13.1 轴对称（13个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第13章《轴对称》】 13.1 轴对称 （13个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：轴对称图形的识别 1 考点讲练2：成轴对称的两个图形的识别 2 考点讲练3：根据成轴对称图形的特征进行判断 2 考点讲练4：根据成轴对称图形的特征进行求解 3 考点讲练5：台球桌面上的轴对称问题 4 考点讲练6：轴对称中的光线反射问题 5 考点讲练7：折叠问题 6 考点讲练8：画对称轴 7 考点讲练9：求对称轴条数 7 考点讲练10：线段垂直平分线的性质 8 考点讲练11：线段垂直平分线的判定 8 考点讲练12：作已知线段的垂直平分线 9 考点讲练13：作垂线（尺规作图） 10 中等题真题汇编练 11 培优题真题汇编练 15 考点讲练1：轴对称图形的识别 【精讲题】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·云南·期中）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）下列五种图形：①线段， ②角， ③平行四边形， ④正方形， ⑤直角梯形，是轴对称图形的有 ． （填序号） 考点讲练2：成轴对称的两个图形的识别 【精讲题】（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   【举一反三练1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 考点讲练3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【精讲题】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，和关于直线对称，下列结论：（1）；（2）；（3）直线垂直平分；（4）直线平分．正确的有（    ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【举一反三练1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．    考点讲练4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【精讲题】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，与关于直线对称，若，，则 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在五边形中，，，在边，上分别找一点M，N，连接，，，则当的周长最小时，求的值是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，点分别是线段上的动点，则的最小值是 ． 考点讲练5：台球桌面上的轴对称问题 【精讲题】（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【举一反三练1】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    考点讲练6：轴对称中的光线反射问题 【精讲题】（2024·河南商丘·二模）如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023八年级·全国·专题练习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    考点讲练7：折叠问题 【精讲题】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，将折叠，使点和点重合，展开后得到点，连接，则是（   ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．任意一条线段 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，若，则 °． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    考点讲练8：画对称轴 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）画出图中的轴对称图形的所有对称轴． 【举一反三练1】（2024八年级上·全国·专题练习）试找出下列两图形的对称轴． 【举一反三练2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，和关于某条直线成轴对称，请画出这条直线． 考点讲练9：求对称轴条数 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）下面图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）正五边形是轴对称图形，它有 条对称轴． 考点讲练10：线段垂直平分线的性质 【精讲题】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　 　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 考点讲练11：线段垂直平分线的判定 【精讲题】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为 ．    【举一反三练2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 考点讲练12：作已知线段的垂直平分线 【精讲题】（2024·山西·二模）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（    ） A．26 B．32 C．38 D．44 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 考点讲练13：作垂线（尺规作图） 【精讲题】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于点 D，交 于点 E，连结，则 ．    【举一反三练1】（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为．如果，那么下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）下列四个图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，点落在点处，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·广东清远·期末）下列说法不正确的是 （    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C．圆有无数条对称轴 D．等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线 6．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的垂直平分线，交于D，若周长为8，，则周长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，内有一点，点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是，分别交、于、点，若的长为，求的周长为 ． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为 ． 11．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上画出点P，使得最小，保留作图痕迹．（不需要尺规作图） 12．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）如图，已知． (1)利用尺规作图，作出的垂直平分线，使其与交于点D，与交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的周长． 13．（23-24八年级上·宁夏固原·期中）振兴家乡，人人有责：宁夏西吉县将来要在公路m旁建两座大学A和B，为了交通方便，应在公路旁修建一个车站P使其到两所大学的距离相等，请你利用所学知识在图上设计出这点P．（尺规作图，保留作图痕迹） 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，的垂直平分线分别与边，交于点，点，若与的周长分别是和，则的长是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，根据规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图，正六边形边长为且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则度数是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是 ．    21．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点为边的垂直平分线上一点，若，则周长的最小值为 ． 22．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将沿直线折叠，使点C落在上的点E处，若，，，则的周长是 ．    23．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 24．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，是的垂直平分线， 垂足为，交于点．若的周长是，，则的周长 ． 25．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作的平分线，交斜边于点D； ②过点D作的垂线，垂足为点E． 26．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 28．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，， (1)如图，已知，请你用尺规作图法作出边的垂直平分线，分别交，于点，．