第16讲指数函数（5个知识点+1个要点+4种题型+1个易错点过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第16讲指数函数 （5个知识点+1个要点+4种题型+1个易错点过关检测） 知识点1：指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点2：指数函数的图象与性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 知识点3：指数函数的定义域与值域 1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． 2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定义域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 知识点4：指数函数的单调性及其应用 1.利用指数函数的单调性比较大小 比较幂的大小的方法 1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较. 4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论. 2.利用指数函数的单调性解不等式 1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． 2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔ 指数型函数单调性的综合应用 函数y＝afxa>0，a≠1的单调性的处理技巧 1关于指数型函数y＝afxa>0，且a≠1的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是fx的单调性，它由两个函数y＝au，u＝fx复合而成. 2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝fu，u＝φx，通过考查fu和φx的单调性，求出y＝fφx的单调性. 知识点5：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 要点：解决指数函数综合性问题常用的四种方法 (1)性质法,利用指数函数性质可解决有关函数的定义域、值域、单调性及与不等式、方程等有关问题. (2)隐含性质法,即利用指数函数性质时,善于挖掘函数所隐含的性质,以便于解决问题. (3)图象法,充分利用指数函数的图象可直 观地解决有关指数函数的综合性问题,可降低思维难度,简化解题过程. (4)构造法,观察已知条件中的结构特征,构造相关函数求解. 题型1：指数函数的图象 【例题1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·广东东莞·期末）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）设函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）再选取底数，，，，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性？ 题型2：与指数函数有关的函数的定义域、值域 【例题2】（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 题型3：指数函数的单调性及应用 【例题3】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·浙江·期末）若函数是上的单调函数，且对任意实数x，都有，则 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知（，且），求x的取值范围． 题型4：与指数函数相关的综合问题 【例题4】（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是 . 【变式3】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）函数为奇函数. (1)求的值; (2)判断的增减性，并证明. 易错点：忽视指数函数的值域致错 【例题1】（22-23高一上·全国·单元测试）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求函数的值域和单调区间． 一、单选题 1．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课前预习）若指数函数是减函数，则下列不等式中，能够成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知函数是偶函数，则实数m的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（20-21高一上·天津南开·期中）设 ，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江西萍乡·期末）若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．   C．     D．   二、多选题 9．（24-25高一上·上海·课前预习）若函数（且）的图像过第二象限，则必有（　　） A． B．且 C．且 D．且 10．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 11．（22-23高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 三、填空题 12．（23-24高一上·天津·期中）函数的定义域为 ． 13．（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 . 14．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若函数，在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的值域. (1)； (2)； (3). 16．（2023高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 17．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明. 18．（22-23高一上·河北保定·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 19．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲指数函数 （5个知识点+1个要点+4种题型+1个易错点过关检测） 知识点1：指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点2：指数函数的图象与性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 知识点3：指数函数的定义域与值域 1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． 2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定义域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 知识点4：指数函数的单调性及其应用 1.利用指数函数的单调性比较大小 比较幂的大小的方法 1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较. 4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论. 2.利用指数函数的单调性解不等式 1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． 