； ∴， 解得， 故答案为： 11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知：某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后怎根据立方方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得， ∴，， ∴． ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，； （2）解：当时，， ∴的立方根为4． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是，的小数部分为． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小确定出a，b，c的值； （2）求出的值，再根据平方根的意义求出答案即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵的小数部分为， ∴； （2）解：∵， ∴的平方根为． 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】此题考查了利用平方根的意义和立方根的意义解方程． （1）方程整理后根据平方根的意义得到，即可得到答案； （2）方程整理后根据立方根的意义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴ ∴， 解得或； （2） ， 解得 14．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查求一个数的平方根，求一个数的立方根的运算， （1）移项后直接开方即可求解； （2）根据立方根的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， 直接开方得，， ∴， 系数化为1得， 解得：或； （2）解：， 由原方程得：， 解得：． 经检验：是方程的解． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数； （2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果． 此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$