数轴上的动点问题 2024-2025学年华东师大版数学七年级数学上册

七上压轴题:数轴上的动点问题 一、数轴上两点之间的距离 1.如图,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,在数轴上A,B两点之间的距离AB=|a-b|.利用数形结合思想回答下列问题: (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是_______,数轴上表示3和-1的两点之间的距离是_______;数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为_________(能写出得数的直接写出得数); (2)若x表示一个有理数,化简:|x-3|+|x+4|; (3)利用数轴求出|x+2|+|x-4|的最小值,并求此时x可取的所有整数值之和? 2.已知数轴上A,B两点表示的数分别为a,b,且a,b满足|a+20|+(b-13)=0,点C表示的数为16. (1)A,C两点之间的距离为_______ (2)已知|m一n|可理解为数轴上表示数m,n的两点之间的距离.若点P在数轴上表示的数为 x,则满足|x+20|+|x-13|=33的所有的整数x的和为_______;满足|x+20|+|x-13|=39 的x值为______. 3.已知数轴上A,B两点对应的数分别为a,b,且|a+1|+|b-3|=0，点P为数轴上一动点. (l)若点P到点A,B的距离相等,求点P对应的数: (2) 数轴上是否存在点P,使点P到点A,点B的距离之和为3?若存在，请求出点P所表示的数;若不存在,请说明理由. 4.点A,B在数轴上对应的数分别是x,y,其中x,y 满足(x-3)+ |y+5|=0. (1)求A,B两点间的距离; (2)数轴上在点A的右边有一点D,使得AD+BD=AB,求点D对应的数; (3)在数轴上取一点P,恰好使AP=3PB,求点P表示的数. 二、数轴上的动点问题 1.点A、B在数轴上对应的数分别为a、b,且a、b满足|a +3| +(b-4) = 0. (1)求线段AB的长， (2)若点P是线段AB上一点，则以点A、B、0、P为端点的线段共有____条，这些线段分别是____，若这些线段之和为23，求点P所对应的数. (3)点C从A点出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点D从B点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向左运动，已知M为AC的中点，点N在线段BD上，且DN=BD，问出发多少秒后，点M到点N的距离是点M到原点O距离的2倍? 2.已知数轴上三点M、0、N对应的数分别为-2、0、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x. (1) 如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是________ (2)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是7;如果存在，求出x的值;如果不存在，请说明理由. (3)如果点P以每秒钟6个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒钟1个单位长度和每秒钟3个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒钟，点P到点 M、点N的距离相等. 3. 数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且满足|a- 12|+|b+6|=0, 0为原点 (1)求a、b的值，并画出数轴，在数轴上标出点A、点B. (2)数轴上点.A以每秒3个单位，点B以每秒1个单位的速度同时出发向左运动，在点C处A追上了B，则点C对应的数是多少? (3)若点A原地不动，点B仍以每秒1个单位的速度向左运动，点M为线段OB的中点，点N为线段AB的中点，在点B的运动过程中，线段MN的长是否变化?若变化，说明理由;若不变，求出其长度 4.已知b是最小的正整数，且a、b满足(c-5) +|a+b| =0，请回答问题: (1)请直接写出a、b、c的值:a=______,b=_____,c=______ (2)数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点M是A、B之间的一个动点，其对应的数为m，请化简|2m|(请写出化简过程). (3)在(1)、(2)的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设 t秒钟过后，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB.请问: BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由;若不变，请求其值 答案： 一、数轴上两点之间的距离 1.解:(1)由题意可得， 数轴上表示2和5两点之间的距离是|5-2|=3.数轴上表示3和一1的两点之间的距离是|-1-3|=4,数轴上表示x和一2的两点之间的距离是|x-(-2)|=|x+2|; (2)当x>3时,|x-3|+|x+4|=x-3+x+4=2x+1; 当-4≤x≤3时,|x-3|+|x+4|=x+4+3-x=7; 当x<-4时,|x-3|+|x+4|=-x-4+3-x=-1-2x; (3)由数轴可知,当一2≤x≤4时，|x+2|+|x-4|取得最小值，最小值是|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6. 此时,x可取的整数值是-2,-1.0.1.2.3.4. (-2)+(-1)+0+1+2+3+4=7,∴此时x可取的所有整数值之和为7. 2.解:(1)AC=16-(-20)=36; (2) ∵|x+20|+|x-13|=33, ∴.-20≤x≤13, ∴x的所有整数和为:(一20)+(一19)+(-18)+…+13=-119: ∵|x+20|+|x-13|=39. ①当x<-20 时，一(x+20)-(x-13)=39,-2x=46,解得x=-23: ②当一20≤x≤13时,x+20-x+13=39不成立: ③当x>13 时,x+20+x-13=39,解得x=16. 综上所述,x=-23或16. 3解:(1)∵|a+1|+|b-3|=0,且|a+1|≥0,b-3|≥0. ∴|a+1|=0.b-3|=0. ∴.a+1=0.0-3=0. ∴.a=-1,b=3, ∴点A,B对应的数分别为一1.3， 设点P对应的数为x，依题意,得PA=PB, ∴点P在点A,B之间, ∴x一(一1)=3一x,解得x=1, ∴点P对应的数为1: (2)设点P表示的数为x.分三种情况: ①当点P在点A 左侧时,-1-x+3-x=3.-2x+2=3,x=-(舍); ②当点P在点A,B之间时,PA+PB=x+1+3-x=4.∴PA+PB=3不成立; ③当点P在点B的右侧时,x+1+x-3=3.2x=5,x=(舍). 综上所述,不存在这样的P点. 4.解:(1)∵(x-3)+|y+5| =0,且(x-3)≥0, |y+5|≥0. ∴x-3=0.y+5=0. ∴x=3,y=-5. ∴点A表示3.点B表示一5. ∴A.B两点间的距离=3+5=8; (2) 设点D表示的数为x,则DA=x-3,DB=x+5, ∵AD+BD=AB. ∴.x-3+x+5=×8,解得x=6， ∴点D表示的数是6 (3)设点P表示的数为m， 则AP=|m-3|,BP=|m+5|. ∵AP=3PB, ∴|m一3|=3|m+5| ∴m=-3或-9. 二、数轴上的动点问题 1.解 ：（1）∵|a+3|+(b-4) = 0 ， .∴a=-3,b=4， ∴AB=7. (2)共有AB、AO、AP、BO、BP、OP这6条， 设点P所对应的数为， ∵AB=7,AO=3,AP=x+3,BO=4,BP=4-x,OP=|x|,. ∴7+3+x+3+4+4-x+|x|=23，解得x=±2. (3)设运动的时间为t， 由已知得点C对应的数为-3+2t，点D对应的数为4-6t，点M对应的数为-3+t，点N对应的数为4-4t. ∴MN =|-3+t-(4-4t)| =|5t - 7| , MO =|-3+t|， 若|5t -7| =2|-3+t|=|-6+2t|, 当5t -7= -6+2t时,t= 当5t-7-6+2t=0时，t= 答：出发秒或秒后，点M到点N的距离是点M到原点O距离的2倍。 2.解：(1)∵数轴上M、O、N对应的数分别为-2，0，4. P到M、N距离相等 ∴.P是线段MN的中点 ∴x==1 (2)存在，设P表示的数为x ①当P在M点左侧时，PM+PN=7 -2-x+4-x=7 x=-2.5 ②当P在N点右侧时， x+2+x-4=7 x =4.5. ∴x的值为-2.5或4.5. (3)设经过t秒点P到点M、点N的距离相等， ∴.P点表示的数是6t，M点表示的数是-2+t，N点表示的数是4+3t, ∴由题意，得PMPN， .∴6t-(-2+t)=4+3t-6t ∴t= 答:经过秒钟，点P到点M、点N的距离相等. 3.解:( 1 )∵|a - 12| +|b+6| =0, ∴a-12=0,b+6=0，解得a=12，b=-6, (2)设时间为t秒，则: 3t-t=12+6，解得t=9， C点表示的数为-6-9=-15. (3)B点表示的数为-6-t， ∴M点表示的数为-3-， N点表示的数为3- ∴MN=|(3-)-(-3-)| =6. 4.解：(1)∵b是最小的正整数， ∴.b=1 ∵(c - 5) +|a +b| =0 ∴.a=-1,c=5 故答案为:-1;1;5. (2 )由(1)知,a=-1,b=1,a、b在数轴上所对应的点分别为A、B， ①当-1≤m <0时，|2m| = -2m. ②当0 ≤m ≤ 1时，|2m|=2m. (3)BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下: ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴BC =3t+4, AB=3t+2, BC - AB=(3t+4) - (3t +2) = 2. 学科网（北京）股份有限公司 $$