4.2.1 对数的概念（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第四章 指数与对数 4.2 对 数 4.2.1 对数的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解对数的概念. 2.知道自然对数和常用对数. 3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化. 4.通过理解和掌握对数的性质，求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养. 已知1个细胞经过 x 次分裂后，相应的细胞个数为 y＝2x. 由此，若知道了分裂的次数 x，就能求出分裂后相应的细胞数 y . 反过来， ● 若知道了分裂后相应的细胞数 y，怎样求出分裂的次数 x 呢? 情景导入 一、对数的概念 (1) 定义： 一般地，如果 ab＝N (a＞0，a≠1)，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作__________，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. logaN＝b 上述问题也就是在 y＝2x中，已知 y，求 x 此时问题就转化为已知底数和幂的值求指数的问题. 新知探究 (2) 特殊对数： 常用对数：以10为底，记作________；  自然对数：以e为底，记作_________.  (3) 指数与对数的关系： 当 a＞0，a≠1 时，ab＝N ⇔__________. lg N ln N b＝logaN 由对数的定义可知，ab＝N与 b＝ logaN 两个等式所表示的是a，b，N 这3个量之间的同一个关系. 例如： 32 ＝ 9 ⇔ log39＝2， log42 ＝ ⇔ 4 ＝2. 根据对数的定义，要解决本节开头提出的问题，就只要计算 log2y 的值. 例 1 将下列指数式改写成对数式： (1) 24 ＝ 16； (2) 3－3 ＝； (3) 5a ＝ 20； (4) ()b＝0.45. 解：log216 ＝ 4. 解：log3 ＝－3. 解：log220 ＝ 5. 解：log3 0.45＝b. 课本例题 例 2 将下列对数式改写成指数式： (1) log5125＝3； (2) log 3＝－2； (3) log10 a ＝－1.699. 解：53 ＝ 125. 解：()－2＝ 3. 解：10－1.699 ＝ a . 课本例题 例 3 求下列各式的值： (1) log264； 解：由 26＝64 ，得 log264 ＝ 6. 课本例题 (2) log9 27. 解：设 x＝log927，则根据对数的定义知 9x＝27， 即 32x＝33， 得 2x＝3，x＝， 所以 log927＝ . 二、常用对数 通常将以10为底的对数称为常用对数 ，如log102，log1012 等.为了方便起见，对数 log10N 简记为lg N，如 lg 2，lg 12 等. 三、自然对数 在科学技术中，常常使用以 e为底的对数，这种对数称为自然对数. e＝2.718 28···是一个无理数. 正数N的自然对数 logeN 一般简记为 ln N，如loge2，loge15 分别记为 ln 2，ln 15 等. 1. 根据对数的定义，写出下列各对数的值 (a＞0，a≠1)： log10100＝________，log255＝_________， log2 ＝__________， log51＝__________， 2 －1 0 课本练习 log33＝________，log 3＝_________， loga1＝________， loga a＝__________， 1 －1 0 1 2. 填空： 题 号 指 数 式 对 数 式 (1) 24＝16 log216＝4 (2) (3) 5a＝25 log525＝a 3. 将下列指数式改写成对数式： (1) 35＝243； (2) 2－8＝； (3) 2x＝10； (4) ()x＝12. log3243＝5 log2 ＝－8 log210＝x log 12＝x 4. 将下列对数式改写成指数式： (1) log 4 ＝ － 4； (2) lg 10 000＝4； (3) lg a＝ 0.4771； (4) ln 12＝b. ()－4 ＝4 104＝10000 100.4771＝a eb＝12 5. 求下列各式的值： (1) log4 64； (2) log7 ； (3) log2 ； (4) log 9； (5) 1g 1000； (6) ln . ＝3 ＝ ＝－3 ＝－2 ＝3 ＝－2 6. 利用计算器计算下列对数的值(结果保留4 位小数)： (1) lg 2； (2) lg 5； (3) lg 1.078； (4) lg 0.84. ≈0.3010 ≈0.6990 ≈0.0326 ≈－0.0757 7. 已知 a＞0，a≠1，N＞0，b∈R. (1) logaa2 ＝_____________，logaa5 ＝___________， logaa－3＝____________，logaa ＝___________， 一般地，logaab＝__________，请证明这个结论； 2log2a 5 －3 b (2) 证明： a ＝ N. logaN C 一、选择题 1.如果a＝b2(b>0，b≠1)，则有(　　) A.log2a＝b B.log2b＝a C.logba＝2 D.logb2＝a 解析　指数式b2＝a化为对数式2＝logba. 分层练习-基础 B 20 3.设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为(　　) A 解析　因为log2x＝3，所以x＝23＝8. D AD 5.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.lg(lg10)＝0 B.若10＝lg x，则x＝10 C.若e＝ln x，则x＝e2 D.使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞) 解析　lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确； 若10＝lg x，则x＝1010，故B错误； 若e＝ln x，则x＝ee，故C错误； 8 7.若log2(log3x)＝log3(log4y)＝0，则x＝________，y＝________. 解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，∴x＝3. ∵log3(log4y)＝0，∴log4y＝1，∴y＝4. 3 4 解析　∵3log2x＝3－3， 三、解答题 9.将下列指数式、对数式互化. 解　(1)log3243＝5； (4)27＝128. 10.求下列各式中的x的值. 解　(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1. ∴x＝2. ACD 11.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　　 ) 解析　log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误；A，C，D正确. 分层练习-巩固 27 3 13.求下列各式中的x的值. 解　(1)∵log5(log2x)＝1， ∴log2x＝5，∴x＝25＝32. ∵310＞215＞56，∴y＞x＞z. 分层练习-拓展 1.理解4个知识点 (1)对数的概念. (2)自然对数、常用对数. (3)指数式与对数式的互化. (4)对数的性质. 课堂小结 2.理清1组关系——指数式与对数式的关系 (1)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N. (2)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 3.规避1个易错点 注意对数式中底数与真数的范围.　 课堂小结 2.ln等于(　　) A.0 B. C.1 D.2 解析　＝e，所以ln e＝. 4.已知log2x＝3，则x－等于(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,\r(2,3)) C.eq \f(1,\r(3,3)) D.eq \f(\r(2),4) 所以x－＝8－＝＝，故选D. 解析　3a－b＝3a÷3b＝3log310÷3log37＝10÷7＝eq \f(10,7). A.eq \f(10,7) B.eq \f(7,10) C.eq \f(10,49) D.eq \f(49,10) ∴∴D正确. 要使log(x－1)(x＋2)有意义，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1≠1，,x＋2>0，)) 8.方程3log2x＝的解是x＝________. ∴log2x＝－3，x＝2－3＝. 解析　设logeq \r(3)81＝t，则(eq \r(3))t＝81，3eq \f(t,2)＝34，eq \f(t,2)＝4，t＝8. 二、填空题 6.log81＝________. (3)＝81； (1)35＝243；(2)2－5＝； (3)log81＝－4；(4)log2128＝7. (2)log2＝－5； 解　(1)由logx27＝，得x＝27， ∴x＝27＝32＝9. (2)由log2x＝－，得2－＝x， ∴x＝＝. 又x＞0，∴x＝(3＋2eq \r(2))－eq \f(1,2)＝[(1＋eq \r(2))2]－eq \f(1,2)＝eq \f(1,1＋\r(2))＝eq \r(2)－1. (3)由logx(3＋2eq \r(2))＝－2，得3＋2eq \r(2)＝x－2， (1)logx27＝；(2)log2x＝－；(3)logx(3＋2)＝－2； 即33x＝3－2，则3x＝－2，∴x＝－. (4)log5(log2x)＝0；(5)x＝log27. (5)由x＝log27，得27x＝， A.e0＝1与ln 1＝0 B.log39＝2与9＝3 C.8－＝与log8＝－ D.log77＝1与71＝7 又a＝，∴a＝， 即＝a＝＝，∴x＝3. 12.若a＞0，aeq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，则logeq \f(2,3)a＝________. 解析　设loga＝x，∴＝a. (2)∵＝＝＋1， ∴log(eq \r(3)＋1)eq \f(2,\r(3)－1)＝log(eq \r(3)＋1)(eq \r(3)＋1)＝1.∴x＝1. (1)log5(log2x)＝1； (2)log(＋1)＝x. 解　由log2[log(log2x)]＝0， 由log3[log(log3y)]＝0， 得log(log3y)＝1，log3y＝， y＝3＝(310). 由log5[log(log5z)]＝0， 得logeq \f(1,5)(log5z)＝1，log5z＝eq \f(1,5)，z＝5eq \f(1,5)＝(56)eq \f(1,30)， 得logeq \f(1,2)(log2x)＝1，log2x＝eq \f(1,2)，x＝2eq \f(1,2)＝(215)eq \f(1,30). 14.若log2[logeq \f(1,2)(log2x)]＝log3[logeq \f(1,3)(log3y)]＝log5[logeq \f(1,5)(log5z)]＝0，试确定x，y，z的大小关系. $$