精品解析：安徽省宣城中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

宣城中学2024～2025学年度第一学期高一年级10月月考 数学试题 本试卷满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列表述中正确的是（ ） A B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要 4. 在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若两个正实数x，y满足，且存在这样x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于不等式的解集为或 D. 若{，为常数，且，则的最小值为 7. 已知，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 关于不等式的解集中有且仅有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 命题，，使得不等式成立，下列不是命题成立的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为___________. 13. 设正实数满足等式若恒成立，则实数t的取值范围是_________． 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步等. 15. 已知集合、集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. （1）求实数的取值范围； （2）问点在何处时，最小，并求出该最小值. 17 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 18. （1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宣城中学2024～2025学年度第一学期高一年级10月月考 数学试题 本试卷满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与元素之间的基本关系以及集合与集合之间的关系逐一判断可得结论. 【详解】对于A，因为空集中不含有任何元素，因此，即A错误； 对于B，集合中只有一个元素，而中有两个元素，所以，即B错误； 对于C，空集中不含有任何元素，而中有一个元素，所以C错误； 对于D，自然数集中包含0，因此，即D正确. 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定形式可直接得出结论. 【详解】易知命题“，”的否定是“，”. 故选：C 3. 用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如不能得到， 由，又，所以一定能得到. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 4. 在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案 【详解】根据给出在上定义运算 ， 由得，解之得， 故该不等式的解集是． 故选：B 5. 若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式有解得到，解一元二次不等式求范围即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 6. 已知关于一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若{，为常数，且，则的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】A由一元二次不等式解集为空直接判断；B令即可判断；C根据解集判断参数关系，结合目标不等式求解即可；D根据题设得，且，将目标式化为含的表达式，再令，代换原表达式并结合基本不等式求最值. 【详解】A：由无解，则且，对； B：令，若，则等价于， 此时，关于的不等式的解集不为，错； C：由题设，则等价于， 所以，可得或，对； D：由题设，则，且， 所以，令，则， 所以上式为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，对. 故选：B 7. 已知，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求出，然后求解的最大值即可求得的最大值. 【详解】已知，，， ， 当且仅当时，等号成立， 又， 所以，当且仅当时，等号成立. 故选：A 8. 关于的不等式的解集中有且仅有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到的解集中有且仅有个整数解，令，利用二次函数的图象可得，即可求解. 【详解】由，得到， 因为关于不等式的解集中有且仅有个整数解， 即的解集中有且仅有个整数解，则， 令，对称轴， 因为，， 要使的解集中有且仅有个整数解， 则有，即，解得， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，先将集合化简，再由集合子集的定义求解，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 当时，，符合题意； 当时，则，则或，解得或； 综上所述，或或. 故选：ABC 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确. 故选：AD. 11. 命题，，使得不等式成立，下列不是命题成立的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得，成立，利用基本不等式求出最小值，再根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意得，存在正数使成立，即成立， ， 当且仅当，即时取等， 故， 故使得成立的充要条件是， 使得成立的充分不必要条件应该是的真子集，其中满足的只有， 则不是命题成立的充分不必要条件的有BCD三个选项. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因，， 则， 因此，. 故答案为：. 13. 设正实数满足等式若恒成立，则实数t的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知变形得，由基本不等式结合二次函数的性质可得的最大值，从而可得结论. 【详解】因为，所以，， ，则， 设，则， ， 对称轴为，在处，上式取得最大值，且最大值为， 若恒成立，则，得， 故答案为：. 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步等. 15. 已知集合、集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解二次不等式化简集合，再利用集合交集的结论，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式，解之即可得解； （2）利用充分不必要条件得到集合是集合的真子集，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 因为， 又，， 当时，，解得， 当时，，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不同时成立），解得， 综上，，即实数的取值范围为. 16. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. （1）求实数的取值范围； （2）问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【答案】（1） （2）当点满足时，最小，最小值为亿元. 【解析】 【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案. （2）由题意可得，由基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式； （2）通过分类讨论的范围即可解出不等式； （3）利用分参法，设 ，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，. 【小问2详解】 由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即 解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. 【小问3详解】 由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解法，基本不等式，二次函数判别式。考查学生分析问题的能力，分类讨论的能力，具有很强的综合性. 18. （1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ． 【解析】 【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明. 【详解】（1）因为，a，b为正实数， 所以，所以，当且仅当时，取等号． （2）由（1），得． 同理，得， 所以， 当且仅当时，取等号． 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$