第06讲： 圆锥曲线综合【7大题型】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲： 圆锥曲线综合 【考点梳理】 · 考点一：直线与圆锥曲线的位置关系 · 考点二：圆锥曲线的中点弦问题 · 考点三：圆锥曲线的弦长问题 · 考点四：圆锥曲线的参数及最值问题 · 考点五：圆锥曲线的向量问题 · 考点六：圆锥曲线的定点定值问题 · 考点七：圆锥曲线的定直线及最值问题 【考点梳理】 知识点一、弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|P1P2|＝·， 知识点二、求椭圆离心率的方法 ①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝＝直接求解． ②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 知识点三、焦点三角形的结论 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a＋c)． ④S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.　 知识点四．抛物线最值问题的求法 (1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题． (2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围． 【题型归纳】 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二上·河南南阳·期中）直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：圆锥曲线的中点弦问题 4．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：圆锥曲线的弦长问题 7．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2020·全国·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．2 9．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 题型四：圆锥曲线的参数及最值问题 10．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二上·福建泉州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为、且（2，0），O为坐标原点，P为双曲线右支上一点，过作∠外角平分线的垂线，垂足为M．若恰为顶角为120°的等腰三角形，则（     ） A． B． C．1 D． 12．（21-22高二上·吉林松原·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型五：圆锥曲线的向量问题 13．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·安徽·期中）已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型六：圆锥曲线的定点定值问题 16．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 17．（23-24高二上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由. 18．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 题型七：圆锥曲线的定直线及最值问题 19．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 20．（22-23高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点N，交于点M，求证：为定值． 21．（22-23高二上·江西萍乡·期中）已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上． 【高分达标】 一、单选题 22．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为1和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则（    ） A．或2 B．2或3 C．2 D． 23．（23-24高二上·天津·期中）过点的直线与椭圆交于A、B两点，且满足.若M为直线上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 24．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与准线交于N点，则MN的长为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 27．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知为坐标原点，直线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（    ） A．2 B．4 C． D．3 28．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知（O为坐标原点）的顶点都在抛物线上，若抛物线的焦点F恰好是的重心，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 29．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高二下·湖北咸宁·期末）已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率恒有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 31．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 32．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆和抛物线C的准线相切 33．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 34．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（    ） A． B．抛物线的准线为直线 C． D．的面积为 35．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B．最大值为25 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D．过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20 三、填空题 36．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 ． 37．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 38．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为 ． 39．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，若，则直线的斜率为 . 40．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率 ． 四、解答题 41．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 42．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 43．（23-24高二下·广东广州·期中）已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； (3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 44．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 45．