3.1.1椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 章前导读 什么是圆锥曲线，圆锥曲线是怎么产生的？ 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections). 椭圆 抛物线 双曲线 圆 圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面....为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢?我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案. 新课导入 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 一 二 三 学习目标 掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决问题 理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题,提升逻辑推理的核心素养 会用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程,提升数学运算的核心素养 学习目标 新知探究 探究 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点 ，套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线？ 问题1 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和不变。 概念生成 椭 圆 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. F1 F2 M • • |MF1|+|MF2|=2a 记焦距为2c，椭圆上的点M与F1, F2的距离的和记为2a。 (|F1F2|=2c, 2a>2c>0) 问题1 若一个动点的轨迹是椭圆，则该动点应满足什么条件？ ① 在平面内----(这是前提条件)； ② 两个定点F1, F2的距离为定值； ③动点M到两个定点F1, F2的距离之和是定值（常数）； ④ 为什么是“>”?若是“<”或是“=”动点的轨迹会是什么图形呢？ 新知探究 问题2 为什么要求|MF1|+|MF2|>|F1F2|? ① 当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时 （绳长等于两定点间距离） F1 F2 M 点M的轨迹为线段F1F2 ② 当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时 （绳长小于两定点间距离） F1 F2 点M无轨迹 下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程. 新知探究 问题3 回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？ 建系 设点 列式 代换 建立适当的平面直角坐标系 设曲线上任意一点M的坐标为(x, y) 找出限制条件P(M)，并列出几何等式 把坐标代入限制条件P(M) 列出方程 化简 化简方程 类比这个方法，我们开始求椭圆的标准方程 新知探究 问题4 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单? 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y O x y 新知探究 求椭圆方程的步骤(以方案一为例) (1)建系： (2)设点: (3)列式: (4)代换: (5)化简: F1 F2 以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系， 则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0),椭圆的焦距为2c(c>0)。 M 设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点， 点M与焦点F1、F2的距离的和为2a(a>0) |MF1|+|MF2|=2a >2c 两边平方整理得 要进行第二次平方，且计算量较大 追问 那如何化简会比较简便？ 即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0 移项，得 平方，得 y O x F1 F2 P 你能从中找出表示a ,c, 的线段吗？ |PF1|=|PF2|=a， |OF1|=|OF2|=c ， |PO|= , 整理，得 上式两边通除以a2(a2-c2)，得 平方，得 新知探究 那么方程①就是 新知探究 这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2-b2. 问题5 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? F1 F2 M • • x y O （问题：下面怎样化简？） 由椭圆的定义得，限制条件： 由于 得方程 ? x,y交换位置 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 椭圆的标准方程: F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 新知探究 概念辨析 下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？写出焦点坐标. ? 典例解析 例1 解1: (定义法) 你还能用其他方法求它的标准方程吗?试比较不同方法的特点. 典例解析 例1 解2: (待定系数法) 新知探究 (3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”， a, b, c 满足的关系有： 根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值. 用定义寻找a, b, c的方程； (1) 定义法： (2) 待定系数法： 待定系数法更为常用，是解此类问题的通法. 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置； 其次是定“量”， 求椭圆标准方程的主要方法有： 巩固练习 课本P109 14 课本P115 (法1) (法2) 未知焦点位置:巧设方程 巩固练习 典例解析 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).由点M是线段PD的中点，得 例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？ x y P M O • D • 寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 解： 相关点代入法 新知探究 问题6 由例2我们发现，可以由圆通过 “压缩” 得到椭圆. 你能由圆通过 “拉伸” 得到椭圆吗? 如何 “拉伸” ? 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗? x y P M O • D • x y P M O • D • x y P M O • D • x y O D • • M P 将圆“压缩”可得到椭圆 将圆“拉伸”可得到椭圆 例3 x y B M O A • 解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得 典例解析 反思 巩固练习 课本P109 4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么? 为什么? 解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得 直线AM的斜率为 直线BM的斜率为 x y B M O A • • • 巩固练习 课本P109 y O F1 F2 x A B (1)由题意 故△AF1B的周长为： (2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化. 仍然成立. 解： • • ∴△AF1B的周长为： 新知拓展 椭圆的焦点三角形 椭圆的焦点三角形是指以椭圆得两个焦点F1和F2与椭圆上一点P(除左右顶点外)为顶点，组成的三角形. P F2 F1 下面我们通过例题来了解一下焦点三角形的性质。 新知拓展 余弦定理 面积公式 例 若椭圆方程为 ，点P是椭圆上第二象限内的点，∠PF1F2=120°,求∆PF1F2的周长和面积。 解： 新知拓展 变式 若椭圆方程为 ，点P是椭圆上的点，且∠F1PF2=60°, (1)求∆PF1F2的周长和面积；(2)求 的最大值. 解： 新知拓展 椭圆焦点三角形的常用结论 θ 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 1.椭圆的定义； 3.轨迹方程的求法 定义法, 待定系数法, 相关点代入法, 直接法. Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 $$