第17期 1.5 二次函数的应用（第二课时）《二次函数》章节测试卷（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书书书 ２１．（８ 分 ） 如 图 ８ ，马 大 爷 在 屋 侧 的 菜 地 上 搭 建 一 抛 物 线 形 蔬 菜 大 棚 ， 其 中 一 端 固 定 在 离 地 面 １．２ 米 的 墙 体 Ａ 处 ，另 一 端 固 定 在 离 墙 体 ６ 米 的 地 面 上 Ｂ 点 处 ，现 分 别 以 地 面 和 墙 体 为 ｘ 轴 和 ｙ 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，已 知 大 棚 的 高 度 ｙ（ 米 ） 与 地 面 水 平 距 离 ｘ（ 米 ） 之 间 的 关 系 式 用 ｙ ＝ － ０２ｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 表 示 ．结 合 信 息 请 回 答 ： （ １ ） 求 出 ｂ，ｃ 的 值 ； （ ２ ） 求 大 棚 的 最 高 点 到 地 面 的 距 离 ． ２２． （２０２３ 哈 尔 滨 期 末 ，８ 分 ） 把 边 长 为 ４４ ｃｍ 的 正 方 形 硬 纸 板 （ 如 图 ９ － ① ） ，在 四 个 顶 点 处 分 别 剪 掉 一 个 小 正 方 形 ，折 成 一 个 长 方 体 形 的 无 盖 盒 子 （ 如 图 ９ － ② ， 折 纸 厚 度 忽 略 不 计 ）． （１ ） 要 使 折 成 的 盒 子 的 底 面 积 为 ５７６ ｃｍ ２， 求 剪 掉 的 正 方 形 边 长 是 多 少 ？ （ ２ ） 折 成 的 长 方 体 盒 子 侧 面 积 （ 四 个 侧 面 的 面 积 之 和 ） 有 没 有 最 大 值 ？如 果 没 有 ，说 明 理 由 ；如 果 有 ，求 出 这 个 最 大 值 ，并 求 出 此 时 剪 掉 的 正 方 形 边 长 ． ２３． （２０２４ 武 汉 期 末 ，８ 分 ） 某 风 景 区 商 店 销 售 一 种 纪 念 品 ，这 种 商 品 的 成 本 价 为 １０ 元 ／ 件 ，销 售 单 价 不 低 于 １５ 元 ／ 件 ．市 场 调 查 发 现 ，该 商 品 每 天 的 销 售 量 不 少 于 １０ 件 ，且 销 售 量 ｙ（ 件 ） 与 销 售 单 价 ｘ（ 元 ／ 件 ） 之 间 的 函 数 关 系 如 图 １０ 所 示 ． （１ ） 求 ｙ 与 ｘ 之 间 的 函 数 关 系 式 ； （ ２ ） 若 某 天 的 销 售 利 润 为 １４４ 元 ，求 销 售 单 价 ； （ ３ ） 求 这 种 纪 念 品 每 天 销 售 的 最 低 利 润 是 多 少 元 ？ ２４ ． （８ 分 ） 如 图 １１ ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，抛 物 线 ｙ ＝ ａｘ ２ ＋ ｂｘ 经 过 两 点 Ａ （ － １ ，１ ） ， Ｂ （２ ，２ ）．过 点 Ｂ 作 ＢＣ ∥ ｘ 轴 ，交 抛 物 线 于 点 Ｃ ，交 ｙ 轴 于 点 Ｄ ． （１ ） 求 此 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 及 点 Ｃ 的 坐 标 ； （ ２ ） 若 抛 物 线 上 存 在 点 Ｍ ，使 得 △ ＢＣＭ 的 面 积 为 ７２ ，请 求 出 点 Ｍ 的 坐 标 ． ２５． （２０２３ 东 莞 月 考 ，１０ 分 ） 如 图 １２ ，在 长 方 形 ＡＢＣＤ 中 ，ＡＢ ＝ ５ ｃｍ ，ＢＣ ＝ ７ ｃｍ ，点 Ｐ 从 点 Ａ 开 始 沿 线 段 ＡＢ 向 点 Ｂ 以 １ ｃｍ ／ｓ 的 速 度 移 动 ，点 Ｑ 从 点 Ｂ 开 始 沿 线 段 ＢＣ 向 点 Ｃ 以 ２ ｃｍ ／ｓ 的 速 度 移 动 ，点 Ｐ ，Ｑ 分 别 从 Ａ ，Ｂ 两 点 同 时 出 发 了 ｔ 秒 钟 ，直 至 两 个 动 点 中 某 一 点 到 达 端 点 后 停 止 ． （１ ） 设 △ ＢＰＱ 的 面 积 为 Ｓ ｃｍ ２，请 写 出 Ｓ 关 于 ｔ 的 函 数 关 系 式 ，并 写 出 自 变 量 ｔ 的 取 值 范 围 ； （ ２ ）△ ＢＰＱ 的 面 积 能 否 为 ７ ｃｍ ２？ （３ ） 经 过 几 秒 后 ，△ Ｄ Ｑ Ｐ 是 等 腰 三 角 形 ？ ２６． （２０２３ 西 藏 ，１２ 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，抛 物 线 ｙ ＝ － ｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 与 ｘ 轴 交 于 Ａ （ － ３ ，０ ） ，Ｂ （１ ，０ ） 两 点 ，与 ｙ 轴 交 于 点 Ｃ． （１ ） 求 抛 物 线 的 表 达 式 ； （ ２ ） 如 图 １３ － ① ，在 ｙ 轴 上 找 一 点 Ｄ ，使 △ ＡＣＤ 为 等 腰 三 角 形 ，请 直 接 写 出 点 Ｄ 的 坐 标 ； （３ ） 如 图 １３ － ② ，点 Ｐ 为 抛 物 线 对 称 轴 上 一 点 ，是 否 存 在 Ｐ ，Ｑ 两 点 使 以 Ａ ，Ｃ ，Ｐ ，Ｑ 为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形 ？若 存 在 ， 求 出 Ｐ ，Ｑ 两 点 的 坐 标 ， 若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 ． !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ ! ! ! " ! " ! # $ % & ' $ # & " # ( " ! ! & $ % & ' ( ) ! ! ' ! $ & # " ( ! $ & # " ( !" #" ! ! % ! $ " ( # ! ) ! $ " ( & ) ! # # # 书 １５．（１）证明：由题 意知，Δ＝（－４ａ）２－４ａ ×０＝１６ａ２，因为ａ≠０， 所以１６ａ２ ＞０，故该函 数的图象与ｘ轴总有两 个公共点． （２）令ｙ＝０，因为 ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＝（ｘ２－ ４ｘ）ａ，因为 ａ≠０，所以 ｘ２－４ｘ＝０，解得ｘ＝０ 或４，所以抛物线过定 点（０，０）和（４，０），若 ａ ＞０，当０＜ｘ＜４时，抛 物线都在 ｘ轴下方，满 足ｙ＜４．若ａ＜０，当０ ＜ｘ＜４时，抛物线在ｘ ＝２处取得最大值，最 大值小于４，即４ａ－８ａ ＜４，解得ａ＞－１，所以 －１＜ａ＜０． 综上，ａ的取值范 围为－１＜ａ＜０或ａ＞ ０． １６．（１）ｂ＝２，ｃ＝ ３，二次函数的表达式为 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３． （２）当 ｙ＞０时， －１＜ｘ＜３． （３）因为抛物线的 对称轴为直线ｘ＝１，所 以２≤ｘ≤４时，ｙ随ｘ的 增大而减小，所以当 ｘ ＝２时，ｙ的最大值为３． １７．（１）设抛物线 的表达式为 ｙ＝ａ（ｘ－ ０．４）２＋３．３２（ａ≠０）， 把ｘ＝０，ｙ＝３代入上 式得３＝ａ（０－０４）２＋ ３３２，解得ａ＝－２，所以 抛物线的函数表达式为 ｙ＝－２（ｘ－０．４）２ ＋ ３．３２． （２）ＯＤ＝１ｍ． １８．（１）因为抛物 线与 ｘ轴交于 Ａ（－３， ０），Ｂ（１，０）两点，所以 函数表达式为 ｙ＝ａ（ｘ ＋３）（ｘ－１），由题易得 Ｃ（０，３），所以－３ａ＝３， 解得 ａ＝－１，所以 ｙ ＝－（ｘ＋３）（ｘ－１）＝ －ｘ２－２ｘ＋３，所以抛物 线的表达式为 ｙ＝－ｘ２ 书 一、分类讨论思想 例１　已知二次函数ｙ＝ａ（ｘ－１）２－ａ（ａ≠０），当 －１≤ｘ≤４时，ｙ的最小值为 －４，则ａ的值为 ． 解析：由题易得函数的对称轴为直线ｘ＝１，①当ａ ＞０时，ｙ在ｘ＝１时取得最小值，即ｙ＝ａ（１－１）２－ａ ＝－４，解得ａ＝４；②当ａ＜０时，ｙ在ｘ＝４时取得最小 值，即ｙ＝ａ（４－１）２－ａ＝－４，解得ａ＝－１２． 故填 －１２或４． 二、数形结合思想 例２　如图１，二次函数 ｙ＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象关于直线ｘ＝１ 对称，与 ｘ轴交于 Ａ（ｘ１，０），Ｂ（ｘ２， ０）两点，若 －２＜ｘ１＜－１，则下列 四个结论：①３＜ｘ２＜４，②３ａ＋２ｂ ＞０，③ｂ２＞ａ＋ｃ＋４ａｃ，④ａ＞ｃ＞ ｂ．正确结论的个数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 解析：因为对称轴为直线ｘ＝１，－２＜ｘ１ ＜－１，所 以３＜ｘ２ ＜４，①正确；因为 － ｂ ２ａ＝１，所以ｂ＝－２ａ， 所以３ａ＋２ｂ＝－ａ，因为ａ＞０，所以３ａ＋２ｂ＜０，②错 误；因为抛物线与ｘ轴有两个交点，所以ｂ２－４ａｃ＞０，根 据题意可知ｘ＝－１时，ａ－ｂ＋ｃ＜０，所以ａ＋ｃ＜ｂ，因 为ａ＞０，所以ｂ＝－２ａ＜０，所以ａ＋ｃ＜０，所以ｂ２－４ａｃ ＞ａ＋ｃ，所以ｂ２＞ａ＋ｃ＋４ａｃ，③正确；因为抛物线开口 向上，与ｙ轴的交点在ｘ轴下方，所以ａ＞０，ｃ＜０，所以 ａ＞ｃ，因为ａ－ｂ＋ｃ＜０，ｂ＝－２ａ，所以３ａ＋ｃ＜０，所 以ｃ＜－３ａ，因为ｂ＝－２ａ，所以ｂ＞ｃ，④错误． 故选Ｂ． 三、建模思想 例３　（２０２３滁州二模）如 图２是某隧道截面示意图，它 是由抛物线和矩形构成，已知 ＯＡ＝１２米，ＯＢ＝４米，抛物线 顶点Ｄ到地面ＯＡ的垂直距离 为１０米，建立如图２所示的直 角坐标系，若一辆特殊货运汽 车载着一个长方体集装箱，集 装箱宽为４米，最高处与地面距离为６米，隧道内设双向 行车道，双向行车道间隔距离为２米，交通部门规定，车载 货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于０．５米，才能安全 通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？ 解析：根据题意，易求得抛物线的表达式为 ｙ＝ －１６（ｘ－６） ２＋１０．假设货车在右侧车道行驶，则其最右 侧点的横坐标为 ｘ＝６＋２÷２＋４＝１１，此时 ｙ＝ －１６（１１－６） ２＋１０＝３５６ ＜６＋０．５，所以不能安全通过 隧道． 书 一、配方法 形如ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的二次函数的图象 的顶点坐标为（ｈ，ｋ）．当二次函数的表达式的二次项系 数为１或容易配方时，便可以采用配方法． 例１　抛物线ｙ＝ｘ２－４ｘ－７的顶点坐标是 （　　） Ａ．（２，－１１）　　　　　Ｂ．（－２，７） Ｃ．（２，１１） Ｄ．（２，－３） 解：因为ｙ＝ｘ２－４ｘ－７＝（ｘ－２）２－１１， 所以抛物线的顶点坐标为（２，－１１）． 故选Ａ． 二、公式法 形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的二次函数，当ａ，ｂ， ｃ的数值比较复杂，用配方法比较麻烦时，即可采用公式 法，抛物线的顶点坐标公式为（－ｂ２ａ， ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ）． 例２　已知二次函数ｙ＝－５２ｘ ２＋２０ｘ＋１，求二次 函数图象的顶点坐标． 解：因为ａ＝－５２，ｂ＝２０，ｃ＝１， 所以 －ｂ２ａ＝－ ２０ ２×（－５２） ＝４， ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ＝ ４×（－５２）×１－２０ ２ ４×（－５２） ＝４１． 所以二次函数图象的顶点坐标为（４，４１）． 三、代入法 当已知抛物线的对称轴为直线ｘ＝ｍ时，常将ｘ＝ ｍ代入二次函数的表达式求顶点坐标，即为代入法． 例３ 已知抛物线ｙ＝２ｘ２－３ｘ＋１的对称轴为直线 ｘ＝ ３４，求抛物线的顶点坐标． 解：当ｘ＝ ３４时，ｙ＝２×（ ３ ４） ２－３×３４ ＋１＝ －１８．所以抛物线的顶点坐标为（ ３ ４，－ １ ８）． 书 一、销售问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３聊城二模） 某超市购进一批拼装玩具， 进价为每个１０元，在销售过 程中发现，日销售量 ｙ（个） 与销售单价ｘ（元）之间满足 如图１所示的一次函数关系， 则该超市每天销售这款拼装 玩具的最大利润为 元（利润 ＝总销售额 －总 成本）． 解析：设日销售量 ｙ（个）与销售单价 ｘ（元）之间 的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 因为点（２５，５０），（３５，３０）在该函数图象上，所以 ２５ｋ＋ｂ＝５０， ３５ｋ＋ｂ＝３０{ ，解得 ｋ＝－２， ｂ＝１００{ ， 所以日销售量ｙ（个）与销售单价ｘ（元）之间的函 数关系式为ｙ＝－２ｘ＋１００， 设每天的销售利润为ｗ（元），则ｗ＝（ｘ－１０）·ｙ ＝（ｘ－１０）（－２ｘ＋１００）＝－２ｘ２＋１２０ｘ－１０００＝－２（ｘ －３０）２＋８００， 因为－２＜０，所以当ｘ＝３０时，ｗ有最大值为８００， 即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为８００元． 故填８００． 二、体育问题 例２　（２０２３宜昌）如图 ２，一名学生推铅球，铅球行 进高度ｙ（单位：ｍ）与水平距 离ｘ（单位：ｍ）之间的关系是 ｙ＝－１１２（ｘ－１０）（ｘ＋４），则 铅球推出的距离ＯＡ＝ ｍ． 解析：令ｙ＝０，则０＝－１１２（ｘ－１０）（ｘ＋４），解得 ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝－４，所以ＯＡ＝１０．故填１０． 三、拱桥问题 例３　（２０２３晋中模拟）如图３－①是太原晋阳湖 公园一座抛物线型拱桥，按如图３－② 所示建立坐标 系，得到函数 ｙ＝－１２５ｘ ２，正常水位时水面宽 ＡＢ＝ ３０米，当水位上升５米时，则水面宽ＣＤ为 （　　） Ａ．２０米 Ｂ．１５米 Ｃ．１０米 Ｄ．８米 解析：因为ＡＢ＝３０米，所以当ｘ＝１５时，ｙ＝－１２５ ×１５２ ＝－９， 当水位上升５米时，ｙ＝－４， 把ｙ＝－４代入ｙ＝－１２５ｘ ２，得 －４＝－１２５ｘ ２，解得 ｘ＝±１０， 此时水面宽ＣＤ＝２０米．故选Ａ． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " !" # $ !(! '$ %$ $& %& " #(# ! ! !(* #(* " ( ! ' $ ! " # & ( ! % !" #" ! " #! !!"#" $"% !" '&'+&#&''+( !"#$ !"#$%& %&' "(#)*+, !"#$%&'" ()*+,-'. -./01234 -./156789:;< -./1=>?@ABCD3E FGHIJKL) IMNOPQ RSTUVWL)XYN,-#+.&/&/(%0Z ) *+ OPQ , ) *+ [\] , # - .+ ^_Q , ) *+ ` a , ) *+ b c -./01+ ^ d 23/01+ ^ef -4506+ g h -4578+ ijk \lm n o pqr s t uvw [xy sze { j |}r ~P n€ ‚€ƒ [P„ …c* †‡o ˆ w ‰Š‹ \Œ 91-.+ ‚Ž 91:;+ }‘ <=-.+ ’€“ >?-.+ ” • @ABC+ –—˜ " !" ™ š !1# ! # ( $ ! # ! ' ! # " $ # ! # " ( $ ) ! ' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " -. bR› %œ ' )žŸ ¡Z 书 －２ｘ＋３． （２）△ＡＣＭ是直角 三角形，理由如下： 因为ｙ＝－ｘ２－２ｘ ＋３＝－（ｘ＋１）２＋４，所 以 抛 物 线 的 顶 点 Ｍ（－１，４）．因为Ａ（－３， ０），Ｃ（０，３），所以 ＡＣ２ ＝１８，ＡＭ２＝２０，ＣＭ２＝ ２，所以 ＡＣ２ ＋ＣＭ２ ＝ ＡＭ２，所以 △ＡＣＭ是直 角三角形． （３）存在，理由如 下： 因为 Ａ（－３，０）， Ｂ（１，０），所以ＡＢ＝４， 设点Ｐ的横坐标为 ｔ，则Ｐ（ｔ，－ｔ２－２ｔ＋３）， 所以Ｓ△ＰＡＢ ＝ １ ２ＡＢ· ｙＰ ＝８，即 １ ２·４·（－ｔ ２ －２ｔ＋３）＝８，解得ｔ１＝ ｔ２ ＝－１， 所以点Ｐ的坐标为 （－１，４）． 上期４版 重点集训营 （１）因为二次函数 ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｃ的图象与 ｙ轴的交点坐标为（０， ５）， 所以 ｃ＝５，所以 ｙ ＝ｘ２－４ｘ＋５＝（ｘ－ ２）２＋１，所以顶点Ｍ的 坐标是（２，１）． （２）因为点 Ａ在 ｘ 轴上，点Ｂ的坐标为（１， ５），所以点 Ａ的坐标是 （１，０）． ①当 ｔ＝２时，点 Ｄ′，Ａ′的坐标分别是 （２，０），（３，０）． 当ｘ＝３时，ｙ＝（３ －２）２＋１＝２，即点Ｑ的 纵坐标是２， 当ｘ＝２时，ｙ＝（２ －２）２＋１＝１，即点Ｐ的 纵坐标是１． 因为ＰＧ⊥Ａ′Ｂ′，所 以点Ｇ的纵坐标是１，所 以ＱＧ＝２－１＝１． ② 存在．理由如 下： 因为 △ＰＧＱ的面 积为１，ＰＧ＝１，所以ＱＧ ＝２．根据题意，得 Ｐ，Ｑ 的坐标分别是（ｔ，ｔ２－４ｔ ＋５），（ｔ＋１，ｔ２ －２ｔ＋ ２）． 当点Ｇ在点Ｑ的上 方时，则ＱＧ＝ｔ２－４ｔ＋ ５－（ｔ２－２ｔ＋２）＝３－ ２ｔ＝２，此时ｔ＝ １２（在 ０＜ｔ＜３的范围内）， 当点Ｇ在点Ｑ的下 方时，则ＱＧ＝ｔ２－２ｔ＋ ２－（ｔ２－４ｔ＋５）＝２ｔ－ ３＝２，此时ｔ＝５２（在０ ＜ｔ＜３的范围内），所 以ｔ＝ １２或 ５ ２． 书 上期２版 １．３不共线三点确定二次函数的表达式 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．ｙ＝（ｘ－１）２． ５．此二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３． 能力提高　６．（１）将点Ａ（１，０），Ｂ（３，０）代入ｙ＝ ａｘ２＋ｂｘ＋３（ａ≠ ０），所以 ａ＋ｂ＋３＝０， ９ａ＋３ｂ＋３＝０{ ，解得 ａ＝１， ｂ＝－４{ ，所以二次函数表达式为ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３＝（ｘ －２）２－１，所以ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３，对称轴为直线ｘ＝２． （２）因为ｍ＞２，所以当ｍ≤ｘ≤ｍ＋１时，ｙ随着 ｘ的增大而增大，所以ｙ最大 ＝（ｍ＋１） ２－４（ｍ＋１）＋３， ｙ最小 ＝ｍ ２－４ｍ＋３．因为函数的最大值与最小值的差 为５，所以（ｍ＋１）２－４（ｍ＋１）＋３－ｍ２＋４ｍ－３＝５， 解得ｍ＝４． １．４二次函数与一元二次方程的联系 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｂ； ４．ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝１；　５．９．　６．－４≤ｔ＜５． ７．（１）因为抛物线与ｘ轴有两个不同的交点，所以 Δ＞０，即１－２ｃ＞０，解得ｃ＜ １２． （２）设抛物线ｙ＝１２ｘ ２＋ｘ＋ｃ与ｘ轴的两交点的 横坐标为ｘ１，ｘ２且ｘ１＞ｘ２．因为两交点间的距离为２，所 以 ｘ１－ｘ２＝２，由题意，得ｘ１＋ｘ２＝－２，解得ｘ１＝０，ｘ２ ＝－２，所以２ｃ＝ｘ１ｘ２ ＝０，所以ｃ的值为０． 能力提高　８．（１）证明：令ｙ１＝ｙ２，得２ｘ－２＝ａｘ ２ ＋ａｘ－２ａ，整理得ａｘ２＋（ａ－２）ｘ－２ａ＋２＝０．因为Δ ＝（ａ－２）２－４ａ（－２ａ＋２）＝ａ２－４ａ＋４＋８ａ２－８ａ ＝９ａ２－１２ａ＋４＝（３ａ－２）２≥０，所以该一元二次方 程总有实数根，即直线与抛物线总有公共点． （２）抛物线ｙ２ ＝ａｘ ２＋ａｘ－２ａ的对称轴为直线ｘ ＝－ａ２ａ＝－ １ ２，令ｙ２ ＝０，得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－２，所以抛 物线ｙ２ ＝ａｘ ２＋ａｘ－２ａ与 ｘ轴的交点坐标为（１，０）， （－２，０）．因为无论ｘ为何值，总有ｙ１≤ｙ２，所以ａ＞０， 抛物线ｙ２＝ａｘ ２＋ａｘ－２ａ与直线ｙ１＝２ｘ－２没有交点 或只有一个交点，令ｙ１ ＝ｙ２，可得ａｘ ２＋（ａ－２）ｘ－２ａ ＋２＝０，则Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（３ａ－２）２≤０，所以３ａ－ ２＝０，解得ａ＝ ２３． １．５二次函数的应用（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．１；　４．２．２９． 能力提高　５．（１）把点Ａ（１，０）和（－２，３）代入ｙ ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３，得 ａ＋ｂ＋３＝０， ４ａ－２ｂ＋３＝３{ ，解得 ａ＝－１，ｂ＝－２{ ，所 以抛物线Ｌ的表达式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３． 因为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３＝－（ｘ＋１）２＋４，所以顶点 坐标为（－１，４）． （２）弹珠能弹出箱子，理由如下： 因为ＡＤ＝５ｍ，所以ＯＤ＝ＡＤ－ＯＡ＝４ｍ，所以 Ｄ（－４，０）． 当ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３＝０时，解得ｘ１＝－３，ｘ２＝１， 根据题意可设抛物线Ｍ的表达式为ｙ＝－（ｘ－ｈ）２ ＋３，把点（－３，０）代入ｙ＝－（ｘ－ｈ）２＋３，得 －（－３－ ｈ）２＋３＝０，解得ｈ＝－３＋槡３或ｈ＝－３－槡３， 因为抛物线Ｍ的对称轴在直线ｘ＝－３的左侧，所 以ｈ＝－３－槡３，所以抛物线Ｍ的表达式为ｙ＝－（ｘ＋ ３＋槡３） ２＋３， 因为当ｘ＝－４时，ｙ＝－（－４＋３＋槡３） ２＋３＝ －（槡３－１） ２＋３＝ 槡２３－１＞２，所以弹珠能弹出箱子． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ 二、９．ｍ＞９；　１０．能；　１１．－３７；　１２．槡４２； １３．（－２３，－１）． 三、１４．（１）该二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２＋５ｘ＋ ４． （２）二次函数ｙ＝ｘ２＋５ｘ＋４化为顶点式为ｙ＝（ｘ ＋５２） ２－９４，向下平移２个单位后，二次函数的表达式 为ｙ＝（ｘ＋５２） ２－９４－２，即ｙ＝ｘ ２＋５ｘ＋２． 书 １．５二次函数的应用（第二课时） １．（２０２３温州期末）某农场要建矩形的饲养室，如 图１所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料 建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留１ｍ 宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为２２ｍ（不包 括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为 （　　） 　　 　　 　　 　　 　　　 　　 　　Ａ．５２ｍ２ Ｂ．４８ｍ２ Ｃ．４５ｍ２ Ｄ．４１ｍ２ ２．（２０２３合肥庐阳区月考）将进货单价为３０元的 某种商品按零售价 １００元 ／件卖出时，每天能卖出 ２０件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价１元， 其日销售量就增加１件，为了获得最大的利润，则应降 价 （　　） Ａ．５元 Ｂ．１５元 Ｃ．２５元 Ｄ．３５元 ３．（２０２３大连期中）如图２，在 △ＡＢＣ中，∠Ｂ＝ ９０°，ＡＢ＝１２ｍｍ，ＢＣ＝２４ｍｍ，动点Ｐ从点Ａ开始沿边 ＡＢ向点Ｂ以２ｍｍ／ｓ的速度移动，动点Ｑ从点Ｂ开始沿 边ＢＣ向点Ｃ以４ｍｍ／ｓ的速度移动，如果Ｐ，Ｑ两点分别 从Ａ，Ｂ两点同时出发，设运动时间为ｔｓ，那么△ＰＢＱ的 面积Ｓ的最大值为 ｍｍ２． ４．（２０２３沈阳月考）如图 ３，某跑道的周长为４００ｍ且 两端为半圆形，要使矩形内 部操场的面积最大，直线跑 道ＡＢ段的长应为 ｍ． ５．（２０２４昭通期末）随着互联网应用的日趋成熟和 完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以 每件４０元的价格购进某款Ｔ恤，以每件６０元的价格出 售．经统计，元旦前一周的销量为５００件，该电商在元旦 期间进行降价销售．调查发现，该 Ｔ恤在元旦前一周销 售量的基础上，每降价１元，销售量就会增加５０件．设 该Ｔ恤的定价为ｘ元，获得的利润为ｗ元． （１）求ｗ与ｘ之间的函数关系式； （２）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门 规定销售利润率不高于３０％，如何定价才能使得利润 最大？并求出最大利润是多少元（利润率 ＝利润 进价 × １００％）？ 重点集训营 题型一：图象题 １．（２０２３广州二模）二次函数 ｙ＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象如图１所示， 则反比例函数ｙ＝ａｘ（ａ≠０）和一次函 数ｙ＝ｂｘ＋ｃ在同一直角坐标系中的图 象可能是 （　　） ２．（２０２３泉州模拟）函数ｙ＝ ｜ａｘ２＋ｂｘ｜（ａ＜０）的图象如图 ２所示，下列说法错误的是 （　　） Ａ．５ａ＋３ｂ＜１ Ｂ．４ａ＋３ｂ＜２ Ｃ．２ａ＋ｂ＜０ Ｄ．ａ＋２ｂ＜０ 题型二：应用题 ３．（２０２３南阳一模）一个移动喷灌架喷射出的水流 可以近似地看成抛物线．如图３是喷灌架为一坡地草坪 喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底 部的距离）是１米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距 离为１０米时，达到最大高度６米，现将喷灌架置于坡地 底部点Ｏ处，草坡上距离Ｏ的水平距离为１５米处有一 棵高度为１．２米的小树ＡＢ，ＡＢ垂直水平地面且Ａ点到 水平地面的距离为３米． （１）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地； （２）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点Ｂ，那 么喷射架应向后平移多少米？ （３）记水流的高度为ｙ１，此时的斜坡的高度为 ｙ２， 请直接写出ｙ１－ｙ２的最大值． ４．（２０２３榆林二模）如图４，在平面直角坐标系中， 已知抛物线Ｌ：ｙ＝ １３ｘ ２－２３ｘ－１交ｘ轴于Ａ，Ｂ两点， 交ｙ轴于点Ｃ． （１）求点Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标； （２）将抛物线Ｌ向右平移１个单位，得到新抛物线 Ｌ′，点Ｅ在坐标平面内，在新抛物线Ｌ′的对称轴ｌ上是否 存在点Ｄ，使得以Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ为顶点的四边形是矩形？若 存在，请求出点Ｄ的坐标；若不存在，请说明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !"#$%&'"() !" * +,- $.,/"01 23#45678 9:;<=>?*1 ! - ! 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" $ % 23$4O678 +:;<±>?*§ +?² $©,I"0§ 书书书 《 二 次 函 数 》 章 节 测 试 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 共 １０ 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 满 分 ３０ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答 案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． （ ２０ ２４ 武 汉 期 末 ） 抛 物 线 ｙ ＝ （ ｘ － ２） ２ ＋ ４ 的 对 称 轴 是 直 线 （ 　 　 ） Ａ ．ｘ ＝ － ２ Ｂ． ｘ ＝ ２ Ｃ． ｘ ＝ － ４ Ｄ ．ｘ ＝ ４ ２． （ ２０ ２３ 江 门 期 中 ） 抛 物 线 ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ ＋ １ 与 ｘ 轴 的 交 点 个 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．无 交 点 Ｂ． １ 个 Ｃ． ２ 个 Ｄ ．３ 个 ３． （ ２０ ２３ 合 肥 月 考 ） 某 种 药 品 售 价 为 每 盒 ３０ ０ 元 ， 经 过 医 保 局 连 续 两 次 “ 灵 魂 砍 价 ” ， 药 品 企 业 同 意 降 价 若 干 进 入 国 家 医 保 用 药 目 录 ．如 果 每 次 降 价 的 百 分 率 都 是 ｘ， 则 两 次 降 价 后 的 价 格 ｙ（ 元 ） 与 每 次 降 价 的 百 分 率 ｘ 之 间 的 函 数 关 系 式 是 （ 　 　 ） Ａ ．ｙ ＝ ３０ ０（ １ － ｘ） Ｂ． ｙ ＝ ３０ ０（ １ － ｘ） ２ Ｃ． ｙ ＝ ３０ ０（ １ ＋ ｘ） Ｄ ．ｙ ＝ ３０ ０（ １ ＋ ｘ） ２ ４． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，已 知 二 次 函 数 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ｃ的 图 象 与 ｙ 轴 相 交 于 点 Ｃ， 将 该 二 次 函 数 图 象 向 右 平 移 ｍ 个 单 位 长 度 后 ，也 经 过 点 Ｃ， 则 ｍ 的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ．２ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ ．８ ５ ． （ ２０ ２４ 宁 波 期 末 ） 已 知 Ａ（ － １， ｙ １ ） ，Ｂ （ １， ｙ ２ ） ，Ｃ （ ３， ｙ ３ ） 三 点 都 在 抛 物 线 ｙ ＝ ｘ２ － ３ｘ ＋ ｍ 上 ，则 ｙ １ ，ｙ ２ ，ｙ ３ 的 大 小 关 系 为 （ 　 　 ） Ａ ．ｙ １ ＜ ｙ ２ ＜ ｙ ３ Ｂ． ｙ ２ ＜ ｙ ３ ＜ ｙ １ Ｃ． ｙ ２ ＜ ｙ １ ＜ ｙ ３ Ｄ ．ｙ ３ ＜ ｙ ２ ＜ ｙ １ ６． （ ２０ ２３ 杭 州 月 考 ） 如 图 １ 所 示 ，某 建 筑 物 有 一 抛 物 线 形 的 大 门 ， 小 强 想 知 道 这 道 门 的 高 度 ， 他 先 测 出 门 的 宽 度 ＡＢ ＝ ８ ｍ ，然 后 用 一 根 长 为 ４ ｍ 的 小 竹 竿 ＣＤ 竖 直 的 接 触 地 面 和 门 的 内 壁 ， 并 测 得 ＡＣ ＝ １ ｍ ， 则 门 高 Ｏ Ｅ 为 （ 　 　 ） Ａ ．９ ｍ Ｂ． ６４ ７ ｍ Ｃ． ８ ． ７ ｍ Ｄ ．９ ．３ ｍ ７． 对 二 次 函 数 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ３ 的 性 质 描 述 正 确 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．该 函 数 图 象 的 对 称 轴 在 ｙ 轴 左 侧 Ｂ． 当 ｘ ＜ ０ 时 ，ｙ 随 ｘ 的 增 大 而 减 小 Ｃ． 函 数 图 象 开 口 朝 下 Ｄ ．该 函 数 图 象 与 ｙ 轴 的 交 点 位 于 ｙ 轴 负 半 轴 ８． 用 ４８ 米 木 料 制 作 成 一 个 如 图 ２ 所 示 的 “ 目 ” 形 矩 形 大 窗 框 （ 横 档 ＥＦ ， ＧＨ 也 用 木 料 ） ．其 中 ＡＢ ∥ ＥＦ ∥ ＧＨ ∥ ＣＤ ，要 使 窗 框 ＡＢ ＣＤ 的 面 积 最 大 ，则 ＡＢ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．６ 米 Ｂ． ８ 米 Ｃ． １２ 米 Ｄ ．３ 米 ９． （ ２０ ２３ 周 口 期 末 ） 一 次 函 数 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ 与 二 次 函 数 ｙ ＝ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ １ 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 图 象 可 能 是 （ 　 　 ） １０ ．如 图 ３， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 矩 形 的 顶 点 Ａ， Ｃ 的 坐 标 分 别 为 （ － ４， １） ，（ － １， － ４） ，且 ＡＤ 平 行 于 ｘ轴 ，当 函 数 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ｍ ｘ － ２（ ｘ ≤ ０） 的 图 象 在 矩 形 ＡＢ ＣＤ 内 部 的 部 分 均 为 ｙ随 ｘ的 增 大 而 减 小 时 ，下 列 选 项 中 符 合 条 件 的 ｍ 的 取 值 范 围 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ ≤ ｍ ≤ ３ ２ Ｂ． ０ ≤ ｍ ≤ ３ ２ Ｃ． － １ ＜ ｍ ≤ １ 或 ３ ２ ≤ ｍ ＜ ９ ４ Ｄ ． － １ ＜ ｍ ≤ ０ 或 １ ≤ ｍ ＜ ９ ４ 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 满 分 ２ ４ 分 ） １１ ．（ ２０ ２４ 昆 明 期 末 ） 若 ｙ ＝ （ ｍ － ２） ｘｍ ２ － ２ ＋ ｘ － ３ 是 关 于 ｘ的 二 次 函 数 ， 则 ｍ 的 值 为 ． １２ ．（ ２０ ２３ 南 平 期 中 ） 抛 物 线 ｙ ＝ ｘ２ － ３ｘ － ２０ 与 ｘ 轴 的 其 中 一 个 交 点 是 （ ｍ ，０ ） ，则 ２ｍ ２ － ６ｍ 的 值 为 ． １３ ．某 物 理 兴 趣 小 组 对 一 款 饮 水 机 的 工 作 电 路 展 开 研 究 ， 将 变 阻 器 Ｒ 的 滑 片 从 一 端 滑 到 另 一 端 ，绘 制 出 变 阻 器 Ｒ 消 耗 的 电 功 率 Ｐ 随 电 流 Ｉ变 化 的 关 系 图 象 如 图 ４ 所 示 ，该 图 象 是 经 过 原 点 的 一 条 抛 物 线 的 一 部 分 ， 则 变 阻 器 Ｒ 消 耗 的 电 功 率 Ｐ 最 大 为 Ｗ ． １４ ．（ ２０ ２３ 昌 都 期 末 ） 如 图 ５， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，菱 形 ＡＢ ＣＤ 的 一 边 ＡＢ 在 ｘ轴 上 ，抛 物 线 ｙ ＝ ｘ２ － ５ｘ ＋ ４ 经 过 点 Ｃ， Ｄ ，则 点 Ｂ 的 坐 标 为 ． １５ ．（ ２０ ２４ 厦 门 月 考 ） 已 知 二 次 函 数 ｙ ＝ ａｘ ２ ＋ ２ａ ｘ ＋ ｃ的 最 小 值 为 － ８． 若 当 ０ ＜ ｘ ＜ １ 时 ，ｙ 值 为 负 ；若 当 － ４ ＜ ｘ ＜ － ３ 时 ，ｙ 值 为 正 ，则 二 次 函 数 的 表 达 式 是 ． １６ ．（ ２０ ２３ 温 州 月 考 ） 如 图 ６， 水 池 中 心 点 Ｏ 处 竖 直 安 装 一 水 管 ，水 管 喷 头 喷 出 抛 物 线 形 水 柱 ，喷 头 上 下 移 动 时 ，抛 物 线 形 水 柱 随 之 竖 直 上 下 平 移 ， 水 柱 落 点 与 点 Ｏ 在 同 一 水 平 面 ．安 装 师 傅 调 试 发 现 ，喷 头 高 ２． ５ ｍ 时 ，水 柱 落 点 距 Ｏ 点 ２． ５ ｍ ；喷 头 高 ４ ｍ 时 ，水 柱 落 点 距 Ｏ 点 ３ ｍ ．那 么 喷 头 高 ８ ｍ 时 ， 水 柱 落 点 距 Ｏ 点 为 ｍ ． １７ ．（ ２０ ２４ 常 州 月 考 ） 如 果 将 二 次 函 数 的 图 象 平 移 ，有 一 个 点 既 在 平 移 前 的 函 数 图 象 上 又 在 平 移 后 的 函 数 图 象 上 ， 那 么 称 这 个 点 为 “ 平 衡 点 ” ．现 将 抛 物 线 Ｃ １ ：ｙ ＝ （ ｘ － １） ２ － １ 沿 ｘ 轴 平 移 得 到 新 抛 物 线 Ｃ ２ ，如 果 “ 平 衡 点 ” 为 （ ４， ８） ，那 么 新 抛 物 线 Ｃ ２ 的 表 达 式 为 ． １８ ．如 图 ７， 已 知 抛 物 线 ｙ ＝ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ３ 的 图 象 与 ｘ 轴 相 交 于 点 Ａ 和 点 Ｂ（ １， ０） ， 与 ｙ 轴 交 于 点 Ｃ， 连 接 ＡＣ ， 有 一 动 点 Ｄ 在 线 段 ＡＣ 上 运 动 ，过 点 Ｄ 作 ｘ轴 的 垂 线 ， 交 抛 物 线 于 点 Ｅ， 交 ｘ 轴 于 点 Ｆ， ＡＢ ＝ ４， 设 点 Ｄ 的 横 坐 标 为 ｍ ， 连 接 ＡＥ ，Ｃ Ｅ， 则 △ ＡＣ Ｅ 的 最 大 面 积 为 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 满 分 ６６ 分 ） １９ ． （ ６ 分 ） 已 知 二 次 函 数 ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ ＋ ４． （ １） 写 出 抛 物 线 的 开 口 方 向 及 顶 点 坐 标 ； （ ２） 当 ｘ 为 何 值 时 ，ｙ 随 ｘ 的 增 大 而 减 小 ？ （ ３） 把 此 抛 物 线 向 左 移 动 ３ 个 单 位 ，再 向 下 移 动 ７ 个 单 位 后 ，得 到 的 新 抛 物 线 是 否 过 点 Ｐ（ １， － ５） ？请 说 明 理 由 ． ２０ ．（ ２０ ２３ 杭 州 期 末 ，６ 分 ） 已 知 二 次 函 数 ｙ ＝ （ ｘ ＋ １） （ ｘ ＋ ３ｋ ） ． （ １） 若 当 ｘ ＝ ２ 时 ，该 函 数 有 最 小 值 ，求 ｋ 的 值 ； （ ２） 若 将 二 次 函 数 的 图 象 向 上 平 移 ４ 个 单 位 后 与 ｘ 轴 只 有 一 个 交 点 ， 求 ｋ 的 值 ． $ ¢ ³ ´ µ D ¶ · "#$%&'"( ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / &) * % + , - $ ! & & % ! # + $ " ! " ! % # & $ + - " ! " ! # " ! # " ! # " ! # " / 1 2 0 ! % & # $ + " ! # ) * 3 4 & . # " , & . # + , 5 4 # ! ( - ( # . 5 / , - # ( 5 6 ! , ! % # * $ + & " - ! '