精品解析：山东省济宁市部分学校2025届高三上学期阶段教学质量联合测评数学试卷

2024-2025学年上学期高三阶段教学质量联合测评 数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足：且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，都是锐角，，，求（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，存在常数，使为偶函数，则最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”否定是“，都有” B. 当时，最小值是5 C. 函数的最小值为2 D. “”是“”的充要条件 10. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C D. 若是关于的方程：的根，则 11. 数列前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为__________. 13. 已知是半径为1，圆心角为扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，则的最大值为______． 14. 设向量，，满足，，，则的最大值等于______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求锐角的大小； （2）若，且的周长为，求的面积. 16. 已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知函数， （1）若，求在点处的切线方程. （2）若有两个零点，求a的取值范围. 18. 三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. （1）求角B的大小; （2）若，求的值； （3）若点G是三角形的重心，求 的最小值. 19. 已知函数． （1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期高三阶段教学质量联合测评 数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出结合M，再应用交集运算得出选项. 【详解】因，所以. 故选：C. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定复数，再求复数的模. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 3. 已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由数量积的运算律可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由，得，即， 由已知得，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4. 已知数列满足：且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到. 【详解】因，，， 所以，，， 故数列为周期是3的数列， 所以. 故选：A 5. 已知，都是锐角，，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得，，再利用两角差的余弦公式可得结果. 【详解】由，以及，都是锐角可得，； 所以 . 故选：A 6. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，问题可转化为对任意的恒成立，由题设条件得到，进而得到，接着结合基本不等式求得最小值得到即可求实数的取值范围. 【详解】因为对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 又因，可得， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以最小值为，所以，可得，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7. 已知函数，存在常数，使为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，由题意确定的值，进而可得为奇函数，即可得出的最小值. 【详解】因为， 所以， 因为存在常数，为偶函数，则， 此时为奇函数， 所以，即， 因为， 所以的最小值为. 故选：B 8. 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用定义法证明为奇函数，化简解析式可知为增函数，然后结合函数的奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以为奇函数， 又因为， 所以为上的增函数. 因为，为奇函数， 所以， 又为上的增函数，所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 函数的最小值为2 D. “”是“”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断A；利用基本不等式求解判断B；求出指数型复合函数最值判断C；利用充分条件必要条件定义判断D. 【详解】对于A，命题“，使得”的否定是“，都有”，A正确； 对于B，当时，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，而函数在上递减， 则，所以函数在处取得最大值2，C错误； 对于D，由，得，由，得或，即推不出，D错误. 故选：AB 10. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据虚数单位乘方的周期性可判断A选项，设根据复数的四则运算及模长公式可判断BC选项，再根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根于系数关系，判断D选项. 【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误； 设， B选项：由，则，且， 则，， 又，所以当时取最小值为，B选项正确； C选项：，，， 所以，C选项错误； D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足， 且与互为共轭复数，由可知， 则，即，D选项正确； 故选：BD. 11. 数列前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C,D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断. 【详解】对于A：，正确； 对于B: ，有， 两式相加，得，又， 所以，为偶数 由，得：，也即，为奇数， 所以，正确； 对于C:由B可知： ， 则，错误. 对于D：数列的前项和记为， ，正确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且成等比数列，可得， 即，解得， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 13. 已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值. 【详解】设，扇形的半径为1， 则，， ，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时, 取得最大值. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用三角函数表示线段长，利用三角恒等变换求得最值是常用方法. 14. 设向量，，满足，，，则的最大值等于______. 【答案】2 【解析】 【分析】令，，，可得，，所以，，，共圆，由正弦定理可得圆的直径，从而可得，当为直径时最大，即可求解. 【详解】由题设，，而，则， 令，，，则，， 又，如下图示： 所以，，则， 故，，，共圆， 而，即， 故外接圆直径， 对于，当为直径时最大，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求锐角的大小； （2）若，且的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）首先求出，即可得到，再由正弦定理得到，，，由周长求出，即可得到，，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 因， 代入得， 又因，则，又为锐角，故； 【小问2详解】 由可得，因为，则. 由（1）可得， 由正弦定理， 其中， 设比值，则，，， 因的周长为，即， 即，则，， 故的面积. 16. 已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公比为，根据等差中项可得，根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则 ， 所以. 17. 已知函数， （1）若，求在点处的切线方程. （2）若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求导后，分别在、和的情况下，求得单调性和最值，结合零点存在定理可确定符合题意的取值范围. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为R，求导得， ①当时，恒成立，函数在上单调递增，至多有一个零点，不合题意； ②当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，，则，则至多有一个零点，不合题意； 当时，，则，而，则在上有唯一零点； 由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 当时，，即， 当时，，在上有唯一零点； 因此当时，有两个不同零点， 所以实数的取值范围为. 18. 三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. （1）求角B的大小; （2）若，求的值； （3）若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. 【小问2详解】 如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设  ， 又因三点共线，故， 所以，故. 【小问3详解】 因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 19. 已知函数． （1）若函数在上为增函数，求实数取值范围； （2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数在上恒成立，分离变量转化即可求解. （2）将问题转化为没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 因为函数在上为增函数， 所以对恒成立，即对恒成立， 令，则，所以在单调递增， 所以，即，所以， 所以，解得，所以实数a的取值范围为； 【小问2详解】 因为函数和函数的图象没有公共点，所以，即无实根， 所以当时，无实根， 因为，即是偶函数， 所以在上无实根.，， 记，则， ①当时，，又，则， 所以，满足在上无实根. ②当时，在上有实根，不合题意，舍去. ③当时，，所以在单调递增， 则，所以在上单调递增， 所以，满足在上无实根. ④当时，因为在上单调递增， 且， 则存在唯一的，使， 当变化时，的变化情况如下： 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，，则在单调递减， 则，又因为，且在上连续， 所以在上有实根，不合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $