6.2 角（18个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《平面图形的初步认识》】 6.2 角 （18个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：角的概念理解 1 考点讲练2：角的表示方法 2 考点讲练3：角的分类 3 考点讲练4：钟面角 3 考点讲练5：方向角的表示 3 考点讲练6：与方向角有关的计算题 4 考点讲练7：角的单位与角度制 5 考点讲练8：角的度数大小比较 5 考点讲练9：角的比较 6 考点讲练10：三角板中角度计算问题 6 考点讲练11：几何图形中角度计算问题 7 考点讲练12：角度的四则运算 8 考点讲练13：实际问题中角度计算问题 8 考点讲练14：角n等分线的有关计算 9 考点讲练15：求一个角的余角 10 考点讲练16：求一个角的补角 10 考点讲练17：与余角、补角有关的计算 10 考点讲练18：同（等）角的余（补）角相等的应用 11 中等题真题汇编练 11 培优题真题汇编练 14 考点讲练1：角的概念理解 【精讲题】（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有 个锐角． 【举一反三练1】（23-24七年级下·广西柳州·开学考试）下列说法中，正确的是（    ） A．两条射线组成的图形叫做角 B．两点确定一条直线 C．两点之间直线最短 D．延长直线至C 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如下图所示，直线与相交于点D，若，，则 ． 考点讲练2：角的表示方法 【精讲题】（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图所示，回答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角： ； (2)写出以点B为顶点的角 ； (3)图中共有 个小于平角的角． 【举一反三练2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，图中能用一个大写字母表示的角有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点讲练3：角的分类 【精讲题】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）一个钝角与一个锐角的度数差是（    ） A． B．大于，小于 C．小于 D．都不对 【举一反三练1】（23-24七年级上·广东东莞·期末）1平角= °． 【举一反三练2】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 考点讲练4：钟面角 【精讲题】（23-24七年级上·湖南永州·期末）若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 【举一反三练1】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）时针和分针所夹的较小角为（    ） A．平角 B．钝角 C．直角 D．锐角 【举一反三练2】（22-23六年级下·山东泰安·期中）下午时，时针和分针所夹锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 考点讲练5：方向角的表示 【精讲题】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（   ） A．（北偏东，） B．（南偏东，） C．（北偏西，） D．（南偏西，） 【举一反三练1】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）图书馆在学校( )偏( )的方向上，距离为( )． 【举一反三练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）点A在点B的北偏东方向上，点C在射线与正北方向夹角的角平分线上，那么点B测点C的方向是北偏东 度． 考点讲练6：与方向角有关的计算题 【精讲题】（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，B处在A处南偏东方向，C处在A处南偏东方向，B处在C处南偏西方向，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的度数为 ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广西百色·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它南偏西的方向上，同时货轮在它北偏东的方向上，则此时的大小是（    ） A． B． C． D． 考点讲练7：角的单位与角度制 【精讲题】（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24六年级下·全国·单元测试）已知的余角等于，那么 度． 【举一反三练2】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）角的余角是 ； ． 考点讲练8：角的度数大小比较 【精讲题】（23-24六年级下·山东泰安·期末）若，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东淄博·期末）比较大小： （填“>”或“<”号）． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）比较大小： （填、或） 比较大小： ．（填、或） 考点讲练9：角的比较 【精讲题】（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，，射线是内部任意一条射线，分别是的平分线，下列叙述正确的是（    ） A．的度数不能确定 B． C． D． 【举一反三练1】（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）对于任意的和，可能的大小关系是 ． 考点讲练10：三角板中角度计算问题 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（2024七年级上·河北·专题练习）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）用一副三角尺的两个角不能拼成（   ）度的角． A．15 B．105 C．110 D．120 考点讲练11：几何图形中角度计算问题 【精讲题】（23-24六年级下·全国·单元测试）如下图，，平分，已知，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，点在直线上，过点作射线、，使，当时，的度数为 ． 考点讲练12：角度的四则运算 【精讲题】（23-24七年级上·海南儋州·期中）如图，，平分，且，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·吉林·开学考试）计算： ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末） ° ′． 考点讲练13：实际问题中角度计算问题 【精讲题】（2024·河南周口·三模）如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）亲爱的同学们每天早上到校，时针与分针的夹角是 °； 考点讲练14：角n等分线的有关计算 【精讲题】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 考点讲练15：求一个角的余角 【精讲题】（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 考点讲练16：求一个角的补角 【精讲题】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是(　   ) A．一个角的补角一定是钝角 B．直线就是平角，射线就是周角 C．角的两边越长，角就越大 D．同角的补角相等 【举一反三练1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）若，则的补角是 ． 【举一反三练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）如果的补角是，那么 度． 考点讲练17：与余角、补角有关的计算 【精讲题】（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．两个相等的角不可能互余 B．角的平分线是一条射线 C．一个角的补角一定比这个角大 D．连接两点的线段叫做这两点间的距离 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则与的关系是 ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两个角的度数之和等于 ，那么这两个角互为补角；如果两个角的度数之和等于 ，那么这两个角互为余角． 考点讲练18：同（等）角的余（补）角相等的应用 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【举一反三练1】（22-23七年级上·湖南湘西·期末）下列说法中错误的有（    ） ①一个锐角的余角比这个角大；②一个角的补角比这个角大；③一个钝角的补角比这个角小；④同角或等角的补角相等；⑤若与互余，与互余，则与互余 A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三练2】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，，，垂足为D，与的关系是 ． 中等题真题汇编练 1．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，四条表示方向的射线，表示北偏东的是（    ） A．B． C． D． 2．（2024·湖南·二模）如图，，是的平分线，是的平分线，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·天津津南·期末）时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·浙江·开学考试）如图，点在直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）上午9时整，钟面上分针与时针成（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，若，平分，则 ． 7．（24-25九年级上·福建福州·自主招生）康正午看时钟，发现时针与分针重合，下次这样重合时刻是 ． 8．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，，，平分，则 度； 9．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，已知， ，那么 度． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知是它补角的3倍，则 ． 11．（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）做一做 (1)说一说王彬从家到商场的行走路线． 从家先向______偏______方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向______偏______方向走到达商场． (2)王彬从家到图书馆共走了多少米？如果每分钟走80米，多少分钟可以到达？ 12．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面图上标出各建筑物的位置． (1)超市在百货大楼的正北方向米处； (2)医院在百货大楼北偏西度方向米处． 13．（23-24六年级下·全国·单元测试）射线位于北偏东方向，射线位于西北方向，请在图上画出这两条射线．    14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 培优题真题汇编练 15．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是平角的平分线，，那么下列式子中错误的是(　　　) A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）一个角的补角比这个角的余角的倍少，这个角的度数是（    ）． A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）下列说法：①射线和射线是同一条射线；②余角是；③若＝，则点为线段的中点；④邻补角的两条角平分线构成一个直角．其中，正确的说法(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（23-24七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 19．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）下列说法中，正确的是（    ） A．大于直角而小于周角的角是钝角 B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，，，那么、、互为补角 20．（23-24七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，点A、O、B在一条直线上，且，，则 度． 21． （22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）一个角的余角的倍比这个角的补角小，则这个角的度数为 ． 22．（22-23七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如果一个角的余角比它补角的多，则这个角为 ． 23．（2024七年级下·四川成都·专题练习）（钟面角）在4点多钟时，时钟的时针和分针在一条直线上且方向相反，这时是4点 分． 24．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）一个角的补角比这个角的6倍还大，则这个角的大小为 ． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 26．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 27．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线固定位置，，平分，平分． 知识再现： （1）_________； 探究升华： （2）将图1中的绕点A旋转，当旋转到图2位置时，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点A旋转一周，当时，求的度数． 28．（23-24七年级下·青海西宁·开学考试）（1）计算：         （2）计算： （3）计算：         （4）计算： （5）解方程：     （6）解方程： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《平面图形的初步认识》】 6.2 角 （18个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练2：角的表示方法 3 考点讲练3：角的分类 5 考点讲练4：钟面角 6 考点讲练5：方向角的表示 7 考点讲练6：与方向角有关的计算题 8 考点讲练7：角的单位与角度制 10 考点讲练8：角的度数大小比较 11 考点讲练9：角的比较 12 考点讲练10：三角板中角度计算问题 15 考点讲练11：几何图形中角度计算问题 16 考点讲练12：角度的四则运算 18 考点讲练13：实际问题中角度计算问题 19 考点讲练14：角n等分线的有关计算 20 考点讲练15：求一个角的余角 23 考点讲练16：求一个角的补角 25 考点讲练17：与余角、补角有关的计算 25 考点讲练18：同（等）角的余（补）角相等的应用 27 中等题真题汇编练 28 培优题真题汇编练 36 考点讲练1：角的概念理解 【精讲题】（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有 个锐角． 【答案】21 【思路点拨】本题主要考查了角的规律探索．找出以为始边的角的个数，然后找出相邻的边为始边的角的个数相加即可，按照七条射线角的个数的计算方法即可得到答案． 【规范解答】解：以为始边的角有6个， 以为始边的角有5个， 以为始边的角有4个， 以为始边的角有3个， 以为始边的角有2个， 以为始边的角有1个， 故共有锐角：（个）． 故答案为：21． 【举一反三练1】（23-24七年级下·广西柳州·开学考试）下列说法中，正确的是（    ） A．两条射线组成的图形叫做角 B．两点确定一条直线 C．两点之间直线最短 D．延长直线至C 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了角的定义，直线的性质，两点之间线段最短等等，熟知相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：A、有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误，不符合题意； B、两点确定一条直线，原说法正确，符合题意； C、两点之间线段最短，原说法错误，不符合题意； D、直线不能延长，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如下图所示，直线与相交于点D，若，，则 ． 【答案】/99度 【思路点拨】本题考查角度的计算，平角的定义，一元一次方程的应用，设，则，根据，列出方程求解即可． 【规范解答】解：设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 考点讲练2：角的表示方法 【精讲题】（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【答案】 （或） （或） （或） 【思路点拨】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【规范解答】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图所示，回答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角： ； (2)写出以点B为顶点的角 ； (3)图中共有 个小于平角的角． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是角的表示方法． （1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以，，，为顶点的小于平角的角即可． 【规范解答】（1）解：能用一个字母表示的角有：． 故答案为：． （2）以为顶点的角有：． 故答案为：． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是：，，，，，，，共个． 故答案为：7． 【举一反三练2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，图中能用一个大写字母表示的角有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角的表示方法，用一个大写字母表示，这种表示方法表示角时，这个字母即为这个角的顶点，但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时,不能用一个大写字母，据此作答即可． 【规范解答】图中能用一个大写字母表示的角有，共2个， 故选：B． 考点讲练3：角的分类 【精讲题】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）一个钝角与一个锐角的度数差是（    ） A． B．大于，小于 C．小于 D．都不对 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了锐角与钝角，角度的相关计算等知识，根据锐角大于，小于，钝角大于，小于，两者差的范围即可求出． 【规范解答】解：∵锐角大于，小于，钝角大于，小于， ∴，， ∴一个钝角与一个锐角的度数差是大于，小于， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·广东东莞·期末）1平角= °． 【答案】180 【思路点拨】本题考查了平角的定义，解题的关键是掌握平角等于180度． 【规范解答】解：1平角， 故答案为：180． 【举一反三练2】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【规范解答】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 考点讲练4：钟面角 【精讲题】（23-24七年级上·湖南永州·期末）若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 【答案】90 【思路点拨】本题主要考查了钟面角的计算，先求出时钟上相邻数字之间的度数，再根据时，时针指向数字3，分钟指向数字12进行求解即可． 【规范解答】解：， ∴此时时针与分针的夹角为90度， 故答案为：90． 【举一反三练1】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）时针和分针所夹的较小角为（    ） A．平角 B．钝角 C．直角 D．锐角 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查角的概念及分类．解答时可以根据时整的时候，时针和分针重合，都在上，当分针指到分时，分针在上，此时时针和分针所夹的较小角为锐角． 【规范解答】解：因为时整的时候，时针和分针重合，当分针到达分时，分针在上， 所以时针和分针所夹的较小角为锐角． 故选：D． 【举一反三练2】（22-23六年级下·山东泰安·期中）下午时，时针和分针所夹锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查钟面角，掌握钟面角的特征是解题的关键．求出每一大格的度数即可得到答案． 【规范解答】解：钟面上有个大格， 故每一格度数为：， 下午时，时针和分针对应两个半大格， 故下午时，时针和分针所夹锐角的度数是． 故选C． 考点讲练5：方向角的表示 【精讲题】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（   ） A．（北偏东，） B．（南偏东，） C．（北偏西，） D．（南偏西，） 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了方位角表示位置，根据北偏东与南偏西相对，且二者的距离和对应的角度不变即可得到答案． 【规范解答】解：∵用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置， ∴导航灯相对于货轮的位置可描述为（南偏西，）， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）图书馆在学校( )偏( )的方向上，距离为( )． 【答案】 南 西 200 【思路点拨】本题主要考查了方位角的应用，根据上北下南，左西右东，结合图示即可得到答案． 【规范解答】解：由图可知，图书馆在学校南偏西的方向上，距离为， 故答案为：南；西；200． 【举一反三练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）点A在点B的北偏东方向上，点C在射线与正北方向夹角的角平分线上，那么点B测点C的方向是北偏东 度． 【答案】30 【思路点拨】本题主要考查了方位角，角平分线的定义，根据方位角的定义和角平分线的定义可知射线与正北方向的夹角为30度，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，∵点A在点B的北偏东方向上，点C在射线与正北方向夹角的角平分线上 ∴点B测点C的方向是北偏东30度， 故答案为：30． 考点讲练6：与方向角有关的计算题 【精讲题】（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，B处在A处南偏东方向，C处在A处南偏东方向，B处在C处南偏西方向，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了方向角的定义，以及平行线的性质，正确理解定义是解题的关键． 根据方向角的定义，即可求得，，的度数，然后根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：如图：    ∵，是正南正北方向， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了方向角，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，然后利用平角定义可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：解：如图： 由题意得：，， ， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·广西百色·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它南偏西的方向上，同时货轮在它北偏东的方向上，则此时的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．用加上，再加上，即可求解． 【规范解答】解：根据题意得：． 故选：B 考点讲练7：角的单位与角度制 【精讲题】（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了角度间的换算，先把乘以得，再乘以得，最后加上整数部分即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以． 【规范解答】解：， ， ∴用度、分、秒表示为， 故选：． 【举一反三练1】（23-24六年级下·全国·单元测试）已知的余角等于，那么 度． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求一个角的余角度数，根据度数之和为90度的两个角互余进行求解即可． 【规范解答】解：∵的余角等于， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）角的余角是 ； ． 【答案】 44 36.3 【思路点拨】本题考查了余角的知识及度分秒的换算，根据互余的两角之和为，及度分秒的换算关系可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】 解：角的余角； ． 故答案为：44，36.3． 考点讲练8：角的度数大小比较 【精讲题】（23-24六年级下·山东泰安·期末）若，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查角度大小的比较．先把化为度为单位，再逐项比较即可． 【规范解答】解：，， ， ． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东淄博·期末）比较大小： （填“>”或“<”号）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角度的大小比较； 根据角度的换算求出，然后再进行比较即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）比较大小： （填、或） 比较大小： ．（填、或） 【答案】 【思路点拨】此题考查了度分秒之间的转换和比较度数大小，单位统一后进行比较即可得到答案． 【规范解答】解：， ∵， ∴ 故答案为： ，， ∴， 故答案为： 考点讲练9：角的比较 【精讲题】（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，，射线是内部任意一条射线，分别是的平分线，下列叙述正确的是（    ） A．的度数不能确定 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由角平分线定义，得到，，数形结合，由确定A错误；根据不一定等于确定B错误；根据角平分线定义得到，，数形结合，由确定C正确；根据不一定等于，确定D错误，从而得到答案． 【规范解答】解：A、分别是的平分线， ，， ， ， 故的度数不能确定错误，不符合题意； B、分别是的平分线， ，， 射线是内部任意一条射线， 不一定等于， 故错误，不符合题意； C、分别是的平分线， ，， ， ， 故正确，符合题意； D、射线是内部任意一条射线， 不一定等于， 故错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【思路点拨】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【规范解答】解：将平移，让与两个角的顶点重合， 如图： 可得： 在的内部， 所以． 故选：A． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）对于任意的和，可能的大小关系是 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了角的大小，角的大小体现在度数的大小，两个任意角的度数未知，则可能相等，可能其中一个角大，另一个角较小． 【规范解答】解：∵任意的和， ∴可能它们的大小关系是或或， 故答案为：或或． 考点讲练10：三角板中角度计算问题 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了余角和补角、平角定义．根据同角的余角相等，补角定义，平角的定义对各小题分析判断即可得解． 【规范解答】解：第1个图中，，符合题意； 第2个图中，根据同角的余角相等，，符合题意； 第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置得：，， ∴，符合题意； 第4个图中，根据图形可知与是邻补角， ∴，不符合题意； 综上， 的图形有3个． 故选：C． 【举一反三练1】（2024七年级上·河北·专题练习）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【答案】180 【规范解答】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据进行求解即可． 【思路点拨】解：由题意得，， ∴． 故答案为：180． 【举一反三练2】（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）用一副三角尺的两个角不能拼成（   ）度的角． A．15 B．105 C．110 D．120 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角的计算．用三角板拼特殊角其实质是角的和差运算，理解题意是关键．用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案． 【规范解答】解：A．的角，；故本选项不符合题意； B．的角，；故本选项不符合题意； C．的角，无法用三角板中角的度数拼出；故本选项符合题意； D．的角，；故本选项不符合题意． 故选C． 考点讲练11：几何图形中角度计算问题 【精讲题】（23-24六年级下·全国·单元测试）如下图，，平分，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由已知条件得到，则． 【规范解答】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查角平分线的定义，以及角的和差计算，可以根据角平分线结合直角进行解答．由角平分线的定义可得，根据，结合角的和差可得，由此可以得到答案． 【规范解答】解：射线平分，， ， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，点在直线上，过点作射线、，使，当时，的度数为 ． 【答案】/48度 【思路点拨】本题考查角的知识，解题的关键掌握平角和直角的性质，根据题意，得到，，即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴． 故答案为：． 考点讲练12：角度的四则运算 【精讲题】（23-24七年级上·海南儋州·期中）如图，，平分，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了角平分线的定义以及角的计算，由射线平分，，得，从而求得，解题的关键是正确理解角平分线定义及熟练掌握角度的计算． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【举一反三练1】（23-24七年级下·吉林·开学考试）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角度的计算，直接进行角度的加法运算，满进． 【规范解答】解：， 故答案为： 【举一反三练2】（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末） ° ′． 【答案】 66 44 【思路点拨】本题主要考查度分秒的换算，利用度分秒的进制进行计算即可解答． 【规范解答】解： ； 故答案为：66；44． 考点讲练13：实际问题中角度计算问题 【精讲题】（2024·河南周口·三模）如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 【规范解答】为水面，入射角为， ， 故选 C． 【举一反三练1】（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【规范解答】解： 由翻折可知 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）亲爱的同学们每天早上到校，时针与分针的夹角是 °； 【答案】 【思路点拨】本题主要考查角的运算，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，即可求得答案． 【规范解答】设钟表一圈共份，时分时，时针和分针相距的份数． 时针与分针的夹角． 故答案为：． 考点讲练14：角n等分线的有关计算 【精讲题】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【规范解答】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 【举一反三练1】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【思路点拨】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【规范解答】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 考点讲练15：求一个角的余角 【精讲题】（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了求一个角的余角，根据互余的两个角的和为，计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴的余角的度数为， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了余角，和为的两个角互为余角，据此解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴如果一个角的余角是，那么这个角的度数是， 故选：B． 考点讲练16：求一个角的补角 【精讲题】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是(　   ) A．一个角的补角一定是钝角 B．直线就是平角，射线就是周角 C．角的两边越长，角就越大 D．同角的补角相等 【答案】D 【思路点拨】本题考查角的概念和补角的性质等知识，根据相关知识逐项判断即可得解． 【规范解答】解：A、一个钝角的补角一定是锐角，一个锐角的补角一定是钝角，此选项错误，不符合题意； B、直线不是平角，射线也不是周角， C、角的两边的长度和角的大小没有关系，此选项错误，不符合题意； D、同角的补角相等，此选项正确，符合题意； 故选：D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）若，则的补角是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了互补两角的关系，相加等于的两个角互补，根据互补两角的关系求解即可得出答案． 【规范解答】， 的补角是， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）如果的补角是，那么 度． 【答案】60 【思路点拨】本题考查了补角的知识，属于基础题，注意掌握互补的两角之和为． 根据互补的两个角之和为，即可得出答案． 【规范解答】解：∵的补角是， ∴， 故答案为：60． 考点讲练17：与余角、补角有关的计算 【精讲题】（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．两个相等的角不可能互余 B．角的平分线是一条射线 C．一个角的补角一定比这个角大 D．连接两点的线段叫做这两点间的距离 【答案】B 【思路点拨】本题考查了余角、补角的定义，角平分线的定义，两点间的距离的定义，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【规范解答】解：A、例如：是互余的，故两个相等的角不可能互余是错误的，故该选项是错误的； B、角的平分线是一条射线，端点在角的顶点，另一端无限延长，故该选项是正确的； C、例如： 的补角是，此时，则一个角的补角一定比这个角大是错误的，故该选项是错误的； D、连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，则连接两点的线段叫做这两点间的距离是错误的，故该选项是错误的； 故选：B． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则与的关系是 ． 【答案】互余 【思路点拨】本题考查余角的定义，求出，根据和为的两个角互为余角即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴与互余． 故答案为：互余 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两个角的度数之和等于 ，那么这两个角互为补角；如果两个角的度数之和等于 ，那么这两个角互为余角． 【答案】 180 90 【思路点拨】本题考查余角和补角的定义，根据补角和余角的定义即可解答． 【规范解答】解：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角； 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角． 故答案为：180；90 考点讲练18：同（等）角的余（补）角相等的应用 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【思路点拨】此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．根据余角的定义求解即可． 【规范解答】解：∵平分，平分， ∴， 又∵，即， ∴，， ∴与互余的角共有2个． 故选：B． 【举一反三练1】（22-23七年级上·湖南湘西·期末）下列说法中错误的有（    ） ①一个锐角的余角比这个角大；②一个角的补角比这个角大；③一个钝角的补角比这个角小；④同角或等角的补角相等；⑤若与互余，与互余，则与互余 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是余角和补角．根据余角和补角的定义，余角和补角的性质进行解答即可． 【规范解答】解：①一个锐角的余角不一定比这个角大，原说法错误； ②一个角的补角不一定比这个角大，原说法错误； ③一个钝角的补角比这个角小，正确； ④同角或等角的补角相等，正确； ⑤若与互余，与互余，则与相等，原说法错误； 故选：B 【举一反三练2】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，，，垂足为D，与的关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂直的定义理解．根据“等角的余角相等”，即可得到正确答案． 【规范解答】解：与相等，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 中等题真题汇编练 1．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，四条表示方向的射线，表示北偏东的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了方位的判断，要根据给定的方向图标，先找到北方，北偏东那就是向东偏了的夹角是即可得出答案． 【规范解答】解：先找到北方，北偏东那就是向东偏了的夹角是，如下图： 故选：B． 2．（2024·湖南·二模）如图，，是的平分线，是的平分线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了角平分线的相关计算，根据角平分线的定义依次求出，，即可求出的度数. 【规范解答】解：∵，是的平分线， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：D． 3．（23-24七年级上·天津津南·期末）时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．确定时针与分针相距的份数是解题关键． 【规范解答】解：6点10分时时针与分针相距份， 在6点10分时，时针和分针所成角度是， 故选：． 4．（22-23七年级下·浙江·开学考试）如图，点在直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角定义是解答本题的关键． 根据余角和补角定义求解即可得出答案． 【规范解答】解：，， ， 由补角的定义可得，， 故答案为：B． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）上午9时整，钟面上分针与时针成（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 【答案】B 【思路点拨】本题考查钟面角，理解钟面角的特征是正确判断的前提．表盘有12个大格，则每一个大格为，根据题意时针和分针相隔3个大格，列式即可求解． 【规范解答】解：， 故选：B． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，若，平分，则 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了角平分线的有关计算，由题意得，进一步可得，求出即可求解； 【规范解答】解：由题意得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 7．（24-25九年级上·福建福州·自主招生）康正午看时钟，发现时针与分针重合，下次这样重合时刻是 ． 【答案】1时分钟 【思路点拨】本题考查钟表分针所转过的角度计算，解题时经常用到分针每分钟转过的角度为6度，时针每分钟转过的角度为度．首先我们可以推算出分针和时针下次相遇的时间为1点钟以后的时间，也就是说此时时针与分针的差距实际是，那么可设经过分钟再次重合，根据速度、时间和路程的关系可得：，由此即可解决问题． 【规范解答】解：设经过分钟再次重合，根据题干可得： ， ， ． 分时分钟； 故答案为：1时分钟． 8．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，，，平分，则 度； 【答案】25 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算， 根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：25． 9．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，已知， ，那么 度． 【答案】133 【思路点拨】本题考查了几何图形中角度计算问题，结合图形得出，代数进行计算，得出的值，然后把的值代入进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵，，且， ∴， ∴， 则把代入， ∴， 故答案为：133． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知是它补角的3倍，则 ． 【答案】/135度 【思路点拨】本题考查了补角的定义，一元一次方程的应用，属于基础题，根据互补的两角之和为，设，则的补角为，列出方程求解即可． 【规范解答】解：设，则的补角为， 根据题意，得：， 解得， ． 11．（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）做一做 (1)说一说王彬从家到商场的行走路线． 从家先向______偏______方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向______偏______方向走到达商场． (2)王彬从家到图书馆共走了多少米？如果每分钟走80米，多少分钟可以到达？ 【答案】(1)北；东 ；北；东 (2)王彬从家到图书馆共走了米，如果每分钟走80米，分钟可以到达 【思路点拨】本题主要考查了方位角的应用，除法的应用： （1）根据上北下南，左西右东的方位，结合图示求解即可； （2）先求出总路程，再除以速度求出时间即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，从家先向北偏东方向走到达电影院，再向南偏东方向走到达广场，再向北偏东方向走到达商场， 故答案为：北；东 ；北；东； （2）解：米， 所以王彬从家到图书馆共走了米， 所以如果每分钟走80米，分钟可以到达； 答：王彬从家到图书馆共走了米，如果每分钟走80米，分钟可以到达． 12．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面图上标出各建筑物的位置． (1)超市在百货大楼的正北方向米处； (2)医院在百货大楼北偏西度方向米处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了位置与方向．熟练掌握位置与方向是解题的关键． （1）（2）根据位置与方向作图即可． 【规范解答】（1）解：如图1，超市即为所作； （2）解：如图1，医院即为所作． 13．（23-24六年级下·全国·单元测试）射线位于北偏东方向，射线位于西北方向，请在图上画出这两条射线．    【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了方位角，根据题意分别作射线使得即可． 【规范解答】解：如图所示，即为所求．    14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，方程思想的应用．由角平分线知；设，由建立方程即可求得x的值，从而得；再角平分线的定义及和角关系即可求解． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 培优题真题汇编练 15．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是平角的平分线，，那么下列式子中错误的是(　　　) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查补角与余角的定义，熟练掌握补角和余角的定义是解决本题的关键．由射线是平角的平分线，得，选项D不符合题意．根据同角的余角相等，得，，选项A不符合题意．同理可得，选项B不符合题意， C中两角互余不能推断相等，选项C符合题意． 【规范解答】解：D、∵射线是平角的平分线， ．故选项D不合题意． A、． 又， ． 故选项A不符合题意． B、，， ． 故选项B不符合题意． C、， ∴． 无法证明． 故选项C符合题意． 故选：C． 16．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）一个角的补角比这个角的余角的倍少，这个角的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，余角、补角的定义，设这个角的度数为，根据题意列出方程即可求解，掌握余角、补角的定义是解题的关键． 【规范解答】解：设这个角的度数为， 由题意得，， 解得， 故选：． 17．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）下列说法：①射线和射线是同一条射线；②余角是；③若＝，则点为线段的中点；④邻补角的两条角平分线构成一个直角．其中，正确的说法(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】根据射线的表示方法即可判断①；根据互余判断②；根据线段中点的定义即可判断③；根据邻补角及角平分线定义即可判断④． 【规范解答】解：①射线与射线表示的是不同的射线，故原说法错误； ②一个锐角的余角等于减去这个角，故原说法错误； ③两点确定一条直线，故原说法正确；若线段，当三点共线时，点是线段的中点，故原说法错误； ④邻补角的两条角平分线构成一个直角，故原说法正确； ∴说法正确的有个， 故选． 18．（23-24七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【规范解答】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 19．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）下列说法中，正确的是（    ） A．大于直角而小于周角的角是钝角 B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，，，那么、、互为补角 【答案】C 【思路点拨】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．性质：等角的补角相等，等角的余角相等． 根据钝角的定义对A进行判断；根据的补角为可对B进行判断；根据补角的定义对C、D进行判断． 【规范解答】解：A、大于直角而小于平角的角是钝角，所以A选项错误； B、互补的角可都为，所以B选项错误； C、两个锐角的和不可能等于，所以C选项正确； D、如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，所以D选项错误． 故选：C． 20．（23-24七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，点A、O、B在一条直线上，且，，则 度． 【答案】12 【思路点拨】本题考查已知角度比例关系求解角的问题，解题的关键是设未知数利用方程思想根据已知角度列方程． 设，根据平角定义表示出，再根据列方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：设， 则有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 21．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）一个角的余角的倍比这个角的补角小，则这个角的度数为 ． 【答案】/65度 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的几何应用，设这个角的度数为，根据题意列出方程即可求解，掌握余角、补角定义是解题的关键． 【规范解答】解：设这个角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 22．（22-23七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如果一个角的余角比它补角的多，则这个角为 ． 【答案】/度 【思路点拨】此题主要考查了角度的计算，设这个角为，则它的余角为，补角为，依据题意列出方程即可求解． 【规范解答】解：设这个角为，则它的余角为，补角为， 由题意可得，， 解得：， 即：这个角为， 故答案为：． 23．（2024七年级下·四川成都·专题练习）（钟面角）在4点多钟时，时钟的时针和分针在一条直线上且方向相反，这时是4点 分． 【答案】 【思路点拨】本题考查钟面角，一元一次方程的应用，根据分钟1分钟转过的度数为，时针一分钟转过的度数为，假设在4点多x分钟时，时钟的时针和分针在一直线上且方向相反，4点整时时针和分针同时出发，相同时间，分针比时针多走了180度30度4，根据速度公式列出等式，即可得解． 【规范解答】解：设假设在4点多x分钟时，时钟的时针和分针在一直线上且方向相反，由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 24．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）一个角的补角比这个角的6倍还大，则这个角的大小为 ． 【答案】/25度 【思路点拨】本题考查了补角的有关计算，一元一次方程的应用，表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键． 设这个角的度数为，根据题意列方程进行求解即可． 【规范解答】解：设这个角的度数为， 根据题意，得， 解得：， 所以这个角的度数为． 故答案为：． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， ， ． 故答案为：； （3）．理由如下: ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）∵平分， 又∵， ． 故答案为：． 26．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考査了一元一次方程的应用，角的动态定义及余角、补角的概念，本题的关键是找准等量关系列方程，并结合数形结合的思想解题． （1）根据题意列出含的方程，先求出的度数进而可求的度数； （2）由，，，得，求出．由平分，得，，进而可求结论． 【规范解答】（1）解： 根据题意，得， 解得．                          与互补， ， ， ， ．                                （2）解：，，， ， ．                ， ． 平分， ．        ， ， 即．                               27．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线固定位置，，平分，平分． 知识再现： （1）_________； 探究升华： （2）将图1中的绕点A旋转，当旋转到图2位置时，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点A旋转一周，当时，求的度数． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或 【思路点拨】（1）由角平分线得到，，结合图形，得到结果； （2）根据图2，同样利用角平分线的关系，得到角的关系，结合图形，得到结果； （3）根据条件，，设，列出方程，求出的度数，根据图1、图2两种情况，分别计算的度数即可， 本题考查了角平分线的定义及应用，以及根据图形，结合角度的计算，得到结果，关键是能要结合图形的变换，分辨出角与角之间的关系． 【规范解答】解：（1）如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 故结论仍成立； （3）设，则， 如图1，， ∴， ∴， ∴， 如图2， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 28．（23-24七年级下·青海西宁·开学考试）（1）计算：         （2）计算： （3）计算：         （4）计算： （5）解方程：     （6）解方程： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【思路点拨】（1）直接利用有理数的加法法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可； （3）把原式化为，再计算即可； （4）直接根据角度的乘法运算，除法运算法则，先计算乘除运算，再计算加减运算即可； （5）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把系数化为1即可； （6）先去括号，再移项，合并同类项，最后把系数化为1即可 【规范解答】解：（1） ；        （2） ； （3） ；        （4） ； （5）  ， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：；   （6）， 去括号得：， 整理得：， 解得： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$