14.3 因式分解（13个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第14章《整式的乘法与因式分解》】 14.3 因式分解 （13个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：判断是否是因式分解 1 考点讲练2：已知因式分解的结果求 参数 2 考点讲练3：公因式 2 考点讲练4：提公因式法分解因式 2 考点讲练5：判断能否用公式法分解因式 3 考点讲练6：平方差公式分解因式 3 考点讲练7：完全平方公式分解因式 3 考点讲练8：综合运用公式法分解因式 4 考点讲练9：综合提公因式和公式法分解因式 4 考点讲练10：因式分解在有理数简算中的应用 4 考点讲练11：十字相乘法 5 考点讲练12：分组分解法 5 考点讲练13：因式分解的应用 5 中等题真题汇编练 6 培优题真题汇编练 8 考点讲练1：判断是否是因式分解 【精讲题】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练2：已知因式分解的结果求 参数 【精讲题】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【举一反三练2】（22-23八年级下·四川成都·期中）关于的二次三项式因式分解的结果为，则 ． 考点讲练3：公因式 【精讲题】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）单项式与的公因式是 ． 【举一反三练2】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 考点讲练4：提公因式法分解因式 【精讲题】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，那么 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）分解因式： ． 考点讲练5：判断能否用公式法分解因式 【精讲题】（22-23七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练1】（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列各多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练6：平方差公式分解因式 【精讲题】（24-25八年级上·四川内江·开学考试）如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式的值是（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【举一反三练1】（22-23九年级上·福建漳州·自主招生）已知正整数m，n满足，则的最大值为 ． 【举一反三练2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（   ） A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67 考点讲练7：完全平方公式分解因式 【精讲题】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）多项式①②③④在分解因式后，结果含有相同因式的是（    ）． A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知，则式子 ． 考点讲练8：综合运用公式法分解因式 【精讲题】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有5组解．其中错误说法的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三练1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 【举一反三练2】（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）分解因式： ． 考点讲练9：综合提公因式和公式法分解因式 【精讲题】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）下列因式分解的结果中不含因式的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把多项式分解因式的结果是 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·期末）将多项式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练10：因式分解在有理数简算中的应用 【精讲题】（2024·河南南阳·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·广东清远·期末）计算∶ ． 【举一反三练2】（23-24八年级下·山东济南·期末）计算： ． 考点讲练11：十字相乘法 【精讲题】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列因式分解变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知m，n为正整数，，且，则 ． 考点讲练12：分组分解法 【精讲题】（24-25九年级上·重庆·开学考试）已知均为正整数，且满足下列说法： ①； ②是完全平方数； ③对于任意正整数，存在满足上述方程的一组正整数；其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式： ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如果多项式能用分组分解法分解因式，则符合条件的，的一组整数值是 ． 考点讲练13：因式分解的应用 【精讲题】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知可以被在之间的两个整数整除，则这两个数是（   ） A．2、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9 【举一反三练1】（23-24九年级下·上海·自主招生）有11个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有 个． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若，，是的三边长，则的结果（    ） A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）多项式与多项式的公因式是在（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．6 C． D． 3．（23-24八年级下·全国·期末）下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）若，则多项式的值为 ． 7．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）化简： ． 8．（23-24八年级上·山东烟台·期末）因式分解： ． 9．（2024·山西·模拟预测）给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 10．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）已知，，则 ． 11．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）（1）计算：； （2）分解因式：． 12．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）因式分解 (1) (2)． 13．（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）因式分解： (1) (2) 14．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）多项式有最值是（   ） A．小，4 B．大，15 C．大，25 D．小，16 16．