第18期 2.1 圆的对称性-2.3 垂径定理（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 “直径所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦 是直径”，这是由圆周角定理得出的推论，应用这一推论 可解决与此有关的一些试题．下面让我们一起体验． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、求圆的半径 例１　 （２０２４宿州三模）如图 １，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在 ⊙Ｏ上，ＡＢ⊥ ＢＣ．若 ＢＣ＝４，∠ＢＤＣ＝３０°，则 ⊙Ｏ的半径为 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．２２ 槡Ｃ．２３ Ｄ．８ 解析：连接 ＡＣ，则 ∠ＣＡＢ＝ ∠ＢＤＣ＝３０°，因为ＡＢ⊥ＢＣ， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，所以ＡＣ为⊙Ｏ的直径． 因为∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＣＡＢ＝３０°，ＢＣ＝４， 所以ＡＣ＝２ＢＣ＝８， 所以⊙Ｏ的半径为 ８２ ＝４． 故选Ａ． 二、求弦的长度 例２　（２０２４楚雄三模）如 图２，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，点 Ｃ，Ｄ 在⊙Ｏ上，若 ∠ＣＤＢ＝３０°，ＡＢ ＝４，则ＡＣ的长为 （　　） 槡Ａ．２２ Ｂ．４ 槡 槡Ｃ．３ Ｄ．２３ 解析：因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°． 因为∠ＢＡＣ和∠ＣＤＢ是同弧 ) ＢＣ所对的圆周角， 所以∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ＝３０°， 因为ＡＢ＝４， 所以ＢＣ＝ １２ＡＢ＝２， 所以ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ ４２－２槡 ２ ＝ 槡２３． 故选Ｄ． 三、求圆周角的度数 例３　（２０２３黄冈）如图３，在 ⊙Ｏ中，直径ＡＢ与弦 ＣＤ相交于点 Ｐ，连接 ＡＣ，ＡＤ，ＢＤ，若 ∠Ｃ＝２０°， ∠ＢＰＣ＝７０°，则∠ＡＤＣ＝（　　） Ａ．７０° Ｂ．６０° Ｃ．５０° Ｄ．４０° 解析：因为 ∠Ｃ＝２０°，所以 ∠Ｂ＝２０°， 因为∠ＢＰＣ＝７０°，所以∠ＢＤＰ＝∠ＢＰＣ－∠Ｂ＝ ５０°， 又因为ＡＢ为直径，所以∠ＡＤＢ＝９０°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ－∠ＢＤＰ＝４０°． 故选Ｄ． 【对应练习见《重点集训营》】 书 ２２．（１）剪掉的正方形 的边长为１０ｃｍ． （２）当剪掉的正方 形的边长为 １１ｃｍ时，长 方体盒子的侧面积最大 为９６８ｃｍ２． ２３．（１）ｙ与 ｘ的函数 关系式为ｙ＝－ｘ＋４０． （２）销售单价为１６元 时，每天的销售利润为 １４４元． （３）由（２）得 Ｗ ＝ －（ｘ－２５）２＋２２５，所以对 称轴为直线ｘ＝２５，因为１５ ≤ｘ≤３０，所以当１５≤ｘ≤ ２５时，Ｗ随 ｘ的增大而增 大，所以ｘ＝１５时，Ｗ最小 ＝ １２５；当２５≤ ｘ≤３０时，Ｗ 随ｘ的增大而减小，所以 ｘ ＝３０时，Ｗ最小 ＝２００＞ １２５，所以 ｘ＝１５时，Ｗ最小 ＝１２５． 答：这种纪念品每天 销售的最低利润是１２５元． ２４．（１）抛物线的函数 表达式为ｙ＝２３ｘ ２－１３ｘ， Ｃ（－３２，２）． （２）设△ＢＣＭ边ＢＣ上 的高为ｈ，因为ＢＣ＝７２，所 以Ｓ△ＢＣＭ ＝ １ ２· ７ ２·ｈ＝ ７ ２，解得ｈ＝２，所以点 Ｍ 为抛物线上到 ＢＣ的距离 为２的点，所以Ｍ的纵坐标 为０或 ４，令 ｙ＝ ２３ｘ ２－ １ ３ｘ＝０，解得ｘ１＝０，ｘ２＝ １ ２， 所 以 Ｍ１（０，０）， Ｍ２（ １ ２，０）；令ｙ＝ ２ ３ｘ ２－ １ ３ｘ＝ ４， 解 得 ｘ３ ＝ １＋槡９７ ４ ，ｘ４ ＝ １－槡９７ ４ ， 所 以 Ｍ３（ １＋槡９７ ４ ，４）， Ｍ４（ １－槡９７ ４ ，４）． 综上，点 Ｍ的坐标为 （０，０）， （ １２，０）， （ １＋槡９７ ４ ，４）或（ １－槡９７ ４ ， ４）． ２５．（１）Ｓ＝－ｔ２＋５ｔ，０ ＜ｔ≤３．５． （２）不能，理由如下： 当Ｓ＝７时，－ｔ２＋５ｔ ＝７，所以ｔ２－５ｔ＋７＝０， 因为 Δ ＝ ｂ２ －４ａｃ＝ 书 上期２版 １．