2024-2025学年人教A版（2019）必修第一册高一数学第一学期第三章3.4函数的应用

人教A版高一数学必修1第一学期第三章3.4函数的应用 第三章　函数的概念及性质 3.4　函数的应用 核心素养目标 1.数学抽象：.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.直观想象：在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 3.逻辑推理：会应用一次、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题. 4.数学运算：掌握求解函数应用题的基本步骤,培养学生的数学应用意识. 教学目标 教学重点：会应用一次、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题. 教学难点：在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 情境导入 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系． 1．一次函数的解析式为f(x)=kx+b(k≠0) ，其图像是一条直线，当k>0时，f(x）在(﹣∞,+∞）上递增；当k＜0时，f(x）在(﹣∞,+∞）上递减。 2．二次函数的解析式为f（x)=a +bx+c(a≠0)，其图像是一条抛物线， 当a＞0时，f(x）有最小值为 ；当a＜0 时，f(x）有最大值 3.幂函数y=(x是自变量，a是常数）恒过点（1,1)；当a>0时，f(x)在（0+∞)上递增；当a<0时，f(x）在（0+∞)上递减；如果f(x）是非奇非偶函数，则其图像基本只在一象限内． 下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。 4 建立函数模型应把握的三个关口 (1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口． (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题． 知识讲解 知识讲解 现实生活中有些实际问题给出了图表数据信息,对这类问题就要求我们能够收集图表数据信息,建立适合的函数模型来解决问题. 解决实际应用问题的四大步骤 (1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型； (3）求模：求解数学模型，得出数学结论； (4）还原：将数学问题还原为实际问题。 知识讲解 例 一辆汽车在某段路程中的行驶速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图1所示， （1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路 程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象. 知识讲解 解:（1）阴影部分的面积为： 所以阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的为360 km. （2）根据图1,有 知识讲解 利用函数解决实际问题 实际问题 实际问题结论 问题解决 分析、联想 抽象、转化 建立函数模型 数学解答 数学问题结论 转译 知识讲解 构建分段函数模型的关键点 建立分段函数模型的关键是确定分段 的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 10 知识讲解 运用函数知识解决实际应用问题的基本步骤 审题 建模 求解 还原 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； 将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型; 求解数学模型，得出数学结论； 将数学问题还原为实际问题; 知识讲解 函数的应用 解答函数应用题的基本思想 -﹣数学建模 解答函数应用题的一般步骤 审题 建模 求解 还原 一次函数：y=kx+b(k≠0) 反比例函数：y= (k≠0) 二次函数：y=a+bx+c(a≠0,a,b,c为常数） 幂函数：y=(a为常数） 13 知识讲解 1．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上"大酬宾，八折优惠"结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为＿_ 元． 【解析】 设彩电的原价为a, ∵a(1+0.4).80%-a=270, ∴0.12a=270，解得a=2 250.。每台彩电的原价为2250元． 2250 知识讲解 2．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产。单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q）=40Q-，则总利润L(Q）的最大值是万元． 【解析】L(Q)=400-,-100-2000=-+300-2 000=-20(Q-300)2+2500, 当Q=300时，L(Q）的最大值为2 500万元． 知识讲解 3.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话 费y(元)之间的函数图象如图所示： (1)月通话为100分钟时，应交话费多少元； (2)当x⩾100时,求y与x之间的函数关系式； (3)月通话为280分钟时，应交话费多少元? 解： (1)40元； (2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0) 由图上知：x=100时，y=40；x=200时，y=60 16 知识讲解 所以，函数解析式为 （3）把x=280代入关系式 得 所以，月通话为280分钟时，应交话费76元。 17 知识讲解 某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示．由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ） A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元 【答案】C 【解析】设一次函数为：y=kx+b(k≠0)，将(0,1800）和（2,2400）代入得： 1800 = b 2400=2k+b 解得k=300,b= 1800, 故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之 间的函数关系为y=300x+1800, 令x=3，可得y=300x3+1800=2700元， 故选：C 一次函数模型 知识讲解 二次函数模型 某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式P= ,Q=．今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资x （单位：万元） (1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式： (2）如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值。 【解析】(1）甲投资x万元，则乙投资（4-x）万元， 当m=时，x=2，此时y的最大值为2万元． 则甲产品投资2万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元。 则y=x+∙x∈[0,4]: (2）令m= ∈[0.2]，则x=4-, y=(4-)+m=-(-2m-4) =-[-6]=-+2, 知识讲解 二次函数模型 推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目，设该公司每日处理厨余垃圾的成本为P（元），日处理量为x（吨），经测算，当0 ≤x≤20时，P=40x：当20<x≤30时，P=+76x-1000，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益。 (1）当日处理量为10吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益＝总收益﹣成本） (2）该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？ 【解析】(1）当x=10时，代入P=40x中，故成本P=40x10= 400, 故收益为100x10-40x10=600（元）： (2）设日纯收益为L 当0≤x≤20时，L=100x-40x=60x, 所以当x=20时，日纯收益L最大，为1200元 当20<x≤30时，L=100x(+76x-1000) =-+24x+1000=-+1288, 当x=24时，L的最大值为1288.∵1288 > 1200,∴该公司每日处理的厨余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大． 知识讲解 分段函数模型 为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民一般生活用气价格划分为三档： 第一档：每户每年的用气量不超过350时，执行a元/ 的价格； 第二档：每户每年的用气量超过350 ，且不超过500 的部分，执行b元/ 的价格； 第三档：每户每年的用气量超过500 的部分，执行c元/ 的价格． （1）请写出普通居民一般生活用气的年度费用y（单位：元）关于年度的用气量x（单位：）的函数解析式； （2）已知某户居民的用气价格1月-7月按照第一档执行，8月-10月按照第二档执行，11月-12月按照第三档执行，且7月、9月、12月的用气量与缴费情况如下表，求a，b，c的值． 【解析】(1）由题意知， ax,0≤x≤350 350a+(x-350)b,350<x≤500 350a+150b+(x-500)c,x>500 y= (2）用气价格1月﹣7月按照第一档执行，8月﹣10月按照第二档执行，11月﹣12月按照第三档执行， 所以40a=105.2，解得a==2.63, 50b=142.5，解得b= =2.85, 30c=127.5，解得c=4.25, 综上：a=2.63, b=2.85,c=4.25. PPT模板：www.1ppt.com/moban/ PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT背景：www.1ppt.com/beijing/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ 个人简历：www.1ppt.com/jianli/ 试卷下载：www.1ppt.com/shiti/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/ 手抄报：www.1ppt.com/shouchaobao/ PPT课件：www.1ppt.com/kejian/ 语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/ 英语课件：www.1ppt.com/kejian/yingyu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/meishu/ 科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wuli/ 化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/shengwu/ 地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/ 历史课件：www.1ppt.com/kejian/lishi/ 知识讲解 分段函数模型 某社区为鼓励大家节约用电，与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择： 方案一：每户每月收取管理费5元，月用电量不超过80度时，每度0.5元；超过80度时，超过部分按每度0.75元收取： 方案二：不收取管理费，每度0.6元。 (1）彭湃家上月比较节约，只用了90度电，分别按照这两种方案，计算应缴多少电费？并比较那种方案更合适 (2）求方案一的收费L(x)（元）与用电量x（度）间的函数关系．若徐格拉底家九月份按方案一缴费60元，问徐格拉底家该月用电多少度？ (3）该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？ 【解析】(1）第一种方案：5+80x0.5+(90-80)x0.75=52.5元 第二种方案：90x0.6=54元，由52.5<54，故应选择第一种方案。 (2）当0≤x≤80时，L(x)=5+0.5x: 当x>80时，L(x)=5+0.5x80+（x-80)x0.75=0.75x-15. 综上，L(x)= ①当0≤x≤80时，令0.5x+5=60,解得x=110(舍去） 当x>80时，令0.75x-15=60，解得x=100 答：徐格拉底家该月用电100度 0.5x+5,0≤x≤80 0.75x-15,x>80 (3）令g(x)=0.6x-L(x)= ①当0≤x≤80时，令g(x)>0，即0.1x -5>0, 解得x>50 ∴50<x≤ 80. ②当x>80时，令g(x)>0，即﹣0.15x+15>0 解得x<100 ∴80<x<100 综上可得：50<x<100, 即该月用电量在50度到100度（不含50度与100度）范围内，选择方案一比选择方案二好。 0.1x-5,0≤x≤80 -0.15x+15,x>80 22 知识讲解 幂函数模型 某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元． (1）分别写出两类产品的利润与投资额x的函数关系式； (2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？ 【解析】(1）设两种产品的利润与投资额x的函数关系分别为： f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2(x≥0), 结合已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x ≥0),g(x)=(x ≥ 0): (2）设投资乙产品x万元，则投资甲产品（100-x）万元， 依题意，获得的利润为 y=f(100-x)+g(x) =(100-x)+- (0≤t≤ 100), 令t=(0≤t≤10),则y=(100-)+t=-+13, 所以当t=2，即x=4时，y取得最大值，ymax=13故当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元。 知识讲解 分式函数模型 某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间培高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室，由于荣誉室的后背墙，无需建造费用，甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x米（1≤x≤6)，乙工程队给出的整体报价为元（a>0)，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍。 (1）若a=10，问学校该怎样选择： (2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a的最大值。 【解析】(1）设甲工程队的总造价为y1元，因为荣举室的左右两面墙的长度均为x米，且长方体底面积为24平方米， 可得底面长方形的另一边长为米，则甲工程队的总造价为：y1=2x3x300+3xx400+12600 =1800(x+)+12600,x ϵ[1,6].又由x+≥2=8，当且仅当x=4时，等号成立， 所以（y1)min=1800x8+12600=27000（元）,当a=10时，设乙工程队的总造价为y2元， 则y2==18000x(1+),xϵ [1,6]. 因为函数y=1+在xϵ [1,6］上为单调递减函数，所以（y2)min=24000（元）,由27000>24000，所以学校选择乙工程队进行建造． (2）若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000-5400=21600（元）, 若乙工程队确保自己被选中，则满足（y2)min≤ 21600,又由乙工程队的造价为（y2)==1800a(1+),xϵ [1,6], 由（1）知，当x=6时，（y2)min=1800a·(1+)=2400a, 由2400a≤21600，解得a≤9，因为a>0，所以0<a≤9所以实数a的最大值为9. 24 知识讲解 分式函数模型 在国庆假期期间，某火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外搭建临时候车区，其中某次列车的候车区是一个总面积为98的矩形区域（如图所示），矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙（长度为18m)，其余三面用铁栏杆围挡，并留一个宽度为2m的入口，现已知铁栏杆的租赁费用为100元／m，设该矩形区域的长为x（单位：m)，租赁铁栏杆的总费用为y（单位：元）. (1）将y表示为x的函数，并求租赁搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的x值。 (2）若所需总费用不超过3300元，求x的取值范围？ 【解析】(1）由已知得2<x≤18，候车区宽为m,所以y=100(x-2+) =100(x+)=100(x+)-200≥ 100· 2-200=2600, 当且仅当 即x=14时等号成立 x= 2<x≤18 所以租赁搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值为2600元，此时x=14m. (2）由（1）可知 即 解得7≤x≤18 故所需总费用不超过3300元时，x的取值范围为[7,18]. 100(x+)-200 ≤ 3300 2<x≤18 -35x +196 ≤ 0) 2<x≤18 小结 $$