精品解析：江苏省南京市鼓楼区求真中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区求真中学 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分） 1. 下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 5. 如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 7. 化简：______． 8. 若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为_____． 9. 如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，OB为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是______． 10. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 11. 如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 12. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 13. 将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为 _____°． 14. 如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是______把你认为正确的结论的序号都填上． 15. 如图，等腰的底边长为，腰长为，D是上一动点，当与腰垂直时，则_________． 16. 如图，和都为等边三角形，，且点E为线段上一个点．若，，则__________． 三、解答题（本题共10小题，共68分） 17. 已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 18. 如图，、交于点，，，求证：． 19. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上； （2）在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45，且点D在格点上； （3）在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上． 20. （1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记（其中，） x … 1 100 10000 … y … a 1 10 b … 则__________，__________． （2）根据（1）中的对应关系f，填空： 若，则__________． 若，则． 21. 在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 22. 如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． （1）若，求的度数； （2）若； ①求的长； ②的面积为______． 23. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：______； （2）若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为____和____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 24. 如图，在和中，，，，，垂足为．连接，连接并延长交的延长线于点． （1）求证； （2）若，求证． 25. （1）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明）． ①的底边长为a，底边上的高为h； ②的腰长为a，腰上的高为h． （2）为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请直接写出这个等腰三角形绿地的另两边长． 26. 如图，在中，于D，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，设点P运动的时间为t秒． （1）当__________时，平分的面积； （2）求当t为何值时，为轴对称图形； （3）若点E、F分别为、上的动点，则的最小值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区求真中学 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分） 1. 下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 3. 如图，两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据图形确定的对应角，再根据全等三角形对应角相等即可得到答案，解题的关键是利用全等三角形对应角相等解答． 【详解】解：∵两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等， ∴， 故选：B． 4. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 5. 如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，于，由折叠的性质可得：，，再由角平分线的性质定理可得，再结合面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：作于，于， ， ∵在中，， ∴由折叠的性质可得：，， ∵，， ∴， ∵将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，求出的长是解题的关键． 如图，取的中点T，连接．首先证明，求出，根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点T，连接． ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， ∴的最小值为1． 故选：D． 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 7. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 8. 若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：①是等腰三角形的底角， ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 9. 如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，OB为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：在Rt△AOB中，OB＝＝， 故弧与数轴的交点P表示的数为：−． 故答案为：−． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键． 10. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，， ， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 11. 如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和定义，根据线段垂直平分线的性质和定义得到，再由三角形周长公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：． 12. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 13. 将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为 _____°． 【答案】120 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC=AD=AE=DE，由∠D=60°，得到△ACD是等边三角形，那么∠ACD=60°，∠ACF=30°，再由三角形的外角性质可求出∠BFC的度数． 【详解】解：∵∠DCE=90°，点A是DE的中点， ∴AC=AD=AE=DE， ∵∠D=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴∠ACF=∠DCE-∠ACD=30°， ∵∠FAC=90°， ∴∠BFC=∠FAC+∠ACF=90°+30°=120° 故答案为：120 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角和定理等知识，求出∠ACF =30°是解题的关键． 14. 如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是______把你认为正确的结论的序号都填上． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查轴对称以及菱形的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．根据轴对称的基本性质可知． 【详解】解：因为是四边形的对称轴，， 则，，， 则， ， ， 所以四边形是菱形． 根据菱形的性质，可以得出以下结论： ，故正确； ，故正确； ，故错误； ，故正确． 故正确的有：． 15. 如图，等腰的底边长为，腰长为，D是上一动点，当与腰垂直时，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后分两种情况：当时；当时；分别利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， ， 分两种情况： 当时，如图： 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ； 当时，如图： 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ； 综上所述：当与腰垂直时，则， 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 16. 