５二次函数的应用（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．３６　４．１００． 能力提高 　５．（１）ｗ与 ｘ之间的函数关系式为 ｗ ＝－５０ｘ２＋５５００ｘ－１４００００． （２）由题意可得 ｘ≥４０， ｘ－４０ ４０ ×１００％≤３０％ { ，解得 ４０ ≤ｘ≤５２，因为在函数ｗ＝－５０ｘ２＋５５００ｘ－１４００００中， ａ＝－５０＜０，所以抛物线开口向下，因为抛物线的对称 轴为直线ｘ＝－ ５５００２×（－５０）＝５５，所以当４０≤ ｘ≤５２ 时，ｗ随ｘ的增大而增大，所以当ｘ＝５２时，ｗ有最大值， 最大值为ｗ＝１０８００． 答：当定价为每件５２元时，才能使利润最大，最大 利润为１０８００元． 重点集训营 题型一：图象题 １．Ｃ；　２．Ｄ． 题型二：应用题 ３．（１）由题易得抛物线的顶点为（１０，６），设水流形 成的抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－１０）２＋６，将点（０，１） 代入可得ａ＝－１２０，所以抛物线的表达式为ｙ＝－ １ ２０（ｘ －１０）２＋６，当ｘ＝１５时，ｙ＝－１２０×２５＋６＝４．７５＞ ４．２，所以能浇灌到小树后面的草坪． （２）喷射架应向后移动１米． （３）ｙ１－ｙ２的最大值为 ２１ ５． ４．（１）Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（０，－１）． （２）由题易求得抛物线Ｌ′的表达式为ｙ＝ １３（ｘ－ ２）２－４３，所以对称轴ｌ为直线ｘ＝２． 当ＡＣ为边时，分两种情况：①当ＡＤ为对角线时，连 接ＡＣ，过点Ｃ作ＡＣ的垂线，交ｌ于点Ｄ，交ｘ轴于点Ｇ，因 为Ａ（－１，０），Ｃ（０，－１），所以ＯＡ＝ＯＣ＝１，所以∠ＯＣＡ ＝４５°，所以 ∠ＯＣＧ＝４５°，所以 ＯＧ＝ＯＣ＝１，所以 Ｇ（１，０）．设ＣＧ所在直线表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，将 Ｃ（０， －１），Ｇ（１，０）代入得， ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝－１{ ， 解得 ｋ＝１， ｂ＝－１{ ，所以 ＣＧ所在直线表达式为ｙ＝ｘ－１，当ｘ＝２时，ｙ＝ｘ－１ ＝２－１＝１，所以Ｄ（２，１）；②当ＡＤ为边时，同理过点Ａ 作ＡＣ的垂线，交ｌ于点Ｄ′，交ｙ轴于点Ｈ，易得ＡＨ所在 直线表达式为ｙ＝ｘ＋１，则ＡＨ与对称轴ｌ的交点坐标为 Ｄ′（２，３）． 当ＡＣ为对角线时，ＤＥ也为对角线，易得 ＤＥ＝ＡＣ ＝槡２，此时点Ｄ不可能在ｌ上，所以此种情况不存在． 综上，在新抛物线Ｌ′的对称轴ｌ上存在点Ｄ，使得以 Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ为顶点的四边形是矩形，此时点 Ｄ的坐标为 （２，１）或（２，３）． 上期３，４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｃ 二、１１．－２；　１２．４０；　１３．２２０；　１４．（２，０）； １５．ｙ＝２ｘ２＋４ｘ－６；　１６．４． １７．ｙ＝（ｘ－７）２－１；　１８．２７８． 三、１９．（１）抛物线开口向上，顶点坐标为（１，３）． （２）因为抛物线的开口向上，对称轴为直线ｘ＝１， 所以当ｘ≤１时，函数值随着自变量的增大而减小． （３）新抛物线不经过Ｐ（１，－５），理由略． ２０．（１）ｋ的值为 －５３． （２）ｋ＝－１或 ５３． ２１．（１）ｂ＝１，ｃ＝１．２． （２）大棚的最高点到地面的距离为２．４５米． 书 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．如图１，弦ＣＤ所对的圆心角为１２０°，ＡＢ为直径， ＣＤ在半圆上滑动，Ｆ是ＣＤ的中点，过点 Ｄ作 ＡＢ的垂 线，垂足为Ｅ，则∠ＤＥＦ的度数为 ． ２．（２０２４邢台一模）如图２，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均为圆周上 十二等分点，若用直尺测量弦ＣＤ长时，发现Ｃ点、Ｄ点 分别与刻度 １和 ４对齐，则 Ａ，Ｂ两点的距离是 ． ３．如图３，已知ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ 的两条弦，且ＡＢ＝４，ＣＤ＝槡３，分 别连接ＡＣ，ＢＤ并延长，两线相交 于点Ｐ，若∠Ｐ＝３０°，∠ＢＡＣ＝ ９０°，则⊙Ｏ的半径为 ． ４．（２０２４杭州一模）如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ，以ＣＤ为直径的⊙Ｏ与ＢＣ边交于点 Ｅ，与对角线ＢＤ交于点Ｆ，连接ＤＥ，ＣＦ． （１）请判断四边形ＡＢＥＤ的形状，并说明理由； （２）若ＡＤ＝３，２ＤＦ＝ＢＦ，∠ＡＢＤ＝３０°，求⊙Ｏ的 半径． １．如图 １，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，Ｃ为圆上一点，且 ∠ＡＯＣ＝１２０°，⊙Ｏ的半径为４，Ｐ为圆上一动点，Ｑ为 ＡＰ的中点，则ＣＱ长度的最大值是 ． ２．（２０２４西安模拟）如图２，在平面直角坐标系中， 四边形ＡＢＣＯ为矩形，Ａ（０，４），Ｂ（１０，４），点Ｍ为边ＯＣ 上一点，以点Ｍ为圆心，ＣＭ为半径作⊙Ｍ，交ｘ轴于点 Ｄ，连接ＢＤ交⊙Ｍ于点Ｅ，连接ＡＥ，点Ｆ为ＡＥ的中点， 则ＯＦ的最小值为 ． 书 【提示】 １．连接ＯＱ，作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，先证明点Ｑ的运 动轨迹为以ＡＯ为直径的⊙Ｋ，连接ＣＫ，当点Ｑ在ＣＫ 的延长线上时，ＣＱ最大，利用勾股定理求出ＣＫ即可． ２．连接ＣＥ，取ＢＣ中点Ｈ，连接ＡＨ，ＥＨ，取ＡＨ中 点Ｇ，连接ＦＧ，ＯＧ，由矩形的性质得Ｃ（１０，０），ＢＣ＝ ４，Ｈ（１０，２），Ｇ（５，３），易证得∠ＣＥＤ＝∠ＣＥＢ＝９０°， 则得ＥＨ的长为２，因为ＦＧ为△ＡＥＨ的中位线，所以 ＦＧ＝１，则点Ｆ在以点Ｇ为圆心，１为半径的圆上运 动，故当Ｏ，Ｆ，Ｇ三点共线时，ＯＦ有最小值，利用勾股 定理得到ＯＧ的长，即可求出ＯＦ的最小值． 书 弧是圆中的无名英雄，与圆有关的许多计算和证 明问题，表面上与弧没有直接关系，实际上却沟通着圆 周角、圆心角、弦等元素，起到了牵线搭桥的作用．下面 举例说明． 一、为弦牵线搭桥 　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２４无锡期中）如 图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，四边形 ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，若ＢＣ＝ＣＤ ＝ＤＡ＝４ｃｍ，则⊙Ｏ的直径ＡＢ 为 （　　） Ａ．５ｃｍ 　　Ｂ．４ｃｍ Ｃ．６ｃｍ 　　Ｄ．８ｃｍ 解析：连接ＯＤ，ＯＣ．因为ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝４ｃｍ， 所以 ) ＡＤ＝ ) ＣＤ＝ ) ＢＣ，所以∠ＡＯＤ＝∠ＤＯＣ＝∠ＢＯＣ ＝６０°． 又因为ＯＡ＝ＯＤ，所以△ＡＯＤ是等边三角形，所以 ＯＡ＝ＡＤ＝４ｃｍ，所以ＡＢ＝８ｃｍ．故选Ｄ． 二、为圆周角牵线搭桥 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点，若 ∠ＣＡＢ＝６５°，则∠ＡＤＣ的度数 为 （　　） Ａ．２５° 　　Ｂ．３５° Ｃ．４５° 　　Ｄ．６５° 解析：因为ＡＢ是直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°， 因为∠ＣＡＢ＝６５°， 所以∠ＡＢＣ＝９０°－∠ＣＡＢ＝２５°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝２５°．故选Ａ． 三、为圆周角和圆心角牵线搭桥 例３　（２０２３阜新）如图３， Ａ，Ｂ，Ｃ是 ⊙Ｏ上的三点，若 ∠ＡＯＣ＝９０°，∠ＡＣＢ＝２５°，则 ∠ＢＯＣ的度数是 （　　） Ａ．２０° 　　Ｂ．２５° Ｃ．４０° 　　Ｄ．５０° 解析：根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角等于圆心角的一半，可得∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝５０°， 因为∠ＡＯＣ＝９０°，所以∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ－∠ＡＯＢ＝ ４０°．故选Ｃ． 四、为特殊角牵线搭桥 例４　如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，Ｃ，Ｄ，Ｅ是 ⊙Ｏ上的点，则 ∠１＋∠２等于 ． 解析：连接 ＡＣ，ＢＣ，根据同 弧所对的圆周角相等可知，∠１ ＝∠ＡＢＣ，∠２＝∠ＣＡＢ， 所以∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＋ ∠ＣＡＢ． 因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＋∠ＣＡＢ＝９０°．