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若多项式 有一个因式是，则这个多项式中的值是（      ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，其中为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（   ） 嘉嘉：由已知条件可知． 淇淇：由已知条件可知． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 18．（22-23八年级上·四川眉山·期中）对于任意正整数n，均能被（　　） A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”，如，，因此24和56都是“幸福数”，下列4个结论： ①最小的“幸福数”是8； ②521是“幸福数”； ③“幸福数”一定是4的偶数倍； ④20以内的所有“幸福数”之和是24． 请填写正确结论的序号 ． 21．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知a为无理数，且，则 ． 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）若，，则的值是 ． 23．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）因式分解：① ；② ． 24．（23-24八年级上·云南·期中）分解因式： ． 25．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知a是的小数部分，b是的小数部分，c是的整数部分，求代数式的值 27．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的____倍； (2)设偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 28．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，因为．再如，（是整数），所以也是“完美数”． (1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”； (2)已知是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． (3)如果数都是“完美数”，试说明也是“完美数”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第14章《整式的乘法与因式分解》】 14.3 因式分解 （13个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：判断是否是因式分解 1 考点讲练2：已知因式分解的结果求 参数 2 考点讲练3：公因式 4 考点讲练4：提公因式法分解因式 5 考点讲练5：判断能否用公式法分解因式 6 考点讲练6：平方差公式分解因式 7 考点讲练7：完全平方公式分解因式 8 考点讲练8：综合运用公式法分解因式 10 考点讲练9：综合提公因式和公式法分解因式 12 考点讲练10：因式分解在有理数简算中的应用 13 考点讲练11：十字相乘法 14 考点讲练12：分组分解法 16 考点讲练13：因式分解的应用 17 中等题真题汇编练 19 培优题真题汇编练 25 考点讲练1：判断是否是因式分解 【精讲题】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了因式分解的判定，根据因式分解的定义“将几个多项式的和变为整式的积的形式”，由此即可求解． 【规范解答】解：A、结果不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、提取公因式得，是因式分解，符合题意； C、不是因式分解，不符合题意； D、结果不是积的形式，不符合题意； 故选：B ． 【举一反三练1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 【答案】① 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【规范解答】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【规范解答】解：A．，符合因式分解的定义，符合题意； B．，为多项式乘法，不符合题意； C．，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不符合题意； D．，等式右边存在不是整式的代数式，不符合题意． 故选A． 考点讲练2：已知因式分解的结果求 参数 【精讲题】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【答案】14 【思路点拨】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当时，，则当时，，据此求解即可． 【规范解答】解：当时，， ∵关于的多项式有一个因式为， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：14． 【举一反三练2】（22-23八年级下·四川成都·期中）关于的二次三项式因式分解的结果为，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查因式分解的定义和多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则，并熟练待定系数法是解题的关键．先计算，再利用因式分解的定义，利用待定系数法求解即可． 【规范解答】解：∵因式分解的结果为，且， ∴， ∴， 故答案为：． 考点讲练3：公因式 【精讲题】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【规范解答】解：多项式的公因式是， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）单项式与的公因式是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了公因式的确定，关键是正确把握公因式的确定方法． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【规范解答】解：12和9的最大公因数为3，取相同字母的最低指数次幂得到， ∴公因式为， 故答案为：， 【举一反三练2】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【规范解答】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 考点讲练4：提公因式法分解因式 【精讲题】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法因式分解是解题的关键，根据提取公因式法因式分解，即可求解． 【规范解答】解：， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握提公因式法是解题关键．利用提公因式法直接分解因式即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 考点讲练5：判断能否用公式法分解因式 【精讲题】（22-23七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【规范解答】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 【举一反三练1】（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列各多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了因式分解的判断，将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫将这个多项式分解因式，方法有提公因式法，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键 【规范解答】解：A. ，提公因式错误，故计算错误，不符合题意； B.等号左边是三项，而等号右边是两项，两边不相等，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. 根据完全平方公式分解，正确，符合题意， 故选：D 【举一反三练2】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 【规范解答】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 考点讲练6：平方差公式分解因式 【精讲题】（24-25八年级上·四川内江·开学考试）如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式的值是（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【规范解答】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数， 故选：B． 【举一反三练1】（22-23九年级上·福建漳州·自主招生）已知正整数m，n满足，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，设，，则，，再根据，可得，同为正偶数且为的因数，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【规范解答】解：设，， ∴，， ∴， ∴，同为正偶数且为的因数， ∴或或， ∴的最大值为， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（   ） A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平方差公式．利用平方差因式分解即可求解． 【规范解答】解：∵ ， ∴能被和整除， ∵，， ∵，， ∴能被65和63整除， ∴这两个数为：65和63． 故选：C． 考点讲练7：完全平方公式分解因式 【精讲题】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【规范解答】解：A、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； B、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； C、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； D、可以用完全平方式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）多项式①②③④在分解因式后，结果含有相同因式的是（    ）． A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了提公因式分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构是求解的关键． 根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可． 【规范解答】解：①，②，③，④， ∴①④含有相同因式． 故选：A． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知，则式子 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方及其逆运算，同底数幂乘法计算，先根据得到，进而得到，则，再根据进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点讲练8：综合运用公式法分解因式 【精讲题】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有5组解．其中错误说法的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解的含义． 将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③； 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴ ∴，，，是该四元方程的一组解； 故①正确， 设，，，，其中n是正整数， ∴ ， ∴， ∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解； 故②正确， ∵，，且c、d均为正整数， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∴时，或或， 同理时，或， 时，， ∴若，则该四元方程有6组解． 故③错误， 综上可知，错误的是③，共1个， 故选：B 【举一反三练1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数范围内因式分解，利用完全平方公式与平方差公式是解题的关键；先把前两项凑成完全平方式，再利用平方差公式分解，再对每一个因式继续利用平方差公式分解；把一个二次根式表示成一个实数的平方是解题的关键． 【规范解答】解： ． 【举一反三练2】（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【规范解答】解： 故答案为： 考点讲练9：综合提公因式和公式法分解因式 【精讲题】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）下列因式分解的结果中不含因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可判断A；提取公因式即可判断B；利用十字相乘法分解因式即可判断C；利用完全平方公式分解因式即可判断D． 【规范解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键；先提公因式，再根据平方差分解因式即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·期末）将多项式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】解：， 故选：C． 考点讲练10：因式分解在有理数简算中的应用 【精讲题】（2024·河南南阳·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方是解题的关键． 根据同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方对各选项进行判断作答即可． 【规范解答】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，正确，故符合要求； 故选：D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·广东清远·期末）计算∶ ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可． 【规范解答】解： ； 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级下·山东济南·期末）计算： ． 【答案】199 【思路点拨】本题考查了利用平方差公式因式分解，正确理解用平方差公式因式分解是解题的关键．用平方差公式因式分解化简计算即可． 【规范解答】． 故答案为：199． 考点讲练11：十字相乘法 【精讲题】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【规范解答】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、，不是因式分解，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列因式分解变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成为解题的关键． 根据因式分解的方法逐项判断即可． 【规范解答】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 故选：D． 【举一反三练2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知m，n为正整数，，且，则 ． 【答案】13 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的应用，把两边同时乘以3得到，再利用十字相乘法分解因式得到，根据，，可得，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数 ∴都是大于1的正整数， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：13． 