如图，和都为等边三角形，，且点E为线段上一个点．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：连接，过点F作于点D，可证得，进而得到，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点F作于点D， ∵和都为等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶． 三、解答题（本题共10小题，共68分） 17. 已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义，正数x有两个平方根，分别是和，所以和互为相反数，可求出a；根据，代入可求出x的值． 【详解】解：依题意可得 解得：， ∴， ∴，． 18. 如图，、交于点，，，求证：． 【答案】 证明：∵，，，， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据等腰三角形的判定方法，可求得，进而可证得． 【详解】略 19. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上； （2）在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45，且点D在格点上； （3）在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上． 【答案】（1） 解：如图所示：△ABC的面积为3； ； （2） 解：如图所示：∠ADB＝45； ∵AM=BN=3，BM=DN=2，∠AMB=∠BND=90°， ∴△AMB≌△BND(SAS)， ∴AB=BD，∠ABM=∠BDN， ∵∠BDN+∠DBN=90°， ∴∠ABM+∠DBN=90°， ∴∠DBA=90°，则△ADB是等腰直角三角形， ∴∠ADB＝45； （3） 解：如图所示：锐角△ABE即为所作； ； 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式求解，画图即可； （2）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质画图即可； （3）根据轴对称图形的性质画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题， 20. （1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记（其中，） x … 1 100 10000 … y … a 1 10 b … 则__________，__________． （2）根据（1）中的对应关系f，填空： 若，则__________． 若，则． 【答案】（1），100；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念、算术平方根等知识点，理解函数的概念以及算术平方根的规律是解题的关键． （1）自变量x的小数点向右或向左每移动2位，因变量y向相应的方向仅移动一位，据此解答即可； （2）利用（1）的结论进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：，即， ∴， ∴． 故答案为：，100． （2）由（1）可得：若，则； 若，则． 故答案为：． 21. 在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 【答案】是， 已知：在中，点D是的中点，连接，且，求证：是直角三角形． 证明：∵点D是的中点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是根据三角形的内角和定理解答．先根据中点的意义和等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理得出，即可证明． 【详解】略． 22. 如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． （1）若，求的度数； （2）若； ①求的长； ②的面积为______． 【答案】（1）的度数为 （2）①的长为6；② 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形得性质求得角相等并且和为即可解得． （2）①根据折叠得出，连续两次运用勾股定理即可求解；②根据①中结果，利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴； 【小问2详解】 ①∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，， ∴， ∵， ∴． ∴， 设，则， ∴，即， 解得：， ∴的长为6； ②由①得， ∴， ∴ 故答案为：60． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理解三角形等，解题的关键熟悉并会用直角三角形相关知识点． 23. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：______； （2）若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为____和____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 【答案】（1）11，60，61 （2），，理由： ， ， ， 又，且为奇数， 由，，三个数组成的数是勾股数． 【解析】 【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61，进而得出答案； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【小问1详解】 解：、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；， ，，，，…，， ，60，61； 故答案为：11，60，61； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． 24. 如图，在和中，，，，，垂足为．连接，连接并延长交的延长线于点． （1）求证； （2）若，求证． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴（AAS）； （2）证明：∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，从而利用AAS可证明； （2）根据已知可得△EFG和△CBG都为等腰直角三角形，再结合（1）中的全等进一步证明AB=FG，从而可得，结合垂直平分线的性质可证明结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等．（1）中能利用同角的余角相等证明是解题关键；（2）中能结合图形得出△EFG和△CBG都为等腰直角三角形是解题关键． 25. （1）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明）． ①的底边长为a，底边上的高为h； ②的腰长为a，腰上的高为h． （2）为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请直接写出这个等腰三角形绿地的另两边长． 【答案】 （1）①如图：即为所求； 作法： 1． 作线段； 2．作线段的垂直平分线，垂足为O； 3．在直线上取线段； 4．连接，为所求作的三角形； ②如图：即为所求； 作法：1． 作直线垂直于直线，垂足为F； 2． 在直线上取线段； 3．以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线于点A； 4． 以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线于点B； 5．连接，为所求作的三角形； （2）另外两边分别是米、米或10米、米或10米、米． 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图、线段垂直平分线的作法、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）①首先作线段，再作出的垂直平分线，然后截取高为h，连接、即可．②首先作直线垂直于直线，垂足为F，再直线上取线段，然后再作，最后连接即可； （2）设米，过点C作，垂足为D可得米，再分三种情况分别画出图形，并分别运用等腰的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：分三种情况计算． 不妨设米，过点C作，垂足为D， 则，即，解得：米， ①如图1：当为底边时，（米）， ∴（米）； ②如图2：当为腰且三角形为锐角三角形时，（米）， ∴（米），则（米）， ∴米； ③如图3：当为腰且三角形为钝角三角形时，（米）， （米），（米）， ∴． 综上，另外两边分别是、或10、或10、米． 26. 如图，在中，于D，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，设点P运动的时间为t秒． （1）当__________时，平分的面积； （2）求当t为何值时，为轴对称图形； （3）若点E、F分别为、上的动点，则的最小值为__________． 【答案】（1） （2）当t为或2或秒时，为轴对称图形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出的长，再根据中线平分面积求解即可； （2）根据题意可得为等腰三角形，再分四种情况分别求解即可； （3）在撒花姑娘截取，过点P作，垂足为F，交于E，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分的面积， ∴为中点， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：为轴对称图形，即为等腰三角形， 当时， ∴， ∴； 当时，点P在线段上， ∵， ∴ ∴， ∴； 当，点P在线段上时， 设，则， 在中，，即， 解得，不符合题意； 当，点P在线段上时，过点P作，垂足为M， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴； 综上，当t为或2或秒时，为轴对称图形； 【小问3详解】 解：在上截取，过点P作，垂足为F，交于E， 此时，，即为最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $