第04讲：圆与方程、直线、圆的位置关系【10大题型】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲：圆与方程、直线、圆的位置关系 【考点梳理】 · 考点一：圆的方程 · 考点二：圆过定点与参数问题 · 考点三：圆的最值问题 · 考点四：直线与圆位置关系 · 考点五：圆的切线方程 · 考点六：圆的弦长问题 · 考点七：直线和圆的实际应用问题 · 考点八：圆与圆的位置关系 · 考点九：圆的公切线和共切弦问题 · 考点十：圆的定点定值问题 【知识梳理】 知识点一、圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心为(a，b) 半径为r 一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0 知识点二、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要) d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法： 知识点三、．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0) 方法 位置 关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【题型归纳】 题型一：圆的方程 1．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 2．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 3．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆C经过，且圆心在直线， （1）圆C的方程是 （2）若从点发出的光线经过直线，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是 【答案】 ． 【分析】先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；设关于的对称点为，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果. 【详解】   由题知中点为，， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得，即圆心为， 所以圆的半径为， 故圆的方程为. 设关于的对称点为， 则直线与垂直，且的中点在直线上， 则，解得， 由题意知反射光线过圆心，故， 即.   故答案为：； 题型二：圆过定点与参数问题 4．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知，方程表示圆，圆心为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，和确定出的值，然后将圆的方程化为标准方程，从而可求出圆心坐标. 【详解】由题意得，解得或， 当时，方程化为，此时， 所以此方程表示圆，， 所以圆的圆心为，半径为5， 当时，方程化为， 即， 此时，所以此方程不表示圆， 综上，圆心为， 故答案为： 5．（23-24高二上·山东·期中）若方程表示圆，则的取值范围为 ． 【答案】或. 【分析】利用圆的一般方程的判别式判断即可. 【详解】根据题意可得：，解得或. 故答案为：或. 6．（22-23高二上·河北张家口·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，结合圆心在上，列出方程组，求出圆心和半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 由题意得：，解得：， 故所求圆的方程为，即． 故答案为：． 题型三：圆的最值问题 7．（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题可利用中点去研究，根据得到点的轨迹，由图形的几何特征,求出模的最值，得到本题答案. 【详解】   ∵圆， ∴，圆心，半径， ∵点在圆上，， ∴， 即，点在以为圆心，半径的圆上. ∴· ∴，即的最小值为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·浙江·期中）已知点分别为圆与圆上的动点，点为轴上的动点，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】作出圆M关于x轴的对称圆圆，根据对称性可知，. 【详解】如图，圆M关于x轴的对称圆为圆，点A关于x轴的对称点为点. 圆，圆心，半径，则圆M关于x轴的对称圆圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径. 当共线时，最小， 此时. 故答案为：7 9．（23-24高二上·广东揭阳·期中）已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为 . 【答案】12 【分析】结合图形分析，最长弦为过点的直径，最短弦为过点且与垂直的弦，分别求弦长，则可由对角线互相垂直求得四边形的面积. 【详解】圆， 由题意可得，圆心为，半径， 最长弦为过点的直径，且，    设过点的任意一条弦，过点作， 由图可知圆心到直线的距离， 则弦长为， 即最短的弦为过，且与垂直的弦， 最短弦长， 如图，四边形对角线， 则其面积. 故答案为：.    题型四：直线与圆位置关系 10．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【分析】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解. 【详解】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 11．（23-24高二上·江苏·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】直线恒过定点， 将转化为， 曲线表示以为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 当时，与曲线有两个不同的交点， 故选：A. 12．（23-24高二上·北京东城·期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】最小值满足四边形的面积最小，可转化为动点到点的距离最小值，即可求解． 【详解】圆， ，即圆心为，半径为2， 如图所示，    连接，，四边形的面积为， 要使最小， 则只需四边形的面积最小，即只需的面积最小， ，只需最小， ， 所以只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离， 此时，， 则此时四边形的面积为2，即的最小值为4． 故选：D． 题型五：圆的切线方程 13．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B 14．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为. 故选：C. 15．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据跟定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答. 【详解】   连接，由切圆于A，B知，， 因为直线AB与l平行，则， ，而圆半径为1， 于是， 由四边形面积， 得， 所以. 故选：A. 题型六：圆的弦长问题 16．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 17．（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合不等式性质求最值，进而可得答案. 【详解】与相减， 可得两圆的公共弦所在线的方程为：， 由圆：可得，圆的半径为4， 圆心到AB直线的距离为， ，因为， 所以，时等号成立， 又因为的最小值为， 所以，解得. 故答案为：. 18．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式|可分析出当时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点，该点在圆内， 因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离， 当时，最大，最小， 又因为圆：，所以圆心，, 则，此时：. 故答案为：. 题型七：直线和圆的实际应用问题 19．（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 【答案】 【分析】首先根据已知条件作出图形，圆半径，利用锐角三角函数的定义可求出BE的长，易知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长，进而求出弦长，最后用弦长除以台风的移动速度即可求解. 【详解】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数， 得， 在中，由勾股定理， 得， 所以， 因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 故答案为：2. 20．（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，进而即可计算出的长． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， 由勾股定理可得， 又，即，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)． 故答案为：． 21．（22-23高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ． 【答案】/ 【分析】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可. 【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 故答案为： 题型八：圆与圆的位置关系 22．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，，则， 因为圆与圆有公共点，所以，即， 解得，所以实数a取值范围是. 故答案为：. 23．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由可求出点P的轨迹方程为C：.，点P在圆C，上，即圆C，相切或相交，即可求. 【详解】∵，，，∴， ∴点P在以为圆心，4为半径的圆上，可设其轨迹方程为C：. 由于点P在圆C，上，∴圆C，相切或相交， ∴，又，解得， ∴.实数m的取值范围是. 故答案为： 24．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 【答案】4 【分析】利用两圆的外切关系先计算，再根据圆上一动点到定直线的距离的最值计算即可. 【详解】圆化为标准方程为， 可得，其半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以，解得， 可得圆的半径为， 因为圆心到直线的距离为， 则点P到直线的距离的最大值为. 故答案为：4. 题型九：圆的公切线和共切弦问题 25．（23-24高二上·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ． 【答案】 【分析】根据两圆的方程可求公共弦的方程，根据公式可求公共弦长. 【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为， 化简得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为， 其圆心，半径， 圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为． 故答案为：；. 26．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 【答案】 /4.8 【分析】由条件确定圆O，圆N的圆心坐标和半径，由此发现，根据等面积法求，联立两圆方程，求出A的坐标，设直线的方程，由结合弦长公式求直线的斜率. 【详解】 根据题意，圆：，圆心，半径为3， 圆，圆心，半径为4， 则，，，易知， 根据等面积法可得； 联立两个圆方程，得， 在第二象限，可得，易知直线的斜率存在， 设直线的方程是，即， 因为， 所以， 解得：. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题的第一空关键是通过数形结合发现，从而即可利用等面积法求解，第二问的关键是先求出的坐标，然后设出直线的方程，利用弦长公式即可求解. 27．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆，则 ①当时，两圆的公切线方程为 ． ②若两圆相交于两点，且，则 ． 【答案】 或 【分析】①由题可得两圆内切，则有唯一公切线，后求得两圆交点坐标，即可得答案；②两圆方程相减可得直线AB方程，后由其长度，可得答案. 【详解】①当时，圆. 因两圆圆心距为，恰为两圆半径差，则两圆内切，即两圆有唯一公切线. ，又， 则， 即两圆公共点为C，则公切线过点C， 因，则切线斜率为，故公切线方程为：； ②两圆方程相减可得两圆公共弦方程. 因，圆O半径为1，则点到直线AB距离为. 则由点到直线距离公式，可得或. 故答案为：；或. 题型十：圆的定点定值问题 28．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 29．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4. (1)求圆的标准方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心，半径为，则圆方程为，通过弦长公式列方程求得值，即可得圆的方程； （2）由，得点的轨迹方程，将的最小值转化为的最小值，即点到直线的距离为所求. 【详解】（1）因为圆心在上且与轴相切， 所以设圆心，半径为， 所以圆方程为， 又圆心到直线距离， 圆被直线截得弦长为4， 所以有：，解得， 所以圆方程为：； （2）解法一：因为，又因为，所以， 设，则，即， 所以点轨迹方程为. 因为， 所以的最小值就是的最小值， 即为点到直线的距离， 所以的最小值为. 解法二：因为，又因为，所以， 设，则，即，， ， 当时，取得最小值：， 所以的最小值为. 30．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程； （3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可. 【详解】（1）解：设圆心为，设圆的半径为， 圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，① 且有②， 联立①②可得或， 所以，圆的方程为或. （2）解：因为半径小于，则圆的方程为， 由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. （3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，    因为直线的斜率为，则，则，， 所以，，因此，， 又E到的距离，， 所以，，故恒为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【高分达标】 一、单选题 31．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 32．（23-24高二下·云南大理·期中）已知曲线关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据已知条件有直线过圆心，则有，方法1：化为，利用基本不等式即可求解；方法2：化为利用权和不等式即可求解. 【详解】方法1：由曲线关于直线对称， 故直线经过圆心， 即有，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为； 方法2：由曲线关于直线对称， 故直线经过圆心， 即有，即， 由权方和得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D． 33．（23-24高二下·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线和圆的位置关系知，与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而得到圆心与直线之间的距离，进而得到的值. 【详解】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1， 所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切， 又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得. 故选：B. 34．（23-24高二上·天津南开·期中）点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故选：D.    35．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    36．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点为圆上的一个动点，点为圆上的一个动点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求. 【详解】由题意可知：圆A的圆心，半径为，圆B的圆心，半径为， 为圆上一动点，为圆上一动点， 为坐标原点， 取，由，可得，则， 因为，当且仅当在线段上时，等号成立， 可得 ， 当且仅当在线段上时，等号成立， 综上所述：，当且仅当在线段上时，等号成立. 故选：D.    37．（23-24高二上·广东东莞·期中）M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 如图，由弦长公式知，，解得， 所以，点N在以为圆心，1为半径的圆上， 由图可知，的最小值为. 故选：B 38．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆，由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程，然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得. 【详解】设，则， 整理得， 联立消去二次项得公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为1， 所以公共弦长为. 故选：A 二、多选题 39．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【分析】将直线的方程化简为点斜式，判断出A项的正误；根据时被圆截得弦长最短，算出的最小值，从而判断出B项的正误； 利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出的最大值与的大小，从而判断出CD两项的正误． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 40．（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 【答案】AB 【分析】选项A，将方程变形成，即可求解；选项B，将圆变形标准形式，即可求解；选项C，利用直线与圆的位置关系，即可求解；选项D，利用直线过圆心，即可求解. 【详解】对于选项A，直线的方程可化为，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 41．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 42．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 43．（23-24高二上·山西吕梁·期中）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台 的北偏东 方向 处设立观测点 ，在平台 的正西方向处设立观测点，已知经过 三点的圆为圆，规定圆 及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系. 经观测发现，在平台 的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ） A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【答案】BCD 【分析】对于A，由题意可得点的坐标，结合两点间的距离公式计算即可验证；对于B，结合三点坐标，利用待定系数法求解圆的方程即可验证；对于C，由题意可知小汽车行驶路线所在直线的斜率以及它经过点，由点斜式写出直线方程验证即可；对于D，将圆的方程化为标准方程得圆心坐标，半径，只需比较圆心到小汽车行驶路线所在直线的的距离和半径即可. 【详解】由题意, 得, 所以, 即观测点之间的距离是 , 故错误； 设圆的方程为 , 因为圆 经过 三点, 所以 ，解得， 所以圆 的方程为 , 故 B 正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为, 又点的坐标是, 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为, 故C正确； 圆化成标准方程为 , 圆心为, 半径 , 圆心到直线的距离, 所以直线与圆相交, 即小汽车会进入安全预警区, 故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 44．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【分析】先确定点在圆外，再分切线斜率存在与否，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 45．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 【答案】 【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可. 【详解】圆，整理得，则其圆心为， 由题意得：直线过圆心， 所以，又，， 所以．（当且仅当，时，取“＝”）． 此时直线方程为，即. 故答案为：；. 46．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知点是直线上一动点，是以点为圆心的圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式，三角形面积公式进行求解即可. 【详解】圆，圆心，半径为1． 如图，． 因为， 所以当四边形面积最小时，只需最小， 即点到直线的距离最小， 由题意可知四边形的最小面积是2， ， 即点到直线的距离为， 即解得：． 因为，所以， 故答案为：2    【点睛】关键点睛：本题的关键是根据三角形的面积公式得到四边形面积表达式，利用转化法进行求解. 47．（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出点的轨迹，然后利用几何关系求出到直线距离的最小值. 【详解】由直线与直线，得 所以两直线垂直， 又因为直线恒过，直线恒过， 所以点的轨迹为以点和点为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以， 圆心到直线的距离， 到直线距离的最小值为. 故答案为： 四、解答题 48．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心的坐标，即可得到结果. 【详解】（1）设直线与圆相交的弦为线段， 因为圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则， 所以直线与圆相交所得的弦长为. （2）设圆关于直线对称所得的圆为圆， 由题意可得圆心与圆心关于直线对称， 设圆心，则，解得， 则，则圆的方程为. 49．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解； （2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解. 【详解】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； （2）联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 50．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （3）取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 51．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点. (1)求的范围； (2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相交列出不等式，可得解； （2）直线与圆联立利用韦达定理可求得直线的方程，进而得解. 【详解】（1）∵直线与圆交于两点，∴， 解得. （2）设，， 将代入方程， 整理得， ∴，， ， 解得，由（1）知， 所以直线的方程为， 可知圆心在直线上， ∴是圆的直径，且， ∵是圆上的一动点（异于，）， ∴到直线的最大距离即为半径为1， ∴面积的最大值为. 52．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设P点坐标为，根据题意结合两点间距离公式运算求解； （2）方法一：根据数量积的运算律分析可得，结合两点间距离公式可得，再根据点的轨迹结合圆的性质分析求解；方法二：分类讨论直线MN的斜率是否存在，设直线MN的方程为，，联立方程，根据向量的坐标运算结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设P点坐标为， 由可得，化简得， 所以C的轨迹方程为. （2）因为表示圆心为，半径为2，的圆， 且，则点A的直线与C必相交， 法一：设MN的中点为， 因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆， 则 ， 又因为表示点到定点的距离的平方，即， 可知，所以； 法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取， 此时； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 联立方程，整理得， 设，则， 因为， 则 ， 因为，则，可得，所以； 综上所述：． 53．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程； (2)若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (3)过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的，且坐标为 【分析】（1）根据点到直线的距离，结合待定系数法即可求解圆心， （2）根据四点共圆可得圆方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标关系可得切线方程，进而可得直线方程， （3）根据斜率和为0，结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解. 【详解】（1）设圆心的坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 所以圆的标准方程为； （2）法1：由条件可知四点共圆，且直径，记为圆， 则,半径， 所以圆的方程为， 因为圆的方程为， 两圆方程相减可得，所以直线的方程为； 法2：设，设直线上任意不同于点的点为， 根据,可得切线的方程为， 因为在直线上，所以， 同理， 从而直线的方程为，即； （3）设存在点满足条件，由题可设直线，， 由，得， ∵点在圆内部，∴恒成立，则， 因为，所以，即， 即是，整理得， 从而，化简有， 因为对任意的都要成立，所以， 由此可得假设成立，存在满足条件的，且坐标为．    2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：圆与方程、直线、圆的位置关系 【考点梳理】 · 考点一：圆的方程 · 考点二：圆过定点与参数问题 · 考点三：圆的最值问题 · 考点四：直线与圆位置关系 · 考点五：圆的切线方程 · 考点六：圆的弦长问题 · 考点七：直线和圆的实际应用问题 · 考点八：圆与圆的位置关系 · 考点九：圆的公切线和共切弦问题 · 考点十：圆的定点定值问题 【知识梳理】 知识点一、圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心为(a，b) 半径为r 一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0 知识点二、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要) d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法： 知识点三、．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0) 方法 位置 关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【题型归纳】 题型一：圆的方程 1．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 3．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆C经过，且圆心在直线， （1）圆C的方程是 （2）若从点发出的光线经过直线，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是 题型二：圆过定点与参数问题 4．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知，方程表示圆，圆心为 ． 5．（23-24高二上·山东·期中）若方程表示圆，则的取值范围为 ． 6．（22-23高二上·河北张家口·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为 ． 题型三：圆的最值问题 7．（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ． 8．（23-24高二上·浙江·期中）已知点分别为圆与圆上的动点，点为轴上的动点，则的最小值为 . 9．（23-24高二上·广东揭阳·期中）已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为 . 题型四：直线与圆位置关系 10．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 11．（23-24高二上·江苏·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·北京东城·期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 题型五：圆的切线方程 13．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 15．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（    ） A． B． C． D．4 题型六：圆的弦长问题 16．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 17．（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则 ． 18．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 题型七：直线和圆的实际应用问题 19．（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 20．（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 21．（22-23高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ． 题型八：圆与圆的位置关系 22．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 23．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是 . 24．（23-24高二上·江苏无锡）已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 题型九：圆的公切线和共切弦问题 25．（23-24高二上·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ． 26．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 27．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆，则 ①当时，两圆的公切线方程为 ． ②若两圆相交于两点，且，则 ． 题型十：圆的定点定值问题 28．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 29．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4. (1)求圆的标准方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值. 30．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【高分达标】 一、单选题 31．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．（23-24高二下·云南大理·期中）已知曲线关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 33．（23-24高二下·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·天津南开·期中）点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 35．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 36．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点为圆上的一个动点，点为圆上的一个动点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 37．（23-24高二上·广东东莞·期中）M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 二、多选题 39．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 40．（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 41．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 42．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 43．（23-24高二上·山西吕梁·期中）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台 的北偏东 方向 处设立观测点 ，在平台 的正西方向处设立观测点，已知经过 三点的圆为圆，规定圆 及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系. 经观测发现，在平台 的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ） A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 三、填空题 44．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 45．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 46．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知点是直线上一动点，是以点为圆心的圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为 ． 47．（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 四、解答题 48．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 49．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 50．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 51．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点. (1)求的范围； (2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值. 52．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 53．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程； (2)若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (3)过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$