6.1 直线 射线 线段（16个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《平面图形的初步认识》】 6.1 直线、射线、线段 （16个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：直线、射线、线段的联系与区别 1 考点讲练2：画出直线、射线、线段 2 考点讲练3：点与线的位置关系 2 考点讲练4：直线、线段、射线的数量问题 3 考点讲练5：直线相交的交点个数问题 3 考点讲练6：线段的应用 4 考点讲练7：两点确定一条直线 4 考点讲练8：作线段（尺规作图） 5 考点讲练9：线段的和与差 6 考点讲练10：线段中点的有关计算 6 考点讲练11：线段n等分点的有关计算 6 考点讲练12：线段之间的数量关系 7 考点讲练13：与线段有关的动点问题 7 考点讲练14：两点之间线段最短 8 考点讲练15：两点间的距离 9 考点讲练16：最短路径问题 10 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 13 考点讲练1：直线、射线、线段的联系与区别 【精讲题】（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【举一反三练1】（23-24六年级下·山东烟台·期中）在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，直线和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是 （填写区域的序号）． 考点讲练2：画出直线、射线、线段 【精讲题】（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【举一反三练1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列作图语句中，正确的是（   ） A．画直线cm B．延长线段到 C．延长射线到 D．作直线使之经过，，三点 【举一反三练2】（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个． 考点讲练3：点与线的位置关系 【精讲题】（23-24七年级上·云南·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B． C．射线与射线是同一条射线 D． 【举一反三练1】（2023七年级上·全国·专题练习）点与直线有 种位置关系，分别是点在 和点在 ．如图：点A在 ，点B在 ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河北唐山·期末）平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 考点讲练4：直线、线段、射线的数量问题 【精讲题】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）从市到市，乘坐火车共经过5个车站（不包括，两种），买车票的价格因为起点和终点不同有很多种，从市到市的任意两个车站的车票价格最多有（    ） A．7种 B．14种 C．21种 D．28种 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【举一反三练2】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）如图，有x条直线，y条射线，z条线段，则 ． 考点讲练5：直线相交的交点个数问题 【精讲题】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有 个交点． 考点讲练6：线段的应用 【精讲题】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【举一反三练1】（23-24七年级上·天津和平·期末）如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为 ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 考点讲练7：两点确定一条直线 【精讲题】（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【举一反三练1】（22-23六年级下·山东泰安·期中）根据生活经验，我们发现：把一根细木条固定在墙上，至少需要（    ）个钉子． A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练2】（22-23七年级上·新疆伊犁·期末）将一根细木条固定在墙上，只需两个钉子，其依据是 ． 考点讲练8：作线段（尺规作图） 【精讲题】（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，数学课上，老师在黑板上画出了一个，要求学生们只用无刻度直尺和圆规比较与的大小，以下是同学们给出的4种做法，根据作图痕迹，其中错误的是（    ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【举一反三练1】（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为 ． 【举一反三练2】（2024七年级下·全国·专题练习）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到 B．以点为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线 D．延长线段至，使 考点讲练9：线段的和与差 【精讲题】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点C在线段上，，则 ． 【举一反三练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 考点讲练10：线段中点的有关计算 【精讲题】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三练1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知如图，点C是线段 的中点，且，若，则线段的长是（　　　） A．8 B．21 C．20 D．12 【举一反三练2】（22-23七年级·浙江杭州·单元测试）同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为 ． 考点讲练11：线段n等分点的有关计算 【精讲题】（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 考点讲练12：线段之间的数量关系 【精讲题】（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 【举一反三练2】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，、是线段上的点，是线段中点．若，，则线段的长度是（    ）    A． B． C． D． 考点讲练13：与线段有关的动点问题 【精讲题】（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三练1】（22-23七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 考点讲练14：两点之间线段最短 【精讲题】（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，将四边形沿虚线剪掉一个角，得到五边形，则该五边形的周长比原四边形的周长 填“大”或“小”)．理由是 ． 考点讲练15：两点间的距离 【精讲题】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中正确的语句共有(　　　) ①直线与直线是同一条直线；②直线总比线段长；③射线与射线表示同一条射线；④连接两点的线段叫两点间的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（22-23六年级下·山东泰安·期中）已知线段，点是直线上一点，，若为中点，为中点，则线段的长度为 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）数轴上有A对应的数是，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，且，则点C表示的数是 ． 考点讲练16：最短路径问题 【精讲题】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 【举一反三练2】（23-24七年级上·吉林·期末）从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 中等题真题汇编练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点C是线段上的一点，且．下列结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）下列各图中，表示“射线”的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，C，D为线段上的两点，且，E是线段的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图所示，在同一条直线上，点是线段的中点，点是线段上一点，则下列数量关系不一定成立的是（    ）．    A． B． C． D． 5．（22-23六年级下·山东东营·期中）下列说法中正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．若，，三点在同一直线上，且，则点是线段的中点 D．连结两点的线段长度叫做两点间的距离 6．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则的长度是 ． 7．（22-23七年级上·河北唐山·单元测试）如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，，，则 ． 8．（23-24七年级上·重庆·期末）延长线段至点C，使得，点D为线段的中点，且，则的长是 cm． 9．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，点D为线段的中点，，若，则的长为 ． 10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）经过不在同一直线上的四个点中的任意两点画直线，一共可以画 条． 11．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）振兴乡村经济，惠利千万百姓．山西省大力发展乡村振兴项目，某农场改进灌溉式，更换为智慧水利系统．如图，为同一条直线上的三块田地，为的中点，点为智慧水源，为三条水管，其中米．若的周长分别为180米，190米，求的长． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）点是线段的中点，，点将线段分为两部分，．求线段的长． 13．（2024·河北沧州·模拟预测）A，B，C，D四个车站的位置如图所示．求： (1)A，D两站的距离； (2)C，D两站的距离； (3)若，C为的中点，求b的值． 14．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 培优题真题汇编练 15．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 17．（22-23七年级下·山东济宁·期中）下列说法正确的个数为（    ） ①若，则M为的中点；②连接两点之间的线段叫两点间的距离；③两点之间的所有连线中，线段最短；④射线和射线表示同一条射线． A．1 B．2 C．3 D．4 18．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）已知线段，点B是线段的中点，点D是线段上一点，且，则线段的长为（    ） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 19．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 20．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知C、 D是线段上两点，且，，若点M、N分别是线段、的中点，，则线段的长是 ． 21．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，M为线段的中点，若点C在线段上，且，，则线段的长为 ． 22．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知点、在线段上，若，点为线段的中点，，则线段的长为 ． 23．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）已知点A、B、C位于直线上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为 ． 24．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B、C在线段上，，，B是的中点，则的长为 ． 25．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，线设，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 26．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 27．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求线段的长． (2)若为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请说明理由． (3)若在线段的延长线上，且满足，，分别是，的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形．写出你的结论，并说明理由． 28．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《平面图形的初步认识》】 6.1 直线、射线、线段 （16个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：直线、射线、线段的联系与区别 1 考点讲练2：画出直线、射线、线段 3 考点讲练3：点与线的位置关系 5 考点讲练4：直线、线段、射线的数量问题 6 考点讲练5：直线相交的交点个数问题 8 考点讲练6：线段的应用 9 考点讲练7：两点确定一条直线 11 考点讲练8：作线段（尺规作图） 12 考点讲练9：线段的和与差 14 考点讲练10：线段中点的有关计算 15 考点讲练11：线段n等分点的有关计算 17 考点讲练12：线段之间的数量关系 20 考点讲练13：与线段有关的动点问题 22 考点讲练14：两点之间线段最短 24 考点讲练15：两点间的距离 25 考点讲练16：最短路径问题 27 中等题真题汇编练 29 培优题真题汇编练 37 考点讲练1：直线、射线、线段的联系与区别 【精讲题】（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【思路点拨】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度． 【规范解答】A、线段不能向两边延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； B、射线向右上方方向延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； C、射线向左下方方向延伸， ∴与会相交，故本选项正确； D、射线向右上方方向延伸，射线向左下方方向延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； 故选：C． 【举一反三练1】（23-24六年级下·山东烟台·期中）在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 【答案】射线 【思路点拨】本题主要考查射线的定义，根据直线，射线和线段的区别即可得出答案． 【规范解答】手电筒可近似看成一个点，所以手电筒发射出来的光线相当于一个从一个端点出发的一条射线， 故答案为：射线． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，直线和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是 （填写区域的序号）． 【答案】② 【思路点拨】本题考查线段定义及线段交点问题，数形结合，当点落在区域①③④⑤，线段与线段没有公共点，当点落在区域②时，线段与线段有公共点，即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【规范解答】解：由题意可知，当点落在区域②时，线段与线段有公共点，如图所示： 故答案为：②． 考点讲练2：画出直线、射线、线段 【精讲题】（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【规范解答】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列作图语句中，正确的是（   ） A．画直线cm B．延长线段到 C．延长射线到 D．作直线使之经过，，三点 【答案】B 【思路点拨】本题考查作图---尺规作图的定义，解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪些不可以测量，根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题 【规范解答】解：∵直线无法测量，故选项A错误； 延长线段到C是正确的，故选项B正确； 射线本身是以点O为端点，向着方向延伸，故选项C错误； 如果点A、B、C三点不在同一直线上，则直线不能同时经过这三个点，故选项D错误； 故选：B 【举一反三练2】（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【规范解答】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 考点讲练3：点与线的位置关系 【精讲题】（23-24七年级上·云南·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B． C．射线与射线是同一条射线 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了点与线段的关系，线段与线段的关系，射线的判定．根据点与线段的关系，线段之间的关系，射线的判定判断即可． 【规范解答】解：A、点C在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、射线与射线不是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【举一反三练1】（2023七年级上·全国·专题练习）点与直线有 种位置关系，分别是点在 和点在 ．如图：点A在 ，点B在 ． 【答案】 2 直线上 直线外 直线外 直线上 【思路点拨】本题主要查了点与直线的位置关系．根据点与直线的位置关系，即可求解． 【规范解答】解：点与直线有2种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外． 点A在直线外，点B在直线上． 故答案为：2；直线上；直线外；直线外；直线上 【举一反三练2】（23-24七年级上·河北唐山·期末）平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．根据，，，有进行判断即可． 【规范解答】解：如图，在平面内，， ∵，， ∴点C为以A为圆心，6为半径，与以B为圆心，4为半径的两个圆的交点， 由于， 所以，点C在线段上， 故选：A．    考点讲练4：直线、线段、射线的数量问题 【精讲题】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）从市到市，乘坐火车共经过5个车站（不包括，两种），买车票的价格因为起点和终点不同有很多种，从市到市的任意两个车站的车票价格最多有（    ） A．7种 B．14种 C．21种 D．28种 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了线段条数问题，根据包括A、B在内一共有7个站，且每两个站之间都有两种票价，但由于要求从市到市，则每两个站之间只有一种票价，据此求解即可． 【规范解答】解：∵包括A、B在内一共有7个站，且每两个站之间都有两种票价， ∴从市到市的任意两个车站的车票价格最多有种， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是线段的条数．先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可． 【规范解答】解：上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段4条． 共计21条． 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）如图，有x条直线，y条射线，z条线段，则 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了直线，射线，线段，熟记定义是解题的关键． 根据直线，射线，线段的定义得到x、y、z的值，再代入解答即可． 【规范解答】如图：    ∵直线有1条()， ∴， ∵射线有6条()， ∴， 线段有3条()， ∴， ∴． 故答案为：10． 考点讲练5：直线相交的交点个数问题 【精讲题】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案． 【规范解答】根据题意可知在同一平面内， 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是简单的规律探究，先例举1条直线最多将平面分成2个部分；而，2条直线最多将平面分成4个部分；而，3条直线最多将平面分成7个部分；而，再总结归纳可得答案． 【规范解答】解：如图所示，    1条直线最多将平面分成2个部分；而， 2条直线最多将平面分成4个部分；而， 3条直线最多将平面分成7个部分；而， 平面上有8条直线，最多能把平面分成； 故答案为： 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有 个交点． 【答案】45 【规范解答】解：2条直线相交，最多有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，即条直线相交，最多有6个交点，即条直线相交，最多有10个交点，即条直线相交，最多有（个）交点． 考点讲练6：线段的应用 【精讲题】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【答案】C 【思路点拨】本题考查了线段的数量问题，由题意可知：由第一站点分别要经过4个不同的站点，所以要4种车票；由第二站点要经过3个不同的地方，所以要制作3种车票；依此类推，则分别要制作的车票种数为4，3，2，1种．由于同一条线路的起点和终点是可以变化的，所以同一线路对应2种车票． 【规范解答】解：由题意，得：这段铁路上的火车票价共有种． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级上·天津和平·期末）如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了线段长短的比较，理解题意，找出各线段的长度是解题的关键． 根据题意可以设出线段的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【规范解答】设的长度为， ∵， ∴，，，， ∴， ∵再从图（二）的 点及与 点重叠处一起剪开，使得细线分成三段， ∴剪开后这三段的长度分别是： 的长度，即； 的长度的2倍，即； 图（二）中的长度，即， ∴此三段细线由小到大的长度比为：． 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【思路点拨】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【规范解答】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 考点讲练7：两点确定一条直线 【精讲题】（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】C 【思路点拨】此题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可解答． 【规范解答】解：根据两点确定一条直线，可使每一层砖在一条直线上． 故答案为：C． 【举一反三练1】（22-23六年级下·山东泰安·期中）根据生活经验，我们发现：把一根细木条固定在墙上，至少需要（    ）个钉子． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可解答． 【规范解答】解：据生活经验，我们发现：把一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子， 故选：B． 【举一反三练2】（22-23七年级上·新疆伊犁·期末）将一根细木条固定在墙上，只需两个钉子，其依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【思路点拨】本题考查两点确定一条直线，根据直线公理解答． 【规范解答】将一根木条固定在墙上只用了两个钉子，这样做的依据是“两点确定一条直线”． 故答案为：两点确定一条直线． 考点讲练8：作线段（尺规作图） 【精讲题】（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，数学课上，老师在黑板上画出了一个，要求学生们只用无刻度直尺和圆规比较与的大小，以下是同学们给出的4种做法，根据作图痕迹，其中错误的是（    ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．方法一：由作法得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可判断；方法二：由作法得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可判断；方法三：由作法得：，再由等腰三角形的性质，可判断；方法四：由作法得：垂直平分，再由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可判断． 【规范解答】解：方法一：由作法得：， ∴， ∵ ∴，故方法一正确； 方法二：由作法得：， ∴， ∵， ∴，故方法二正确； 方法三：由作法得：， ∴， 根据题中条件，无法得到与的大小，故方法三错误； 方法四：由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故方法四正确； 故选∶C 【举一反三练1】（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出，即可求解． 【规范解答】解∶由作图可知∶ ， ∵， ∴， 故答案为∶5． 【举一反三练2】（2024七年级下·全国·专题练习）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到 B．以点为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线 D．延长线段至，使 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论． 【规范解答】解：A．根据射线是从向无限延伸，故延长射线到是错误的； B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点为圆心，任意长为半径画弧是正确的； C．根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的； D．延长线段至C，则，故使是错误的； 故选：B． 考点讲练9：线段的和与差 【精讲题】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 根据线段中点的定义可得、，再结合可得，进而得到，即，据此求解即可． 【规范解答】解：∵点M、N分别是的中点， ∴,, ∵, ∴,即, ∴，即， ∴． 故选：D． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点C在线段上，，则 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了线段的和差计算，根据线段的和差关系列式求解即可． 【规范解答】解；∵点C在线段上，， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查线段的和差以及线段中点的定义，利用线段和差作为等量关系列方程是解决问题的关键．根据线段的差求出，由，可得，再根据，即可求解． 【规范解答】解：，， ， ， ， ， 故选：C． 考点讲练10：线段中点的有关计算 【精讲题】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【规范解答】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 【举一反三练1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知如图，点C是线段 的中点，且，若，则线段的长是（　　　） A．8 B．21 C．20 D．12 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段中点的定义得到，进而求出，则． 【规范解答】解：∵线段，点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三练2】（22-23七年级·浙江杭州·单元测试）同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为 ． 【答案】或/或 【思路点拨】本题考查了线段的中点，和差运算，根据题意，由点为中点，，可得的值，图形结合，分类讨论即可求解． 【规范解答】解：如图所示， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或 ． 考点讲练11：线段n等分点的有关计算 【精讲题】（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【规范解答】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【答案】(1)7 (2)4.5 (3)3或6 【思路点拨】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据线段的和差计算即可； （2）根据线段中点的特点计算即可； （3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：． （2）解：点是线段的中点， ； 故答案为：4.5． （3）解：点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为3或6． 故答案为：3或6． 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【思路点拨】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【规范解答】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 考点讲练12：线段之间的数量关系 【精讲题】（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确即可． 【规范解答】解：∵点C是线段上一点， ∴不一定是的二倍，故选项A中的结论不成立，符合题意； 由图可得， ，故选项B中的结论成立，不符合题意； ，故选项C中的结论成立，不符合题意； ∵D是线段的中点， ∴，故选项D中的结论成立，不符合题意． 故选：A． 【举一反三练1】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查与线段中点有关的计算，设，则：，根据，求出的值，中点求出的长，再利用，进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，、是线段上的点，是线段中点．若，，则线段的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了线段中点的有关计算．熟练掌握线段中点定义，线段的主差关系，是解决问题的关键． 根据线段的和差关系得到，根据中点定义得到，得到，即可得到答案． 【规范解答】∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度是． 故选：C． 考点讲练13：与线段有关的动点问题 【精讲题】（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段5条，所以出现报警次数最多5次． 【规范解答】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、， ∴发出警报的点P最多有5个． 故选：C． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【思路点拨】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【规范解答】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 【答案】或2或 【思路点拨】设三条线段的长分别是，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【规范解答】∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是， ∵到5的距离是6， ∴， 解得， ∴三条线段的长分别为，，3， 如图所示：①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能是或2或． 故答案为：或2或 考点讲练14：两点之间线段最短 【精讲题】（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 【答案】C 【思路点拨】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【规范解答】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，将四边形沿虚线剪掉一个角，得到五边形，则该五边形的周长比原四边形的周长 填“大”或“小”)．理由是 ． 【答案】 小 两点之间线段最短 【思路点拨】本题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．利用两点的所有连线中，线段最短，可以得出结论． 【规范解答】解：∵两点之间线段最短， ∴四边形沿虚线裁去一个角得到五边形，则这个五边形的周长小于原四边形的周长， 故答案为：小；两点之间线段最短． 考点讲练15：两点间的距离 【精讲题】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中正确的语句共有(　　　) ①直线与直线是同一条直线；②直线总比线段长；③射线与射线表示同一条射线；④连接两点的线段叫两点间的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了两点间的距离的定义，直线、射线和线段的区别与关系，熟练掌握概念是解题的关键．根据相关知识分析判断即可得解． 【规范解答】解：①直线与直线是同一条直线，故此说法正确； ②直线没有长度，故此说法错误； ③射线与射线不表示同一条射线，它们的方向不一致，故此说法错误； ④连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故此说法错误； 正确的语句只有一个，即①， 故选：A 【举一反三练1】（22-23六年级下·山东泰安·期中）已知线段，点是直线上一点，，若为中点，为中点，则线段的长度为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论． 本题需要分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据线段中点的定义，计算即可． 【规范解答】解：如图，当点在线段上时， 是的中点， ， 是的中点， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时， 是的中点，是的中点， ， 综上所述，线段的长度是或， 故答案为：或． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）数轴上有A对应的数是，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，且，则点C表示的数是 ． 【答案】53 【思路点拨】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位，得出蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位，即可确定点B的对应的数为，根据数轴得出长，即可得出结果． 【规范解答】解：根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位， ∴蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位， ∴点B的对应的数为：， ∴ ∴点C表示的数是， 故答案为：53． 考点讲练16：最短路径问题 【精讲题】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称最短路径的计算方法是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为的中点，根据轴对称的性质可得，由此可得的最小值为的最小值，当时的值最小，根据等边三角形的“三线合一”的性质即可求解． 【规范解答】解：∵是等边三角形，点是中点，， ∴，， ∴， ∴点关于的对称点为的中点，如图所示， ∴， ∴， 当三点共线且时，最小，即的值最小即的长， ∵的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数学模型“费马点”，“费马点”是指三角形内部某一点到三个顶点之间的距离之和最短．当三角形的三个角都小于时，“费马点”在三角形的内部，同时“费马点”到两个顶点之间的夹角都是，当有个角大于等于时，“费马点”就是该角的顶点；但当且仅当三角形是等边三角形时，“费马点”和三角形的内角重合，而三角形的内心是三条角平线的交点．根据“费马点”的定义并结合题意即可得到答案． 【规范解答】解：∵图中为锐角三角形，且不是等边三角形， ∴A、C、D都不符合题意． 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·吉林·期末）从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 【答案】 ② 相等 【思路点拨】题目主要考查线段的和差，理解题意，结合图形求解即可． 【规范解答】解：根据平移的性质可得①、③两条路线的总长度相等； ②路线的长度最短，因为． 故答案为：②；相等． 中等题真题汇编练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点C是线段上的一点，且．下列结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查成比例线段，解题关键在于求得线段比例关系． 根据，可知C为线段的三等分点，结合图形判断各选项的对错． 【规范解答】解∶因为， 所以，即， 故选∶C． 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）下列各图中，表示“射线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了射线的定义，射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线仅有一个端点，无法测量，射线是指端点在点A上，据此即可作答． 【规范解答】解：依题意， 射线是指射线的端点在点A上． 故选：B． 3．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，C，D为线段上的两点，且，E是线段的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查线段的和差，线段的中点． 根据，可得到，，由点E是线段的中点，可求得，进而根据即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴，，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D 4．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图所示，在同一条直线上，点是线段的中点，点是线段上一点，则下列数量关系不一定成立的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确，判断出正确的选项． 