精品解析：安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

合肥一六八中学2024级高一年级第二次测试数学试题卷 2024.10.20 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡的指定位置填涂答案选项．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出结合M，再应用交集运算得出选项. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列说法正确的是（ ） A 对，都有 B. 对，都有 C. 存在a，满足且 D. 存在a，满足且 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可判断ABD；根据题意结合子集含义即可判断C. 【详解】由题意知集合A，B，若A不是B的子集， 对于AB，取满足条件，，可判断AB错误； 对于C，A不是B的子集，则存在a，满足且，正确； 对于D，取满足条件，此时不存在a，满足且，D错误， 故选：C 3. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，然后分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】由题意可得：， 当时，，解得或，所以. 当时，，解得，所以. 综上所述：不等式的解集为：. 故选：A 4. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个分析即可. 【详解】对于A，取，，，，此时，， 则有，所以A错误； 对于B，若，则，，有，所以B错误； 对于C，由，有，，又因为， 从而，所以C正确； 对于D，若，若，同号，则有；若，异号，则有，所以D错误. 故选：C 5. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 7. 如图，水平放置的矩形中，，菱形的顶点，在同一水平线上，点G与的中点重合，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点E运动到上时停止.在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得菱形面积为，进而分三种情况讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得重叠部分的面积与运算时间的函数关系即可求解． 【详解】如图所示，设交于点， 因为四边形为菱形，， 所以， 所以是等边三角形， 因为， 所以， 所以， 所以， 当时，重合部分为如图所示， 依题意，为等边三角形，则， 所以， 当时，如图所示， 依题意，，则， 所以； 因为， 所以当时，； 当时，同理可得； 当时，同理可得，， 综上所述，当时，函数图象为开口向上一段抛物线， 当时，函数图象为开口向下的一段抛物线， 当时，函数图象为一条线段， 当时，函数图象为开口向下的一段抛物线， 当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，将转化为双变量的式子，再根据基本不等式求得的最大值，并结合取等条件转化，利用函数求得其最值. 【详解】根据题意，正实数，，满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，则此时， 当取得最大值时，， 分析可得，当时，即时，取得最大值2． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 与是同一函数 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC；根据函数的概念，可判定B；根据函数的解析式，求得，进而求得的值，可判定D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个； 若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点，故B正确； 对于C，函数与的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确； 对于D，由，可得，所以，故D错误； 故选：BC 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，并且，是方程的两个根，再利用韦达定理可得，，再分析选项即可. 【详解】对于，，，是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以错误； 对于，，由可得不等式解集为，所以正确； 对于，当时，，，所以正确； 对于，由题得，因为，所以，所以， 所以不等式的解集是，所以正确． 故选：. 11. 下列正确的有（ ） A. 当时，的最小值是9 B. 若，则xy最大值与最小值之和为0 C. 的最小值是2 D. 当时，若，则的最小值为为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B、C，利用基本不等式求最值，注意取值条件，即可判断；对于D，利用基本不等式“1”的代换求目标式最值即可. 【详解】A：由题设，则， 当且仅当时等号成立，故原式最小值为9，对； B：由题设，当且仅当时等号成立， 所以，故xy最大值与最小值之和为0，对； C：由， 当且仅当时等号成立，显然，错； D：由题设，则， 当且仅当，即时等号成立，对. 故选：ABD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在区间上的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分离常数法，结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】， 则在上单调递增，且， 所以在区间的值域为. 故答案为： 13. 函数在区间上单调递减，则实数a取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】当时，在上单调递减，满足； 当时，在上单调递减， 则，即； 综上，. 故答案为： 14. 已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意将问题转化为.，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上单调递减，在上单调递增， ，对称轴， ①即时，在单调递增，恒成立； ②即时，在上单调递减，在上单调递增， ，所以，故； ③即.时，在上单调递减，， 所以，解得， 综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将代入，得，根据并集、交集及补集的定义求解即可； （2）分和分别求解，再取并集即可. 【小问1详解】 解：当时，， 所以； ， 所以或； 【小问2详解】 解：因为， 所以当时，则有，解得； 当时，或， 解得或， 综上，或， 所以实数的取值范围为或. 16. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解的情况判断对应方程解的情况，利用判别式列不等式，解不等式可得参数范围； （2）分情况讨论不等式所对应方程的解，进而确定不等式的解集情况； （3）分离参数可得，结合基本不等式求最值可得参数范围. 【小问1详解】 当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为， 则，解得， 综上所述，即； 【小问2详解】 ，即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又是，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 17. 科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小． （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围． 【答案】（1）200%，30 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论； （2）由（1）得到，结合一元二次不等式的解法，即可求得的范围，得到答案. 【小问1详解】 解：由题意知，当时， ，当且仅当，即时取等号； 当时，， 在上单调递减，. 又，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%. 【小问2详解】 由（1）可知，此时月研发经费， 于是，令，整理得，解得：． 因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是． 18. 设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数. （1）求函数的表达式，并求其定义域； （2）当时，求函数的值域 （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）定义域为；（2）；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得的，再计算定义域得到答案. （2）设，化简得到，根据函数单调性得到值域. （3）计算当时，且时，根据单调性得到不等式，计算得到答案. 【详解】（1），定义域为 （2），设 根据双勾函数性质知函数在单调递增，故，故值域为 （3）存在；根据（2）知，， 根据双勾函数性质知函数在单调递增，上单调递减. 当时，且时，函数的值域恰好为 故，构成的集合为 【点睛】本题考查了函数的解析式，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 19. 已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，，求：的最小值． 【答案】（1）是完美自相加集合，是完美自相加集合； （2）2051 （3）675 【解析】 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可； （2）连续的正整数，自相加后，形成的新的集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数； （3）由第二问的结论，我们很容易得到然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【小问1详解】 是完美自相加集合,不是完美自相加集合理由如下： 集合,由此可知集合自相加后， 新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为 对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数， 所以，为所有非负偶数构成集合； 所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，但最小的元素变为2， 后面集合不管进行多少次相加都是偶数构成的集合，且最小元素均变大； 故是完美自相加集合； 小问2详解】 由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行一次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为； 【小问3详解】 因为且，集合 所以 要使 则，又因为 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：此题为新概念题，只需理解概念，解决问题即可，不是特别理解的，可以多列举一些例子，可找到规律. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一六八中学2024级高一年级第二次测试数学试题卷 2024.10.20 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡的指定位置填涂答案选项．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列说法正确的是（ ） A. 对，都有 B. 对，都有 C. 存在a，满足且 D. 存在a，满足且 3. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 5. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，水平放置的矩形中，，菱形的顶点，在同一水平线上，点G与的中点重合，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点E运动到上时停止.在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 与同一函数 D. 若，则 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 11. 下列正确的有（ ） A. 当时，的最小值是9 B. 若，则xy的最大值与最小值之和为0 C. 的最小值是2 D. 当时，若，则最小值为为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在区间上的值域为______． 13. 函数在区间上单调递减，则实数a取值范围______． 14. 已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数取值范围． 16. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小． （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围． 18. 设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数. （1）求函数的表达式，并求其定义域； （2）当时，求函数的值域 （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由. 19. 已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，，求：的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $