第15期 1.1 二次函数 1.2 二次函数的图像与性质（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 上期３，４版 一、１．Ａ；　２．Ｃ； ３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．Ｄ； ６．Ｄ；　７．Ｃ；　８．Ｂ； ９．Ｄ；　１０．Ｄ． 二、１１．ｈ＝２０ｘ； １２．１２；　１３．９３； １４．３；　１５．槡５３； １６．１１１；　１７．５； １８． 槡３ １０５ 或 槡９ １０ ５ ． 三、１９．（１）ｘ１ ＝ ２ ３， ｘ２ ＝２； （２）ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝２． ２０．（１）本次抽查的学 生人数为１０００人． （２）该市九年级学生中 视力不佳的约有３１９５０人． ２１．（１）ｋ＝３２． （２）点 Ｍ的坐标为 （６，１６３）或（２，１６）． ２２．（１）进馆人次的月 平均增长率为５０％． （２）校图书馆能接待 第四个月的进馆人次． ２３．证明：（１）在平行 四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ， 所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ．因为 ＢＤ 平 分 ∠ＡＢＣ， 所 以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ，所 以 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ．因为ＡＢ２ ＝ＢＦ·ＢＤ，所以ＡＢＢＤ＝ ＢＦ ＡＢ． 又因为 ∠ＡＢＤ＝∠ＦＢＡ， 所以 △ＡＢＦ∽ △ＤＢＡ，所 以 ∠ＦＡＢ＝∠ＡＤＢ，所以 ∠ＦＡＢ＝∠ＡＢＤ，所以 ＡＦ ＝ＢＦ，即点Ｆ在边ＡＢ的垂 直平分线上． （２） 由 上 题 可 知 ∠ＦＡＢ＝∠ＣＢＤ，又因为 ∠ＢＥＡ ＝ ∠ＦＥＢ，所 以 △ＢＥＡ∽ △ＦＥＢ，所以ＢＥＡＥ ＝ＢＦＡＢ．因为 ＡＢ ＢＤ＝ ＢＦ ＡＢ，所以 ＡＢ ＢＤ＝ ＢＥ ＡＥ．因为 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＢＤ，所以 ＡＢ＝ＡＤ，所 以 ＡＤ ＢＤ＝ ＢＥ ＡＥ，即ＡＤ·ＡＥ＝ ＢＥ·ＢＤ． ２４．（１）机械臂端点 Ｃ 到工作台的距离 ＣＤ的长 约为６６ｍ． （２）ＯＤ的长约为３．８ｍ． ２５．（１）ｋ＝ ２５，ｍ ＝ －２，ｂ＝１２５． 书 上期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ 二、１１．１６００００；　１２．２００；　１３．－４；　１４．０．６；　１５．槡８２； １６．６；　１７．１２；　１８．槡７２或 槡５７ ６． 三、１９．原式 ＝ ５４． ２０．（１）直线ｙ＝ａｘ＋ｂ的表达式为ｙ＝－３ｘ－３． （２）－２≤ｘ＜０或ｘ≥１． ２１．（１）证明：因为ＡＣ⊥ＡＤ，ＥＤ⊥ＡＤ，所以∠Ａ＝∠Ｄ＝ ９０°，∠Ｃ＋∠ＡＢＣ＝９０°，因为ＣＢ⊥ＢＥ，所以∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＤ ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠ＥＢＤ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＥＢ． （２）ＢＤ＝３． ２２．（１）本周他销售这种水果可获利２８８元． （２）不能获得５００元的利润，理由略． ２３．火箭从Ｐ到Ｑ处的平均速度为２９４ｍ／ｓ． ２４．（１）ｋ＝－２３，ｍ＝１２，点Ｃ的坐标为（９，０）． （２）延长ＤＡ交ｘ轴于点Ｆ，将直线ＡＢ沿ｙ轴向上平移３个 单位长度后表达式为ｙ＝－２３ｘ＋９，联立 ｙ＝－２３ｘ＋９， ｙ＝１２ｘ { ， 解得 ｘ１ ＝ ３ ２， ｙ１ ＝８ { ， ｘ２ ＝１２， ｙ２ ＝１ { ， 所以点Ｄ（３２，８）．设直线ＡＤ的表达式为 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１，把Ｄ（ ３ ２，８），Ａ（３，４）代入得 ３ ２ｋ１＋ｂ１ ＝８， ３ｋ１＋ｂ１ ＝４ { ， 解 得 ｋ１ ＝－ ８ ３， ｂ１ ＝１２ { ， 所以直线ＡＤ的表达式为ｙ＝－８３ｘ＋１２．把ｙ＝ ０代入ｙ＝－８３ｘ＋１２，解得ｘ＝ ９ ２，所以点Ｆ的坐标为（ ９ ２，０）， 所以ＣＦ＝ ９２，所以Ｓ△ＡＣＤ ＝Ｓ△ＣＤＦ－Ｓ△ＣＡＦ ＝９． ２５．（１）ｋ的取值范围是ｋ＞ １２． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，且四边形的对角线 相等，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°，由勾股定理 得ｍ２＋ｎ２＝（槡１０２ ） ２，整理，得（ｍ＋ｎ）２－２ｍｎ＝ ５２，因为ｍ ＋ｎ＝ｋ，ｍｎ＝ ｋ２ － １ ４，所以ｋ ２－２（ｋ２ － １ ４）＝ ５ ２，解得ｋ１ ＝２，ｋ２＝－１（舍去），所以矩形ＡＢＣＤ的周长是２（ｍ＋ｎ）＝２ｋ ＝４，面积是ｍｎ＝ ｋ２ － １ ４ ＝ ３ ４．故此时四边形ＡＢＣＤ的周长 是４，面积是 ３４． ２６．（１）证明略． （２）连接ＣＥ，因为ＡＢ＝４，ＡＣ＝３，∠ＢＡＣ＝９０°，所以ＢＣ ＝５．因为∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ，所以△ＡＢＣ ∽△ＡＤＥ，所以ＡＢＡＣ＝ ＡＤ ＡＥ＝ ４ ３．因为∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，所 以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，所以△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＥ， ＡＢ ＡＣ＝ ＢＤ ＣＥ＝ ４ ３，所以设ＢＤ＝４ｘ，ＣＥ＝３ｘ，所以ＣＤ＝５－４ｘ． 因为∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝９０°，所以 ∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＢ＝９０°，所以 ∠ＤＣＥ＝９０°．因为ｔａｎ∠ＥＤＣ＝ＥＣＤＣ＝ １ ２，所以 ３ｘ ５－４ｘ＝ １ ２，所 以ｘ＝ １２，所以ＥＣ＝ ３ ２，ＣＤ＝３，所以ＤＥ＝ 槡３５ ２． （３）过点Ａ作ＡＢ的垂线，过点Ｄ作ＡＤ的垂线，两垂线交于 点Ｍ，连接ＢＭ，所以 ∠ＢＡＭ ＝∠ＡＤＭ ＝∠ＢＤＣ＝９０°．因为 ∠ＢＡＤ＝∠ＤＢＣ，所以 ∠ＤＡＭ ＝∠ＢＣＤ．又因为 ∠ＡＤＭ ＝ ∠ＢＤＣ＝９０°，所以△ＢＤＣ∽ △ＭＤＡ，所以ＢＤＭＤ＝ ＤＣ ＤＡ．又因为 ∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＭ，所以∠ＢＤＣ＋∠ＣＤＭ＝∠ＡＤＭ＋∠ＣＤＭ，即 ∠ＢＤＭ＝∠ＣＤＡ，所以△ＢＤＭ∽△ＣＤＡ，所以ＢＭＡＣ＝ ＤＭ ＡＤ＝ ＢＤ ＤＣ． 因为ｔａｎ∠ＢＡＤ＝ＣＤＢＤ＝ １ ２，ＡＣ＝ 槡２３，所以ＢＤ＝２ＣＤ，所以ＢＭ ＝２ＡＣ＝ 槡４３，ＤＭ＝２ＡＤ，因为ＡＢ＝４，所以ＡＭ＝ 槡４２．因为 ＡＤ２＋ＤＭ２ ＝ＡＭ２，所以ＡＤ＝ 槡４ １０５ ． 书 二次函数是函数大家族中极为重要的成员，它的许 多性质在我们实际生活中有着广泛应用，因此同学们学 习时一定要深刻领会二次函数的概念，通过对问题情境 的分析确定二次函数的表达式，为运用二次函数及其性 质解决实际问题打下坚实的基础． 一、二次函数的概念 一般地，形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０） 的函数，叫做二次函数．其中，ｘ是自变量，ａ，ｂ，ｃ分别是 函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： （１）二次函数的自变量ｘ的最高次数是２； （２）特别要注意ａ≠０这一个条件．若ａ＝０，表达式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中就不含有二次项，它就成了一次函数 ｙ＝ｂｘ＋ｃ； （３）当ｂ＝０，ｃ＝０时，ｙ＝ａｘ２是特殊的二次函数． 例１　下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二 次函数？ （１）ｙ＝ｘ＋１ｘ；　（２）ｙ＝（３ｘ－１） ２－９ｘ２； （３）ｙ＝１０πｒ２；　（４）ｙ＝槡３ｘ ３＋２ｘ２－５； （５）ｙ＝３（ｘ－１）２＋２０２４；　（６）ｙ＝ １ ２ｘ２ ＋４ｘ． 分析：（１）的最高次数不是２，且含有自变量的式子 包含分式；（２）利用去括号与合并同类项后得ｙ＝－６ｘ＋ １，是一次函数；（３）是二次函数；（４）的自变量的最高次 数是３；（５）整理后可得ｙ＝３ｘ２－６ｘ＋２０２７，符合二次 函数的定义；（６）的最高次数是２，但含有自变量的式 子包含分式． 解：（３）（５）是二次函数，（１）（２）（４）（６）不是二次函数． 方法指导：识别二次函数的关键是：（１）函数的关 系式是整式；（２）经化简整理后，自变量的最高次数是 ２；（３）二次项系数不等于零． 二、建立二次函数模型 解有关二次函数的应用题，与一次函数应用题类 似，都是寻找等量关系，如总利润 ＝单件利润×数量，长 方形的面积 ＝长 ×宽等． 例２　（２０２３呼伦贝尔 期中）如图，利用一面墙 （墙的长度为２０ｍ），用３４ｍ 长的篱笆围成两个鸡场，中 间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道１ｍ宽的门，设 ＡＢ的长为ｘｍ，两个鸡场的面积和为Ｓ，求Ｓ关于ｘ的关 系式． 分析：根据题意和图形可以表示出矩形的长，根据 面积 ＝长 ×宽即可求得Ｓ关于ｘ的关系式． 解：由题意可得，矩形的长为（３４－３ｘ＋２）ｍ， 所以Ｓ＝ｘ（３４－３ｘ＋２）＝ｘ（３６－３ｘ）＝－３ｘ２＋３６ｘ， 即Ｓ关于ｘ的关系式是Ｓ＝－３ｘ２＋３６ｘ（１６３≤ｘ＜１２）． 方法指导：列二次函数的表达式要遵循以下步骤： （１）审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，并把 未知量用字母表示；（２）找出已知量、未知量之间的数 量关系，用代数式表示；（３）找出等量关系，把文字语 言、图形语言等用等式表示，并把等式化为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ（ａ≠０）的形式． 书 重点集训营 题型一：函数图象 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．（２０２３德州月考）在同一坐标系中，一次函数ｙ ＝－ｋｘ＋｜ｂ｜与二次函数ｙ＝ｘ ２ ＋ｋ的图象可能是 （　　） ２．在同一直角坐标系中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ和二 次函数ｙ＝ｋ（ｘ＋ｂ） ２ 的图象大致可能为（　　） ３．（２０２３廊坊月考）已知二 次函数ｙ＝ｘ ２ －２的图象如图所 示，则坐标原点可能是（　　） Ａ．点ＭＢ．点Ｎ Ｃ．点ＰＤ．点Ｑ 题型二：比较大小 １．（２０２３宁波月考）若Ａ（０，ｙ１），Ｂ（２，ｙ２），Ｃ（３， ｙ３）为二次函数ｙ＝（ｘ－２） ２ ＋ｍ图象上的三点，则ｙ１， ｙ２，ｙ３的大小关系为（　　） Ａ．ｙ１＜ｙ３＜ｙ２Ｂ．ｙ２＜ｙ３＜ｙ１ Ｃ．ｙ２＜ｙ１＜ｙ３Ｄ．ｙ３＜ｙ１＜ｙ２ ２．（２０２３漳州月考）已知Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）是 抛物线ｙ＝ａ（ｘ－１） ２ －ａ（ａ≠０）上的点，下列命题正 确的是（　　） Ａ．若｜ｘ１－１｜＞｜ｘ２－１｜，则ｙ１＞ｙ２ Ｂ．若｜ｘ１－１｜＞｜ｘ２－１｜，则ｙ１＜ｙ２ Ｃ．若｜ｘ１｜＝｜ｘ２｜，则ｙ１＝ｙ２ Ｄ．若｜ｘ１－１｜＝｜ｘ２－１｜，则ｙ１＝ｙ２ ３．（２０２３宁波期中）点Ａ（ｍ，ｙ１），Ｂ（ｍ＋１，ｙ２）都 在二次函数ｙ＝（ｘ－１） ２ 的图象上，若ｙ１＜ｙ２，则ｍ的 取值范围是． 辅助线周周练 １．（２０２３广东）如图１，抛物线ｙ＝ａｘ ２ ＋ｃ经过正 方形ＯＡＢＣ的三个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，点Ｂ在ｙ轴上，则ａｃ的 值为． ２．如图２，点Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ在抛物线ｙ＝ｘ ２ 的图 … 【提示】 １．连接ＡＣ，交ｙ轴于点Ｄ，根据正方形的性质可 知ＡＣ＝ＯＢ＝２ＡＤ＝２ＯＤ，然后可得点Ａ（ｃ ２ ，ｃ ２ ）， 进而代入求解即可． ２．作Ａ１Ｃ⊥ｙ轴，Ａ２Ｅ⊥ｙ轴，垂足分别为Ｃ，Ｅ， Ａ２Ｆ⊥ｘ轴于点Ｆ，Ａ１Ｄ⊥ｘ轴于点Ｄ，Ｂ１Ｎ⊥Ａ２Ｆ于 点Ｎ．利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关 系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方 法求出第二个，第三个……的腰长，观察其规律，最 后得出结论． 书 重点集训营 题型一：函数图象 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３德州月考）在同一坐标系中，一次函数 ｙ ＝－ｋｘ＋｜ｂ｜与二次函数ｙ＝ｘ２＋ｋ的图象可能是 （　　） ２．在同一直角坐标系中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ和二 次函数ｙ＝ｋ（ｘ＋ｂ）２的图象大致可能为 （　　） ３．（２０２３廊坊月考）已知二 次函数ｙ＝ｘ２－２的图象如图所 示，则坐标原点可能是 （　　） Ａ．点Ｍ Ｂ．点Ｎ Ｃ．点Ｐ Ｄ．点Ｑ 题型二：比较大小 １．（２０２３宁波月考）若 Ａ（０，ｙ１），Ｂ（２，ｙ２），Ｃ（３， ｙ３）为二次函数ｙ＝（ｘ－２） ２＋ｍ图象上的三点，则ｙ１， ｙ２，ｙ３的大小关系为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ３ ＜ｙ２ Ｂ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ ２．（２０２３漳州月考）已知Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）是 抛物线ｙ＝ａ（ｘ－１）２－ａ（ａ≠０）上的点，下列命题正 确的是 （　　） Ａ．若｜ｘ１－１｜＞｜ｘ２－１｜，则ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．若｜ｘ１－１｜＞｜ｘ２－１｜，则ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．若｜ｘ１｜＝｜ｘ２｜，则ｙ１ ＝ｙ２ Ｄ．若｜ｘ１－１｜＝｜ｘ２－１｜，则ｙ１ ＝ｙ２ ３．（２０２３宁波期中）点 Ａ（ｍ，ｙ１），Ｂ（ｍ＋１，ｙ２）都 在二次函数ｙ＝（ｘ－１）２的图象上，若ｙ１＜ｙ２，则ｍ的 取值范围是 ． 辅助线周周练 １．（２０２３广东）如图１，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｃ经过正 方形ＯＡＢＣ的三个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，点Ｂ在ｙ轴上，则ａｃ的 值为 ． ２．如图２，点Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ在抛物线ｙ＝ｘ ２的图 象上，点 Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，…，Ｂｎ在 ｙ轴上，若 △Ａ１Ｂ０Ｂ１， △Ａ２Ｂ１Ｂ２，…，△ＡｎＢｎ－１Ｂｎ都为等腰直角三角形（点 Ｂ０ 是坐标原点），则△Ａ２０２４Ｂ２０２３Ｂ２０２４的腰长为 ． 【提示】 １．连接ＡＣ，交ｙ轴于点Ｄ，根据正方形的性质可 知ＡＣ＝ＯＢ＝２ＡＤ＝２ＯＤ，然后可得点Ａ（ｃ２， ｃ ２）， 进而代入求解即可． ２．作Ａ１Ｃ⊥ｙ轴，Ａ２Ｅ⊥ｙ轴，垂足分别为Ｃ，Ｅ， Ａ２Ｆ⊥ｘ轴于点Ｆ，Ａ１Ｄ⊥ｘ轴于点Ｄ，Ｂ１Ｎ⊥Ａ２Ｆ于 点Ｎ．利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关 系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方 法求出第二个，第三个……的腰长，观察其规律，最 后得出结论． 书 一、ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象是一条抛物线，它 的对称轴是ｙ轴，顶点坐标是原点（０，０）． （１）用描点法作二次函数的图象：①列表；②描点； ③连线． （２）当ａ＞０和ａ＜０时，二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 的图象具有不同的性质，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 ｙ轴 （０，０）， 为最 低点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而减 小；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 增大 ａ＜０ 向下 ｙ轴 （０，０）， 为最 高点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而增 大；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 减小 抛物线ｙ＝ａｘ２的开口大小与｜ａ｜的关系非常密切， 当｜ａ｜越大时，抛物线的开口越小；当｜ａ｜越小时，抛物 线的开口越大． 二、ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象是一条 抛物线，它的对称轴是直线ｘ＝ｈ，顶点坐标为（ｈ，ｋ）．二 次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的性质与ａ，ｈ，ｋ的关 系密切，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 直线 ｘ＝ｈ （ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而减小； 当ｘ＞ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而增大； 当 ｘ＝ｈ时，ｙ有 最小值，其最小 值为ｋ ａ＜０ 向下 直线 ｘ＝ｈ （ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而增大； 当ｘ＞ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而减小； 当 ｘ＝ｈ时，ｙ有 最大值，其最大 值为ｋ 【对应练习见《重点集训营》】 ! " # ! " ! " # # ! " # $ ! " # !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " !" #$% ! " # ! " # ! " # !$% ! " # !$% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %$ ! " # & " ! " # ! " # ! " # & ' ( ) ! # * + " , ! ' ! + ( * ' * ) + ) + ' " "-! ) # ! ) 书 二次函数的图象形象直观地反映了二次函数的性 质，含有大量的有用信息，是考查数形结合思想和获取 图象信息能力的好素材． 一、单图象问题 例１　（２０２４绍兴期末）函数ｙ＝ａｘ２＋ｂ（ａ≠０）与 函数ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ≠０）在同一平面直角坐标系中的图 象可能是 （　　） 分析：本题考查的是一次函数与二次函数图象共存 的问题，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题 的关键．根据二次函数和一次函数的图象与性质分别得 出ａ，ｂ的符号，即可得答案． 解：Ａ．由二次函数图象可得ａ＞０，ｂ＞０，由一次函 数图象可得ａ＞０，ｂ＞０，故该选项符合题意； Ｂ．由二次函数图象可得ａ＜０，ｂ＞０，由一次函数图 象可得ａ＞０，ｂ＞０，故该选项不符合题意； Ｃ．由二次函数图象可得ａ＜０，ｂ＞０，由一次函数图 象可得ａ＞０，ｂ＜０，故该选项不符合题意； Ｄ．由二次函数图象可得ａ＞０，ｂ＞０，由一次函数图 象可得ａ＜０，ｂ＞０，故该选项不符合题意． 故选Ａ． 例２　二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋ ３）２＋ｋ的图象如图１所示，已知 点 Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２）和 Ｃ（－６．５，ｙ３）都在该图象上，则 ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ３ ＞ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ３ ＞ｙ２ ＞ｙ１ Ｃ．ｙ２ ＞ｙ１ ＞ｙ３ Ｄ．ｙ２ ＞ｙ３ ＞ｙ１ 分析：根据函数表达式可知，其对称轴为直线 ｘ＝ －３，图象开口向下．根据二次函数图象的对称性，利用 在对称轴的左侧，ｙ随ｘ的增大而增大，可判断ｙ２＞ｙ１＞ｙ３． 解：由二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋３）２＋ｋ的图象可知对称 轴为直线ｘ＝－３，根据二次函数图象的对称性可知，点 Ａ（－１，ｙ１）与点（－５，ｙ１）对称，点Ｂ（－２，ｙ２）与点（－４， ｙ２）对称． 因为点（－５，ｙ１），Ｃ（－６５，ｙ３）与点（－４，ｙ２）在对 称轴的左侧，所以ｙ随ｘ的增大而增大． 因为 －４＞－５＞－６．５，所以ｙ２ ＞ｙ１ ＞ｙ３． 故选Ｃ． 二、双图象问题 例３　（２０２３嘉兴月考）如 图２，抛物线ｙ１＝ａ（ｘ＋２） ２－３ 与ｙ２ ＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１交于点 Ａ（１，３），过点 Ａ作 ｘ轴的平行 线，分别交两条抛物线于点 Ｂ， Ｃ，则以下结论： ①无论ｘ取何值，ｙ２总是正数； ②ａ＝１； ③当ｘ＝０时，ｙ１－ｙ２ ＝４； ④２ＡＢ＝３ＡＣ， 其中正确的是 ． 分析：根据ｙ２ ＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１的图象在ｘ轴上方 即可得出 ｙ２的取值范围；把 Ａ（１，３）代入抛物线 ｙ１ ＝ ａ（ｘ＋２）２－３即可得出ａ的值；由抛物线与ｙ轴的交点求 出ｙ１－ｙ２的值；根据两函数的表达式直接得出ＡＢ与ＡＣ 的关系即可． 解：①因为抛物线ｙ２＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１开口向上，顶 点坐标在ｘ轴的上方，所以无论ｘ取何值，ｙ２的值总是正 数，故本结论正确； ②把Ａ（１，３）代入抛物线ｙ１＝ａ（ｘ＋２） ２－３，得３＝ ａ（１＋２）２－３，解得ａ＝ ２３，故本结论错误； ③由②可知，抛物线ｙ１的表达式为ｙ１ ＝ ２ ３（ｘ＋ ２）２－３，当ｘ＝０时，ｙ１ ＝ ２ ３×（０＋２） ２－３＝－１３，ｙ２ ＝ １２×（０－３） ２＋１＝１１２，所以ｙ１－ｙ２＝－ １ ３－ １１ ２ ＝ －３５６，故本结论错误； ④因为抛物线ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２） ２－３与ｙ２＝ １ ２（ｘ－ ３）２＋１交于点Ａ（１，３）， 所以ｙ１的对称轴为直线ｘ＝－２，ｙ２的对称轴为直线 ｘ＝３，所以Ｂ（－５，３），Ｃ（５，３），所以ＡＢ＝６，ＡＣ＝４， 所以２ＡＢ＝３ＡＣ，故本结论正确． 故填①④． 练一练：已知二次函数 ｙ＝（ｘ－２ａ）２＋ａ－１（ａ为 常数），当 ａ取不同的值时， 其图象构成一个“抛物线 系”．如图 ３分别是当 ａ＝ －１，ａ＝０，ａ＝１，ａ＝２时 二次函数的图象，它们的顶 点在一条直线上，这条直线的表达式是 ． " &' ()* !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! # " !$*+ ! 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△ＢＦＥ，所以 ＢＦ＝ＭＨ＝ ２，ＥＦ＝ＢＨ．设ＥＦ＝ｘ，则 ＤＰ＝ｘ，ＢＨ＝ＡＨ＝ｘ，ＥＰ ＝ＦＤ＝２０－２－２ｘ＝１８－ ２ｘ，ＧＮ＝ｘ＋８，ＮＥ＝ＡＦ＝ ２ｘ＋２，同（１）易得 △ＮＧＥ ∽△ＰＥＤ，所以ＰＥＮＧ＝ ＰＤ ＮＥ， 即 １８－２ｘ ｘ＋８ ＝ ｘ ２ｘ＋２，解得 ｘ１＝６，ｘ２＝－ ６ ５（舍去）， 所以ＦＤ＝１８－２ｘ＝６，所 以ＥＤ＝ ＥＦ２＋ＦＤ槡 ２ ＝ 槡６２． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２４上海浦东新区期末）下列函数中，是二次 函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝２ｘ＋１ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋１ Ｃ．ｙ＝（ｘ－１）２－ｘ２ Ｄ．ｙ＝ １ ｘ２ ２．（２０２３滁州月考）二次函数ｙ＝ｘ２－２的对称轴是 （　　） Ａ．直线ｘ＝０ Ｂ．直线ｘ＝１ Ｃ．直线ｘ＝２ Ｄ．直线ｘ＝－２ ３．若函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｍ的图象上有两点Ａ（０，ｙ１）， Ｂ（１，ｙ２），则 （　　） Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ１ ＝ｙ２ Ｄ．ｙ１，ｙ２的大小不确定 ４．（２０２３廊坊模拟）若抛物线ｙ＝１３（ｘ－２） ２向右 平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度后经过点（３，３），则 ｍ的值 为 （　　） Ａ．－２ Ｂ．４ Ｃ．２或４ Ｄ．２ ５．若抛物线ｙ＝－２ｘ２＋（４－４ｍ）ｘ－２ｍ２＋ｍ＋４的 顶点在第一象限，则ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．ｍ＜１ Ｂ．ｍ＜２ Ｃ．１＜ｍ＜２ Ｄ．－２＜ｍ＜－１ ６．已知抛物线ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｋ（ａ＜０，ａ，ｋ为常 数），Ａ（－３，ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２），Ｃ（２，ｙ３）是抛物线上三点， 则ｙ１，ｙ２，ｙ３由小到大依序排列为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｂ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１ ７．（２０２４巴东期中）在正比例函数ｙ＝ｋｘ中，ｙ随ｘ 的增大而减小，则二次函数ｙ＝ｋ（ｘ－１）２的图象大致是 （　　） ８．（２０２４菏泽期末）如图１是二 次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象 的一部分，对称轴为直线ｘ＝１２，且 经过点（２，０），则下列结论错误的是 （　　） Ａ．ａｂｃ＜０ Ｂ．－２ｂ＋ｃ＝０ Ｃ．４ａ＋２ｂ＋ｃ＜０ Ｄ．若（－５２，ｙ１），（ ５ ２，ｙ２）是抛物线上的两点，则ｙ１ ＜ｙ２ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．（２０２３枣庄期中）长方形的周长为３０ｃｍ，其中一 边长为ｘｃｍ（０＜ｘ＜１５），面积为ｙｃｍ２，则ｙ与ｘ的关系 式为 ． １０．（２０２３阜阳期中）若点（０，０）是抛物线ｙ＝（ｍ＋ １）ｘ２的最低点，则ｍ的取值范围是 ． １１．（２０２３鞍山铁西区月考）已知关于ｘ的二次函数 ｙ＝（ｍ－１）ｘ２－ｘ＋ｍ２－１的图象经过原点，则ｍ的值 为 ． １２．开口向上的抛物线ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－１过点（－１， ｙ１），（１，ｙ２），（４，ｙ３），若 ｙ１，ｙ２，ｙ３三个数中有且只有一 个数大于零，则ａ的取值范围是 ． １３．如图２，在平面直角坐标 系ｘＯｙ中，正方形ＯＡＢＣ的顶点Ｂ 在第一象限内，Ａ，Ｃ分别在ｘ轴和 ｙ轴上，抛物线ｙ＝ １８（ｘ－ａ） ２＋ ｂ经过Ｂ，Ｃ两点，顶点Ｄ在正方形 ＯＡＢＣ内部．若点Ｄ在直线ｙ＝ｘ＋ ２上，则ａ＋ｂ的值是 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（８分）二次函数ｙ＝ｘ２的图象如图３所示，请将 此图象向右平移１个单位，再向下平移４个单位． （１）请直接写出经过两次平移后的函数表达式并 画出平移后的函数图象； （２）请求出经过两次平移后的图象与ｘ轴的交点坐 标，并写出当ｘ满足什么条件时，函数值小于０？ １５．（２０２３息县月考，８分）如图４，已知二次函数 ｙ ＝ａｘ２（ａ≠０）与一次函数 ｙ＝ｋｘ－２的图象相交于 Ａ（－１，－１），Ｂ两点． （１）ａ＝ ，ｋ＝ ； （２）求点Ｂ的坐标； （３）直接写出当ａｘ２ ＜ｋｘ－２时，ｘ的取值范围． １６．（１０分）如图５，抛物线ｙ＝２（ｘ－２）２与平行于 ｘ轴的直线交于点Ａ，Ｂ，抛物线顶点为 Ｃ，△ＡＢＣ为等边 三角形，求： （１）点Ｂ的坐标； （２）△ＡＢＣ的面积． １７．（２０２３天门月考，１０分）如图６，二次函数ｙ＝（ｘ ＋４）２的图象与ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｂ． （１）在抛物线的对称轴上找一点 Ｃ，使得 ＢＣ＋ＯＣ 最小，求出Ｃ点的坐标； （２）在对称轴上是否存在一点Ｐ，使以Ｐ，Ａ，Ｏ，Ｂ为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Ｐ的坐标； 若不存在，请说明理由． １８．（１２分）如图７，已知二次函数ｙ＝ｘ２－ａｘ的对 称轴为直线ｘ＝２，过点Ａ（５，ｂ）． （１）直接写出ａ，ｂ的值； （２）若点Ｂ是抛物线对称轴上的一点，且点Ｂ在第 一象限，当△ＯＡＢ的面积为１５时，求Ｂ的坐标； （３）在（２）的条件下，Ｐ是ｙ轴上的点，当ＰＡ－ＰＢ的 值最大时，求Ｐ的坐标                                                                                                                                                                 ． 书 １．１二次函数 １．（２０２３成都期末）若ｙ＝（ｍ－４）ｘ２－５ｘ＋３表示 ｙ是ｘ的二次函数，则ｍ的取值范围为 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．ｍ≠０ Ｂ．ｍ＞４ Ｃ．ｍ＜４ Ｄ．ｍ≠４ ２．设ａ，ｂ，ｃ分别是二次函数ｙ＝－ｘ２＋３的二次项 系数、一次项系数、常数项，则 （　　） Ａ．ａ＝－１，ｂ＝３，ｃ＝０　Ｂ．ａ＝－１，ｂ＝０，ｃ＝３ Ｃ．ａ＝－１，ｂ＝３，ｃ＝３ Ｄ．ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝３ ３．（２０２３周口期中）正方形的边长为３，若边长增 加ｘ，则面积增加ｙ，ｙ与ｘ的关系式为 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２＋６ｘ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋６ｘ＋９ Ｃ．ｙ＝ｘ２－６ｘ Ｄ．ｙ＝ｘ２－６ｘ－９ ４．若二次函数ｙ＝（２ｘ－１）２＋１的二次项系数为 ａ，一次项系数为 ｂ，常数项为 ｃ，则 ｂ２－４ａｃ ０（填“＞”“＜”或“＝”）． ５．（２０２３滁州期中）若ｙ＝（ｍ＋１）ｘ｜ｍ｜＋１＋４ｘ－５ 是关于ｘ的二次函数，则一次函数ｙ＝ｍｘ＋ｍ的图象不 经过第 象限． ６．已知函数ｙ＝（ｍ＋３）ｘｍ２＋ｍ－４＋（ｍ＋２）ｘ＋３（其 中ｘ≠０）． （１）当ｍ为何值时，ｙ是ｘ的二次函数？ （２）当ｍ为何值时，ｙ是ｘ的一次函数？ １．２．１二次函数ｙ＝ａｘ２的图象与性质 １．（２０２４宁波期末）在平面直角坐标系中，抛物线 ｙ＝ｘ２的开口方向是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．向上 Ｂ．向下 Ｃ．向左 Ｄ．向右 ２．（２０２３青岛月考）如图１， 与抛物线ｙ＝１３ｘ ２，ｙ＝２ｘ２，ｙ＝ －１３ｘ ２，ｙ＝－２ｘ２的图象对应的 是 （　　） Ａ．①②④③ Ｂ．②①④③ Ｃ．①②③④ Ｄ．②①③④ ３．当ａｂ＞０时，ｙ＝ａｘ２与ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象大致 是 （　　） ４．（２０２３汕头期末）已知二次函数ｙ＝（２－ｋ）ｘ２， 当ｘ＞０时，ｙ随ｘ增大而增大，则实数ｋ的取值范围是 ． ５．已知点（－１，２）在二次函数ｙ＝ｋｘ２的图象上，则 ｋ的值是 ． ６．（２０２３鞍山月考）点 Ａ（ａ２，ｙ１），Ｂ（－ａ ２－１，ｙ２） 在二次函数ｙ＝２ｘ２的图象上，比较 ｙ１和 ｙ２的大小为 ． ７．（２０２３西安月考）如图２， 正方形ＯＡＢＣ的顶点Ｂ在抛物线 ｙ＝３ｘ２的第一象限的图象上，若 点Ｂ的纵坐标是横坐标的２倍， 则对角线ＡＣ的长为 ． ８．（２０２３金华期末）如图３，直线ｙ＝－１２ｘ＋ｂ与抛 物线ｙ＝ａｘ２交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，其中点Ａ 的坐标为（－４，８）． （１）求ａ，ｂ的值； （２）若ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｃ，ＣＤ＝ＣＡ，试说明点Ｄ在抛 物线上． １．２．２二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ 的图象与性质　　　　 １．（２０２３温州期末）抛物线ｙ＝ｘ２＋５的顶点坐标 是 （　　） Ａ．（０，５） Ｂ．（０，－５） Ｃ．（５，０） Ｄ．（－５，０） ２．在平面直角坐标系中，将二次函数ｙ＝（ｘ－１）２ ＋１的图象向左平移１个单位长度，再向下平移２个单 位长度，所得函数的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝（ｘ－２）２－１ Ｂ．ｙ＝（ｘ－２）２＋３ Ｃ．ｙ＝ｘ２＋１ Ｄ．ｙ＝ｘ２－１ ３．（２０２３陇西月考）已知二次函数ｙ＝－（ｘ＋ｈ）２， 当ｘ＜－３时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ＞－３时，ｙ随ｘ 的增大而减小，当ｘ＝０时，则ｙ的值为 ． ４．已知二次函数ｙ＝（ｘ－ｍ）２＋１，当ｘ＜１时，ｙ随 着ｘ的增大而减小，请写出一个符合条件的 ｍ的值： ． ５．如图１，在平面直角坐标系中， 点Ａ在抛物线ｙ＝（ｘ－１）２＋２上运 动，过点Ａ作ＡＢ⊥ｘ轴于点Ｂ．以ＡＢ 为斜边作Ｒｔ△ＡＢＣ，则ＡＢ边上的中线 ＣＤ的最小值为 ． ６．已知二次函数 ｙ＝２（ｘ－ｍ）２ －２（ｍ是常数）的图象经过点Ｐ（ａ，ｂ）． （１）若ａ＝３，ｂ＝６，求ｍ的值； （２）若点Ｐ到对称轴的距离为１，求ｂ的值． ７．（２０２３惠州惠阳区月考）如图２，直线ｙ＝－３ｘ＋ ３与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ａ，Ｂ，抛物线ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋ ｋ经过Ａ，Ｂ，并与ｘ轴交于另一点Ｃ，其顶点为Ｐ． （１）求ａ，ｋ的值； （２）抛物线的对称轴上是否存在一点Ｎ，使△ＡＢＮ 是以ＡＢ为斜边的直角三角形？若存在，请求出点Ｎ的坐 标；若不存在，请说明理由． １．２．３二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 的图象与性质　　　　 １．（２０２４濮阳期末）二次函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１的图 象的顶点坐标是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（０，－１） Ｂ．（２，－３） Ｃ．（－２，３） Ｄ．（２，３） ２．（２０２３海安期中）已知二次函数ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋ ５，当ｙ随ｘ的增大而增大时，ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≤－１ Ｂ．ｘ≥１ Ｃ．ｘ≤１ Ｄ．ｘ≥－１ ３．（２０２４临沂期末）下列关于二次函数ｙ＝－３（ｘ＋ １）（ｘ－２）的图象和性质的叙述中，正确的是 （　　） Ａ．点（０，２）在函数图象上 Ｂ．开口方向向上 Ｃ．对称轴是直线ｘ＝１ Ｄ．与直线ｙ＝３ｘ有两个交点 ４．（２０２３西安期末）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ ＜０），经过Ａ（－４，１），Ｂ（２，１），Ｃ（－５，ｙ１），Ｄ（１，ｙ２）四 点，则 ｙ１ 与 ｙ２ 的大小关系是 ｙ１ ｙ２（填 “＞”“＜”或“＝”）． ５．二次函数ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋ｃ在 －３≤ｘ≤２的范 围内有最小值 －５，则ｃ的值是 ． 能力提高 ６．（２０２４保定期末）如图，抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ＋ ｃ与ｘ轴交于Ａ（－２，０），Ｂ（４，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求抛物线和直线ＢＣ的表达式； （２）动点Ｍ，Ｎ从点Ｏ同时出发，都以每秒１个单位 长度的速度分别在线段ＯＢ，ＯＣ上向点Ｂ，Ｃ运动，过点 Ｍ作ｘ轴的垂线交ＢＣ于点Ｆ，交抛物线于点Ｈ，当四边 形ＯＭＨＮ为矩形时，求点Ｈ的坐标 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 !# / %&'( ! 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