第十五章 分式（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（山东专用）

第十五章：分式 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．在，，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 3．下列各式中，变形正确的是（ ） A． B． C． D． 4．是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 5．下列与的结果相等的为（    ） A． B． C． D． 6．解分式方程，去分母后，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．嘉嘉在计算：时，将“”号看成了“”号，运算结果为，则“△”应该是（    ） A． B．m C． D． 8．下列变形正确的是（      ） A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上都不是 10．已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．已知-=6,则代数式的值为 . 12．下列分式：，，，，其中最简分式有 个． 13．已知a2－6a＋9与(b－1)2互为相反数，则式子÷(a＋b)的值是 ． 14．使等式成立的有理数x的值有 ． 15．若关于的方程有整数解，则的值为 ． 16．对于正数，规定.例如,,则 . 三．解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解方程： (1)； (2)． 18．计算：． 19．阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：， 求： (1)； (2)的值． 20．下面是小文同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……………第一步 …………第二步 …………第三步 .…………第四步 (1)由第三步到第四步进行了________运算，化为最简分式，依据是________； (2)你认为小文的解答过程正确吗？若不正确，错在哪一步？并写出正确的解答过程． 21．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 22．【新情境】 数学课上，老师给出题目：先化简，然后从中选出合适的整数作为x的值代入求值．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式： … 解：原式： … (1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 23．第届国际世界杯足球赛于年月日至月日在卡塔尔境内座球场举行．某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵元． (1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元? (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率为（除去元的快递费用），那么每件T恤衫的标价是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章：分式 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．在，，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在，，，，，中， 分式有，共有3个． 故选：B． 2．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．当分母不为零时，分式有意义；当当分母为零时，分式无意义；当分母不为零且分子为零时，分式的值为零．当时，根据分母为零可求得，当时，根据分母不为零，分子为零，可求得，由此即可求的答案． 【详解】当时，分式无意义， ， 解得， 当时，分式的值为0， ， 解得， ． 故选：D． 3．下列各式中，变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；     B、 ，分子、分母乘的数不是同一个，故该选项不正确，不符合题意；     C、 ，由于，分子、分母同时除以，故该选项正确，符合题意；     D、，当时成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键． 【详解】解：将用科学记数法表示应为， 故选：A． 5．下列与的结果相等的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘方和负整数指数幂，计算乘方和负整数指数幂，再进行约分即可求解. 【详解】解：， 故选A． 6．解分式方程，去分母后，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．方程两边都乘以去分母即可判断． 【详解】解：将方程去分母， 得， 故选：C． 7．嘉嘉在计算：时，将“”号看成了“”号，运算结果为，则“△”应该是（    ） A． B．m C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，根据题意可得，则只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴“△”应该是， 故选：B． 8．下列变形正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】A、，故此项正确； B、为最简分式，不能继续化简，故此项错误； C、，故此项错误； D、，故此项错误； 故选：A． 9．若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先解分式方程得到，再分当，即时和当时两种情况，讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时有，故原方程无解， 当时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：C． 10．已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．分别求出，，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【详解】解：， ， ， ， 该数列每三个数就循环一次， ， ， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．已知-=6,则代数式的值为 . 【答案】 【分析】根据-=6，求得x﹣y=﹣6xy，然后将代数式变形为，再整体代入进行计算求值即可. 【详解】∵-=6， ∴x﹣y=﹣6xy， 则原式====. 故答案为. 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解此题的关键在于根据题意准确的将分式进行变形. 12．下列分式：，，，，其中最简分式有 个． 【答案】2 【详解】因为分式的分子和分母没有公因式,即为最简分式,所以是最简分式,是最简分式,的分子和分母中有公因式,所以不是最简分式,的分子和分母中有公因式,所以不是最简分式,故答案为:2. 13．已知a2－6a＋9与(b－1)2互为相反数，则式子÷(a＋b)的值是 ． 【答案】 【详解】a2－6a＋9+(b－1)2=0, +(b－1)2=0, a=3,b=1. 所以÷(a＋b)==. 14．使等式成立的有理数x的值有 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，分类讨论得出是解题关键． 利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出即可． 【详解】解：当时， ， ，符合题意， 当时， ，，符合题意， 当时， ， ，符合题意， 综上所述．使等式成立的有理数x的值有或或． 故答案为：或或． 15．若关于的方程有整数解，则的值为 ． 【答案】 【分析】先方程两边都乘，得，再根据有整数解，逐个分析，即可作答．本题考查了根据分式方程解的情况求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∴ ∴ ∵关于的方程有整数解 ∴或， ∴ ∴的值为 故答案为： 16．对于正数，规定.例如,,则 . 【答案】2013.5 【详解】∵当x=1时,f（1）= ,当x=2时,f（2）= ,当x= , 时,f（ ）=,当x=3时,f（3）= , 当x= 时,f（ ）= …, ∴f（2）+f（ ）=1,f（3）+f（ ）=1,…,∴f（n）+…+f（1）+…+f（ ）=f（1）+（n-1）,∴f（1）+（2014-1）= ,故答案为:. 3． 解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的求解步骤是解答的关键，注意计算结果要检验． （1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后经检验可得分式方程的解； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后经检验可得分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得， 经检验，是分式方程的解； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得 经检验，是分式方程的增根， 故原分式方程无解． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题是幂的混合运算，根据，同底数幂相除，底数不变，指数相减，结合乘方法则计算即可． 【详解】 ． 19．阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：， 求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再将代入可得结论． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴． 20．下面是小文同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……………第一步 …………第二步 …………第三步 .…………第四步 (1)由第三步到第四步进行了________运算，化为最简分式，依据是________； (2)你认为小文的解答过程正确吗？若不正确，错在哪一步？并写出正确的解答过程． 【答案】(1)约分，分式的基本性质 (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据约分步骤及分式的性质进行解答即可得出答案； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； 【详解】（1）解：由第三步到第四步进行了约分运算，化为最简分式，依据是分式的基本性质， 故答案为：约分，分式的基本性质； （2）解：小文的解答过程不正确，错在哪二步，正确解答如下： ， ， ， ， 21．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 22．【新情境】 数学课上，老师给出题目：先化简，然后从中选出合适的整数作为x的值代入求值．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式： … 解：原式： … (1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)解答过程见解析，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的基本性质，乘法分配律，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质和乘法分配律即可求解； （2）根据分式的加法法则和乘法法则可以化简题目中的式子，然后从中，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解：根据题意可知，甲同学解法的依据是②，乙同学解法的依据是③， 故答案为：②，③； （2）解：选甲同学的解法： 原式 ， 若使分式有意义，x不能取，0，2，因为从中选出合适的整数作为x的值， ∴， ∴原式， 选乙同学的解法： 原式 ； 若使分式有意义，x不能取，0，2，因为从中选出合适的整数作为x的值， ∴， ∴原式． 23．第届国际世界杯足球赛于年月日至月日在卡塔尔境内座球场举行．某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵元． (1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元? (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率为（除去元的快递费用），那么每件T恤衫的标价是多少元？ 【答案】(1)购进第一批T恤衫每件的进价是元，第二批T恤衫每件的进价是元 (2)每件T恤衫的标价是元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次方程的应用，解应用题时需要理清楚等量关系，找到合适的量设未知数，顺题意列出方程，注意分式方程求解需要检验． （1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是元，根据售价成本利润列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 购进第一批T恤衫每件的进价是元，第二批T恤衫每件的进价是元； （2）设每件T恤衫的标价是元， 两次够进T恤衫的数量为：（件）， 总成本为：（元）， 根据题意得：， 解得：， 每件T恤衫的标价是元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$