【规范解答】解：点是线段的中点， ，故选项不符合题意； 是线段上一点， 不一定等于，故选项符合题意， 由图形知，故选项不符合题意， ，故选项不符合题意， 故选：． 5．（22-23六年级下·山东东营·期中）下列说法中正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．若，，三点在同一直线上，且，则点是线段的中点 D．连结两点的线段长度叫做两点间的距离 【答案】D 【思路点拨】本题考查了直线、射线、线段和两点间的距离的知识，掌握直线、射线、线段和两点间的距离的定义是关键．根据直线、射线、线段和两点间的距离进行判断． 【规范解答】解：A、射线用两个大写字母表示时，端点字母写在第一个位置，所以射线和射线不是同一条射线，原说法错误，选项不符合题意； B、延长线段是按照从到的方向延长的，而延长线段是按照从到的方向延长的，意义不相同，原说法错误，选项不符合题意； C、若，，三点在同一直线上，在线段上且，则点是线段的中点，原说法错误，选项不符合题意； D、连结两点的线段长度叫做两点间的距离，说法正确，选项符合题意； 故选：D 6．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则的长度是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查线段中点的计算，线段的和差，以及一元一次方程的应用，设的长度是，结合线段中点的特点得到，，再根据建立方程求解，即可解题． 【规范解答】解：，点C为中点， ， 设的长度是， 则，， ， ， 解得， 故答案为：． 7．（22-23七年级上·河北唐山·单元测试）如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，，，则 ． 【答案】5 【思路点拨】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义，数形结合． 首先根据中点的概念得到，然后利用线段的和差求解即可． 【规范解答】∵，点D是线段的中点， ∴ ∵ ∴． 故答案为：5． 8．（23-24七年级上·重庆·期末）延长线段至点C，使得，点D为线段的中点，且，则的长是 cm． 【答案】9 【思路点拨】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义，由为的中点，可得到，由于，而，则，解方程即可求出的长度． 【规范解答】解：如图， 为的中点，且， ， ，， ， ． 故答案为9． 9．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，点D为线段的中点，，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，由已知条件可得出， 根据线段的和差关系得出，根据线段中点的定义可得出，最后再根据线段的和差关系可得出． 【规范解答】解：∵，若 ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）经过不在同一直线上的四个点中的任意两点画直线，一共可以画 条． 【答案】6 【思路点拨】本题考查求直线的条数，根据任意两点确定一条直线，进行求解即可． 【规范解答】解：过任意一个点与剩下的3个点可以画出3条直线， 4个点共可以画出条， 每个点重复一次， 故一共可以画（条）直线； 故答案为：6． 11．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）振兴乡村经济，惠利千万百姓．山西省大力发展乡村振兴项目，某农场改进灌溉式，更换为智慧水利系统．如图，为同一条直线上的三块田地，为的中点，点为智慧水源，为三条水管，其中米．若的周长分别为180米，190米，求的长． 【答案】米 【思路点拨】本题考查线段中点，线段的和差，根据为的中点，得到，再根据米，米，作差即可解答． 【规范解答】解：为的中点， ， 米，米， 米，即米， 米， 米， 答：米． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）点是线段的中点，，点将线段分为两部分，．求线段的长． 【答案】． 【思路点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得的长，根据比例分配，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【规范解答】解：点是线段的中点，， ， ． ， ． 13．（2024·河北沧州·模拟预测）A，B，C，D四个车站的位置如图所示．求： (1)A，D两站的距离； (2)C，D两站的距离； (3)若，C为的中点，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】此题考查了整式的加减，线段和差关系； （1）根据题意列出关系式，合并即可得到结果； （2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （3）根据中点的定义列出方程计算即可求解． 【规范解答】（1） ∴A，D两站的距离是； （2） ∴C，D两站的距离为； （3）由（2）得：C，D两站的距离为， ∵A，C两站的距离为， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查线段中点的有关计算，线段的和差关系： （1）根据中点的定义求出，，则； （2）根据中点的定义得出，，进而可得； （3）根据（2）中结论求解； （4）根据（2）中结论求解． 【规范解答】（1）解：∵，，M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴，， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴； （4）解：由（2）可知：． 培优题真题汇编练 15．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．如图，由于，可以设，，，而、分别为、的中点，那么线段可以用表示，而，由此即可得到关于的方程，解方程即可求出线段的长度． 【规范解答】解：， 可以设，，， 而、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 故选：D． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论． 由点C是线段的三等分点，可知分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【规范解答】解：∵是线段的中点， ， ①若，如图1所示： ， ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴． ∴； ②若，如图： ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ， ， 故选：C． 17．