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第13章《轴对称》】 13.1 轴对称 （13个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：轴对称图形的识别 1 考点讲练2：成轴对称的两个图形的识别 2 考点讲练3：根据成轴对称图形的特征进行判断 4 考点讲练4：根据成轴对称图形的特征进行求解 5 考点讲练5：台球桌面上的轴对称问题 9 考点讲练6：轴对称中的光线反射问题 10 考点讲练7：折叠问题 13 考点讲练8：画对称轴 14 考点讲练9：求对称轴条数 16 考点讲练10：线段垂直平分线的性质 17 考点讲练11：线段垂直平分线的判定 19 考点讲练12：作已知线段的垂直平分线 22 考点讲练13：作垂线（尺规作图） 24 中等题真题汇编练 26 培优题真题汇编练 35 考点讲练1：轴对称图形的识别 【精讲题】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·云南·期中）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解． 【规范解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）下列五种图形：①线段， ②角， ③平行四边形， ④正方形， ⑤直角梯形，是轴对称图形的有 ． （填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”即可求解． 【规范解答】解：线段的垂直平分线是对称轴，故是轴对称图形；角的角平分线所在的直线是对称轴，故是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形；正方形有4条对称轴，是轴对称图形；直角梯形不一定是轴对称图形； 故是轴对称图形的是①线段， ②角， ④正方形， 故答案为：①②④ ． 考点讲练2：成轴对称的两个图形的识别 【精讲题】（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【思路点拨】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可： 【规范解答】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意； 只有D成轴对称，符合题意． 故选：D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】3，7 【思路点拨】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【规范解答】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与3，7成轴对称． 故答案为：3，7 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 【答案】 【思路点拨】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【规范解答】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 考点讲练3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【精讲题】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，和关于直线对称，下列结论：（1）；（2）；（3）直线垂直平分；（4）直线平分．正确的有（    ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】A 【思路点拨】此题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两个三角形全等，且对应角相等，对应边相等，对称轴垂直平分对应点的连线，且平分对应点与对称轴上某点连线的夹角，根据轴对称的性质依次判断． 【规范解答】解：∵和关于直线对称， ∴，，直线垂直平分，直线平分, 正确的有（1）（2）（3）， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）． 【答案】①②③④ 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，解题关键是熟记对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线以及轴对称的对应线段或对应线段的延长线相交，交点在对称轴上． 【规范解答】解：由题意可知，与关于直线成轴对称， ，点在直线上，直线，， 即正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．    【答案】 直线 线段 3 90 【思路点拨】根据轴对称的性质即可解答． 【规范解答】解：∵与关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∵， ∴， 故答案为：直线，线段，3，90． 考点讲练4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【精讲题】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，与关于直线对称，若，，则 【答案】/度 【思路点拨】此题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，根据轴对称的性质得到，即可得到，由此求出答案． 【规范解答】解：∵与关于直线对称， ∴ ∴ 故答案为． 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在五边形中，，，在边，上分别找一点M，N，连接，，，则当的周长最小时，求的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，连接，，由轴对称的性质可得，，，，由两点之间线段最短可得，此时的周长最小，为，求出，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，连接，， ， 由轴对称的性质可得，，，， ∴的周长，由两点之间线段最短可得，此时的周长最小，为， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴由得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，点分别是线段上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查的是轴对称最短路线的问题，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用含30度角的直角三角形的性质解决问题．从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值． 【规范解答】解：作点关于的对称点，过作交于点，交于点， ， 的最小值是的长， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ，，， 在中，， 的最小值为4， 故答案为：4． 考点讲练5：台球桌面上的轴对称问题 【精讲题】（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【思路点拨】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【规范解答】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【举一反三练1】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【规范解答】解：，， ， ， ， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 考点讲练6：轴对称中的光线反射问题 【精讲题】（2024·河南商丘·二模）如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了垂线和角的计算，轴对称的性质；根据已知可得，进而求得，根据对称可得，进而即可求解． 【规范解答】解：由题意，知， ∴． ∴． ∴， 故选：C． 【举一反三练1】（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【规范解答】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三练2】（2023八年级·全国·专题练习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【思路点拨】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 考点讲练7：折叠问题 【精讲题】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，将折叠，使点和点重合，展开后得到点，连接，则是（   ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．任意一条线段 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了折叠，三角形的中线．熟练掌握折叠的性质，三角形的中线的定义是解题的关键．在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线． 根据翻折的性质可得E是边的中点，根据三角形的中线的定义即可判断． 【规范解答】解：由折叠知，， ∴E是边的中点， ∴是的中线， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，若，则 °． 【答案】55 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，根据折叠的性质和邻补角的定义求得的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：如图，由折叠的性质知：． ∵，， ∴． 又， ∴． 故答案为：55． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是能够熟练运用这些性质． 根据直角三角形的锐角互补、轴对称图形对应角相等、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和等性质即可求解． 【规范解答】∵ ∴， ∵点A与点D关于直线对称， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 故答案为：． 考点讲练8：画对称轴 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）画出图中的轴对称图形的所有对称轴． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合作出各图形的对称轴即可． 【规范解答】解：如图所示． 【举一反三练1】（2024八年级上·全国·专题练习）试找出下列两图形的对称轴． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了画对称轴，如果两个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴．据此即可解答． 【规范解答】解：如图， 第二组图形不是轴对称图形． 【举一反三练2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，和关于某条直线成轴对称，请画出这条直线． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了画对称轴，连接，取的中点E，作直线即为对称轴． 【规范解答】解：如图所示，直线即为对称轴． 考点讲练9：求对称轴条数 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）下面图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了对称轴图形的对称轴数量，根据轴对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【规范解答】解：选项A的图形有四条对称轴，选项B的图形有一条对称轴，选项C的图形有两条对称轴，选项D的图形有三条对称轴， 所以对称轴最多的是A． 故选：A． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 【答案】D 【思路点拨】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【规范解答】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意； B． 正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意； C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意； D．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意． 故选：D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）正五边形是轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】5/五 【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和对称轴的定义．根据轴对称图形和对称轴的定义进行求解即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【规范解答】解：正五边形是轴对称图形，它有5条对称轴， 故答案为：5 考点讲练10：线段垂直平分线的性质 【精讲题】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了尺规作图，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定和性质，掌握基本作图方法是解题关键．由作法可知，平分，，根据直角三角形两锐角互余，可判断A 选项；根据垂直平分线的性质，可判断B选项；根据全等三角形的判定和性质，可判断C、D选项． 【规范解答】解：由作法可知，平分，， ， ， ， ， ，A选项结论正确，不符合题意； 无法判断是的中线， 无法证明，B选项结论错误，符合题意； ，，， ， ，，C、D选项结论正确，不符合题意； 故选：B 【举一反三练1】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【规范解答】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：B． 考点讲练11：线段垂直平分线的判定 【精讲题】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【答案】C 【思路点拨】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据题意得到，判定点在的垂直平分线上，由此判断． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 故选C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为 ．    【答案】81 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．如图作于，于，可证明，则，，，同理可证明：，则，故，则，根据即可求解． 【规范解答】 解：∵N到点B，C的距离相等， ∴， 如图作于，于．    是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证明：， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：81． 【举一反三练2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 【思路点拨】本题考查了全等三角形的中与判定，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【规范解答】解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 考点讲练12：作已知线段的垂直平分线 【精讲题】（2024·山西·二模）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意； B、选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，能确定，不能确定，故本选项不符合题意； C、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意； D、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（    ） A．26 B．32 C．38 D．44 【答案】C 【思路点拨】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意可得：垂直平分线段，可得、；再根据题意可得，最后求出的周长即可． 【规范解答】解：由题意可得：垂直平分线段， ∴，, ∵的周长为26， ∴, ∴的周长． 故答案为：38． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解． 【规范解答】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线， ， ∴与的周长之差为4，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 考点讲练13：作垂线（尺规作图） 【精讲题】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于点 D，交 于点 E，连结，则 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角的计算，由得到由作图可知，垂直平分，得到，再得出即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ∴ 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ． 【答案】/75度 【思路点拨】本题考查了尺规作图—基本作图，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得出，推出，由角平分线的定义得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【规范解答】解：由作法可得：垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【思路点拨】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在的垂直平分线上，进而得出结论． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， 即点P为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为．如果，那么下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，根据三角形的外角得：，代入已知可得结论． 【规范解答】解：由折叠得：， ∵， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【规范解答】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； ． 是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）下列四个图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【规范解答】、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，故选项符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，点落在点处，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握折叠的性质是解答本题的关键．根据折叠的性质有：，，根据三角形的内角和求出，再由，可得，即有，问题得解． 【规范解答】解：根据折叠的性质有：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·广东清远·期末）下列说法不正确的是 （    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C．圆有无数条对称轴 D．等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质，轴对称的性质，由题意根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质一一判断即可． 【规范解答】解：．角平分线上的点到这个角两边的距离相等是角平分线的性质，说法正确，故该选项不符合题意； ．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是线段的垂直平分线的性质，说法正确，故该选项不符合题意； ．圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴，说法正确，故该选项不符合题意； ．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线，而不是底角的平分线所在的直线，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 6．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【规范解答】解：、分别为、的垂直平分线， ，，，， ∵的周长为， ， ，即， ∵的周长为， ， ， ， 故答案为：6.5． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的垂直平分线，交于D，若周长为8，，则周长为 ． 【答案】14 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．由线段垂直平分线的性质得，，然后根据的周长为8求解即可． 【规范解答】解：垂直平分， ，， 的周长为8， ， 的周长， 故答案为：14． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，内有一点，点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是，分别交、于、点，若的长为，求的周长为 ． 【答案】10 【思路点拨】本题主要考查了轴对称的性质，两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后可得答案． 【规范解答】解：由轴对称可得，， ， 的周长为． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质、三角形面积公式．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据题意可得，，可得到，，再由三角形面积公式，即可求解． 【规范解答】解：连接， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴，， ∴的面积为． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上画出点P，使得最小，保留作图痕迹．（不需要尺规作图） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点A关于直线l对称的点H，连接交直线l于点P，点P即为所求． 【规范解答】解：如图所示，作点A关于直线l对称的点H，连接交直线l于点P，点P即为所求． 在直线l上任取一点D，连接， 易证明，， 由于，故当点D与点P重合时，最小，则点P即为所求． 12．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）如图，已知． (1)利用尺规作图，作出的垂直平分线，使其与交于点D，与交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【思路点拨】本题考查基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长即可． 【规范解答】（1）解：如图， （2）解：， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 的周长． 13．（23-24八年级上·宁夏固原·期中）振兴家乡，人人有责：宁夏西吉县将来要在公路m旁建两座大学A和B，为了交通方便，应在公路旁修建一个车站P使其到两所大学的距离相等，请你利用所学知识在图上设计出这点P．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【思路点拨】本题考查作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，连接．根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”知，点P应是线段的垂直平分线与直线m的交点，再作线段的垂直平分线即可． 【规范解答】解：如图所示，点P是的垂直平分线与直线m的交点． ． 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作线段的垂直平分线；根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【规范解答】解：边的垂直平分线如图所示． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，的垂直平分线分别与边，交于点，点，若与的周长分别是和，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ， ∵与的周长分别是和， ∴， 两式相减得：， 则， 故选：B． 16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，根据规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，由作图可知垂直平分线段，平分，利用线段的垂直平分线的性质一一判断即可． 【规范解答】解：A、由作图可知垂直平分线段，所以，故选项A正确，不符合题意； B、由作图可知平分，所以，故选项B正确，不符合题意； C、由作图可知垂直平分线段，所以，故选项C正确，不符合题意； D、由作图痕迹无法得出平分，根据已知条件亦无法证明，所以不一定正确，故选项D符合题意． 故选：D． 17．（22-23八年级上·云南楚雄·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．首先根据题意及折叠的性质解得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了折叠的性质、角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，于，由折叠的性质可得：，，再由角平分线的性质定理可得，再结合面积公式计算即可得解． 【规范解答】解：如图：作于，于， ， ∵在中，， ∴由折叠的性质可得：，， ∵，， ∴， ∵将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 19．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图，正六边形边长为且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】如图，连接，，延长交直线于点，由题意可得，，进而得，证垂直平分线段，得，如图，延长交直线于点，在点右侧取一点，延长交于点，由图得，由，得，根据三角形的外角性质即可得解． 【规范解答】解：如图，连接，，延长交直线于点， 由题意可得，， ∴，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， ∴， 如图，延长交直线于点，在点右侧取一点，延长交于点，由图得， ∵， ∴， 由题意得， ∴． 故选：． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，把求最小值转化为求最小值是解题的关键；连接，过B作于G；由垂直平分，得，，则，当B、E、F三点共线，且即重合时，最小，从而最小；利用面积相等关系即可求得最小值． 【规范解答】解：如图，连接，过B作于G； ∵垂直平分， ∴，， ∴， 当B、E、F三点共线，且即重合时，最小， 从而最小，最小值为线段的长； ∵， ∴． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点为边的垂直平分线上一点，若，则周长的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，角所对直角边是斜边的一半，连接，由垂直平分线的性质得，当点三点共线时，最小，即周长的最小，最小值为，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，最小，即周长的最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将沿直线折叠，使点C落在上的点E处，若，，，则的周长是 ．    【答案】7 【思路点拨】本题主要考查折叠的性质，根据题意得，，则有，，即可求得的周长． 【规范解答】解：∵将沿直线折叠，使点C落在上的点E处， ∴，， ∵，， ∴，， ∴的周长， 答案为：7． 23．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线的定义与垂直平分线的性质等等；连接，，证明推出，，证明，推出，再根据线段的和差关系求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵点D在的垂直平分线上， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，是的垂直平分线， 垂足为，交于点．若的周长是，，则的周长 ． 【答案】23 【思路点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质，结合已知条件和垂直平分线的性质确定的值是解题关键．首先根据垂直平分线的性质可得，再结合的周长是确定，然后求解即可． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：23． 25．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作的平分线，交斜边于点D； ②过点D作的垂线，垂足为点E． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了基本作图，先画出平分，然后作于，即可得解，熟练掌握基本作图是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，、即为所求， 26．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，证明出垂直平分，即可得解，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解此题的关键． 【规范解答】证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵为的中点， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据折叠可得，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，即可证得结果； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 翻折， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）由（1）知，， ， ， ． 28．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，， (1)如图，已知，请你用尺规作图法作出边的垂直平分线，分别交，于点，．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键， （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质得到，即可推出的周长求出答案． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$