精品解析：山东省泰安市新泰市紫光实验中学2025届高三上学期第一次（10月）月考测试数学试卷

新泰市紫光实验中学2024—2025学年10月份第一次月考测试 高三年级数学试卷 一、选择题（共40分） 1. 向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 4. 已知是定义在上的偶函数，满足，当时，，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 6. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 若a，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共18分） 9. 若，则下列不等式成立是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，则（ ） A. 与的值域相同 B. 与的最小正周期相同 C. 曲线与有相同对称轴 D. 曲线与有相同的对称中心 11. 已知，且，则（　　） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为3 三、填空题（共10分） 12. 函数最小正周期为________． 13. 若是偶函数，则实数的值为__________. 四、双空题（共5分） 14. 已知，则________；______． 五、解答题（共77分） 15. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. （1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. （2）要使总费用最小，求x的值. 16. 设函数 （1）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； （2）解关于的不等式：． 17. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. （1）证明:平面； （2）求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由. 19. 如图，四边形ABCD是边长为2菱形，，将沿BD折起到的位置，使． （1）求证：平面平面ABD； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰市紫光实验中学2024—2025学年10月份第一次月考测试 高三年级数学试卷 一、选择题（共40分） 1. 向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知：，解出即为答案. 【详解】由，可得，解得， 故选：D. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数奇偶性可排除AC，通过时函数值的符号可排除D，进而可得结果. 【详解】令，其定义域为关于原点对称， ， 所以函数奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC， 当时，，，，即，故排除D， 故选：B. 3. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解. 【详解】由题意可知，即有， 令，则有，解得， ，故还需要4小时才能消除至最初的. 故选：B. 4. 已知是定义在上的偶函数，满足，当时，，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数f（x）是周期为2的周期函数，据此可得c＝f（2019）＝f（1+2×1007）＝f（1），b＝f（log24.1）＝f（log24.1﹣2）＝f（log2），结合函数的奇偶性可得a=f（log2）＝f（﹣log2）＝f（log2），结合函数解析式可得f（x）在[0，1]上为增函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，f（x）满足f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数， 则c＝f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1），b＝f（log24.1）＝f（log24.1﹣2）＝f（log2）， 又由f（x）为偶函数，则a=f（log2）＝f（﹣log2）＝f（log2）， 当x∈[0，1]时，f（x）＝x3+x，易得f（x）在[0，1]上为增函数，又由0＜log2log21， 则有b＜a＜c； 故选B． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题． 5. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 6. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 7. 若a，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】，当且仅当时，等号成立； 又，当且仅当时，即，等号成立； ，解得，， 所以的最大值为 故选：A 8. 已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导函数的导数，结合分类讨论，判断其正负，得出的增减性，再结合，判断的符号，得出增减性，验证函数的极小值点为0即可. 【详解】，令的导函数为. 若，，在上单调递增，且， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意. 若，当时，，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意. 若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，不符合题意. 若，当时，，， 可得时，，时，， 所以在递增，在上单调递减，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要对再次求导，利用的导函数，分类讨论判断正负，得出的增减性，再结合，得出的正负，据此得出函数的单调性，验证0是否为函数极小值点,解题的关键要具备清晰的逻辑关系，把握，，三者关系. 二、多项选择题（共18分） 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 【详解】对A，若，则，两边同时除以， 所以，A错误； 对B，由可得，B正确； 对C，因为， 所以， 即，C正确； 对D，由可得，， 所以，D正确． 故选：BCD. 10. 已知函数，，则（ ） A. 与的值域相同 B. 与的最小正周期相同 C. 曲线与有相同的对称轴 D. 曲线与有相同的对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦型函数与余弦型函数的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，，则与的值域相同，故A正确． 对于B，与的最小正周期均为，故B正确． 对于C，曲线与的对称轴方程均为，C正确． 对于D，曲线没有对称中心，曲线有对称中心，故D错误． 故选：ABC. 11. 已知，且，则（　　） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式求解判断 【详解】因为，且， A. ，当且仅当时，等号成立，故正确； B. ， 当且仅当，即时，等号成立，故正确； C. ，当且仅当时，等号成立，故正确； D. ， 当且仅当，即时，等号成立，故错误； 故选：ABC 三、填空题（共10分） 12. 函数的最小正周期为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期为： 故答案为：. 13. 若是偶函数，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则，代入计算并验证即可求出. 【详解】函数是偶函数，则, , 化简可得. 当时，则 所以，则， 所以函数是偶函数，则. 故答案为： 四、双空题（共5分） 14. 已知，则________；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得 【详解】， ， 故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 五、解答题（共77分） 15. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. （1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. （2）要使总费用最小，求x的值. 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【小问1详解】 因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 16. 设函数 （1）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． 【小问2详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可证，然后结合，利用线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的方法列出关于参数的方程，即可得解． 【小问1详解】 证明：在中，由余弦定理知，， 所以，即， 因为，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即， 取，则，，所以，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取，则，，所以，，， 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以， 整理得，，即， 解得或， 因为，所以， 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时． 18. 如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. （1）证明:平面； （2）求直线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）；在线段存在点使得平面，的值为 【解析】 【分析】（1）由题意可知为正三角形，则，又，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可；假设在线段上存在点，使得平面，令，利用求出，进而求出即可. 小问1详解】 由，知为正三角形， 又为的中点，则. 又为的中点，则， 而，所以， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知为正三角形，则， 在中，，有，所以， 易知，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 假设在线段上存在点，使得平面，令， 则，所以， 由平面，得，所以， 解得，所以，即的值为. 19. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，将沿BD折起到的位置，使． （1）求证：平面平面ABD； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据二面角的定义或通过证明平面来证得平面平面． （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 如图，取中点，连接OA，OP． 因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，所以、是边长为2的正三角形， 因为O是BD中点，所以， 因为，所以，同理可得，因为， 所以，则，由二面角定义可得平面平面ABD． 或：又因为，平面ABD，平面， 所以平面，因为，所以平面平面． 【小问2详解】 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面PAD的一个法向量为， 由得， 令得，则， 设直线AB与平面PAD所成角为， 则． 所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$