（2024·山东泰安·一模）已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲： 圆锥曲线综合 【考点梳理】 · 考点一：直线与圆锥曲线的位置关系 · 考点二：圆锥曲线的中点弦问题 · 考点三：圆锥曲线的弦长问题 · 考点四：圆锥曲线的参数及最值问题 · 考点五：圆锥曲线的向量问题 · 考点六：圆锥曲线的定点定值问题 · 考点七：圆锥曲线的定直线及最值问题 【考点梳理】 知识点一、弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|P1P2|＝·， 知识点二、求椭圆离心率的方法 ①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝＝直接求解． ②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 知识点三、焦点三角形的结论 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a＋c)． ④S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.　 知识点四．抛物线最值问题的求法 (1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题． (2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围． 【题型归纳】 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二上·河南南阳·期中）直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【详解】因为直线，过定点， 只需该定点落在椭圆内或椭圆上则直线与椭圆总有交点，即： 解得：，又因为：， 所以：的取值范围为：.故B项正确. 故选：B. 2．（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为直线与C无公共点，所以，即， 所以，又，所以C的离心率的取值范围为. 故选：D.    3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，由梯形中位线得到，然后求得r，进而得到，然后，利用韦达定理求解. 【详解】解：如图所示：    设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，， 则，所以， 则，即， 解得或（舍去），则， 设， 由，消去y得， 则，解得， 所以直线方程为，即， 故选：A 题型二：圆锥曲线的中点弦问题 4．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段存在. 故选：C. 5．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解. 【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案. 【详解】的中点坐标为，则， 设，，则，， 相减得到：，即，， 又，，解得，，椭圆的方程为. 故选：C. 题型三：圆锥曲线的弦长问题 7．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 8．（2020·全国·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可. 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 9．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 题型四：圆锥曲线的参数及最值问题 10．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围． 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，， 此时； 当直线斜率存在时，设斜率为，设, 则直线方程为， 联立，得， ，得． ， ． ． ，，， 则， 综上，的取值范围是． 故选：D． 11．（21-22高二上·福建泉州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为、且（2，0），O为坐标原点，P为双曲线右支上一点，过作∠外角平分线的垂线，垂足为M．若恰为顶角为120°的等腰三角形，则（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】延长与的延长线交于，设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质，以及中位线定理，求得，再在三角形中，利用余弦定理可求得结果 【详解】如图，延长与的延长线交于，设，则， 因为在外角平分线上，且，所以，为的中点， 所以，∥， 因为恰为顶角为120°的等腰三角形， 所以，， 即有，解得， 在三角形中，，由余弦定理得 ，解得， 故选：D 12．（21-22高二上·吉林松原·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果． 【详解】抛物线的焦点为， 准线为且l过点， 抛物线的准线方程是， 则抛物线的方程为， 因为 ，点在抛物线内， 过点作准线的垂线，垂足是， 在抛物线上，是抛物线的焦点， ， 当 三点共线时，（图中虚线位置）， 取到最小值，即最小值为， 故选：． 题型五：圆锥曲线的向量问题 13．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示：    因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，由题意等价于是的中点， 所以， 又点在椭圆E上面， 所以， 进一步有，即， 所以直线的斜率可以表示为， 又、在直线上， 所以直线的斜率为， 从而， 所以解得，即E的方程为. 故选：D. 14．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得的等量关系，求解离心率即可. 【详解】因为 ， 所以，则， 过作轴，垂足为， 由题意知，则， 故， 在中，， 故，又点在双曲线上， 则，将代入整理得， 则，解得，且， 解得， 故双曲线的离心率为. 故选：A. 15．（23-24高二上·安徽·期中）已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，直线，则，分别与椭圆的方程联立得出的坐标，结合已知，，即可得出与的关系.然后根据，即可得出，进而即可得出答案. 【详解】设直线，直线，则， 联立解得， 则，所以，. 由可得，；① 联立解得， 则，所以，. 由可得，；② 又，所以， 所以；③ 联立①②，得，， 代入③中，得，则． 故选：B. 题型六：圆锥曲线的定点定值问题 16．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，根据题意，由化简求解； （2）设直线的方程为，，，，与双曲线方程联立，表示直线的方程为，令，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设点，由题意得： ， 化简得： 所以点M的轨迹方程是； （2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，， 联立，消去整理得， 则，，解得， ， 直线的方程为， 令，得， ， ， 所以直线过定点 17．（23-24高二上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【分析】（1）设圆心，半径为，由两点间距离公式和圆的弦长公式列方程，消去即可； （2）设直线方程为，联立抛物线方程消去x，利用斜率公式将用坐标表示，然后由韦达定理代入化简即可. 【详解】（1）设圆心，半径为，由圆过点得， 又因为圆在轴上截得的弦长为4，所以， 则，整理得. （2）易知直线的斜率不为0， 设直线方程为，即， 联立消去得， 由得或， 设，则， ， 所以， 即等于定值1. 18．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出过焦点的弦长，建立方程组求解即得. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再求出直线方程即可得解. 【详解】（1）设点，则椭圆半焦距，由得，由得， 依题意，，又，解得， 所以. （2）由（1）知，椭圆的方程为，，设点， 当时，直线的方程为的方程为， 由，得，解得， 由，得，解得， 即点，则直线的斜率， 于是直线的方程为， 整理得，显然直线恒过定点直线， 当时，直线的方程为，也经过， 所以直线恒过定点直线.    题型七：圆锥曲线的定直线及最值问题 19．