2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔ 指数型函数单调性的综合应用 函数y＝afxa>0，a≠1的单调性的处理技巧 1关于指数型函数y＝afxa>0，且a≠1的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是fx的单调性，它由两个函数y＝au，u＝fx复合而成. 2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝fu，u＝φx，通过考查fu和φx的单调性，求出y＝fφx的单调性. 知识点5：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 要点：解决指数函数综合性问题常用的四种方法 (1)性质法,利用指数函数性质可解决有关函数的定义域、值域、单调性及与不等式、方程等有关问题. (2)隐含性质法,即利用指数函数性质时,善于挖掘函数所隐含的性质,以便于解决问题. (3)图象法,充分利用指数函数的图象可直 观地解决有关指数函数的综合性问题,可降低思维难度,简化解题过程. (4)构造法,观察已知条件中的结构特征,构造相关函数求解. 题型1：指数函数的图象 【例题1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 【变式1】（23-24高一上·广东东莞·期末）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】结合指数函数单调性以及特殊点即可判断. 【详解】由题意， 所以当时，单调递增，且， 当时，单调递减，且， 且当从左边趋于0时，趋于，当从右边趋于0时，趋于1. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）设函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象性质分类讨论判断选项, 【详解】恒成立，所以当时，； 当时，，排除项， 又，即过原点，排除A项． 故选：D． 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）再选取底数，，，，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性？ 【答案】答案见解析 【详解】画出函数图象，如图所示． 观察图象知，指数函数定义域是R，值域是，没有最值，图象都经过定点； 时，函数在定义域内单调递减，时函数在定义域内单调递增， 与的图象关于y轴对称. 题型2：与指数函数有关的函数的定义域、值域 【例题2】（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合指数函数单调性即可求解. 【详解】由题意，所以，. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【详解】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用分母不为0即可求解. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解； （2）利用指数函数性质结合分式的定义求解； 【详解】（1）由题意，，，所以定义域为； （2）由题意，即，所以定义域为； （3）由题意，即，，，所以定义域为． 题型3：指数函数的单调性及应用 【例题3】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性结合指数函数单调性分析判断. 【详解】令，可得， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 则在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 【变式1】（22-23高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，即可判断选项. 【详解】幂函数在单调递增，所以， 指数函数单调递减，所以， 所以. 故选：D 【变式2】（23-24高一上·浙江·期末）若函数是上的单调函数，且对任意实数x，都有，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由单调性的性质可得为常数，则设，分析可得，解可得的值，即可得函数的解析式，将代入计算可得答案． 【详解】根据题意，函数是上的单调函数，且对任意实数，都有成立， 则为常数，设，则， 又由，则， 由于函数均为单调递增函数，所以单调递增，且，故， 则， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知（，且），求x的取值范围． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论，利用指数函数单调性求解不等式即得. 【详解】当时，函数在R上是减函数， 则不等式化为：，即，解得或； 当时，函数在R上是增函数， 则不等式化为：，即，解得， 综上所述，当时，x的取值范围是或； 当时，x的取值范围是． 题型4：与指数函数相关的综合问题 【例题4】（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对选项中的函数的定义域以及奇偶性、单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数，即A错误； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 且在上为增函数，即B正确； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 由对勾函数性质可知其在单调递减，在上单调递增，可知C错误； 对于D，函数的定义为，关于原点对称，但不能满足奇函数定义，可得D错误. 故选：B 【变式1】．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】变换，再利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】恒成立，即，， 当且仅当，即时等号成立，故，即. 故答案为：. 【变式3】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）函数为奇函数. (1)求的值; (2)判断的增减性，并证明. 【答案】(1)1 (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数性质解得，并代入检验即可； （2）根据函数单调性的定义结合指数函数性质分析证明即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且为奇函数， 则，解得； 若，则， 可得， 即，可知为奇函数； 综上所述：. （2）是增函数，理由如下： 任取，令， 则， 因为，则，可得， 则，即， 所以为定义在上的增函数. 易错点：忽视指数函数的值域致错 【例题1】（22-23高一上·全国·单元测试）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的范围后，结合指数函数单调性可求得结果. 【详解】令，则， 在上单调递减，，又， 的值域为. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域. 【详解】由，则， 所以的值域为. 故选：C 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求函数的值域和单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】设，可得，利用二次函数的基本性质可求得原函数的值域，再由复合函数的单调性可得原函数的单调性. 【详解】函数的定义域为R，设，则． 因为， 所以函数的值域为． 因为在上单调递减，此时由得． 又指数函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为． 同理，因为在上单调递增，此时由得． 又指数函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为． 一、单选题 1．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 3．（24-25高一上·上海·课前预习）若指数函数是减函数，则下列不等式中，能够成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质得的范围，然后判断各选项． 【详解】指数函数是减函数，则，因此有，只有C成立， 故选：C． 4．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知函数是偶函数，则实数m的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即得. 【详解】函数的定义域为， 由函数是偶函数，得，即， 而，则，解得， 所以实数m的值是. 故选：D 5．（20-21高一上·天津南开·期中）设 ，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可依次判断的大小即得. 【详解】因函数为减函数，故， 又函数在第一象限内为增函数，故， 又为减函数，故， 综上可得. 故选：C. 6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出分段函数在各个范围内的值域，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为时，，又，所以，当且仅当，即时取等号， 又当时，，又，则，得到， 所以时，，故有且，解得，所以， 故选：D. 7．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶函数的定义判断函数为偶函数，由函数单调性的判定得到函数的单调区间，由对称函数的函数大致图像得出自变量的不等关系，从而解出取值范围. 【详解】的定义域为， ∵， ∴为偶函数， 当时，， ∵， ∴在上单调递增， ∴在上单调递减， ∴当时，， ∴. 故选：A. 8．（23-24高一上·江西萍乡·期末）若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】D 【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断. 【详解】由题意可知图象上的点变换成点， 意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位， 此时对应的函数解析式为， 若，则时，且单调递减，时，且单调递增， 对比选项可知D选项符合题意. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·上海·课前预习）若函数（且）的图像过第二象限，则必有（　　） A． B．且 C．且 D．且 【答案】AD 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】（且）的图像过第二象限, 则或，故或， 故选：AD. 10．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】BC 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不是减函数，故D错误. 故选：BC 11．（22-23高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】A选项，由于恒成立，故定义域为R；B选项，分离常数得到，根据，得到，求出值域；C选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；D选项，为增函数且，推出为增函数. 【详解】A，因为，所以， 所以函数的定义域为R，故A正确； B，， ， 故， 所以函数的值域为，故B正确； C，函数定义域为R，， 所以函数是奇函数，故C正确； D，函数是增函数，且， 所以函数是减函数， 所以函数是增函数， 故是增函数，故D不正确． 故选：ABC 三、填空题 12．（23-24高一上·天津·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质得到不等式，解二次不等式，得到定义域. 【详解】令，解得，故定义域为. 故答案为： 13．（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 14．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若函数，在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由指数函数、二次函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，函数单调递增； 当时，函数单调递增； 所以 ， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的值域. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3). 【分析】利用二次型函数和钩型函数的性质，结合指数函数的性质求值域即可. 【详解】（1）由知函数的定义域为 所以， 所以，即函数的值域是. （2）函数的定义域为.而， 所以当时，，当且仅当时等号成立； 当时，， 当且仅当时等号成立. 综上，函数的值域为. （3），函数的定义域为，令，则， 所以，即. 故函数的值域为. 16．（2023高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)R (2) (3) (4)答案见解析 【分析】根据函数有意义的条件来可求（1）（2）（3）（4）的定义域. 【详解】（1）函数在R上有意义，故函数的定义域为R. （2）函数有意义的条件是，即， 故函数的定义域为． （3）函数有意义的条件是， 又是R上增函数，于是，即， 故函数的定义域为． （4）函数有意义的条件是，即， 当时，是R上减函数， 于是，即； 当时，是R上增函数， 于是，即. 综上所述，当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为. 17．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在R上单调递增，证明见解析 【分析】（1）求出定义域，得到，得到函数为奇函数； （2）利用定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论. 【详解】（1），易知的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴是奇函数； （2）在R上单调递增，理由如下： 设，，且， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，且， ∴，即， ∴在R上单调递增. 18．（22-23高一上·河北保定·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数，利用换元法求出当时解析式，即可得到函数在R上的解析式； （2）分别对，，三种情况解不等式. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 当时，有，从而， 所以. （2）由（1）知，当时，因为，，所以， 当，，所以当时，， 而当时，，所以不等式在上无解； 当时，不等式为，所以. 记函数，， 因为，所以函数，均为R上的单调增函数， 所以函数为R上的单调增函数. 又， 所以当时，不等式的解集为． 从而关于x的不等式的解集为. 19．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$