13.3 等腰三角形（19个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第13章《轴对称》】 13.3 等腰三角形 （19个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：等边对等角 2 考点讲练2：根据等边对等角证明 3 考点讲练3：三线合一 4 考点讲练4：根据三线合一证明 4 考点讲练5：格点图中画等腰三角形 6 考点讲练6：找出图中的等腰三角形 7 考点讲练7：根据等角对等边证明等腰三角形 8 考点讲练8：根据等角对等边证明边相等 9 考点讲练9：根据等角对等边求边长 10 考点讲练10：直线上与己知两点组成等腰三角形的点 11 考点讲练11：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 11 考点讲练12：作等腰三角形（尺规作图） 12 考点讲练13：等腰三角形的性质和判定 13 考点讲练14：等腰三角形的定义 14 考点讲练15：等边三角形的性质 15 考点讲练16：等边三角形的判定 16 考点讲练17：等边三角形的判定和性质 17 考点讲练18：含30度角的直角三角形 18 考点讲练19：最短路径问题 19 中等题真题汇编练 20 培优题真题汇编练 23 考点讲练1：等边对等角 【精讲题】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ． 【举一反三练1】（23-24八年级上·宁夏固原·期中）聪明如你：请你探究：如图，直线a，b相交于点O，，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，求的度数． 【举一反三练2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，点D在边上，． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，求的度数． 考点讲练2：根据等边对等角证明 【精讲题】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在与中，点F在上，交于点D．，，，，则（　　）    A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知在四边形中，，．求证：是的平分线． 考点讲练3：三线合一 【精讲题】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 【举一反三练1】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 考点讲练4：根据三线合一证明 【精讲题】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）【综合与实践】 数学课上，王老师开展了一节以角平分线为主题的数学活动． 【作图】（1）请你根据所学知识，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法） （2）请你说说，角平分线的画法是根据全等三角形的___________判定． 【应用】王老师告诉同学们，利用角平分线作图的原理，我国古代工匠设计出如图的平分角的仪器，其中，利用它，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，，分别在上，沿画一条射线，交于从是的平分线．此时所得的四边形被称为“筝形” 【解惑】（3）快下课时，王老师让同学们利用课余时间连接筝形的两条对角线，探究这两条对角线的位置关系，小明认为它们互相垂直，小方认为没有角的度数无法判定，应该是相交，请你运用三角形的知识，判断谁的说法正确并说明理由 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点C在线段上，，，，平分．求证：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 考点讲练5：格点图中画等腰三角形 【精讲题】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线m对称； (2)在直线m上找一点D，使得的周长最小；（保留作图痕迹） (3)延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有________个． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得是以为底的等腰三角形，则点C的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练6：找出图中的等腰三角形 【精讲题】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三练1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【举一反三练2】（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    考点讲练7：根据等角对等边证明等腰三角形 【精讲题】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知 在中，平分， D为中点．求证：是等腰三角形． 【举一反三练1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，、、的对边分别为、、，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（   ） A． B． C．， D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，、分别平分的内角，外角，连接．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练8：根据等角对等边证明边相等 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（     ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． 考点讲练9：根据等角对等边求边长 【精讲题】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　）    A．4 B．6 C．8 D．10 【举一反三练1】（15-16八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点F． 过F点作，分别交、于D、E．若，则的周长是 ． 考点讲练10：直线上与己知两点组成等腰三角形的点 【精讲题】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【举一反三练1】（22-23七年级下·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三练2】（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 考点讲练11：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【精讲题】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三练2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 考点讲练12：作等腰三角形（尺规作图） 【精讲题】（2024八年级上·浙江·专题练习）在边长为和的长方形中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出3种满足上述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·单元测试）在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 考点讲练13：等腰三角形的性质和判定 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①； ②若垂直平分，则； ③若垂直平分，则； ④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，为的边上一点，过点作交的平分线于点，作交的延长线于点，若，现有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 【举一反三练2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练14：等腰三角形的定义 【精讲题】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是（   ） A． B． C．