6.3 相交线（11个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《平面图形的初步认识》】 6.3 相交线 （11个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：相交线 1 考点讲练2：垂线的定义理解 2 考点讲练3：画垂线 2 考点讲练4：垂线段最短 3 考点讲练5：点到直线的距离 4 考点讲练6：对顶角的定义 5 考点讲练7：对顶角相等 5 考点讲练8：邻补角的定义理解 6 考点讲练9：找邻补角 7 考点讲练10：利用邻补角互补求角度 8 考点讲练11：同位角、内错角、同旁内角 8 中等题真题汇编练 9 培优题真题汇编练 13 考点讲练1：相交线 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【举一反三练1】（2024七年级下·上海·专题练习）两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列语句表示的图形是（只填图序）： ①过点的三条直线与另一条直线分别相交于点三点： ． ②以直线上一点为顶点，在直线的同侧作和： ． ③过点的一条直线和以为端点的两条射线与另一条直线分别相交于点三点： ． 考点讲练2：垂线的定义理解 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 【举一反三练2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，直线和相交于点O，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 考点讲练3：画垂线 【精讲题】（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（   ） A．1 B．2 C．无数 D．不存在 【举一反三练1】（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【举一反三练2】（22-23七年级下·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图．    （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 考点讲练4：垂线段最短 【精讲题】（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·期末）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（    ） A．D点 B．E点 C．F点 D．N点 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由是 ． 考点讲练5：点到直线的距离 【精讲题】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·北京·期末）如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长． 考点讲练6：对顶角的定义 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·期中）如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ．若，，则 ， ． 考点讲练7：对顶角相等 【精讲题】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线，相交，，则等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，垂足为O，直线经过点，则 ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知直线相交于点平分． （1）如图①，若，则 ， ； （2）如图②，若，则 ，与互补的角有 ． 考点讲练8：邻补角的定义理解 【精讲题】（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，直线相交于点O，于点O，平分若则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．与互为邻补角 D．与互为邻补角 【举一反三练1】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列四个图中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练9：找邻补角 【精讲题】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【举一反三练1】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，直线 与 相交于点 ， 是以 为顶点的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（   ）   A． 对、 对 B． 对、 对 C． 对、 对 D． 对、 对 B． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    考点讲练10：利用邻补角互补求角度 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 【举一反三练1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线、相交于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点O，若，则（    ） A． B． C． D． 考点讲练11：同位角、内错角、同旁内角 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，按各组角的位置判断错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 中等题真题汇编练 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线和相交于点O，，，则的度数为（   ）    A．90° B．91° C．92° D．93° 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，与是（　　） A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）小明做了四道练习题： ①有公共顶点的两个角是对顶角； ②两个直角互为补角； ③一个三角板中两个锐角互为余角； ④一个角的两边与另一个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角； ⑤平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑥两条直线相交，一定垂直； ⑦若两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直． 其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与相交于点与互余，，则 ． 8．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，于O，若，则 ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与相交于点O，若，则 ． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点平分平分吗？为什么？    12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 13．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，．求的度数． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点O，，平分，且．求的度数． 培优题真题汇编练 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点在直线上，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 19．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，于点O，直线经过点O，且，则的度数为 ． 21．（23-24七年级下·全国·单元测试）在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则 ． 23．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则 ． 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 26．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知锐角，画射线，射线，并直接写出与的关系． 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点把分成两个角，且与的度数之比是． (1)求的大小． (2)如果平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《平面图形的初步认识》】 6.3 相交线 （11个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：相交线 1 考点讲练2：垂线的定义理解 3 考点讲练3：画垂线 4 考点讲练4：垂线段最短 6 考点讲练5：点到直线的距离 7 考点讲练6：对顶角的定义 9 考点讲练7：对顶角相等 10 考点讲练8：邻补角的定义理解 13 考点讲练9：找邻补角 15 考点讲练10：利用邻补角互补求角度 16 考点讲练11：同位角、内错角、同旁内角 18 中等题真题汇编练 20 培优题真题汇编练 29 考点讲练1：相交线 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【规范解答】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 【举一反三练1】（2024七年级下·上海·专题练习）两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是 ． 【答案】或 【思路点拨】此题主要考查了相交线，对顶角的性质，邻补角的定义，角的计算，依题意画出图形，再根据对顶角的性质及邻补角的定义分别求出四个角的度数，进而可得这两条直线的夹角的度数． 【规范解答】解：依题意如下图所示： 直线，相交于点，且， ， ， ， ， 两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是或． 故答案为：或． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列语句表示的图形是（只填图序）： ①过点的三条直线与另一条直线分别相交于点三点： ． ②以直线上一点为顶点，在直线的同侧作和： ． ③过点的一条直线和以为端点的两条射线与另一条直线分别相交于点三点： ． 【答案】 图（3） 图（2） 图（1） 【思路点拨】本题考查了直线、射线与线段的知识以及相交线的相关知识，注意掌握三者的特点，给出图形应该能判断出是哪一个． 【规范解答】解：观察图形，根据所给的信息可得： ①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）； ②以直线上一点O为顶点，在直线的同侧画和的图形为（2）； ③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）． 故答案为：图（3）；图（2）；图（1）． 考点讲练2：垂线的定义理解 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【思路点拨】本题考查了垂线．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答． 【规范解答】解：若，，则、、三点共线，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【举一反三练2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，直线和相交于点O，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 考点讲练3：画垂线 【精讲题】（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（   ） A．1 B．2 C．无数 D．不存在 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了垂线的性质，根据垂线的性质解答即可，理解性质是解题的关键．即在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【规范解答】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是， 故选：． 【举一反三练1】（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【思路点拨】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【规范解答】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【举一反三练2】（22-23七年级下·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图．    （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【思路点拨】（1）根据网格线的特征画图； （2）根据网格线的特征画图； （3）根据两点之间线段最短求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）∵两点之间线段最短， ∴直接连接即可， 如图，点即为所求． 考点讲练4：垂线段最短 【精讲题】（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。 【规范解答】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·期末）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（    ） A．D点 B．E点 C．F点 D．N点 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查的是垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键． 根据点到直线的连线中垂线段最短求解即可． 【规范解答】∵ ∴当汽车行驶到E点时，汽车离学校最近． 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由是 ． 【答案】 / 垂线段最短 【思路点拨】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握直线外一点到直线的距离最短的是垂线段的长度是解题的关键．根据直线外的点P到直线的距离最短的是垂线段的长度即可得到答案． 【规范解答】解：∵于M， ∴搭建方式最短的是，理由是垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 考点讲练5：点到直线的距离 【精讲题】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【规范解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故选：D 【举一反三练1】（22-23七年级上·北京·期末）如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于 ． 【答案】3 【思路点拨】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，即可得出答案．本题主要考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离计算方法进行求解是解决本题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴点到的距离等于3． 故答案为：3． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据点到直线的距离，即可解答． 【规范解答】解：∵，垂足为点， ∴ ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 考点讲练6：对顶角的定义 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的定义．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断． 【规范解答】解：A、D两个角的两边不互为反向延长线，故A、D不符合题意； B、两角没有公共顶点，故B不符合题意； C、两角是对顶角，故C符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可． 【规范解答】解：根据对顶角的定义可知，只有B选项中的与为对顶角， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·期中）如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ．若，，则 ， ． 【答案】 ， 【思路点拨】本题考查对顶角和邻补角及其性质，根据对顶角和邻补角的定义及性质即可解答． 【规范解答】解：的对顶角是，的邻补角是，． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：；，；； 考点讲练7：对顶角相等 【精讲题】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线，相交，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了对顶角，邻补角的计算，根据题意可得，，由此即可求解． 【规范解答】解：根据图示可得，，， ∴， ∴， 故选：C ． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，垂足为O，直线经过点，则 ． 【答案】40 【思路点拨】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，解决本题的关键是熟练掌握对顶角相等的性质，垂线的定义． 利用对顶角相等的性质，垂线的定义计算． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：40． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知直线相交于点平分． （1）如图①，若，则 ， ； （2）如图②，若，则 ，与互补的角有 ． 【答案】 40 50 30 ，， 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用对顶角即可求得的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；根据补角的定义即可求得答案． 本题考查对顶角相等，补角，角平分线的定义，补角及角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】（1）∵平分， ∴； ∵， ∴． ∵与是对顶角， ∴； 故答案为：40，50； （2）∵平分， ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ，，，， ， 与互补的角为：，，． 故答案为：，，， 考点讲练8：邻补角的定义理解 【精讲题】（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，直线相交于点O，于点O，平分若则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．与互为邻补角 D．与互为邻补角 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，先由垂线的定义得到，则由角平分线的定义可得，即可判断A；根据对顶角相等即可判断B；有公共顶点和一条公共边，且两个角的另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角，据此可判断C、D． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 由图可知，与互为邻补角，与不互为邻补角，故C中结论正确，不符合题意，D中结论错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得 ，由补角的定义得 ，能表示出比例式中的两个角是解题的关键． 【规范解答】解：平分， ， ， ， ， ； 故答案：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列四个图中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了对顶角的性质和互补的定义，正确识别图形、熟知对顶角相等的性质是解题关键，根据对顶角的性质、互补的定义和角在图形中的位置逐项判断即可． 【规范解答】解：A、图形中的与互补，不能判断是否相等，故本选项不符合题意； B、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意； C、图形中的与是对顶角，能判断相等，故本选项符合题意； D、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意； 故选：C． 考点讲练9：找邻补角 【精讲题】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【答案】4 【思路点拨】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【规范解答】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 【举一反三练1】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，直线 与 相交于点 ， 是以 为顶点的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（   ）   A． 对、 对 B． 对、 对 C． 对、 对 D． 对、 对 【答案】C 【思路点拨】本题考查了邻补角与对顶角的定义，根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解．掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：图中对顶角有：与，与，共2对， 邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    【答案】 和 【思路点拨】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案． 【规范解答】解：由图形可知，的邻补角是和， 的对顶角是， 故答案为：和，． 考点讲练10：利用邻补角互补求角度 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 【答案】20 【思路点拨】本题考查了邻补角，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系，利用方程的思想是解题关键．设，由题意可得，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后根据，求出即可． 【规范解答】解：设， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：20． 【举一反三练1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线、相交于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查邻补角和对顶角，熟练掌握领补角和对顶角的性质是解题的关键．利用领补角的性质结合，求出，再利用对顶角即可求解． 【规范解答】解：∵直线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了对顶角相等，邻补角互补，先根据对顶角相等和已知条件求出，再根据邻补角互补即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 考点讲练11：同位角、内错角、同旁内角 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，按各组角的位置判断错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案． 【规范解答】解：A、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； B、与是内错角，原说法正确，不符合题意； C、与不是同旁内角，原说法错误，符合题意； D、与是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    【答案】 【思路点拨】本题考查了同位角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的同侧，且在两条被截直线的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角是解题的关键．根据同位角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空． 【规范解答】解：如图，   与是直线与被直线所截的同位角；与是直线与被直线所截的同位角． 故答案为：，，， 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 【答案】 内错 【思路点拨】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义． （1）根据同位角的定义求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据内错角的定义求解即可． 【规范解答】解：（1）直线，被直线所截，则和是同位角； （2）直线，被直线所截，则和是内错角； （3）和是直线，被直线所截构成的内错角； 故答案为：，，，内错． 中等题真题汇编练 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【规范解答】解：， ． 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线和相交于点O，，，则的度数为（   ）    A．90° B．91° C．92° D．93° 【答案】D 【思路点拨】本题考查了垂直的定义，角的计算．解题的关键是掌握垂直的定义，角的计算方法，先求出，再求出，最后得出答案． 【规范解答】解：解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，与是（　　） A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了同旁内角的定义，是需要识记的内容，比较简单．根据同旁内角的定义解答即可． 【规范解答】解：与是两直线被第三条直线所截得到的两角，这两角分别位于截线的同侧，并且位于被截直线之间，因而是同旁内角． 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【规范解答】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意； D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）小明做了四道练习题： ①有公共顶点的两个角是对顶角； ②两个直角互为补角； ③一个三角板中两个锐角互为余角； ④一个角的两边与另一个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角； ⑤平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑥两条直线相交，一定垂直； ⑦若两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直． 其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】根据对顶角的定义可判断①④，根据补角的定义可判断②，根据三角板中角度的特点和余角的定义可判断③，根据垂线的定义可判断⑤⑥⑦． 【规范解答】解：①有公共顶点且角的两边互为反向延长线的的两个角是对顶角，原方程错误； ②两个直角互为补角，原说法正确； ③一个三角板中两个锐角互为余角，原说法正确； ④一个角的两边与另一个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角或互为补角，原说法错误； ⑤平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ⑥两条直线相交，不一定垂直，原说法错误； ⑦若两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直，原说法正确． ∴说法正确的有3个， 故选：B． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了垂直的定义，余角的计算．根据太阳光板于太阳光垂直时，接收的太阳光能最多，得出旋转的最小角度即可． 【规范解答】解：由题意，可知太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与相交于点与互余，，则 ． 【答案】55 【思路点拨】本题主要考查对顶角，互余的定义（两角相加等于），理解题意，掌握对顶角的性质，互余的定义是解题的关键． 首先根据对顶角相等得到，然后根据互余的概念求解即可． 【规范解答】∵， ∴； ∵与互余， ∴． 故答案为：55． 8．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，于O，若，则 ． 【答案】/50度 【思路点拨】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先根据对顶角相等求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，根据垂线的定义得出的度数，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【思路点拨】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【规范解答】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与相交于点O，若，则 ． 【答案】120 【思路点拨】本题考查了邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，的度数，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：120． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点平分平分吗？为什么？    【答案】平分，理由见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，平角，解题的关键是理由角平分线的定义得到，再根据得到两组互余的角，等量代换可得． 【规范解答】解：平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴．即平分 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义及证明、垂直的定义等知识点，掌握各个角之间的和差关系是解题关键． （1）由可得、，结合即可求证； （2）由题意得，可推出 ，；进而得，从而得，分类讨论在上方和下方两种情况即可求解； 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴， ∴平分 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 如图： 则； 如图： 则； 综上所述：的度数为或 13．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握角平分线的定义、对顶角相等的性质是解题关键．首先根据角平分线的定义可得，根据“对顶角相等”的性质可得，即可获得答案． 【规范解答】解：∵平分，， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点O，，平分，且．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，先由垂线的定义得到，则可求出，由平角的定义得到，则由角平分线的定义得到，据此可由平角的定义得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 培优题真题汇编练 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由，得，再根据角平分线的定义求出，最后利用邻补角的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 16．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了邻补角、角平分线等知识，根据邻补角求出，由角平分线求出，根据邻补角即可求出的度数. 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故选：D 17．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点在直线上，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了垂线的定义、求一个角的邻补角，由垂直的定义得到，求出的度数，由邻补角的性质，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 18．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 【答案】D 【思路点拨】此题考查了角平分线的定义、互补的定义、对顶角、余角的性质等知识，根据相关知进行判断即可 【规范解答】A. 若，则不一定平分，故选项错误，不符合题意； B. 若两个角的和为，就说这两个角互为补角，互为补角是两个角之间的关系，故选项错误，不符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角.故选项错误，不符合题意； D. 等角的余角相等.故选项正确，符合题意； 故选：D 19．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角，关键是由垂直的定义，角平分线定义求出的度数．由垂直的定义得到，即可求出，由角平分线定义得到，求出，由对顶角的性质得到 【规范解答】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故选： 20．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，于点O，直线经过点O，且，则的度数为 ． 【答案】/144度 【思路点拨】本题考查的是平角、垂线的定义，解题的关键是找到互余、互补的两个角．根据，得到，再由，结合，求出，最后根据平角的定义即可得到的度数． 【规范解答】解：， ，即， ， ， 直线经过点O， ， 故答案为：． 21．（23-24七年级下·全国·单元测试）在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了线段的和差、点到直线的距离等知识点，根据题意正确画出图形以及掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点M，N在直线l的同侧和异侧两种情况，分别画出图形进行计算即可． 【规范解答】解：①如图：当点M，N在直线l的同侧时，； ②如图：当点M，N在直线l的异侧时，； 综上，线段的长度是或． 故答案为：或． 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则 ． 【答案】/70度 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，由与是对顶角，则，从而求出，故有，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵与是对顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 射线平分， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【答案】或 【思路点拨】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是度，利用方程即可解决问题． 【规范解答】设是度， 如图：    ∴， ∵， ∴， ∵比的3倍少 ∴， 解得：， 故； 如图：    根据四边形的内角和可得：， ∴ ∵比的3倍少 ∴， ∴， ∴ 综上所述：的度数为：或． 故答案为：或． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则 ． 【答案】/64度 【思路点拨】根据得，结合，得到，结合解答即可． 本题考查了垂直的意义，余角的性质，对等角相等，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【思路点拨】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （2）根据点到直线的距离概念回答； （3）根据垂线段最短直接回答即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：； （3）解：连接，在线段中，线段最短， 理由：垂线段最短． 故答案为：． 26．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知锐角，画射线，射线，并直接写出与的关系． 【答案】画图见解析；或 【思路点拨】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论． 分在边的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解． 【规范解答】解：画图如图．或． 理由如下：如图1， ∵， ∴，， ∴； 如图2，∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 如图3，； 如图4，∵， ∴， ∴； 综上所述，或． 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点把分成两个角，且与的度数之比是． (1)求的大小． (2)如果平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)是的角平分线，见解析 【思路点拨】本题主要考查了对顶角的性质、按比例分配、角平分线的定义、角的和差等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）根据对顶角的性质可得，然后根据角的和差和即可解答； （2）根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，即，从而解决问题． 【规范解答】（1）解：∵与为对顶角，且， ∴， 又∵， ∴． （2）解：是的角平分线，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴， ∴是的角平分线． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)， (3)，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，根据补角定义得，， 根据对顶角性质得，即得的补角； （2）先根据角平分线的定义得出和的度数，再由邻补角定义可得；先根据邻补角定义可得，再由角平分线定义即得度数； （3）运用角平分线的定义，得，根据平角的定义得，即得直线的位置关系． 【规范解答】（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的补角有； （2）∵平分，， ∴ ∴，， ∴， 又∵平分， ∴； （3）射线与互相垂直．理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴． 即射线的位置关系是互相垂直． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$