精品解析：重庆巴蜀中学教育集团2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团高2027届高一（上）月考考试 数学试卷 （命题人：先莹莹､唐莲骄，审题人：何方印） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知命题且，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，满足，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 的大小与的取值有关 7. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A 24 B. 26 C. 28 D. 30 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 命题“”为真命题充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，满足，则下列式子正确的是（ ） A. 的最小值是9 B. 的最小值是6 C. 的最小值是 D. 的最小值是13 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，它的非空真子集的个数为______. 13. 已知关于的方程有两个实根，满足，则实数______. 14. 存在正数，使得不等式成立，则的最大值是______. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 已知集合. （1）求集合. （2）求. 16. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用年时，电梯保养的总维护费用为万元. （1）设电梯的年平均使用费用为万元，求关于的表达式（注：年平均使用费用，单位：万元/年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？ 17. 已知集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知关于的不等式. （1）若，解上述不等式 （2）若不等式的解集为或，求的值. （3）当时，解上述不等式. 19. 已知非空实数集满足：若，则；若，则. （1）若，直接写出中一定包含的元素. （2）若由三个元素组成，且所有元素之和为，求. （3）若由2027个元素组成，求的元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴蜀中学教育集团高2027届高一（上）月考考试 数学试卷 （命题人：先莹莹､唐莲骄，审题人：何方印） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：B 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】的否定是. 故选：D 3. 函数的定义域为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域为或. 故选：B 4. 已知命题且，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若且，则，即，因此， 若，则且，或且，即不能推出， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 5. 若，满足，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的结果，结合元素的互异性求解即得. 【详解】由集合，得，且，则且， 由，得，又且，因此， 所以 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 的大小与的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】用作差法比较代数式大小即可. 【详解】 当且仅当时取等号，但，则无法取到等号， 故，即. 故选：A. 7. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由正数满足，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值6. 故选：C 8. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了南山一棵树的同学组成集合，去了磁器口的同学组成集合， 依题意，， 而，由容斥原理得， 解得，所以只去了一个地方的有(人). 故选：C 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项． 【详解】对于A，取，满足，同时，故错误； 对于B：取，满足，此时，故错误； 对于C：由，可得，正确； 对于D：由，的得，由不等式的性质可得：，正确； 故选：CD 10. 命题“”为真命题的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】由，得当时，成立，则， 当时，，解得，因此， 显然，，而和都不能推出，AB是，CD不是. 故选：AB 11. 已知，满足，则下列式子正确的是（ ） A. 的最小值是9 B. 的最小值是6 C. 的最小值是 D. 的最小值是13 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可；对B，利用基本不等式构造出关于的一元二次不等式，解出即可；对CD，利用减少变量的方法，再结合基本不等式即可. 【详解】对A，，，， ，当且仅当时等号成立.故A选项正确； 对B，，， ，当且仅当时等号成立.故B选项正确； 对C，， ， 当且仅当，即时等号成立， 但是时，无解，，故C选项错误； 对D，，因为， 则，解得或，因为，则，则， ， 当且仅当，即时等号成立.故D选项正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，它的非空真子集的个数为______. 【答案】30 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空真子集的个数. 【详解】依题意，，所以集合的非空真子集的个数为. 故答案为：30 13. 已知关于的方程有两个实根，满足，则实数______. 【答案】 【解析】 分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得. 【详解】方程中，，而是该方程的两个实根， 于是，由，得， 即，解得，所以实数. 故答案为： 14. 存在正数，使得不等式成立，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数再构造出，最后利用基本不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时等号成立. 最大值为. 故答案为：. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）求集合. （2）求. 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简求出集合. （2）由（1）的结论，利用并集、补集、交集的定义求解即得. 【小问1详解】 解不等式，得，即，因此； 解不等式，得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，则或， 所以，. 16. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用年时，电梯保养的总维护费用为万元. （1）设电梯的年平均使用费用为万元，求关于的表达式（注：年平均使用费用，单位：万元/年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？ 【答案】（1） （2）15年. 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可求得年平均使用费用y关于x的表达式； （2）由，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，电梯安装费用是25万元，使用年时，管理支出为万元，电梯的保养修费用为万元， 所以关于的表达式为. 【小问2详解】 . 当且仅当，即时等号成立. 则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少. 17. 已知集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用充分不必要条件的定义列式求解. （2）由（1）信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 由不等式，得或， 解，得，解，得， 因此或，由“”是“”的充分不必要条件， 得，则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知或，由，得， 当时，，即，解得，满足， 则， 当时，或， 解，即，解得， 解，即，解得， 则或， 所以实数的取值范围是或. 18. 已知关于的不等式. （1）若，解上述不等式. （2）若不等式的解集为或，求的值. （3）当时，解上述不等式. 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，转化为一元二次不等式求解. （2）化不等式为一元二次不等式，再利用给定的解集，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系求解. （3）把代入，化不等式为一元二次不等式，再分类讨论解含参的不等式即可. 【小问1详解】 当时，不等式化为，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式化为，即， 依题意，，且是方程的二根，即， 所以. 【小问3详解】 当时，不等式化为，即， 当，即时，，解得； 当，即时，， 而，解得或； 当，即时，，而， 若，则不等式无解， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知非空实数集满足：若，则；若，则. （1）若，直接写出中一定包含的元素. （2）若由三个元素组成，且所有元素之和为，求. （3）若由2027个元素组成，求的元素个数的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）674. 【解析】 【分析】（1）由数集的属性求出中一定包含的元素. （2）令，求出中的3个元素，进出求出值，得数集. （3）求出数集中元素组成形式，结合元素循环的最小正周期，再分类讨论求出的元素个数的最大值. 【小问1详解】 若，则，于是，，， ，， 所以数集中一定包含的元素为. 【小问2详解】 若，则，于是令，，， ，显然都无实数解， 因此是数集中的三个元素，由， 整理得，即，解得或或， 所以. 【小问3详解】 当时，，，，， 而无实数解，均无实数解， 因此数集是以形式，4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且， 数集是以形式，3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且， 于是数集的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当时，， 而4和3互素，因此数集中各组最多只能有1个公共元素， 设集合中共有个元素，满足是4的整数倍，其中有个元素在中，满足， 由同一周期内元素不相等，得这个元素在集合中归属于不同组内， 则集合中有个元素，同时在内还有个元素，并满足是3的整数倍，， 于是，显然，解得， 当时，不存在符合条件的整数，当时，，符合题意，的最大值为674； 设集合中共有个元素，满足是3的整数倍，其中有个元素在中，满足， 同理，集合中有个元素，同时在中还有个元素，满足是4的整数倍，， 于是，显然，解得， 当时，不存在符合条件的整数，当时，，符合题意，的最大值为504， 所以的元素个数的最大值为674. 【点睛】关键点点睛：解析第3问的关键是确定集合中元素的构成以及元素的个数表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$