（22-23七年级下·山东济宁·期中）下列说法正确的个数为（    ） ①若，则M为的中点；②连接两点之间的线段叫两点间的距离；③两点之间的所有连线中，线段最短；④射线和射线表示同一条射线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题考查了线段中点的定义，两点间距离，线段的性质，射线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据线段中点的定义，两点间距离，线段的性质，射线的性质，逐一进行判断即可得到答案． 【规范解答】解：①当点A、B、M三点在同一直线上，，则M为的中点，故原说法错误； ②两点之间线段的长度叫做两点间的距离，符合题意，故原说法错误； ③两点之间的所有连线中，线段最短，符合题意，故原说法正确； ④射线和射线不表示同一条射线，，故原说法错误； 综上分析可知，说法正确的个数为1， 故选：A． 18．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）已知线段，点B是线段的中点，点D是线段上一点，且，则线段的长为（    ） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．根据题意画出图形，根据题意分情况讨论即可得到答案． 【规范解答】解：①当点在点左侧时， ，点B是线段的中点， ， ， ； ②当点在点右侧时， ，点B是线段的中点， ， ， ； 故选B． 19．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了两点间的距离，线段线段中点的定义．根据线段中点的定义以及线段的和差逐一判断即可得到结论． 【规范解答】解：是线段中点， ，故①正确； ， ，故②正确； ，，故③④错误； 是线段中点， ， ， ，故⑤正确； ，， ，故⑥正确； 故选：B． 20．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知C、 D是线段上两点，且，，若点M、N分别是线段、的中点，，则线段的长是 ． 【答案】45或36 【思路点拨】本题考查了中点的定义及两点之间的距离的求法，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．设，分①当点D在点C的左边时，②当点D在点C的右边时，两种情况讨论，分别利用建立方程求解即可． 【规范解答】解：设，则，， ①当点D在点C的左边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， ②当点D在点C的右边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， 综上所述：线段AB的长是45或36， 故答案为：45或36． 21．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，M为线段的中点，若点C在线段上，且，，则线段的长为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了线段中点的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握线段中点的定义及一元一次方程的应用是解题的关键．设，根据线段中点的定义可得，根据比例列式求解即可． 【规范解答】设，则， M为线段的中点， ， ，，即， 解得，， ∴， 故答案为：4． 22．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知点、在线段上，若，点为线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是学生对线段的中点的性质的掌握程度，仔细阅读题意得到符合题意的图形，然后找到图形中各个线段之间的关系是解题的关键；设长为,则，，根据，得到的长度，进而求解； 【规范解答】解：设长为,则，， 为中点， ， ， ， 故答案为： 23．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）已知点A、B、C位于直线上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了线段之间的数量关系，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 需要分两种情况，当点在点的右侧时和当点在点的左侧时，根据题意，画出图形，再根据线段之间的数量关系计算即可． 【规范解答】解：如图，当点在点的右侧时， ，且， ， ， 点是线段的中点， ， ． 如图，当点在点的左侧时， ，且， ， ， 点是线段的中点， ， ． 综上所述，线段的长为或， 故答案为：5或1． 24．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B、C在线段上，，，B是的中点，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论． 本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义是关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵B是的中点， ∴， 故答案为：． 25．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，线设，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【规范解答】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解：， ， ∴ ． 26．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【思路点拨】本题主要考查线段中点，线段和差的计算， （1）根据题意，，由此即可求解； （2）由（1）可得，，由此可得，，代入计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴． 27．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求线段的长． (2)若为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请说明理由． (3)若在线段的延长线上，且满足，，分别是，的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变，，理由见解析 (3)，画图，理由见解析 【思路点拨】（）由中点的定义可得，再由线段之间的关系得到，然后，代入即可； （）由（）得到的，然后把代入即可求解； （）同（）可以得到，代入已知即可； 本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （2）由（）可得， ∵， ∴； （3） 如图， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【规范解答】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$