精品解析：山东省济南市部分学校2024-2025学年高一上学期10月联合教学质量检测数学试题

2024—2025学年度上学期普通高中高一10月联合教学质量检测 高一数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，，则. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接写出全称量词命题的否定即可. 【详解】“，”的否定是： ，， 故选：A. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式的求解方法计算即可. 【详解】原不等式可化为，即，解得. 故选：C. 4. 已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AC的正误，利用“1”的代换可判断B的正误，利用换元法结合常数代换可判断D的正误. 【详解】选项A：时取等， 得的最大值为，故A对； 选项B：， 当且仅当时取等，故的最小值为，故B错 选项C：时取等， 故的最大值为，故C对； 选项D：换元，令，则， 故 ， 当且仅当取等号，故的最小值为，故D正确； 故选：B. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 则对于函数，需满足， 解得，即函数的定义域为. 故选：D. 6. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求解. 【详解】由对且，都有，得函数在R上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 7. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知的定义域为，值域为， 而，，所以的值域为. 当时，单调递增，此时值域为； 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 故此时单调递增，值域为. 因此，解得. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，且，则（ ） A. B. 的一个周期是3 C. 的一个对称中心是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的周期性，奇偶性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，可得， 所以有，所以是周期为的周期函数，选项B正确； 又是上的奇函数，知，可得， 无法确定，的值，选项A错误； 由，及，可得， 所以的图象关于点对称，选项C正确； 由的周期为3， 得，选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 D. “”为假命题的充要条件为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A，分类讨论求出k的范围判断B，根据数轴穿根法及不等式的解集求出及解不等式判断C，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于的不等式恒成立即可判断D. 【详解】对A，若是的必要不充分条件，是的充要条件， 则，但是不能推出， 所以，但是不能推出，所以是充分不必要条件，故A正确； 对B，当时，原不等式，恒成立满足题意， 当时，由题意需满足，解得， 综上，实数的取值范围是，故B错误； 对C，由不等式的解集为， 结合数轴穿根法知，，且， 所以不等式可化为，解得，故C正确； 对D，由题意知为真命题， 则在时恒成立， 令，只需， 则，解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 故答案为： 13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 14. 已知，若成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件可得，再求解不等式得解. 【详解】函数在上单调递增，， 函数，，由，即，解得， 由，得存在，使得， 于是，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或， 或； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用并集、补集、交集的定义直接求解即得. 【小问1详解】 集合，或， 所以或，或， 所以或. 【小问2详解】 由或得， 所以. 16. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 答案见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 17. 已知集合中的元素均为正整数，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，都有. （1）已知集合，求； （2）已知集合，求； （3）若中有4个元素，证明：中恰有5个元素. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据①可得都是中的元素，进而证明中除外没有其他元素即可求解， （2）根据条件①②，即可求解， （3）根据题意可得，，是中的元素，进而根据和可得，进而，接下来假设中还有其他元素，且该元素为，利用与的关系得矛盾求解. 【小问1详解】 由①可得都是中的元素. 下面证明中除外没有其他元素： 假设中还有其他元素，分两种情况： 第一种情况，中最小的元素为1，显然不是中的元素，不符合题意； 第二种情况，中最小的元素为2，设中除外的元素为， 因为是中的元素，所以为4或8，而4，8也是中的元素， 所以中除外没有其他元素. 综上，. 【小问2详解】 由①可得，都是中的元素. 显然，由（2）可得，是中的元素，即是中的元素. 因为，所以，解得. 【小问3详解】 证明：设. 由①可得，都是中的元素. 显然，由②可得，是中的元素，即是中的元素. 同理可得，是中的元素. 若，则，所以不可能是中的元素，不符合题意. 若，则，所以，即. 又因为，所以，即， 所以，此时. 假设中还有其他元素，且该元素为， 若，由（2）可得，而，与矛盾. 若，因为，所以，则， 即，所以中除外，没有其他元素. 所以，即中恰有5个元素. 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）若存在，对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明过程见解析 （3）或或. 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，得到方程，求出，根据得到方程，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形，判号，下结论； （3）只需在上的最小值，小于等于在上的最小值，求出，并分，，三种情况，得到，得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 因为为奇函数，故， 即，故，解得， 又，解得， 故，； 【小问2详解】 由（1）知，， 任取，且， 故， 因为且，所以，， 又， 故，故， 函数在上单调递增； 【小问3详解】 存在，对任意的恒成立， 故只需在上的最小值，小于等于在上的最小值， 由（2）知，在上单调递增，故， 若，此时满足要求， 若，此时在上单调递减， 故， 令，解得或， 若，此时在上单调递增， 故， 令，解得或， 故或， 故的取值范围为或或. 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】（1） （2）最大值为， （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解； （2）由，结合四阶基本不等式可得最值； （3）猜测，成立，验证不等式成立；结合推广公式证明结论成立. 【小问1详解】 因为，所以由三阶基本不等式可得：， 当且仅当即时取等号， 因此的最小值为； 【小问2详解】 当时，由四阶基本不等式可得： ， 当且仅当即时取等号， 因此的最大值为； 【小问3详解】 大小关系为，， 证明如下： 由条件可知：时，， 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 当，时，由阶基本不等式，可知： 不等式左边 而，因此上式的不等号取不到等号， 于是， 综上，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期普通高中高一10月联合教学质量检测 高一数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，且，则（ ） A. B. 的一个周期是3 C. 的一个对称中心是 D. 11. 下列说法正确是（ ） A. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 D. “”为假命题的充要条件为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______. 14. 已知，若成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 16. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于不等式：． 17. 已知集合中的元素均为正整数，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，都有. （1）已知集合，求； （2）已知集合，求； （3）若中有4个元素，证明：中恰有5个元素. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）若存在，对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $