第三章 实数 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

第三章 实数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）数，0，，中最小的是（   ） A． B．0 C． D． 2．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）若的平方等于3，则等于（   ） A． B．9 C．或 D．9或 3．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）判断下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．4是64的立方根 C．是的立方根 D．的平方根是 4．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）设a为实数且则在，a，这四个数中（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）已知a是25的平方根，b是的小数部分，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D． 8．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 10．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对进行如下操作：，即对进行次操作后变为．若对整数进行次操作后变为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）比较大小： （填“”“”“”） 12．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）实数a，b的位置如图，化简： ． 13．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 14．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点在数轴上表示．以点为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点，则点所表示的数是 ． 15．（22-23七年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3．1404<π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到3的一个更为精确的近似分数为 ． 16．（22-23七年级上·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 三、解答题（10小题，共64分） 17．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1) (2) 18．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 20．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 21．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长． (3)若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________，这个数的绝对值是 ． 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 23．（21-22七年级下·山西阳泉·期中）阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 解：由图中面积计算，， ， ． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 24．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 实数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）数，0，，中最小的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数的大小，根据正数大于零，负数小于零，两个负数中绝对值大的反而小解题即可． 【详解】解：∵， ∴最小的是， 故选：D． 2．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）若的平方等于3，则等于（   ） A． B．9 C．或 D．9或 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，直接利用平方根的概念计算即可． 【详解】解：∵， ． 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）判断下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．4是64的立方根 C．是的立方根 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可，注意负数没有平方根． 【详解】A、负数没有平方根，故该选项错误； B、4是64的立方根，故该选项正确； C、是的立方根，故该选项正确； D、，16的平方根是，故该选项正确； 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 5．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 【答案】B 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）设a为实数且则在，a，这四个数中（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：D 7．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）已知a是25的平方根，b是的小数部分，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根定义，无理数估算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握平方根定义及无理数的估算得到a，b的值是解题的关键． 根据平方根定义得到，利用无理数估算得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是25的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，； 当时，； 故选：C． 8．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 9．（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义和求解，根据题目的方法步骤进行分析即可． 【详解】解：①由，，能确定是两位数； ②由205379的个位上的数是9，因为，能确定的个位上的数是9； ③如果划去205379后面的三位379得到数205，而，，由此能确定的十位上的数是5． 即， ∴的每位数上的数字之和为， 故选：D． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对进行如下操作：，即对进行次操作后变为．若对整数进行次操作后变为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，的定义，由的定义为不大于的最大整数，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键． 【详解】解：A、第一次，第二次，故A不符合题意； B、第一次，第二次，255是最大整数，故B符合题意； C、第一次，第二次，81不是最大整数，故C不符合题意； D、第一次，第二次，故D不符合题意； 故选：. 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）比较大小： （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数大小比较，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．由可得再得到从而可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）实数a，b的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴推出，再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：由题可得： 64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是； 故答案为． 14．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点在数轴上表示．以点为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，算术平方根，先根据网格求出正方形的面积，确定正方形的边长，继而得出的长，然后利用数轴上的两点间的距离公式即可得解．掌握数轴表示数的方法是解题的关键． 【详解】解：∵在的方格放置在数轴上，格点正方形如图所示， ∴正方形的面积为：， ∴边长， ∵以点 为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点， ∴， ∵顶点在数轴上表示， ∴点所表示的数是． 故答案为：． 15．（22-23七年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3．1404<π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到3的一个更为精确的近似分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键．根据题中“调日法”的算法，进行两次“调日法”的计算，得到更为精确的近似分数． 【详解】解：已知，则利用一次“调日法”得：， 由于， ，再次使用“调日法”得：， 由于：， ，再次使用“调日法”得：． 故答案为： 16．（22-23七年级上·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 【答案】0，2，4 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【详解】解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想． 三、解答题（10小题，共64分） 17．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减； （2）先算乘方和开方，再算乘法，后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)14； (2) 【分析】此题考查了新定义运算，求算术平方根，平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）先根据新定义求出，再次利用新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ∴ ∴的平方根是． 20．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长． (3)若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________，这个数的绝对值是 ． 【答案】(1) (2)边长为，面积为 (3)， 【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴，勾股定理等等： （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用勾股定理求出边长，再根据正方形面积计算公式求解即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； （2）解：由勾股定理得， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为； （3）解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 这个数的绝对值是． 故答案为：，． 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 23．（21-22七年级下·山西阳泉·期中）阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 解：由图中面积计算，， ， ． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）根据材料一中的方法求解即可； （2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可． 【详解】（1）解：，即 的整数部分为9． 的小数部分为． （2）解：∵面积是5的正方形的边长是， ， ∴可设 画出示意图如图所示 由图中面积计算，， ， 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得， 即 24．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 学科网（北京）股份有限公司 $$