故填９０°． 书 如图１，四边形ＡＢＣＤ的四个顶 点都在 ⊙Ｏ上，则四边形 ＡＢＣＤ内 接于⊙Ｏ，⊙Ｏ是四边形ＡＢＣＤ的外 接圆． 因为∠Ａ所对的弧为 ) ＢＣＤ，∠Ｃ 所对的弧为 ) ＢＡＤ，且 ) ＢＣＤ与 ) ＢＡＤ所 对圆心角的和为周角， 所以由圆周角定理，得 ∠Ａ＋∠Ｃ＝ １２ ×３６０°＝ １８０°． 同理，∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°． 由此可得：圆内接四边形的对角互补． 利用这一性质解决与圆的内接四边形有关的边、角 问题，往往能够起到事半功倍的效果． 一、求角用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３西藏）如图２，四 边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，Ｅ为ＢＣ延 长线上一点．若 ∠ＤＣＥ＝６５°，则 ∠ＢＯＤ的度数是 （　　） Ａ．６５° Ｂ．１１５° Ｃ．１３０° Ｄ．１４０° 分析：根据邻补角互补求出 ∠ＤＣＢ的度数，再根据 圆内接四边形对角互补求出∠ＢＡＤ的度数，最后根据圆 周角定理即可求出∠ＢＯＤ的度数． 解：因为∠ＤＣＥ＝６５°，所以∠ＤＣＢ＝１８０°－∠ＤＣＥ ＝１１５°． 因为四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，所以 ∠ＢＡＤ＋ ∠ＤＣＢ＝１８０°，所以 ∠ＢＡＤ ＝６５°，所以 ∠ＢＯＤ ＝ ２∠ＢＡＤ＝１３０°． 故选Ｃ． 二、说理用 例２　 如图３，四边形 ＡＢＣＤ 为⊙Ｏ的内接四边形，已知∠Ｃ＝ ∠Ｄ，判断 ＡＢ与 ＣＤ的位置关系， 并说明理由． 分析：四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的 内接四边形，则 ∠Ａ与 ∠Ｃ互补， 再由∠Ｃ＝∠Ｄ，可得∠Ａ与∠Ｄ也互补，即可判断 ＡＢ 与ＣＤ的位置关系． 解：ＡＢ∥ＣＤ．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形， 所以∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠Ｃ＝∠Ｄ，所以∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°． 所以ＡＢ∥ＣＤ． 温馨提示：从以上几例可以看出，圆内接四边形的 性质虽简短，但在解决与圆的内接四边形有关的问题时 很有效，同学们在解题时要注意灵活选择运用． 书 垂径定理是圆的一条重要性质，指的是“垂直于弦 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”．它的应用非 常广泛，下面举例进行说明，供同学们学习时参考． 一、求直径 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３东营）《九章算 术》标志着中国古代数学形成了 完整的体系．第九卷《勾股》中记 载了一个“圆材埋壁”的问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小． 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， 问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图１，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＡＥ＝１寸，ＣＤ＝１０寸， 求直径ＡＢ的长．”可求出直径ＡＢ的长为 寸． 解析：连接ＯＣ，则ＯＡ＝ＯＣ，设ＯＡ＝ＯＣ＝ｘ寸，则 ＯＥ＝（ｘ－１）寸，ＡＢ＝２ｘ寸，因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦 ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＣＤ＝１０寸，所以ＣＥ＝１２ＣＤ＝５寸， 在 Ｒｔ△ＣＯＥ中，ＯＥ２＋ＣＥ２＝ＯＣ２，即（ｘ－１）２＋５２＝ｘ２， 解得ｘ＝１３，所以ＡＢ＝２６寸．故填２６． 二、求弦长 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直 径，ＯＤ垂直于弦ＡＣ于点Ｄ，ＤＯ的延 长线交⊙Ｏ于点Ｅ．若ＡＣ＝ 槡４２，ＤＥ ＝４，则ＢＣ的长是 （　　） 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．４ 解析：因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠Ｃ＝９０°，因为 ＯＤ⊥ＡＣ，所以点Ｄ是ＡＣ的中点，所以ＯＤ是△ＡＢＣ的 中位线，所以ＯＤ∥ＢＣ，且ＯＤ＝１２ＢＣ．设ＯＤ＝ｘ，则ＢＣ ＝２ｘ，因为ＤＥ＝４，所以ＯＥ＝４－ｘ，所以ＡＢ＝２ＯＥ＝ ８－２ｘ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理可得，ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ ＢＣ２，即（８－２ｘ）２＝（槡４２） ２＋（２ｘ）２，解得ｘ＝１．所以ＢＣ ＝２ｘ＝２．故选Ｃ． 三、实际应用 例３　（２０２３广西）赵州桥 是当今世界上建造最早，保存最 完整的中国古代单孔敞肩石拱 桥．如图３，主桥拱呈圆弧形，跨 度约为３７ｍ，拱高约为７ｍ，则赵 州桥主桥拱半径Ｒ约为 （　　） Ａ．２０ｍ Ｂ．２８ｍ Ｃ．３５ｍ Ｄ．４０ｍ 解析：由题意可知，ＡＢ＝３７ｍ，ＣＤ＝７ｍ，主桥拱半 径为Ｒｍ，所以ＯＤ＝ＯＣ－ＣＤ＝（Ｒ－７）ｍ，因为ＯＣ是 半径，且ＯＣ⊥ＡＢ，所以 ＡＤ＝ＢＤ＝ １２ＡＢ＝ ３７ ２ｍ，在 Ｒｔ△ＡＤＯ中，ＡＤ２＋ＯＤ２ ＝ＯＡ２，即（３７２） ２＋（Ｒ－７）２ ＝ Ｒ２，解得Ｒ＝１５６５５６ ≈２８ｍ．故选Ｂ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # ! " $ % & ! # " &' ()* & % # ! " $ ! ! ! % # & $ ! ! " +, -./ $ % & # ! ! " $ % & # ! ! $ " 01 234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! 56!789:; <=>?@ABCD ! % " & # $ ! " ! " & # $ % ! ! ! % &# $ ! " ! % & $ ! $ ! % & # $ ! " ! % & $ ! ! # ! # $ ' % & ! $ ( # ! "$ % ! " & ! % # & $ ! ! " ! $ # % & ' ! & " % ( # $ ! # ! & % ) ' $ ! " $( ) ( ) * ! * ! $ % # & $ # + &, % " ( $ ! - ! ! ! " ! " #! !!!"" $"% !" !'!#&"''$"( !"#$ !"#$%& <BE !F#GHID JHKLMNOH>P "# C % ! '()* !"#$%&'" ()*+,-'. 0,QRSLTU 0,QSOVWXYZ[\ 0,QS]^_`abcdTe Kfghijkl hmnopq rstuvwklxyn*+"#,'('(-z.D ) *+ opq , ) *+ {|} , # - .+ ~q , ) *+ €  , ) *+ ‚ ƒ -./01+ ~ „ 23/01+ ~…† -4506+ ‡ ˆ -4578+ ‰Š‹ |Œ Ž  )‘ ’ “ ”•– {—˜ ’™… š Š ›œ‘ žp ŽŸ  ¡Ÿ¢ {p£ ¤ƒH ¥¦ § – ¨©ª |«¬ 91-.+ ¡­® 91:;+ ¯œ° <=-.+ ±Ÿ² >?-.+ ³ ´ @ABC+ µ¶· <BE "F# lHID Õ./ # l0>12D ! # ! " # $ % ! 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．已知ＡＢ是半径为２的圆的一条弦，则ＡＢ的长不 可能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２．（２０２４滨州二模）如图１所示，在⊙Ｏ中，ＡＤ是直 径，弦ＢＣ交ＡＤ于点Ｅ，连接ＡＢ，ＡＣ，若∠ＢＡＤ＝３２°，则 ∠ＡＣＢ的度数是 （　　） Ａ．６８° Ｂ．５８° Ｃ．６４° Ｄ．５４° ３．（２０２４西安模拟）如图２，ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的弦，且 ) ) ＡＢ＝ＣＤ，若∠ＢＯＤ＝８４°，则∠ＡＣＯ的度数为（　　） Ａ．４２° Ｂ．４４° Ｃ．４６° Ｄ．４８° ４．如图３，以ＣＤ为直径的⊙Ｏ中，弦ＡＢ⊥ＣＤ于点 Ｍ，若ＡＢ＝２４，ＣＤ＝２６，则ＭＤ的长为 （　　） Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．１０ ５．如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点， 连接ＡＣ，ＡＤ，ＣＤ，若∠ＡＤＣ＝７０°，则∠ＣＡＢ的度数是 （　　） Ａ．