考点讲练12：分组分解法 【精讲题】（24-25九年级上·重庆·开学考试）已知均为正整数，且满足下列说法： ①； ②是完全平方数； ③对于任意正整数，存在满足上述方程的一组正整数；其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了因式分解的应用，根据因式分解得到，进一步分析即可得到答案. 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵均为正整数， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵，均为正整数， ∴是完全平方数； 故②正确； 由①得，对于任意正整数，存在满足上述方程的一组正整数； 故③正确； 故选：C 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是分组分解因式，公式法分解因式，把原式化为，再进一步分解因式即可. 【规范解答】解： ； 故答案为： 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如果多项式能用分组分解法分解因式，则符合条件的，的一组整数值是 ． 【答案】，（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查的是分组分解因式，公式法分解因式，如果多项式能用分组分解法分解因式，则前三项为完全平方公式，再与后一项组成平方差公式即可． 【规范解答】解：多项式能用分组分解法分解因式， ∴多项式可以为：， 则符合条件的一组整数值是，等． 故答案为：， 考点讲练13：因式分解的应用 【精讲题】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知可以被在之间的两个整数整除，则这两个数是（   ） A．2、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9 【答案】D 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式分解因式是解题关键．根据平方差公式，将变形为，即可得到答案． 【规范解答】解：， ， ， ， 即可以被在7和9两个10以内的整数整除， 则这两个数分别为7、9， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24九年级下·上海·自主招生）有11个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有 个． 【答案】19或4 【思路点拨】本题主要考查因式分解的应用．根据题意，先写出的形式，再根据30能被整除，即可得出答案． 【规范解答】解：，能被整除， 能被整除， 或， 或， 答：有19个或4个男孩． 故答案为：19或4． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若，，是的三边长，则的结果（    ） A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，由三角形三边关系可得，，原式再因式分解化为，即可得解． 【规范解答】解：∵，，是的三边长， ∴，， ∴， 故选：A． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）多项式与多项式的公因式是在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先利用完全平方公式、平方差公式把两个多项式分解因式，然后找出公因式即可． 本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【规范解答】解：，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和整体代入求值.利用因式分解把代数式变形，再代入数值计算即可. 【规范解答】解：∵，， ∴ . 故选：B. 3．（23-24八年级下·全国·期末）下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题因式分解，掌握运用公式法分解因式是解决此题的关键． 根据完全平方公式逐项判定即可． 【规范解答】解：A、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； B、不能用完全平方公式因式分解，故此选项符合题意； C、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； D、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了因式分解的定义，因式分解的定义‌是将一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：A、符合因式分解的定义，故不符合题意； B、符合因式分解的定义，故不符合题意； C、符合因式分解的定义，故不符合题意； D、不符合因式分解的定义，故符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·北京·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可． 本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵不是因式分解， ∴A不合题意； ∵不是因式分解， ∴B不合题意； ∵不是因式分解， ∴C不合题意； ∵是因式分解， ∴D符合题意； 故选D． 6．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）若，则多项式的值为 ． 【答案】18 【思路点拨】此题主要考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，非负数的性质，正确得出，的值是解题关键． 直接利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案． 【规范解答】解：， ， ，， 解得：，， ． 故答案为：18． 7．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）化简： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用提取公因式法进行化简，本题属于基础题型． 把当作一个整体，提取公因式计算即可求出答案． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东烟台·期末）因式分解： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解因式即可． 【规范解答】解： 故答案为： 9．（2024·山西·模拟预测）给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可． 【规范解答】， 这个单项式为； ， 这个单项式为． 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）已知，，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算．只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可． 【规范解答】解：，， ． 故答案为：6． 11．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【思路点拨】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值化简以及提公因式和公式法进行分解因式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别根据算术平方根，立方根以及绝对值化简，再运算加减，即可作答． （2）先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可作答． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 12．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）因式分解 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了因式分解， （1）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 14．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）多项式有最值是（   ） A．小，4 B．大，15 C．大，25 D．小，16 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式把原式变形为，然后根据偶次幂的非负性求解即可． 【规范解答】解∶ ， ∵，， ∴当且时， 多项式有最小值为16， 故选：D． 16．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若多项式 有一个因式是，则这个多项式中的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 根据特点先进行整式的分解，然后对比可得的值； 【规范解答】解：多项式有一个因式是， ∴另一个因式的的系数为，另一数为， ∴另一个因式为， ∴ ∴ ∴， 故选：B 17．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，其中为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（   ） 嘉嘉：由已知条件可知． 淇淇：由已知条件可知． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是整式的值的大小比较，完全平方公式的应用，非负数的性质，先由，，的符号不确定，再进一步解答即可． 【规范解答】解：∵，，为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴，故嘉嘉判断错误； ∵，，为正整数， ∴，， ∵， ∴，故淇淇判断正确， 故选：B 18．（22-23八年级上·四川眉山·期中）对于任意正整数n，均能被（　　） A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除 【答案】C 【思路点拨】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，分解因式及其应用，先逆用同底数幂相乘法则把写成的形式，然后提取公因式，将式子变形后可得答案． 【规范解答】解： ， ∵n为正整数，则， ∴一定能被30整除， 故选：C． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【规范解答】解：A.是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B.右边结果不是积的形式，不符合题意； C.是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D.属于因式分解，符合题意． 故选：D． 20．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”，如，，因此24和56都是“幸福数”，下列4个结论： ①最小的“幸福数”是8； ②521是“幸福数”； ③“幸福数”一定是4的偶数倍； ④20以内的所有“幸福数”之和是24． 请填写正确结论的序号 ． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题主要考查了分解因式及其应用，先两个连续的奇数为和，根据“幸福数”的定义，证明“幸福数”是8的倍数，据此对各个结论进行计算判断即可． 【规范解答】解：设两个连续的奇数为和， ∵ ， ∴“幸福数”是8的倍数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为1， ∴最小的“幸福数”是8，故①正确； ∵， ∴521不是“幸福数”，故②错误； ∵“幸福数”是8的倍数， ∴“幸福数”是4的偶数倍，故③正确； ∵当时，“幸福数”是8， 当时，“幸福数”是16， 当时，“幸福数”是24， ∴20以内的所有“幸福数”之和是：，故④正确， ∴正确结论的序号为①③④， 故答案为：①③④． 21．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知a为无理数，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了无理数的含义，解题关键是因式分解．根据a为无理数，结合因式分解可得：，再进一步即可解题． 【规范解答】解：∵a为无理数，且， ∴， ∴， ∵是无理数，不为0， ∴0， ∴． 故答案为：． 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）若，，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了代数式求值．解题的关键在于用因式分解表示式子的形式． 由题意知，，将已知条件代入求解即可． 【规范解答】解： ， ，， 故答案为： 23．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）因式分解：① ；② ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了整式的因式分解等知识点，①利用完全平方公式进行分解即可；②先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可；熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． 【规范解答】① ， 故答案为： ； ② ； 故答案为：． 24．（23-24八年级上·云南·期中）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再去括号合并同类项后提取公因式2进行分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知a是的小数部分，b是的小数部分，c是的整数部分，求代数式的值 【答案】 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小，因式分解以及代数式求值，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．首先估算出的范围，求出、的值，再根据的估算值得出的值，然后代入计算即可． 【规范解答】， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 27．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的____倍； (2)设偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【答案】(1)19 (2)见解析 (3)余数为5，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）根据“比大5的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可； （3）设这个数为，比大5的数为，再利用平方差公式计算即可． 【规范解答】（1）解：， 即的结果是3的倍， 故答案为：； （2）解：偶数为，比大5的数为， ∴， ∵为整数， ∴能被5整除， ∴比大5的数与的平方差能被5整除； （3）解：余数为，理由如下： 设这个数为，比大5的数为， ∴， ∵， ∴被10整除的余数是， 即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是． 28．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，因为．再如，（是整数），所以也是“完美数”． (1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”； (2)已知是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． (3)如果数都是“完美数”，试说明也是“完美数”． 【答案】(1)8，是 (2)时，为“完美数”，理由见解析 (3)证明见解析 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用 （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， （3）设，，再证明即可． 【规范解答】（1）解：， 是完美数， ， 是完美数； （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）证明：设，，，，，为整数）， ， ∵是整数， ∴都是整数， 是完美数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$