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D在直线上． 【分析】 （1）利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可； （2）由题意先确定M、N位置，设直线与、坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出、纵坐标关系式，再利用点、坐标表示直线、，法一、求出D点横坐标化简计算即可；法二、直接利用直线、方程作比计算为定值，计算即可. 【详解】（1）设，，， 则， 则，解得（舍去）， 则，① 代入点得，② 联立①②，解得，， 故椭圆C的标准方程为； （2） 依题意，，， 设直线，联立， 整理得， ； 设，， 则，， 所以. 可设直线，直线， 法一：联立 得 ， 故点D在直线上． 法二：故， 解得， 故点D在直线上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 20．（22-23高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点N，交于点M，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义可求得，即可得抛物线方程； （2）根据直线与抛物线的位置，分别求解线段，即可验证. 【详解】（1）解：点在抛物线上，由抛物线的定义得故，所以． （2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为0， ∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为，设． 由，得， ∴． ∴， ∴． ∴的方程为． 令，解得， ∴，∴，为定值． 21．（22-23高二上·江西萍乡·期中）已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】根据离心率公式和点的坐标即可求出双曲线的标准方程； 设点，，，分别根据韦达定理，两直线的交点坐标，即可求出． 【详解】（1）由离心率，，得， 当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上， 则轴为的左焦点， 故，代入:的方程得：， 故双曲线的标准方程； （2）设点，，，其中，， 由题意知，直线的斜率存在且不为，设：， 代入，得，， 则，， 则， 由题意知，直线：，直线：相交于点， 所以， 即， 解得， 故当在的左支上运动时，点在直线上． 【高分达标】 一、单选题 22．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为1和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则（    ） A．或2 B．2或3 C．2 D． 【答案】C 【分析】已知焦距和过A的两个相互垂直的射线，通过AB的反向延长得到D点，则，根据面积得到线段的关系，通过方程的联立，代入线段关系即可求解. 【详解】由焦距为2知，， 设直线与的另外一个交点为，，， 则，关于轴对称，即， 由的面积为，得，即， 将直线代入的方程整理，得， 显然判别式大于0，，， 因为，所以，即， 所以，解得或（舍去），所以． 故选：C． 23．（23-24高二上·天津·期中）过点的直线与椭圆交于A、B两点，且满足.若M为直线上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】椭圆方程. 因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点. 因为，即为线段的中点， 设，显然，则， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 所以直线为，即， 因为M为直线上任意一点， 所以的最小值为点到直线的距离. 故选：B. 24．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与准线交于N点，则MN的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，再用中点坐标公式即可求解． 【详解】，设且 由可得，故， 又由可得，于是解得，中点 准线方程为，令得 故 故答案为：. 25．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点弦可利用点差法得，进而联立直线与椭圆的方程求解，即可根据两点求解斜率，结合角平分线的性质可判断方程为，即可求解. 【详解】设，，，其中 ，两式作差整理可得：， 解得： ， 则直线方程为，即，将其代入椭圆方程整理得： ，解得或， 故， 直线斜率不存在，方程为 故选：D 26．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可. 【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 27．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知为坐标原点，直线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】设直线与轴交于点，则由题意可得为等腰直角三角形，将代入双曲线方程可求出，从而可求出结果. 【详解】设直线与轴交于点，由双曲线的对称性可知为等腰直角三角形， 所以为等腰直角三角形． 由，得，则． 故选：A 28．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知（O为坐标原点）的顶点都在抛物线上，若抛物线的焦点F恰好是的重心，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】确定，设， ，根据重心坐标公式计算得到点坐标，再利用两点间距离公式计算得到答案. 【详解】抛物线，则焦点，设， ， 则，解得或， 不妨取，， 则. 故选：A 29．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值. 【详解】设椭圆的方程为，直线的方程为， ， 联立整理得： ， 由椭圆的离心率，得， 带入上式并整理得： ， 则， 由与的面积之比为，则， 则， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为 故选：. 30．（22-23高二下·湖北咸宁·期末）已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率恒有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点差法得到，再利用重心的性质与基本不等式得到，由此得解. 【详解】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，    因为抛物线为，所以， 则，所以，则， 注意到，故，即， 又，代入可得， 故，即，解得， 当且仅当时，等号成立，而，故等号不成立， 因而，故，则的最大值为. 故选：B. 31．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 运用点差法求得m的值，进而可求得椭圆的焦距. 【详解】如图所示， 依题意，直线的斜率为，设， 则，且 ， 由 两式相减得：， 于是，解得， 此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求， 所以椭圆的焦距为. 故选：B. 二、多选题 32．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆和抛物线C的准线相切 【答案】BC 【分析】求出点的坐标即可判断A；联立方程，利用韦达定理求出，进而可判断BC；结合抛物线的定义即可判断D. 【详解】依题意可知，所以，解得，A错； 由消去y可得， 所以， ，B对； ，C对； 以为直径的圆的圆心横坐标为，而半径， 故该圆圆心到y轴的距离恰好等于半径，所以该圆与y轴相切，与准线相离，D错. 故选：BC． 33．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 【答案】BD 【分析】利用点差法，即可判断A；根据A的结果，结合中点坐标和直线的斜率，可分别判断BC，直线与椭圆方程联立，结合弦长公式，即可判断D. 【详解】A.设，，， ，两式相减得， 整理为，即，故A错误； B.由，以及，可知，，则， 所以直线的方程为，则，故B正确； C.由，且直线l的方程为，所以，即， 且，解得：，，即，故C错误； D.联立，得，得或， 弦长，故D正确. 故选：BD 34．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（    ） A． B．抛物线的准线为直线 C． D．的面积为 【答案】AD 【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度求出值判断AB；求出点的纵坐标判断；求出的面积判断D. 【详解】抛物线的准线为直线，过点向准线作垂线垂足为， 由抛物线的定义知，解得， 则抛物线的方程为，准线为直线，A正确，B错误； 将代入抛物线方程，解得，C错误； 焦点，点，即，则，D正确. 故选：AD 35．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B．最大值为25 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D．过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20 【答案】ABD 【分析】由椭圆离心率的计算公式即可判断A，由椭圆的定义以及基本不等式即可判断B，由椭圆的标准方程代入计算即可判断C，由椭圆的定义以及三角形的周长公式即可判断D. 【详解】 由椭圆的方程可得，则， 则椭圆离心率为，故A正确； 由椭圆的定义可知，，又， 所以，即，当且仅当时， 等号成立，所以最大值为25，故B正确； 设，，则，所以， 因为点在椭圆上，则，即， 所以，故C错误； 由椭圆的定义可知，， 且的周长为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 36．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】由已知直线过定点，可得在椭圆内部或在椭圆上，然后分类讨论得答案． 【详解】直线恒过定点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则在椭圆内部或在椭圆上， 若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则； 若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则． 实数的取值范围是：． 故答案为：． 37．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 【答案】 【分析】将椭圆与直线联立，由韦达定理表示出AB中点M的坐标，由OM的斜率可得的值，由，则，化简得，联立，可得a、b的值，从而得出椭圆方程． 【详解】由已知条件可知，， 联立，消去并整理得： 设，， 则， 则， 由，则， 又因为, 所以， 解得 所以椭圆方程为 故答案为：    38．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为 ． 【答案】 【分析】确定焦点坐标，设，根据斜率得到，，再计算面积即可. 【详解】抛物线的焦点为，设，，则， 解得或（舍），，准线方程为，则， . 故答案为：. 39．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用点差法结合题意即可求解出直线的斜率. 【详解】 设椭圆， 设直线与的交点为，直线的斜率为k， 则所以，即， 同理可得， 又， 所以， 由， 得， 所以. 故答案为： 40．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率 ． 【答案】 【分析】利用过点F且斜率为1的直线与椭圆方程的联立，求出弦长MN再求出对应得垂直平分线，并得到点P，根据数量关系求解离心率. 【详解】由题可设直线l的方程为：，，， 线段MN的中点， 联立，化为， 所以，， 所以， 则． 所以，所以MN的垂直平分线为：，令，解得，所以． 所以， 所以，则，所以椭圆C的离心率为． 故答案为： 四、解答题 41．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程； （2）设，，利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点的轨迹方程； （3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； （2）设，， ，且为线段的中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； （3）①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ． 又点到直线的距离． ， ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时，当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 42．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)，； (3)证明见解析，定点 【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解； （2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点. 【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，， 所以点； （2）由题意可知，设动圆半径为，，，， 即， 所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则， 所以曲线的方程为，； （3）当直线的斜率不存在时，，， 直线，当，得，即，直线， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，， ， 联立，得， ，，， 下面证明直线经过点，即证，， 把，代入整理得， 即， 所以直线经过点， 综上可知，直线经过定点，定点坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 43．（23-24高二下·广东广州·期中）已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； (3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义即得动圆圆心的轨迹方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，再由计算可得； （3）根据题设先求出的解析式，可将距离最小值问题转化为二次函数最小值问题，分类讨论即得. 【详解】（1）因为动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切， 即点到定点的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上， 所以由抛物线定义知：圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线， 抛物线方程形如，又，则， 故圆心的轨迹方程为． （2）如图，由题知，直线的方程为， 由，解得或，所以，， 所以.    （3）设，则，又， 则， 因二次函数的对称轴为， 故当，即时，，此时； 当，即时，，此时. 所以. 44．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知分别求出即可得到的标准方程； （2）通过直曲联立，求出弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线的距离， 代入三角形面积公式，利用不等式求出面积的最大值． 【详解】（1） 设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为， 则，又， 解得， 所以的标准方程为． （2）设， 联立直线与椭圆的方程，可得， 所以，得． 又原点到直线的距离， 所以， 所以． 令，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 即当时，的面积取得最大值． 45．（2024·山东泰安·一模）已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)直线的斜率或 【分析】（1）由题意首先依次得出，，进一步结合离心率公式以及的关系式即可求解； （2），则，进一步表示出点以及的面积，结合已知可得点的坐标，由此即可得解. 【详解】（1）圆过， ， 又圆过， ， 又 ， 椭圆的方程为. （2）设，则，    由题知且， 则， ， 由，解得， ， 又， ， 又， ， 直线的斜率或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$