或 D．以上结论都不对 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 考点讲练15：等边三角形的性质 【精讲题】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在等边中，，点在线段上，过作于点，延长到点，，若，则图中阴影部分面积之和为 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知是等边三角形，点分别为边上的动点（点与线段，的端点不重合），运动过程中始终保持，连接相交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当点分别在边上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小； (3)如图②，当点D，E分别在的延长线上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 考点讲练16：等边三角形的判定 【精讲题】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 【举一反三练2】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形． 考点讲练17：等边三角形的判定和性质 【精讲题】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【举一反三练1】（23-24八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知， 平分，为上任意一点，，交于D，于E．若，求的长． 【举一反三练2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，等边中，平分，交于点D，过D作交于点E，连接．求证：． 考点讲练18：含30度角的直角三角形 【精讲题】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，若，则 ． 考点讲练19：最短路径问题 【精讲题】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）在图（1）中用尺规作图作一点，使至，的距离相等，且到，的距离相等； （2）如图（2），在上找一点，使最小．（保留作图痕迹） 【举一反三练2】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． (1)燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． (2)若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）等腰三角形的两边分别为5和8，那么它的周长是（   ） A．13 B．18 C．21 D．18或21 2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则等腰三角形周长的值可能是（    ） A．10 B．15 C．12 D．12或15 3．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 5．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为 ． 7．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    8．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）是等腰三角形，如果它的周长为，一条边长，那么腰长是 9．（2024八年级上·全国·专题练习）等腰三角形的两边长分别是2和4，则这个三角形的周长是 ． 10．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使C点落在，且与交于E点． (1)试判断重叠部分三角形的形状，并证明你的结论； (2)若平分，，求的长． 12．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别为，．设第三条边长为． (1)求x的取值范围． (2)若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 13．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处，从、望灯塔，测得， ，求海岛与灯塔的距离． 14．（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．2 D．10 16．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论；①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）如图，在中，，且点D为上一点，，则为（    ）    A． B． C． D． 18．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）如图，是等边三角形，，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（   ）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 20．（23-24八年级上·北京海淀·期中）阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图，在四边形中，对角线、相交于点O，，，，求四边形的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线的垂线，垂足分别为点E、F，设为m，通过计算与的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：的面积为 （用含m的式子表示）．则四边形的面积为 ．    21．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④，其中正确的结论是 ． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，过的顶点B的直线分割成两个等腰三角形，则的度数为 ． 23．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，平分交于点，且，若，则的度数为 ． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若为等边三角形，且，则的度数= ． 25．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在 中，平分，，于点，于点， (1)求证：； (2)求证：． 26．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，，为的三边长． (1)化简： ； (2)若，，为偶数，判断的形状． 27．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长； (2)若， 　　°，若， 　　．° 28．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第13章《轴对称》】 13.3 等腰三角形 （19个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：等边对等角 2 考点讲练2：根据等边对等角证明 4 考点讲练3：三线合一 7 考点讲练4：根据三线合一证明 10 考点讲练5：格点图中画等腰三角形 14 考点讲练6：找出图中的等腰三角形 17 考点讲练7：根据等角对等边证明等腰三角形 19 考点讲练8：根据等角对等边证明边相等 22 考点讲练9：根据等角对等边求边长 25 考点讲练10：直线上与己知两点组成等腰三角形的点 27 考点讲练11：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 30 考点讲练12：作等腰三角形（尺规作图） 32 考点讲练13：等腰三角形的性质和判定 35 考点讲练14：等腰三角形的定义 41 考点讲练15：等边三角形的性质 43 考点讲练16：等边三角形的判定 47 考点讲练17：等边三角形的判定和性质 50 考点讲练18：含30度角的直角三角形 53 考点讲练19：最短路径问题 55 中等题真题汇编练 59 培优题真题汇编练 68 考点讲练1：等边对等角 【精讲题】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出． 