选择性必修第一册检测卷-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

选择性必修第一册检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各组向量，不能构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若空间三个向量，，能构成空间基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，令，得，即无解，向量不共面，能构成空间基底； 对于B，因为，所以，即共面，不能构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，能构成空间基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，能构成空间基底. 故选：B. 2．下列直线的倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，B，C，D四个选项中直线的斜率分别为， 其中，，且， 所以当时，直线的倾斜角最大. 故选：D 3．已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（    ） A． B． C．7 D．5 【答案】A 【详解】根据题意，椭圆的两个焦点为，， 椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点， 所以椭圆的两个焦点为，， ，且，解得. 故选：A. 4．如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正四面体中，平面， 为的中心，连接， 则， . 故选：D. 5．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 6．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为平面，，， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，， 则，，，， 所以， 设，， ， 距离， 因为， 故 所以异面直线与之间的距离， 故选：A． 7．设抛物线的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，垂足为Q，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为抛物线，所以，准线方程为， 设为准线与x轴的交点，如图所示， 因为，且，所以，， 因为，所以，， 则在中，，所以， 所以在中，. 故选：C. 8．.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心到直线的动点的距离为， 根据点到直线距离公式，. 因为，是圆的切线，所以（其中）. 又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即. 的周长为. 因为是圆的弦，且和全等，所以. 根据三角形面积公式，（其中是圆的半径）， 可得，所以， 则的周长. 因为与均在上单调递增， 所以当时，周长取得最小值. 最小值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 【答案】AD 【详解】对于，可变形为， 由得所以直线过定点，故正确； 对于，圆，化为标准方程为，所以圆的半径为，故错误； 对于，因为，所以点在圆内部，所以直线与不可能相切，故错误； 对于，设直线所过定点为，则当直线时，直线被截得的弦长最小. 因为圆心，所以，所以直线的斜率，解得， 此时直线. 因为圆心到直线的距离，所以弦长，故正确. 故选：. 10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 【答案】BD 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 11．过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为大于0的常数），则点的轨迹可能是（    ） A．两条直线的一部分 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 【答案】AD 【详解】依题意可知直线和直线的斜率存在， 设过的椭圆的切线方程为， 联立化简可得： ， 取， 即， 且有，且上式两根分别为， 则上式的判别式， 整理得，符合题意，所以， ①若，则， 即点的轨迹是直线（两条）的一部分； ②若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分； 若且，整理可得， ③当时，12， 轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分； ④当或时，，且， 由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分； ⑤当时，，表示焦点在轴上的双曲线， 由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分. 又因为为大于0的常数，所以点的轨迹可能是两条直线的一部分或双曲线的一部分. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】依题意， 不妨设点在第一象限，则点， 易知， 由椭圆的定义知：， 所以， 所以. 故答案为： 13．已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则 . 【答案】/ 【详解】由，可化为，则圆心， 设圆的半径为且，则， 当时，的最大值为， 不妨取直线的方程为，因为， 所以点到直线的距离为，所以，解得， 又由，可得，解得. 故答案为：. 14．正方体中，点E是的中点，点F为正方形内一动点，且平面，若异面直线CF与所成角为，则的最小值为 . 【答案】 【详解】分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，， 故，，，， 设平面的一个法向量为，则， 解得，令，则， 因为平面，所以， 即，所以， 设异面直线CF与所成角为， 则， 由于， 所以当或时，上式有最大值，此时最小为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)求椭圆的标准方程：以点，为焦点，经过点. (2)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的标准方程. (3)求双曲线的标准方程：经过点，. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为. 由题意有，，， 所以，， 故椭圆的标准方程为. （2）由抛物线的定义可得，∴，解得， 故抛物线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为. 16．如图，四棱锥中，底面，. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：已知底面，且底面， 所以. 由，可得 又平面， 所以平面. （2）取的中点.由，可得， 又因为，所以三角形是正三角形， 故. 在中，，所以. 可建立如图所示的空间直角坐标系， 求得， 由（1）可知，是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 即， 令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． (1)求实数a的取值范围以及直线l的方程； (2)已知，若圆C上存在两个不同的点P，使，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由圆可得，则圆心，半径. 因为直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． 所以点在圆内，则，即，解得 故实数a的取值范围为. 因为弦AB的中点为，所以 由圆的性质可得，则，所以直线l的方程为：，即. （2）设点P坐标为 由，，可得，即. 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 因为圆C上存在两个不同的点P 所以两圆相交，则，解得 故实数a的取值范围为：. 18．如图，在四棱锥中，底面平面.    (1)证明：平面平面PAB. (2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面，平面，， ，，平面，平面， 平面PAD，平面平面，平面， ，平面， 又平面平面平面PAB. （2），直线PD与直线BC所成的角为， 底面，平面， ，即， 设，则， 以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，    设平面PCD的法向量为，则 取，则，得， 易知平面PAB的一个法向量为， 则， 故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为. 19．已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，，，则，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 直线的方程为，， 直线的方程为，， 则，，，，， ① ，则， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， ，，② ， ， ，③ 将②③代入①得，， 整理为，即或， 若，则直线为，过点，不符合题意，舍去， 若，则直线为，过原点，此时， 又因为，所以，，代入椭圆方程得，， 则，又， 所以， 所以点的坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第一册检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各组向量，不能构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 2．下列直线的倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（    ） A． B． C．7 D．5 4．如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．设抛物线的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，垂足为Q，若，则（    ） A． B． C． D． 8．.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 11．过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为大于0的常数），则点的轨迹可能是（    ） A．两条直线的一部分 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 13．已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则 . 14．正方体中，点E是的中点，点F为正方形内一动点，且平面，若异面直线CF与所成角为，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)求椭圆的标准方程：以点，为焦点，经过点. (2)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的标准方程. (3)求双曲线的标准方程：经过点，. 16．如图，四棱锥中，底面，. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． (1)求实数a的取值范围以及直线l的方程； (2)已知，若圆C上存在两个不同的点P，使，求实数a的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，底面平面.    (1)证明：平面平面PAB. (2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 19．已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$