２０° Ｂ．３０° Ｃ．７０° Ｄ．９０° ６．（２０２４沧州二模）如图５，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ和ＤＣ的延长线上，且ＥＦ∥ＢＣ， 若∠Ｅ＝８０°，则下列结论正确的是 （　　） Ａ．∠Ｆ＝１１０° Ｂ．∠Ｄ＝１００° Ｃ．∠ＢＣＤ＝１１０° Ｄ．∠Ａ＝８０° ７．数学活动课上，同学们想测出一个破损轮子的半径， 小宇的解决方案如下：如图６，在轮子圆弧上任取两点Ａ，Ｂ， 连接ＡＢ，再作出ＡＢ的垂直平分线，交ＡＢ于点Ｃ，交 ) ＡＢ于点 Ｄ，测出ＡＢ，ＣＤ的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出 ＡＢ＝１６ｃｍ，ＣＤ＝４ｃｍ，则轮子的半径为 （　　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１０ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ ８．（２０２４嘉兴期末）如图７， ＡＢ是⊙Ｏ的一条弦，将劣弧沿弦 ＡＢ翻折，连接ＡＯ并延长交翻折后 的弧于点Ｃ，连接ＢＣ，若ＡＢ＝２， ＢＣ＝１，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．槡２５３ 　　　Ｂ． 槡３５ ４ Ｃ．槡３５５ 　　　Ｄ． 槡５ ７ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．如图８，在⊙Ｏ中，弦的条数是 ． １０．如图９，在⊙Ｏ中， ) ) ＡＢ＝ＣＤ，Ａ，Ｃ之间的距离为 ４，则Ｂ，Ｄ之间的距离为 ． １１．如图１０，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，ＡＤ＝ＤＣ， ∠ＤＡＣ＝２５°，则∠ＡＢＣ＝ ． １２．（２０２４烟台期中）如图１１，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ 的内接四边形，∠ＢＣＤ ＝１１０°，连接 ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＢＤ， ∠ＢＯＣ＝３∠ＣＯＤ，则∠ＢＤＣ的度数是 ． １３．（２０２４苏州一模）如图 １２，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°， ＡＣ＝５，ＢＣ＝４，点Ｅ是ＡＣ边上 的动点，以 ＣＥ为直径作 ⊙Ｆ，连 接ＢＥ交⊙Ｆ于点Ｄ，则ＡＤ的最 小值为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（８分）如图１３，在⊙Ｏ中，Ｄ，Ｅ分别为半径ＯＡ， ＯＢ上的点，且ＡＤ＝ＢＥ．Ｃ为弧ＡＢ上一点，连接ＣＤ，ＣＥ， ＣＯ，且ＣＤ＝ＣＥ．求证：Ｃ为 ) ＡＢ的中点． １５．（８分）如图１４，在⊙Ｏ中，点Ｅ是弦ＣＤ的中点， 过点Ｏ，Ｅ作直径ＡＢ（ＡＥ＞ＢＥ），连接ＢＤ，过点Ｃ作ＣＦ ∥ＢＤ交ＡＢ于点Ｇ，交⊙Ｏ于点Ｆ，连接ＡＦ．求证：ＡＧ＝ ＡＦ． １６．（２０２４郴州期中，１０分）如图１５，四边形ＡＢＣＤ是 ⊙Ｏ的内接四边形，ＢＣ是⊙Ｏ的直径，∠ＡＣＢ＝３０°，ＡＢ ＝２，点Ｄ为 ) ＡＣ的中点． （１）求⊙Ｏ的半径； （２）求∠ＤＡＣ的度数． １７．（１０分）如图１６，在⊙Ｏ中，Ｃ，Ｄ是直径ＡＢ上的 两点，且ＡＣ＝ＢＤ，ＥＧ⊥ＡＢ，ＦＨ⊥ＡＢ，交ＡＢ于点Ｃ，Ｄ， 点Ｅ，Ｇ，Ｆ，Ｈ在⊙Ｏ上． （１）若ＥＧ＝８，ＡＣ＝２，求⊙Ｏ的半径； （２）求证： ) ) ＡＥ＝ＢＦ． １８．（１２分）如图１７，圆内接四边形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ． （１）求证：ＤＢ平分∠ＡＤＣ； （２）求∠ＢＡＤ的大小； （３）过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＤ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ，若 ＡＣ＝ＡＤ，ＢＦ＝２，求此圆半径的长                                                                                                                                                                 ． 书 ２．１圆的对称性 １．如图１所示的线段，是圆Ｏ弦的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＢ Ｂ．线段ＡＣ Ｃ．线段ＡＥ Ｄ．线段ＤＥ ２．已知⊙Ｏ中，最长的弦长为１６ｃｍ，则⊙Ｏ的半径 是 （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１６ｃｍ Ｄ．３２ｃｍ ３．下列说法错误的是 （　　） Ａ．圆有无数条直径 Ｂ．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 Ｃ．过圆心的线段是直径 Ｄ．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 ４．（２０２４云南模拟）平面内，已知 ⊙Ｏ的半径是 ８ｃｍ，线段 ＯＰ＝７ｃｍ，则点 Ｐ在 ⊙Ｏ （填 “内”“外”或“上”）． ５．如图２，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，ＣＤ是 ⊙Ｏ的弦，ＡＢ， ＣＤ的延长线交于点Ｅ．若ＡＢ＝２ＤＥ，∠Ｅ＝１８°，则∠Ｃ 的度数为 ． ６．（２０２３盐城模拟）如图３，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，Ｏ是 圆心，Ｅ是圆上一点，且∠ＥＯＤ＝８１°，Ａ是ＤＣ延长线上 一点，ＡＥ与圆交于另一点Ｂ，且ＡＢ＝ＯＣ，求∠ＥＡＤ的 度数． ７．如图４所示，ＢＤ，ＣＥ是 △ＡＢＣ的高，求证：Ｅ，Ｂ， Ｃ，Ｄ四点在同一个圆上． ２．２．１圆心角 １．（２０２４杭州月考）如图１，在⊙Ｏ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＯＥ ⊥ＡＢ，ＯＦ⊥ＣＤ，则下列结果中错误的是 （　　） Ａ． ) ) ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＯＥ＝ＯＦ Ｃ．∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ Ｄ． ) ) ＢＣ＝ＡＤ ２．如图２，在⊙Ｏ中，ＡＣ＝ＢＤ，若∠ＡＯＣ＝１２０°，则 ∠ＢＯＤ＝ ． ３．（２０２４宁波期中）如图３，∠ＡＯＢ＝９０°，Ｃ，Ｄ是 ) ＡＢ的三等分点，连接ＡＢ，分别交ＯＣ，ＯＤ于点Ｅ，Ｆ． （１）求∠ＡＥＣ的度数； （２）求证：ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＤ． ４．如图４，已知⊙Ｏ的直径ＢＡ与弦ＤＣ的延长线交 于点Ｐ，且ＰＣ＝ＣＯ， ) ) ) ＣＤ＝ＡＣ＋ＤＢ，求∠ＯＤＣ与∠ＤＯＢ 的度数． ２．２．２圆周角 １．（２０２４浙江二模）如图１，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在 ⊙Ｏ上， ∠ＢＡＣ＝５２°，连接ＯＢ，ＯＣ，则∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．２６° Ｂ．７０° Ｃ．１０４° Ｄ．１２８° ２．（２０２４泰安二模）如图２，已知四边形ＡＢＤＣ内接 于⊙Ｏ，∠ＢＤＣ＝１１５°，则∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．１３０° Ｂ．１２０° Ｃ．１１０° Ｄ．１００° ３．（２０２３南通）如图３，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在 ⊙Ｏ上．若∠ＤＡＢ＝６６°，则∠ＡＣＤ＝ 度． ４．如图４，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，∠Ａ＝１２６°，则∠ＢＤＣ的度数为 ． ５．（２０２４杭州模拟）如图 ５，⊙Ｏ是 △ＡＢＣ的外接圆，ＢＣ ＝ＢＤ，点Ａ是弧ＢＤ的中点，若 ∠ＣＢＤ＝２０°，则∠ＡＢＤ的度数 为 ． ６．如图６，⊙Ｏ的直径 ＡＢ为１０ｃｍ，弦 ＡＣ为６ｃｍ， ∠ＡＣＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，求ＢＣ，ＡＤ，ＢＤ的长及四 边形ＡＣＢＤ的面积． ２．３垂径定理 １．（２０２４长沙二模）如图１，已知在⊙Ｏ中，半径ＯＣ 垂直于弦ＡＢ，垂足为Ｄ．如果ＣＤ＝８，ＡＢ＝２４，那么ＯＡ 的长为 （　　） 槡Ａ．１２ Ｂ．１２３ Ｃ．１３ Ｄ．１６ ２．如图２，ＣＤ是⊙Ｏ的弦，直径ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为 Ｍ，连接ＡＤ．若ＣＤ＝８，ＢＭ ＝２，则ＡＤ的长为 （　　） 槡Ａ．１０ Ｂ．５３ 槡 槡Ｃ．４５ Ｄ．３ １０ ３．如图３，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ＝６，Ｐ是弦ＡＢ上 的一个动点（不与Ａ，Ｂ重合），写出一个符合条件的ＯＰ 的值 ． ４．（２０２４南京一模）圆在中式建筑中有着广泛的应 用．如图４，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度 为２．８ｍ，地面入口的宽度为１ｍ，门枕的高度为０．３ｍ， 则该圆弧所在圆的半径为 ｍ． ５．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和 刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明同学所 在的学习小组想到了如下方法：如图５，将纸条拉直紧 贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 ３．５ｃｍ，ＡＢ＝ ３ｃｍ，ＣＤ＝４ｃｍ．请你帮忙计算纸杯的直径 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （－５）２－４×１×７＝－３＜ ０，所以原方程无实数根， 所以△ＢＰＱ的面积不能为 ７ｃｍ２． （３）因为 ＡＰ＝ｔｃｍ， ＢＱ＝２ｔｃｍ，所以ＢＰ＝（５ －ｔ）ｃｍ，ＣＱ＝（７－２ｔ）ｃｍ， 在 Ｒｔ△ＡＰＤ，Ｒｔ△ＢＰＱ， Ｒｔ△ＣＤＱ中，由勾股定理 得，ＰＤ２ ＝ｔ２＋４９，ＰＱ２ ＝ （５－ｔ）２＋４ｔ２＝２５－１０ｔ＋ ５ｔ２，ＤＱ２ ＝２５＋（７－２ｔ）２ ＝７４－２８ｔ＋４ｔ２，当ＰＤ＝ ＤＱ时，则ＰＤ２＝ＤＱ２，所以 ｔ２＋４９＝７４－２８ｔ＋４ｔ２，解 得ｔ１＝１，ｔ２＝ ２５ ３（舍去）； 当ＰＤ＝ＰＱ时，则ＰＤ２ ＝ ＰＱ２，所以 ｔ２＋４９＝２５－ １０ｔ＋５ｔ２，解得 ｔ１ ＝４（舍 去），ｔ２ ＝－ ３ ２（舍去）；当 ＤＱ ＝ＰＱ时，则 ＤＱ２ ＝ ＰＱ２，所以７４－２８ｔ＋４ｔ２＝ ２５－１０ｔ＋５ｔ２，解得 ｔ１ ＝ －９＋ 槡１３０，ｔ２ ＝－９－ 槡１３０（舍去）． 综上所述，经过 １或 －９＋槡１３０秒时，△ＤＰＱ 是等腰三角形． ２６．（１）抛物线的表达 式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３． （２）点Ｄ的坐标为（０， ０），（０，－３），（０，３－ 槡３２） 或（０，３＋ 槡３２）． （３）存在，理由如下： 抛物线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋ ３的对称轴为直线ｘ＝－１， 设 Ｐ（－１，ｔ），Ｑ（ｍ，ｎ），因 为 Ａ（－３，０），Ｃ（０，３），则 ＡＣ２ ＝１８，ＡＰ２ ＝ｔ２ ＋４， ＰＣ２ ＝ｔ２－６ｔ＋１０， 因为以Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ为顶 点的四边形是菱形，所以 分三种情况： 当ＡＰ为对角线时，则 ＣＰ＝ＣＡ，所以ｔ２－６ｔ＋１０ ＝１８，解得ｔ＝３±槡１７，所 以 Ｐ１（－１，３－槡１７）或 Ｐ２（－１，３＋槡１７），因为四 边形 ＡＣＰＱ是菱形，所以 ＡＰ与ＣＱ互相垂直平分，即 ＡＰ与 ＣＱ的中点重合，当 Ｐ１（－１，３－槡１７）时，所以 ｍ＋０ ２ ＝ －３－１ ２ ， ｎ＋３ ２ ＝ ０＋３－槡１７ ２ ，解得 ｍ ＝ －４，ｎ ＝－ 槡１７， 所 以 Ｑ１（－４，－槡１７）， 当Ｐ２（－１，３＋槡１７） 时，所以 ｍ＋０ ２ ＝ －３－１ ２ ， ｎ＋３ ２ ＝ ０＋３＋槡１７ ２ ，解 得ｍ＝－４，ｎ＝槡１７，所以 Ｑ２（－４，槡１７）； 当ＡＣ为对角线时，则 ＰＣ＝ＡＰ，所以ｔ２－６ｔ＋１０ ＝ｔ２＋４，解得ｔ＝１，所以 Ｐ３（－１，１）， 同理可得Ｑ３（－２，２）； 当ＣＰ为对角线时，则 ＡＰ＝ＡＣ，所以ｔ２＋４＝１８， 解得 ｔ＝± 槡１４，所以 Ｐ４（－１，槡１４），Ｐ５（－１， －槡１４），同理可得 Ｑ４（２， ３ ＋ 槡１４），Ｑ５（２， ３－槡１４）． 综上，符合条件的点 Ｐ，Ｑ的坐标为Ｐ１（－１，３－ 槡１７），Ｑ１（－４，－ 槡１７） 或 Ｐ２（－１，３ ＋ 槡１７）， Ｑ２（－４，槡１７）或Ｐ３（－１， １），Ｑ３（－２，２）或Ｐ４（－１， 槡１４），Ｑ４（２，３＋槡１４）或 Ｐ５（－１，－槡１４），Ｑ５（２，３ －槡１４）． ! !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 !# / %&'( ! 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