【规范解答】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， 点为的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·宁夏固原·期中）聪明如你：请你探究：如图，直线a，b相交于点O，，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，求的度数． 【答案】或或或 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义和性质，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据为等腰三角形，分四种情况讨论：①以为顶角顶点时的等腰，②以A为顶角顶点时的等腰，③以O为顶角顶点时的等腰，④以O为顶角顶点时的等腰，分别确定符合的点B，即可得解． 【规范解答】解：如图，要使为等腰三角形分四种情况讨论： ①以为顶角顶点时的等腰，当时， ∴； ②以A为顶角顶点时的等腰，当时， ∴， ∴； ③以O为顶角顶点时的等腰，当时， ∴； ④以O为顶角顶点时的等腰，当时， ∴； 综上所述，的度数是或或或． 【举一反三练2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，点D在边上，． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）作线段的垂直平分线，交于点即可； （2）由，且，，可得，再由垂直平分，可得，从而得出，再求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，且，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点讲练2：根据等边对等角证明 【精讲题】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在与中，点F在上，交于点D．，，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．证明，得到，等边对等角求出的度数即可．解题的关键是证明． 【规范解答】解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选 A ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，，从而可求，得出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：4． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知在四边形中，，．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等边对等角等知识，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键． 延长至点，使得，先证明和全等，利用全等的性质和等边对等角得到即可． 【规范解答】证明：延长至点，使得，连接，   ，， 在和中， ， ， ， ， 是的平分线． 考点讲练3：三线合一 【精讲题】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 【答案】C 【思路点拨】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形底边上三线合一及三角形全等的判定，根据垂直平分线得到，，，根据可证，根据三线合一可得平分，即可得出结论． 【规范解答】解∶∵垂直平分， ∴，，， ∴平分， ∵，，， ∴， 由条件无法得, ∴选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 【举一反三练1】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，延长交于点，延长交于点，由等腰三角形的性质得，，证明是等边三角形，则，，再根据角所对直角边是斜边的一半得即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵在中，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点讲练4：根据三线合一证明 【精讲题】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）【综合与实践】 数学课上，王老师开展了一节以角平分线为主题的数学活动． 【作图】（1）请你根据所学知识，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法） （2）请你说说，角平分线的画法是根据全等三角形的___________判定． 【应用】王老师告诉同学们，利用角平分线作图的原理，我国古代工匠设计出如图的平分角的仪器，其中，利用它，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，，分别在上，沿画一条射线，交于从是的平分线．此时所得的四边形被称为“筝形” 【解惑】（3）快下课时，王老师让同学们利用课余时间连接筝形的两条对角线，探究这两条对角线的位置关系，小明认为它们互相垂直，小方认为没有角的度数无法判定，应该是相交，请你运用三角形的知识，判断谁的说法正确并说明理由 【答案】（1）见解析；（2）；（3）小明说法正确，理由见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等腰三角形的性质； （1）根据题意作出角平分线即可求解； （2）根据证明，即可求解； （3）证明得出，进而根据等腰三角形的三线合一的性质，即可得证． 【规范解答】（1）如图所示，射线即为所求； （2）由作图步骤可知：，， 在和中， ， （）， ， 为的平分线． 故答案为：三边分别相等的两个三角形全等（或“边边边”“”）； （3）小明正确，理由如下： ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点C在线段上，，，，平分．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三线合一定理，根据平行线性质得出，根据证，推出，再根据等腰三角形的三线合一定理证明即可． 【规范解答】证明；∵， ． 在和中 ， ， 平分， ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质得，再证，然后利用证明，得，由等腰三角形的性质得，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，，则，再由直角三角形的性质得的度数． 【规范解答】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点讲练5：格点图中画等腰三角形 【精讲题】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了网格中画等腰三角形，分为腰和为底边两种情况，分别求出符合题意的点C的个数即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，当为腰时，有符合题意， 当为底边时，有符合题意， ∴点C的个数为3个， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线m对称； (2)在直线m上找一点D，使得的周长最小；（保留作图痕迹） (3)延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【思路点拨】本题考查了轴对称作图，最短路径问题等腰三角形的性质，解答（3）关键是根据题意构造底边的垂直平分线． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）在（1）的基础上，连交，直线m于点D，点D即为所求； （3）先做出的垂直平分线，再找到垂直平分线进过的格点即可． 【规范解答】（1）解：如图，由题意，作，使它与关于直线m对称， （2）解：由题意，连，交直线m于点D，连，即为所求； 理由：由题意，所求中，边长为定值，只要最小即可，由作图可知，三点共线，，此时，最小，则点D即为所求． （3）解：如图，取点，画直线，理由：若是以为底边的等腰三角形， 则格点F在底边的垂直平分线上， 如图，取点，则可知，，，且, ∴， ∴，即点C是线段的中点， 同理，， ∴， ∴， ∴直线垂直平分线段， 将分别向上、向左平移1个，3个单位或者向下，向右平移1个，3个单位，分别得到直线上的格点， 则点即为所求． 故答案为：3． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得是以为底的等腰三角形，则点C的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义和中垂线的性质是解题的关键．画出的垂直平分线即可确定点C的位置． 【规范解答】解：∵是以为底的等腰三角形， ∴点C在的中垂线上， 如图，点C的位置有2个，    故选：B． 考点讲练6：找出图中的等腰三角形 【精讲题】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【规范解答】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 【举一反三练1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【规范解答】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 【举一反三练2】（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【思路点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【规范解答】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 考点讲练7：根据等角对等边证明等腰三角形 【精讲题】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知 在中，平分， D为中点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边证明三角形是等腰三角形，过点作，，得到，根据中点得到，证明，进而得到，即可得证． 【规范解答】证明：过点作，，如图：则， ∵平分， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【举一反三练1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，、、的对边分别为、、，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【规范解答】解：A、因为，，所以，则，所以是等腰三角形，故本选项不符合题意； B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形，故本选项不符合题意； C、因为 ，所以，则，则，所以是等腰三角形，故本选项不符合题意； 因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，、分别平分的内角，外角，连接．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出即可得到，证明①正确；根据平行线的性质得到，根据角平分线定义和即可得到，证明②正确；根据角平分线定义，由②知，结合平角定义即可证明③正确；根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明，，即可证明④正确． 【规范解答】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，即，故②正确； ③∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故④正确， 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 考点讲练8：根据等角对等边证明边相等 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，利用三角形外角性质得到，利用等腰三角形的判定得到，然后根据线段垂直平分线的作法对各选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】∵，， ∴， ∴， ∴点是线段中垂线与的交点， ∴选项符合题意， 故选：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 【答案】15 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，答案可得． 【规范解答】解：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得：． ∴的周长为： ， 故答案为：15． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，进而可得，即可得结论． 【规范解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分，理由如下：如图，   ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 考点讲练9：根据等角对等边求边长 【精讲题】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等边对等角，先由平行线的定义得，再由，得出进行角的等量代换以及等角对等边，则，，即可作答． 【规范解答】解：∵分别平分，    ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，， ∴， 故选：D． 【举一反三练1】（15-16八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【规范解答】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点F． 过F点作，分别交、于D、E．若，则的周长是 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了等角对等边，平行线的性质及角平分线的定义．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，得，，根据的周长，即可解题． 【规范解答】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可证， 的周长． 故答案为：5． 考点讲练10：直线上与己知两点组成等腰三角形的点 【精讲题】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【思路点拨】本题考查等腰三角形的存在形问题，根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【规范解答】解：以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 作的中垂线，得到为等腰三角形，即，以为边的等腰三角形有4个， 同理：以为边的等腰三角形也有4个； 故总共有8个等腰三角形； 故选B． 【举一反三练1】（22-23七年级下·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点是解题的关键． 分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，则其与轴、轴的交点（、除外）即为所求． 【规范解答】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、，    故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【规范解答】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 考点讲练11：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【精讲题】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关键．有三种情况：当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，作的中垂线，看中垂线与轴的交点个数，从而得到答案． 【规范解答】解：如图，有三种情况 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有1个； 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有2个； 当时，作的中垂线，中垂线与轴的交点有1个． 故答案为：4． 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【规范解答】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【思路点拨】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【规范解答】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 考点讲练12：作等腰三角形（尺规作图） 【精讲题】（2024八年级上·浙江·专题练习）在边长为和的长方形中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出3种满足上述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的概念和尺规作图是解题关键．分别作、的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得等腰三角形，或以点为圆心，长为半径画弧交于点，也可得等腰三角形，最后根据三角形的面积公式可得答案． 【规范解答】解：如图1，作边的垂直平分线，交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为； 如图2，作边的垂直平分线，交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为； 如图3，以点为圆心，长为半径画弧交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【答案】见解析 【思路点拨】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键． 【规范解答】解：根据基本作图的步骤，作图如下： （1）作射线； （2）在射线上截取； （3）作的中垂线，交于点D； （4）截取， 则等腰就是所求的三角形． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·单元测试）在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【答案】①③④能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形，②不能，图见解析． 【思路点拨】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形，此题的4个选项中只有图有点难度． 【规范解答】解：如图所示： ①作的角平分线，则分为两个小等腰三角形； ②不能过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形； ③过点作的垂线，则分为两个小等腰三角形； ④以为顶点，为一边在三角形内部作一个度角，则分为两个小等腰三角形． 考点讲练13：等腰三角形的性质和判定 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①； ②若垂直平分，则； ③若垂直平分，则； ④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【思路点拨】对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误；对于② ，过点作于点，由，知，显然，由得到，故，显然，故，故②正确；对于③，先证明，则，故，即，故③正确；对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接，先证明，则，再证明，则，继而，故④正确． 【规范解答】解：对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误； 对于② ，过点作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵等腰，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵等腰， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； 对于③，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②③④． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，为的边上一点，过点作交的平分线于点，作交的延长线于点，若，现有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④⑤ 【思路点拨】根据平行线的性质可得，可判断④；结合角平分线的定义可判断①；再由三角形外角性质可判断②；由平行线的判定与性质可判断⑤． 【规范解答】解：，， ， 平分， ，故①正确； ， 是的一个外角，且， ，则，故②正确； 当时，是等腰直角三角形， 当时，，但题中并没有确定的具体值，故③不一定正确； ， 是等腰三角形， ， ，， ，故③正确； 综上所述，正确的说法有 故答案为：①②④⑤． 【举一反三练2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相全等三角形的判定是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质证明，即可判断结论①；作于点于点，设交于点证明，即判断结论②；利用三角面积公式证明，由角平分线的判定定理即可判断结论④；题目中条件无法证明结论③正确． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； 如图，作于点，于点，设交于点， 在和中， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴，故④正确； 若③成立，则， ∵， ∴，推出， 由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故③错误； 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个， 故选：C． 考点讲练14：等腰三角形的定义 【精讲题】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质等知识．根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的定义即可解决问题． 【规范解答】解：∵， 又∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形的两边， 当为腰时，，不满足三角形三边的关系，故舍去， ∴等腰三角形的三边分别为：，，． ∴等腰三角形的周长为， 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是（   ） A． B． C．或 D．以上结论都不对 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义和性质，根据题意，分类讨论：当腰长为时，根据三角形三边关系可知不能构成等腰三角形，不符合题意；当腰长为时，能构成等腰三角形，符合题意；由此即可求解． 【规范解答】解：等腰三角形的两边分别长和， 当腰长为时， ∵， ∴不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去； 当腰长为时，即边长为， ∴周长为， 故选：B ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．解题的关键是理解：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，两腰夹角叫做等腰三角形的顶角． 【规范解答】解：（1）当顶角是锐角时，如图， ∵是的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是锐角时，顶角的度数是；    （2）当顶角是钝角时，如图， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是钝角时，顶角的度数是， 综上所述，等腰三角形的顶角为或． 故选：C．    考点讲练15：等边三角形的性质 【精讲题】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在等边中，，点在线段上，过作于点，延长到点，，若，则图中阴影部分面积之和为 ． 【答案】7 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键： 先过点D作交于点H，先根据等边三角形的性质及三线合一得到，证明，推得，求出的长，再根据面积公式求出阴影部分面积． 【规范解答】解：过点D作交于点H， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴是等边的中线， ∴， ∵和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴ 故答案为：7． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知是等边三角形，点分别为边上的动点（点与线段，的端点不重合），运动过程中始终保持，连接相交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当点分别在边上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小； (3)如图②，当点D，E分别在的延长线上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小． 【答案】(1)见解析； (2)的大小不变， (3)的大小不变， 【思路点拨】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （3）证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：的大小不变， 理由如下：∵， ∴， ∴； （3）解：的大小不变， 理由如下：在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【思路点拨】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论； （2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为 考点讲练16：等边三角形的判定 【精讲题】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【思路点拨】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，等边三角形的判定；根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出、，的关系，即可得解． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得，， 所以，， 所以，的形状是等边三角形． 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【举一反三练2】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【思路点拨】此题主要考查了翻折变换的性质,平行线的性质和等边三角形的判定，掌握翻折变换的性质是解题关键．利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出即可得出答案； 【规范解答】证明：，， ， 将沿折叠，点的对应点为点， ， ， ， 是等边三角形． 考点讲练17：等边三角形的判定和性质 【精讲题】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识．利用等边三角形的性质得到，，，即可证明，即可判断①；证明，则，即可判断②；过点B作于M，于根据全等三角形的性质和三角形面积得到，即可判断③；根据，，即可证明④． 【规范解答】解：，都是等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确， ， 在和中， ， ∴， ∴， 故②错误； 过点B作于M，于 ， ∴， ∵，， ∴， ， 平分，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：A 【举一反三练1】（23-24八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知， 平分，为上任意一点，，交于D，于E．若，求的长． 【答案】 【思路点拨】过作于，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得的长，最后根据角平分线的性质即可求得的长． 【规范解答】解：过作于， ，平分， ， ∵， ， ， ， ，， ， 在中，， 为角平分线，，， ， ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，等边中，平分，交于点D，过D作交于点E，连接．求证：． 【答案】见详解 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，平行线的性质，由等边三角形的性质和三线合一得出，，，由平行线的性质得出，，进而可得出，即为等边三角形，由等边三角形的性质可得出，等量代换可得出，由等边对等角可得出，再由平行线的性质可得出，进一步可得出为的角平分线，由三线合一可得出． 【规范解答】证明：∵为等边三角形，且平分， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线，即为等边三角形的角平分线， ∴． 考点讲练18：含30度角的直角三角形 【精讲题】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了含度角的直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴米， 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，熟记相关结论即可求解； 【规范解答】解：∵是边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，若，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查作图-基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形、角平分线的性质是解答本题的关键． 过点作于点，由作图可知，为的平分线，即可得，在中，由含30度角的直角三角形可得，即可得出答案． 【规范解答】解：过点作于点， 由作图可知，为的平分线， ， ， 在中，， ， ∵， ∴， 故答案为：3． 考点讲练19：最短路径问题 【精讲题】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ． 【答案】/12厘米 【思路点拨】如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、，根据两点之间线段最短，周长的最小值等于的长，根据轴对称的性质可得，，，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得． 【规范解答】解：如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、， ∴，，，，， ∴， 当点与点重合、点与点重合时，即、、、四点共线取“”，此时周长取得最小值，最小值为的长， ∵，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）在图（1）中用尺规作图作一点，使至，的距离相等，且到，的距离相等； （2）如图（2），在上找一点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】本题考查尺规作图、作最短路径，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的性质和作图方法是解答本题的关键． （1）连接，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线的交点即为所求的点； （2）先作点关于的对称点，再连接，与的交点，即为点． 【规范解答】解：（1）如图，点即为所求， ； （2）如图，点即为所求， ． 【举一反三练2】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． (1)燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． (2)若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，作图−应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，则点P即为所求，即可得出答案． （2）设交直线l于点E，过点B作直线l的垂线，交直线l于点F，过点作于点C，过点A作于点D，则四边形为矩形，四边形为矩形，根据勾股定理求出的长，即可得的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P， 则点P即为所求． 沿线段，铺设管道，管道总长度最短． （2）解：设交直线l于点E，过点B作直线l的垂线，交直线l于点F，过点作于点C，过点A作于点D， 四边形为矩形，四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 所铺设管道的最短长度为． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）等腰三角形的两边分别为5和8，那么它的周长是（   ） A．13 B．18 C．21 D．18或21 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关的应用，分腰长为5和8两种情况讨论，再利用三角形三边关系进行验证，再求其周长． 【规范解答】解：当腰长为5时，三角形的三边分别为5、5、8，满足三角形的三边关系，此时其周长为； 当腰长为8时，三角形的三边分别为8、8、5，满足三角形的三边关系，此时其周长为； 综上可知该三角形的周长为18或21， 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则等腰三角形周长的值可能是（    ） A．10 B．15 C．12 D．12或15 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，构成三角形的定义，分腰长为3和6两种情况，确定出等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【规范解答】解：当腰长为3时，则等腰三角形的三边长为3，3，6， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，则等腰三角形的三边长为3，6，6， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：B． 3．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【规范解答】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 【答案】B 【思路点拨】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为4和腰长为8两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：当腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，三角形的周长为：； 故选B． 5．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【思路点拨】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【规范解答】解：若是顶角的外角，则顶角； 若是底角的外角，则底角， 那么顶角． 故它的顶角是或． 故选：C． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为 ． 【答案】29 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 分等腰三角形的腰长为，等腰三角形的腰长为，两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 【规范解答】解：当等腰三角形的腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为， ， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为， ， ∴此时不能构成三角形； 综上所述，该等腰三角形的周长为， 故答案为：29． 7．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】11 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短距离的计算，根据题意，连接，由三角形的面积可得，连接，当的值最小时，的周长最小，当点三点共线时，的值最小，最小值为，即，由此即可求解． 【规范解答】解：连接，    ∵是等腰三角形，点为边的中点， ∴，， ∵底边长为，面积是， ∴， 解得，， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当的值最小时，的周长最小， 在中，， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为，即， ∴的周长为， 故答案为：11 ． 8．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）是等腰三角形，如果它的周长为，一条边长，那么腰长是 【答案】/7厘米 【思路点拨】本题考查等腰三角形的定义，分长为的边为底和长为的边为腰两种情况分别计算即可． 【规范解答】解：当长为的边为底时，其它两边都为，三边长是：，，，腰长是； 当长为的边为腰时，其它两边为和， ∵， ∴不能构成三角形， ∴腰长是， 故答案为：． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）等腰三角形的两边长分别是2和4，则这个三角形的周长是 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，恰当分类并判定能否构成三角形是解题的关键．分两种情况：腰长为2或腰长为4，先判定能否构成三角形，再求周长． 【规范解答】解：分两种情况： ①腰长为2，底边长为4时，∵，∴不能构成三角形； ②腰长为4，底边长为2时，∵，∴能构成三角形，这个三角形的周长为， 故答案为：10． 10．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【规范解答】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使C点落在，且与交于E点． (1)试判断重叠部分三角形的形状，并证明你的结论； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析； (2)6． 【思路点拨】（1）由平行线的性质和折叠的性质推出，得到，则是等腰三角形； （2）由角平分线的定义得到，则可推出，再由含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【规范解答】（1）解：是等腰三角形，证明如下： ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 12．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别为，．设第三条边长为． (1)求x的取值范围． (2)若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． （1）直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围； （2）根据三角形是等腰三角形，确定第三边是，进而求出三角形的周长． 【规范解答】（1）解：根据三角形三边关系，得，即； （2）解：因为三角形是等腰三角形，且， 所以，第三边只能是， 所以，周长为 13．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处，从、望灯塔，测得， ，求海岛与灯塔的距离． 【答案】50海里 【思路点拨】本题主要考查了等角对等边，三角形外角的性质，先根据路程等于度数乘以时间得到海里，再由三角形外角的性质推出，则海里． 【规范解答】解：∵一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处， ∴海里， ∵， ， ∴， ∴， ∴海里， ∴海岛与灯塔的距离为50海里． 14．（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【规范解答】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．2 D．10 【答案】B 【思路点拨】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【规范解答】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 16．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论；①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由余角的性质可得，故①正确；由“”可证，可得，由“”可证，可得，故②正确；由角的数量关系可得，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，故④错误，即可求解． 【规范解答】解：∵， ， ， ，故①正确； 如图，过点作于，   ， ， ， ， 又， ， ， 点F是的中点，故②正确； ， 故③正确； ， ， ， ， ， ， ，故④错误； 故正确的有①②③三个， 故选：C． 17．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）如图，在中，，且点D为上一点，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查等腰三角形．解题的关键是运用等腰三角形的性质得出关系． 求出的关系，利用三角形的内角和是，求即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 18．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）如图，是等边三角形，，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的周长，由等边三角形和平行线的性质可得为等边三角形，进而求出即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴， ∴的周长为， 故选：． 19．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（   ）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【规范解答】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 20．（23-24八年级上·北京海淀·期中）阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图，在四边形中，对角线、相交于点O，，，，求四边形的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线的垂线，垂足分别为点E、F，设为m，通过计算与的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：的面积为 （用含m的式子表示）．则四边形的面积为 ．    【答案】 6 【思路点拨】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积，首先得出的长，再利用三角形的面积公式求出即可；根据直角三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式可得，同理再表示，然后再表示的面积，再求两个三角形的面积和可得答案． 【规范解答】解： 由题意可知， ，， ，， ， 同理，， ， ； 故答案为：，6． 21．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【思路点拨】求出，，，可得，①正确；证明，根据三角形内角和定理求出，即可证明是正三角形，故②正确；延长到T，使得，证明，可得，再由线段之间的关系可得，③正确；推出四边形的面积是定值，可得④错误． 【规范解答】解：如图，设交于点J． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是正三角形，故②正确； 延长到T，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ， ，且为定值， 是变化的， 是错误（与上面定值矛盾），故④错误； 综上所述：正确的是①②③， 故答案为：①②③． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，过的顶点B的直线分割成两个等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或， 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，分三种情况：当为等腰的顶角，时，当为等腰的底角，时，当为等腰的底角，时，分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：设过点且将分成两个等腰三角形的直线交于，分三种情况讨论： 当为等腰的顶角，,时，如图， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当为等腰的底角，时，如图， ， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当为等腰的底角，时，如图 则， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 23．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，平分交于点，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，在上截取一点，使得，连接，证明得出，从而求出，再证明，得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【规范解答】解：在上截取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若为等边三角形，且，则的度数= ． 【答案】/ 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质等知识．利用等边三角形的性质得到，又由已知即可证明，则，利用三角形外角的性质和等量代换即可求出答案． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 25．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在 中，平分，，于点，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【思路点拨】此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定以及等腰三角形的性质， （1）首先根据角平分线的性质可得，又有，可证，即可得证． （2）根据等腰三角形三线合一即可得出结论 【规范解答】（1）解：平分，，， ，， 是的中点， 在和中 ， ， （2）由（1）得 ∴ ∴三角形为等腰三角形 平分， ∴ 26．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，，为的三边长． (1)化简： ； (2)若，，为偶数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【思路点拨】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（1）根据三角形的三边关系得到，，根据绝对值的性质计算即可； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：．又因为为偶数，所以的值为6． 【规范解答】（1）解：，，为的三边长， ，，， ，，， ； （2）三条线段、、可组成三角形，且，， ， 又为偶数， 的值为6． 所以三角形的三边长为6，6，2， 所以是等腰三角形． 27．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长； (2)若， 　　°，若， 　　．° 【答案】(1)6cm (2)70， 【思路点拨】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，然后利用等线段代换求解； （2）先利用等腰三角形的性质得到，，则利用三角形内角和定理和等量代换得到，所以，接着根据四边形内角和得到，则可证明，然后把或分别代入得到对应的的度数． 【规范解答】（1）∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∴， 当时，； 当时，． 故答案为：70，． 28．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质， （1）根据题意可证是等腰直角三角形，则，，，再根据，，即可求证； （2）根据（1）的证明可得，是的垂直平分线，所以，由此即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵点为的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下， 如图所示，连接，    由（1）可知，，是等腰直角三角形，， ∴，平分，点是的中点，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$