精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

重庆一中高2026届高二上期月考 数学试题卷 注意事项 1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时､必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 双曲线 2. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为.若的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 的内角对应的边分别为，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 无解 5. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 2 6. 过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 7. 焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若，则的面积等于 C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 11. 两个圆锥的母线长度均为，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用和表示两个圆锥的底面圆半径､表面积､体积，则正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 为定值 D. 若，则 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则__________. 13. 已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为___________. 14. 已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则的最小值为______. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤） 15. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求内角； （2）若为边上的中点，求线段的长. 16. 如图，在直三棱柱中，，为上一点，为中点，为中点，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. （1）求拋物线的方程； （2）如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 18. 已知双曲线，点，坐标原点. （1）直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程； （2）如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，焦距为2，点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过原点作圆的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线、的斜率分别记为，.当点在椭圆上运动时. ①证明：恒为定值，并求出这个定值； ②求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高二上期月考 数学试题卷 注意事项 1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时､必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案. 【详解】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 2. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件，列出关于的方程，即可得到答案. 【详解】因为，所以，且， 解得. 故选：A. 3. 椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为.若的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助椭圆的定义及通径概念列出等式即可求解. 【详解】 由的周长为8，可得，即， 由弦长的最小值为3，通径长为3，即， 所以， 所以，即， 所以椭圆的焦距为2. 故选：A. 4. 的内角对应的边分别为，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】在中，因， 于是由余弦定理得：， 即，解得或. 故选：C 5. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，由椭圆对称性结合已知可得，求解可得椭圆的短半轴长. 【详解】因为椭圆的面积为，所以，所以， 因为过原点，结合椭圆对称性，可得线段，被原点互相平分， 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以， 所以由椭圆的定义得，解得，所以，解得， 所以椭圆的短半轴长为. 故选：D. 6. 过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值. 【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， ， 解得，设， 则， ， 所以. 故选：B 7. 焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间线线，线面，面面的位置关系判断. 【详解】对于A，因为是两个不同的平面，是两个不同的直线，，则，故A为真命题； 对于B，若，则与可能平行，相交，异面，故B为假命题； 对于C，若，则，故C为真命题； 对于D，若，则与可能平行，相交，故D为假命题. 故选：BD. 10. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若，则的面积等于 C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 【答案】BCD 【解析】 【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D. 【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误； ，故选项B正确； 把点坐标代入的方程得： ，选项C正确； 如图，两圆的圆心距是的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确. 故选：BCD 11. 两个圆锥的母线长度均为，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用和表示两个圆锥的底面圆半径､表面积､体积，则正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 为定值 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由“它们的侧面展开图恰好拼成一个圆”为解题关键点，A选项利用侧面展开图的圆心角和为得到结论；B选项由面积公式以及A选项结论得到结论；C选项由体积公式得出代数式，由特殊值结论不同得到不为定值；D选项将条件代入C选项中体积公式即可得到比值. 【详解】A：由得，故A对. B：，故B对. C：，如，与时值不同，故不为定值，C错 D：，故D对. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助圆心到直线的距离、半径及弦长的关系计算即可得. 【详解】的圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 所以，因为， 解得. 故答案为： 13. 已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆定义求出，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答. 【详解】依题意，由椭圆定义得，而，则， 因点是抛物线的焦点，则该抛物线的准线l过点，如图， 过点P作于点Q，由抛物线定义知，而，则， 所以. 故答案为： 14. 已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义确定C的轨迹，计算即可. 【详解】如图，设圆的半径为，则； 又到的距离为，则到的距离为. 所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为， 则 四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤） 15. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求内角； （2）若为边上的中点，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知利用余弦定理求解即可； （2）结合三角形面积公式求得，然后由平方，利用数量积的运算求解． 【小问1详解】 由已知条件，即， 由余弦定理可得，因为，从而. 【小问2详解】 因为，由，解得， 因为为边上的中点，所以， 平方得：， 所以. 16. 如图，在直三棱柱中，，为上一点，为中点，为中点，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， 设，得， ∴. 由，得，故. ∵平面的一个法向量，且，平面， ∴面. （2）. 【解析】 【分析】（1）结合题目条件建立空间直角坐标系，写出各点坐标，根据直线的方向向量与平面法向量垂直证明线面平行. （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设直线与平面所成角为， 则. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. （1）求拋物线的方程； （2）如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】（1） （2）证明：因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程. （2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解. 【小问1详解】 如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线，点，坐标原点. （1）直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程； （2）如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求渐近线方程，进而求点的坐标，可得，结合面积公式运算求解； （2）分析可知线段的中垂线经过A点，设的中点为，利用点差法可得，结合点与双曲线的位置关系运算求解即可. 【小问1详解】 对于双曲线，可知，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为，且直线的斜率为，倾斜角为， 设， 联立方程，解得，即， 可得， 同理可得， 则，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：或， 因为，则线段的中垂线经过A点， 设的中点为， 则，且，， 因为，两式作差得， 整理可得，即，可得， 又因为，则， 联立方程，解得，即， 因为点在双曲线右支上，且在右支的内部， 则，所以.且在上， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，焦距为2，点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过原点作圆的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线、的斜率分别记为，.当点在椭圆上运动时. ①证明：恒为定值，并求出这个定值； ②求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）①;②1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件以及椭圆的定义求得，从而求得椭圆方程. （2）①由直线和圆相切列方程，利用根与系数求得恒为定值. ②先求得四边形面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积的最大值. 【小问1详解】 取的中点记为，连结. 在Rt中，，所以， 则， 即，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①直线与相切，则； 直线与相切，同理有； 则是关于的方程的两根， 由韦达定理知， ②由①问知，如图， 设，由， 同理可得， ， ， ， 所以当即 【点睛】本题通过椭圆的标准方程、切线性质和四边形面积的求解，综合考察了椭圆的几何性质、韦达定理及不等式求解的能力.在解题过程中，椭圆参数的确定、切线斜率的关系及面积最大值的求解环环相扣，体现了代数与几何的紧密结合.在求四边形面积的最大值时，利用了基本不等式，确保最大值的合理性，并找出条件下的最优值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $