精品解析：重庆市江津中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期第一阶段考试 高一数学试题 命题人：宝丽 审题人：曹艳 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合.则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设函数，则的值为 A. B. C. D. 4. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是（ ） A. 15 B. 19 C. 21 D. 26 二、选择题：本题共3道小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 存在实数x，使得 D. 满足的集合A的个数为8 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若不等式，，则的取值范围是 D. 函数的值域为 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则集合__________． 13. 用表示，两个数中的最小值，设，则的最大值为_____． 14. 函数，，若，使成立，则的取值范围是______ ． 四、解答题：本大题共5道小题，第15题13分，第16、17题15分，其余每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． （1）写出的值域； （2）写出不等式的解集； （3）求的解析式． 16. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）解关于x的不等式． 19. 设非空集合中的元素都是实数，且满足：若，则． （1）若，求出中的另外两个元素； （2）给出命题“中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断； （3）若中的元素个数不超过个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于中某个元素的平方，求集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期第一阶段考试 高一数学试题 命题人：宝丽 审题人：曹艳 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 2. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论， 故命题的否定是“”. 本题选择C选项. 3. 设函数，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为时， 所以； 又时，， 所以故选A. 本题考查分段函数的意义,函数值的运算. 4. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 5. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 6. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据题意化简：命题“，”为真命题；为，然后利用充分性和必要性的判断方式来判断即可. 【详解】若命题“，”为真命题， 则当时，恒成立， 即， 故该题可以转变为“”的一个必要不充分条件， 由必要不充分条件的判断可知， “”的一个必要不充分条件是“” 所以AD符合题意. 故选：AD 7. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【详解】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 8. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是（ ） A. 15 B. 19 C. 21 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】令，结合二次函数的图象以及题意得到和，再根据，即可求解. 【详解】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 根据题意可得：，解得：， 解集中有且仅有5个整数，则这5个整数必为， 结合二次函数的对称性可得：，即， 解得：， 又，， 即符合题意的的值之和. 故选：A. 二、选择题：本题共3道小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 存在实数x，使得 D. 满足的集合A的个数为8 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数单调性求出最小值判断A；利用基本不等式求出最小值判断B；求出函数的值域判断C；求出子集个数判断D. 【详解】对于A，令，函数在上单调递增， 当，即时，，A错误； 对于B，当时，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，对于任意实数，，当且仅当时取等号， 因此，C错误； 对于D，由，知集合可视为集合与集合 的每个子集的并集，而集合的子集有个，因此集合A的个数为8，D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若不等式，，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相同函数的定义判断A；求出抽象函数的定义域判断B；利用不等式性质求出范围判断C；借助二次函数求出值域判断D. 【详解】对于A，函数与的定义域都为，且，A正确； 对于B，由函数的定义域为，得，则函数中， ，解得，即的定义域为，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，，函数， 当且仅当，即时取等号，因此函数的值域为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； ， 当且仅当，即时取等号，C正确； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误． 故选：ABC 三、填空题：本大题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则集合__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据可求，代入检验后可得集合. 【详解】因为，故，故， 当时，； 当时，； 故答案为：或. 13. 用表示，两个数中的最小值，设，则的最大值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据定义求出分段函数的解析式，再结合分段函数求最大值即可. 【详解】在坐标系内画出函数的图象， ，解得， 如图， 由图象知，， ∴的最大值为； 故答案为：6． 14. 函数，，若，使成立，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出的取值范围. 【详解】由以及可得； 再由以及可得； 若，使成立可得， 即，解得； 又，因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5道小题，第15题13分，第16、17题15分，其余每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． （1）写出的值域； （2）写出不等式的解集； （3）求的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得函数的值域； （2）根据函数图象可得不等式的解集； （3）利用待定系数法可求的解析式． 【小问1详解】 结合图象可得函数的值域为. 【小问2详解】 结合图象可得不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，设，则，解得， 此时， 当时，设，而， 故，故， . 16. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可； （2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可. 【小问1详解】 由，解得，即， 由， 解得，即，则， 则； 【小问2详解】 由可知， 若，即时，符合题意； 若，则要满足题意需，解之得； 综上所述实数的取值范围为. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，得出1，2是方程的根且，代入求解即可； （2）分类讨论，当，，，，，结合一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解即可． 【小问1详解】 ∵的解集为， ∴1，2是方程的根且， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 当时，，∵，∴，∴； 当时，，即，即， 当时，，∴或； 当时，， （ⅰ）当时，无解； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，； 综上所述：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 19. 设非空集合中的元素都是实数，且满足：若，则． （1）若，求出中的另外两个元素； （2）给出命题“中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断； （3）若中的元素个数不超过个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于中某个元素的平方，求集合． 【答案】（1）另外两个元素为，2； （2）该命题正确，证明如下： 设，则，则， 均无解， 所以“中至少有三个元素”正确. （3）. 【解析】 【分析】（1）结合定义计算出中的另外两个元素. （2）结合定义判断出至少有三个元素. （3）由（2）设出中元素的表达式，结合条件求得中元素. 【小问1详解】 ， 所以另外两个元素为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，若，那么、. 若中的元素不超过个，那么，且. 所有元素的乘积为，不妨设， 所以中有三个元素， 所以，解得或或. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $