第14讲 用一元一次方程解决问题（2考点12大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第14讲 用一元一次方程解决问题 课程标准 学习目标 1 引导学生学会分析实际问题中的数量关系，将其转化为一元一次方程。 2 培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力，包括设未知数、列方程、解方程、检验答案等步骤。 3 让学生体会方程思想在解决实际问题中的重要性，感受数学与生活的紧密联系。 1. 掌握用一元一次方程解决问题的基本方法和步骤。 2. 能够准确找出实际问题中的等量关系，建立一元一次方程模型并求解。 3. 培养学生解决实际问题的兴趣和信心，提高应用数学的意识。 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 知识点二、常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 题型01 比例分配问题 1．甲、乙、丙三位同学向灾区捐款．已知他们捐款金额之比为7：5：8，且共捐款200元，则甲同学所捐款金额为 　　元． 2．甲、乙两瓶中分别有水4升和10升，现要从这两瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，使三个瓶中水量的比为3：2：1，那么乙瓶需倒出水 　　升． 3．超市原有某品牌纯牛奶和酸牛奶共80箱，其数量之比为9：7，现新进一批纯牛奶和酸牛奶，箱数之比为2：5，将新进牛奶分别放置于超市A，B两个空置区域（A区域放纯牛奶，B区域放酸牛奶），在搬运过程中工作人员不小心将2箱酸牛奶放到了A区域，结果导致A，B两区域的牛奶箱数之比为3：7，求目前超市中纯牛奶、酸牛奶各有多少箱． 4．甲、乙两个瓶子里共有药片260片，如果将甲瓶药片的装入乙瓶里，那么这时两瓶里药片的片数之比为7：6．原来两个瓶子里分别有多少片药片？ 题型02 配套问题 1．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配x名工人生产螺母，由题意可知下面所列的方程正确的是（　　） A．2×1200x＝2000（22﹣x） B．2×1200（22﹣x）＝2000x C．2×2000x＝1200（22﹣x） D．2×2000（22﹣x）＝1200x 2．机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 3．某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 题型03 调配问题 1．在甲处工作的有132人，在乙处工作的有108人，如要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则下列方程中正确的是（　　） A．132+x（108﹣x） B．（132﹣x）＝108﹣x C．132+x＝108﹣x D．（132+x）＝108﹣x 2．在植树节活动中，A班有30人，B班有21人，现从B班调一部分人去A班，使A班人数为B班人数的2倍，那么应从B班调出 　　人． 3．受连日暴雨影响，某地甲、乙两个村庄突发泥石流灾害，急需从市中心东、西两个储备仓库调运救灾物资，已知两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨，从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨． （1）若从东仓库运往A村10吨，则从西仓库运往B村的物资为 　　吨； （2）设从东仓库调运x吨救灾物资去A村，完成表格中的填空； 运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨 东仓库 x 　　 西仓库 　　 　　 （3）调运结束后结算时发现，支付给东、西两个仓库的运费相差220元．求从东仓库运往A村物资是多少吨？ 题型04 环形跑道问题 1．运动场环形跑道周长400米，小林跑步的速度是爷爷的二倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小林第一次与爷爷相遇，小林跑步的速度是（　　）米/分． A．120 B．160 C．180 D．200 2．已知甲沿周长为300米的环形跑道按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3米/秒． （1）若a＝1，求甲、乙两人第一次相遇所用的时间； （2）若a＞3，甲、乙两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值． 3．学校运动场环形跑道周长400m，李老师的跑步速度是小明的，他们从同一起点沿跑道的同一方向出发，5分钟后小明第一次与李老师相遇．求： （1）小明和李老师跑步的速度各是多少？ （2）如果李老师与小明第一次相遇后立即转身沿相反方向跑，那么再过几分钟后小明第二次与李老师相遇？ 题型05 航行问题 1．某轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C．5 D．5 2．轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是　　千米/时． 3．甲、乙两船分别从A，B码头同时出发相向而行，两船在静水中的速度都是a km/h，水流速度是b km/h．已知甲船从A码头到B码头顺流而行，用了2h；乙船从B码头到A码头逆流而行，用了2.5小时． （1）A，B两码头相距 　 　km；（用含有a，b的式子表示） （2）1.5h后甲船比乙船多航行多少千米？（用含有b的式子表示） （3）若两船相距50km，且b＝5时，甲船行驶的时间是多少小时？ 题型06 火车过桥问题 1．已知某铁路桥长1500米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是60秒．则这列火车长为（　　） A．100m B．200m C．300m D．400m 2．一列匀速前进的火车，从它进入320m长的隧道到完全通过隧道经历了18s，隧道顶有一盏固定的灯，垂直向下发光，灯光在火车上照了10s，则这列火车的长为　 　m． 3．我县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上匀速通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长． 题型07 销售问题 1．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x﹣20＝0.6x+10．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 2．某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证获得20%利润率，则要打 　　折． 3．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，A商品按标价全部出售，B商品按标价先出售一部分后，余下的再按标价九折出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了150元，则B商品按标价售出多少件？ 题型08 银行利率问题 1．2016年，王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是2.75%，若到期后取出，得到本息和（本金+利息）为33852元．若设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（　　） A．x+3×2.75%x＝33825 B．x×2.75%+＝33825 C．3×2.75%x＝33825 D．3（x+2.75%x）＝33825 2．李先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，到期后取出得到本息和（本金+利息）共33825元，设王先生存入的本金为x元，则所列方程为　 　． 3．小明的爸爸于2021年1月1号在银行存入了2年期的定期储蓄1万元，2022年年底到期后，按如图所示的程序，小明爸爸取出的本息和（本金与利息的和）为1.05万元，该银行2年期定期储蓄的年利率是 　 　．（结果用百分数表示） 4．越来越多的人在用微信付款、转账，把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现，每个微信账户终身享有1000元的免费提现额度，当累计提现金额超过1000元时，超出的部分需支付0.1%的手续费，以后每次提现支付的手续费均为提现金额的0.1%． （1）小新使用微信至今，用自己的微信账户共提现两次，提现金额均为1500元，则小新这两次提现分别需支付手续费多少元？ （2）小管使用微信至今，用自己的微信账户共提现三次，若小管第三次提现金额恰好等于前两次提现金额的差，提现手续费如表，求小管第一次提现的金额． 第一次 第二次 第三次 手续费/元 0 1.8 1.2 题型09 比赛积分问题 1．篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队进行了6场比赛，得了14分，该队获胜的场数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以3：2逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 题型10 数字问题 1．小王编了一道数学谜题：4×2□﹣23＝□3，若等号左、右两边的“□”内表示同一个数字，若设这个数字为x，则所列方程是（　　） A．4×2x﹣23＝10x+3 B．4（2+x）﹣23＝10x+3 C．4（20+x）﹣23＝3x D．4（20+x）﹣23＝10x+3 2．一个两位数，个位上的数字为3，交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，则这个两位数是 　　． 3．一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两位数是 　　． 题型11 规律问题 1．如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（　　） A．1002 B．1004 C．1006 D．1008 2．有一列数，按一定规律排列成﹣1，3，﹣9，27，﹣81，⋯．其中某三个相邻数的和是﹣567，这三个数中的第一个数是 　　． 3．将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵： （1）如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？ （2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由； （3）十字框中五个数的和能等于295吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 题型12 分段计费问题 1．九江市城区的出租车收费标准如下：2公里内起步价为7元，超过2公里以后按每公里1.4元计价．若某人坐出租车行驶x公里，应付给司机21元，则x＝　　． 2．大润发和贵城两家超市相同商品的标价相同，在2022新年即将到来之际，两大超市分别推出如下促销活动： 大润发超市：全场均按八五折优惠； 贵城超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打八八折；超过500元时，其中的500元优惠12%，超过500元的部分打八折； （1）当购物总额是多少时，大润发、贵城两家超市实际付款相同？ （2）某顾客在贵城超市购物实际付款490元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由． 3．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含10人）没有优惠：团购：超过10人，其中10人按原价售票，超出部分每张票打八折． （1）若有8名学生乘客买票，则总票款为 　　元； （2）若20名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 　　元； （3）一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 4．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过40立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按3.5元/立方米计费．设每户家庭月用水量为x立方米． （1）当x不超过40时，应收水费为 　　（用x的代数式表示）；当x超过40时，应收水费为 　　（用x的代数式表示化简后的结果）； （2）小明家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费？ （3）小明家六月份交水费150元，请帮小明计算一下他家这个月用水量多少立方米？ 1．已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有x人，则（　　） A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72 2．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（　　） A．5x﹣45＝7x+3 B．5x+45＝7x﹣3 C．5x﹣45＝7x﹣3 D．5x+45＝7x+3 3．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 4．如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（　　） A．m B． C． D． 5．如图，沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以63米/分的速度，乙从B以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（　　） A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D 6．在数轴上，点A、点B表示的数分别是﹣8，16．点P以2个单位/秒的速度从A出发沿数轴向右运动，同时点Q以3个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B、A之间往返运动．当点P到达点B时，点Q表示的数是 　 　． 7．如下表，乐乐将﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，9分别填入九宫格内．使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a、b、c、d分别标上其中的一个数，则a﹣b+c﹣d的值为　 　． a 9 ﹣5 ﹣3 1 b d c 3 8．一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180只，有的狗错认为自己是猫；有的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有认为自己是猫，那么狗有 　 　只． 9．如图所示“L”形图形的面积为9cm2，如果b＝4cm，那么a＝　 　cm． 10．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港原路返回A港少用1小时，若船自身速度为20千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 　 　千米． 11．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0． （1）求出a，b的值； （2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①运动t秒（t＞0）时电子蚂蚁P表示的数是 　 　，Q表示的数是 　 　（用含t的式子表示）； ②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ 4 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 12．为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m m﹣2 售价（元/本） 20 13 （1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ （2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ （3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？ 13．现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物． （1）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？ （2）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？ 14．4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，如图是两个孩子与记者的对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 15．为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为： 购买服装的套数 1套至50套 51套至90套 91套及以上 每套服装的价格 50元 40元 30元 （1）甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款 　 　元； （2）如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出？ （3）如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 用一元一次方程解决问题 课程标准 学习目标 1 引导学生学会分析实际问题中的数量关系，将其转化为一元一次方程。 2 培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力，包括设未知数、列方程、解方程、检验答案等步骤。 3 让学生体会方程思想在解决实际问题中的重要性，感受数学与生活的紧密联系。 1. 掌握用一元一次方程解决问题的基本方法和步骤。 2. 能够准确找出实际问题中的等量关系，建立一元一次方程模型并求解。 3. 培养学生解决实际问题的兴趣和信心，提高应用数学的意识。 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 知识点二、常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 题型01 比例分配问题 1．甲、乙、丙三位同学向灾区捐款．已知他们捐款金额之比为7：5：8，且共捐款200元，则甲同学所捐款金额为 　　元． 【分析】设甲捐款7x元，则乙捐款5x元，丙捐款为8x元，根据他们共捐款200元列出方程，求解即可． 【解答】解：设甲捐款7x元，则乙捐款5x元，丙捐款为8x元， 根据题意得7x+5x+8x＝200， 解得x＝10， 所以甲捐款7x＝70元， 答：甲捐款70元． 故答案为：70． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2．甲、乙两瓶中分别有水4升和10升，现要从这两瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，使三个瓶中水量的比为3：2：1，那么乙瓶需倒出水 　　升． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出最后三个瓶中水的升数，再根据题意可以确定最少的为甲瓶中的水，然后分两种情况，列出相应的方程，再求解即可． 【解答】解：（10+4）÷（3+2+1） ＝14÷6 （升）， 则最后三个瓶中的水分别为：37（升），24（升），1（升）， ∵甲、乙两瓶中分别有水4升和10升，现要从这两瓶中各倒一些水到空的丙瓶中， ∴最后甲瓶中一定有水升，则乙瓶中有水7升或4升， 设乙瓶倒出水x升， 则10﹣x＝7或10﹣x＝4， 解得x＝3或x＝5， 即乙瓶需倒出水3升或5升， 故答案为：3升或5． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，注意要分类讨论，不要漏解． 3．超市原有某品牌纯牛奶和酸牛奶共80箱，其数量之比为9：7，现新进一批纯牛奶和酸牛奶，箱数之比为2：5，将新进牛奶分别放置于超市A，B两个空置区域（A区域放纯牛奶，B区域放酸牛奶），在搬运过程中工作人员不小心将2箱酸牛奶放到了A区域，结果导致A，B两区域的牛奶箱数之比为3：7，求目前超市中纯牛奶、酸牛奶各有多少箱． 【分析】根据题意，先求出原有某品牌纯牛奶45箱，酸牛奶35箱，由新进一批纯牛奶和酸牛奶，箱数之比为2：5，可设纯牛奶为2x，酸牛奶为5x，根据A、B两区域的牛奶箱数之比为3：7，列出方程（2x+2）：（5x﹣2）＝3：7，求出新进纯牛奶和酸牛奶各多少箱，再加上原来纯牛奶、酸牛奶的箱数解答即可． 【解答】解：原有某品牌纯牛奶8045（箱）， 酸牛奶8035（箱）， 设新进的纯牛奶为2x箱，酸牛奶为5x箱， 则根据题意可得：（2x+2）：（5x﹣2）＝3：7， 解得x＝20． 目前纯牛奶有20×2+45＝85（箱）， 目前酸牛奶有20×5+35＝135（箱）， 答：目前超市中纯牛奶有85箱，酸牛奶有135箱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 4．甲、乙两个瓶子里共有药片260片，如果将甲瓶药片的装入乙瓶里，那么这时两瓶里药片的片数之比为7：6．原来两个瓶子里分别有多少片药片？ 【分析】设原来甲瓶里有x片药片，则乙瓶里有（260﹣x）片药片，根据“如果将甲瓶药片的装入乙瓶里，那么这时两瓶里药片的片数之比为7：6”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即原来甲瓶里药片的数量），再将其代入（260﹣x）中，即可求出原来乙瓶里药片的数量． 【解答】解：设原来甲瓶里有x片药片，则乙瓶里有（260﹣x）片药片， 根据题意得：xx：260﹣xx＝7：6， 即6（xx）＝7（260﹣xx）， 解得：x＝160， ∴260﹣x＝260﹣160＝100． 答：原来甲瓶里有160片药片，乙瓶里有100片药片． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型02 配套问题 1．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配x名工人生产螺母，由题意可知下面所列的方程正确的是（　　） A．2×1200x＝2000（22﹣x） B．2×1200（22﹣x）＝2000x C．2×2000x＝1200（22﹣x） D．2×2000（22﹣x）＝1200x 【分析】题目已经设出分配x名工人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【解答】解：设分配x名工人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，由题意得 2000x＝2×1200（22﹣x），故B答案正确， 故选：B． 【点评】本题是一道列一元一次方程解的应用题，考查了列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． 2．机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 【分析】首先设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68﹣x）名工人加工小齿轮，再利用2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套得出方程求出答案． 【解答】解：设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68﹣x）名工人加工小齿轮，依题意有 3×16x＝2×10（68﹣x）， 解得x＝20， 68﹣x＝68﹣20＝48． 故需要安排20名工人加工大齿轮，需要安排48名工人加工小齿轮． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，进而得出等式是解题关键． 3．某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 【分析】设应分配x人生产甲种零件，则（60﹣x）人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个，可列方程求解． 【解答】解：设分配x人生产甲种零件，则共生产甲零件24x个和乙零件12（60﹣x）， 依题意得方程：， 解得x＝15， 60﹣15＝45（人）． 答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套． 【点评】本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解． 题型03 调配问题 1．在甲处工作的有132人，在乙处工作的有108人，如要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则下列方程中正确的是（　　） A．132+x（108﹣x） B．（132﹣x）＝108﹣x C．132+x＝108﹣x D．（132+x）＝108﹣x 【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：（甲处原来工作的人+调入的人数）＝乙处原来工作的人﹣调出的人数，根据此等量关系列方程即可． 【解答】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为132+x人，乙处现有的工作人数为108﹣x人． 根据“乙处工作的人数是甲处工作人数的 ，” 列方程得：（132+x）＝108﹣x， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象一元一次方程的知识，属于基础题，解决此类问题的关键是读懂题意找到等量关系，列方程求解． 2．在植树节活动中，A班有30人，B班有21人，现从B班调一部分人去A班，使A班人数为B班人数的2倍，那么应从B班调出 　　人． 【分析】根据变换后人数关系列式求解即可得到答案． 【解答】解：设应从B班调出x人，由题意可得， x+30＝2（21﹣x）， 解得：x＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 3．受连日暴雨影响，某地甲、乙两个村庄突发泥石流灾害，急需从市中心东、西两个储备仓库调运救灾物资，已知两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨，从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨． （1）若从东仓库运往A村10吨，则从西仓库运往B村的物资为 　　吨； （2）设从东仓库调运x吨救灾物资去A村，完成表格中的填空； 运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨 东仓库 x 　　 西仓库 　　 　　 （3）调运结束后结算时发现，支付给东、西两个仓库的运费相差220元．求从东仓库运往A村物资是多少吨？ 【分析】（1）根据配送过程中的数量关系，列出算式求解即可； （2）根据配送过程中的数量关系，列代数即可求解； （3）根据（2）中的数量关系列方程即可求解． 【解答】解：（1）若从东仓库运往A村10吨，两个储备仓库均有救灾物资15吨， ∴从东仓库运往B村15﹣10＝5吨， ∵B村需要12吨， ∴从西仓库运往B村12﹣5＝7吨； （2）∵从东仓调运x吨救灾物资去A村，两个储备仓库均有救灾物资15吨， ∴从东仓库运往B村（15﹣x）吨， ∵B村需要12吨， ∴从西仓库运往B村12﹣（15﹣x）＝（x﹣3）吨 ∵A村需要18吨， ∴从西仓库运往A村（18﹣x）吨， ∴填表如下， 运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨 东仓库 x 15﹣x 西仓库 18﹣x x﹣3 （3）由题意知：支付给东仓库的运费为：60x+20（15﹣x）＝40x+300， 支付给西仓库的运费为：40（18﹣x）+30（x﹣3）＝630﹣10x， 若40x+300﹣（630﹣10x）＝220，解得x＝11， 若630﹣10x﹣（40x+300）＝220，解得：x＝2.2＜3，不符合题意，应舍去． ∴x的值为11． ∴从东仓库运往A村物资是11吨． 【点评】本题主要考查列代数式，有理数运算的实际应用，一元一次方程在配送问题中的运用，理解题目中的数量关系是解题的关键． 题型04 环形跑道问题 1．运动场环形跑道周长400米，小林跑步的速度是爷爷的二倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小林第一次与爷爷相遇，小林跑步的速度是（　　）米/分． A．120 B．160 C．180 D．200 【分析】设爷爷的速度为x米/分钟，则小林的速度为2x米/分钟，根据二者速度之差×时间＝环形跑道的长度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 【解答】解：设爷爷的速度为x米/分钟，则小林的速度为2x米/分钟， 根据题意得：5×（2x﹣x）＝400， 解得：x＝80， ∴2x＝160． 答：爷爷的速度为80米/分钟，小林的速度为160米/分钟． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．已知甲沿周长为300米的环形跑道按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3米/秒． （1）若a＝1，求甲、乙两人第一次相遇所用的时间； （2）若a＞3，甲、乙两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值． 【分析】（1）根据乙的路程﹣甲的路程＝100，列出方程计算即可求解； （2）根据甲的路程﹣乙的路程＝300﹣100，列出方程计算即可求解． 【解答】解：（1）设甲、乙两人第一次相遇所用的时间为x秒，根据题意，得： 3x﹣x＝100， 解这个方程，得：x＝50． 答：设甲、乙两人第一次相遇所用的时间为50秒． （2）根据题意，得： 80a﹣80×3＝300﹣100， 解这个方程，得：a＝5.5． 答：a的值为5.5． 【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 3．学校运动场环形跑道周长400m，李老师的跑步速度是小明的，他们从同一起点沿跑道的同一方向出发，5分钟后小明第一次与李老师相遇．求： （1）小明和李老师跑步的速度各是多少？ （2）如果李老师与小明第一次相遇后立即转身沿相反方向跑，那么再过几分钟后小明第二次与李老师相遇？ 【分析】（1）设小明的跑步速度是xm/min，则李老师跑步的速度是xm/min，根据等量关系：小明跑步的路程﹣李老师跑步的路程＝400，把相关数值代入列出方程即可求解； （2）设y分钟后他们再次相遇，根据等量关系为：小明跑步的路程+李老师跑步的路程＝400，把相关数值代入列出方程即可求解． 【解答】解：（1）设小明的跑步速度是xm/min，则李老师跑步的速度是xm/min．则依题意，得 5xx×5＝400， 解得，x＝200 则x200＝120（m/min）． 答：小明和李老师跑步的速度各是200m/min、120m/min； （2）设y分钟后他们再次相遇．由题意得： 200y+120y＝400， 解得：y． 答：分钟后两人再次相遇． 【点评】考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键在于仔细审题，找到等量关系，有些题目的等量关系比较隐蔽，要注意耐心寻找． 题型05 航行问题 1．某轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C．5 D．5 【分析】由题意可得顺水的速度为（20+4）km/h，逆水中的速度为（20﹣4）km/h，然后根据“从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用5h”可得顺水行驶x千米的时间+逆水行驶x千米的时间＝5h，然后列出方程即可． 【解答】解：由题意得， 5， 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程． 2．轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是　　千米/时． 【分析】首先设船在静水中的速度是x千米/时，根据逆水时间×逆水速度＝顺水时间×顺水速度可得方程，再解方程即可． 【解答】解：设船在静水中的速度是x千米/时，由题意得： 3（x﹣3）＝2（x+3）， 解得：x＝15． 故答案为：15． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 3．甲、乙两船分别从A，B码头同时出发相向而行，两船在静水中的速度都是a km/h，水流速度是b km/h．已知甲船从A码头到B码头顺流而行，用了2h；乙船从B码头到A码头逆流而行，用了2.5小时． （1）A，B两码头相距 　 　km；（用含有a，b的式子表示） （2）1.5h后甲船比乙船多航行多少千米？（用含有b的式子表示） （3）若两船相距50km，且b＝5时，甲船行驶的时间是多少小时？ 【分析】（1）根据题意，可以用含a、b的代数式表示出甲船或乙船航行的路程，本题得以解决； （2）根据题意，可以用含a、b的代数式表示出甲船比乙船多航行的路程，即可求解； （3）分相遇前，相遇后两种情况求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得，A，B两码头相距2（a+b）km或2.5（a﹣b）km， 故答案为：2（a+b）或2.5（a﹣b）； （2）根据题意得，1.5（a+b）﹣1.5（a﹣b）＝3b， ∴1.5h后甲船比乙船多航行3b千米； （3）∵2（a+b）＝2.5（a﹣b）， ∴a＝9b， ∴b＝5时，a＝45， ∴甲船从A码头到B码头顺流而行的速度为45+5＝50（km/h）， 乙船从B码头到A码头逆流而行的速度为45﹣5＝40（km/h）， A，B两码头相距2×50＝100（km）， ①相遇前两船相距50km，由题意得： （100﹣50）÷（50+40）（小时）； 相遇后两船相距50km，由题意得： （100+50）÷（50+40）（小时）； 答：甲船行驶的时间是小时或小时． 【点评】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 题型06 火车过桥问题 1．已知某铁路桥长1500米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是60秒．则这列火车长为（　　） A．100m B．200m C．300m D．400m 【分析】设这列火车长为x米，由测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是60秒，列出方程，即可求解． 【解答】解：设这列火车长为x米， 由题意可得：， 解得：x＝300， ∴这列火车长300米， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 2．一列匀速前进的火车，从它进入320m长的隧道到完全通过隧道经历了18s，隧道顶有一盏固定的灯，垂直向下发光，灯光在火车上照了10s，则这列火车的长为　 　m． 【分析】设火车的速度是ym/s，根据灯光在火车上照了10s得到：汽车的长是10ym．从它进入320m长的隧道到完全通过隧道经历了18s即：18s内火车通过的距离是：320m加上火车的长． 【解答】解：设这列火车的速度是ym/s． 根据题意得：320+10y＝18y 解得：y＝40m， 得到：火车的长是：40×10＝400m． 【点评】正确确定火车的车长，隧道长，火车通过隧道的时间的关系是解决本题的关键． 3．我县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上匀速通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长． 【分析】设此列高铁的车长为x m，利用速度＝路程÷时间，结合该列高铁的速度不变，即可得出x的一元一次方程，解之即可求出此列高铁的车长，再将其代入中即可求出此列高铁的车速． 【解答】解：设此列高铁的车长为x m， 依题意得：， 解得：x＝200， ∴80． 答：此列高铁的车速为80m/s，车长为200m． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型07 销售问题 1．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x﹣20＝0.6x+10．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 【分析】设标价为x，根据商品的成本不变列出方程解答即可． 【解答】解：设标价为x， 则0.8x﹣20＝成本价，0.6x+10＝成本价， 所以小明同学列方程：0.8x﹣20＝0.6x+10的依据是商品的成本不变． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 2．某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证获得20%利润率，则要打 　　折． 【分析】设可打x折，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【解答】解：设可打x折， 由题意得， 解得x＝8， ∴为保证获得20%利润率，则要打八折． 故答案为：八． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握等量关系式“利润＝售价﹣成本，利润＝利润率×成本．”是解题的关键． 3．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，A商品按标价全部出售，B商品按标价先出售一部分后，余下的再按标价九折出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了150元，则B商品按标价售出多少件？ 【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，由购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同得：3x＝4（x﹣20），即可解得答案； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品（100﹣a）件，由所用资金为6900元得 80a+60（100﹣a）＝6900，解出a的值，即可列式求出答案； （3）设B商品按标价售出b件，根据总获利比全部按标价售出获利少了150元得：（60+15）×（1﹣0.9）（55﹣b）＝150，可解得答案． 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元， 由题意得：3x＝4（x﹣20）， 解得 x＝80， ∴80﹣20＝60（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品（100﹣a）件， 由题意得 80a+60（100﹣a）＝6900， 解得a＝45， ∴100﹣a＝100﹣45＝55， ∴80×25%×45+15×55＝1725（元）， 答：全部售完共可获利1725元； （3）设B商品按标价售出b件， 根据题意得：（60+15）×（1﹣0.9）（55﹣b）＝150， 解得 b＝35， 答：B商品按标价售出35件． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． 题型08 银行利率问题 1．2016年，王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是2.75%，若到期后取出，得到本息和（本金+利息）为33852元．若设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（　　） A．x+3×2.75%x＝33825 B．x×2.75%+＝33825 C．3×2.75%x＝33825 D．3（x+2.75%x）＝33825 【分析】根据“利息＝本金×利率×时间”（利率和时间应对应），代入数值，计算即可得出结论． 【解答】解：设王先生存入的本金为x元，根据题意得出： x+3×2.75%x＝33852； 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，计算的关键是根据利息、利率、时间和本金的关系，进行计算即可． 2．李先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，到期后取出得到本息和（本金+利息）共33825元，设王先生存入的本金为x元，则所列方程为　 　． 【分析】根据“利息＝本金×利率×时间”（利率和时间应对应），代入数值，计算即可得出结论． 【解答】解：设王先生存入的本金为x元，根据题意得出： x+3×4.25%x＝33825； 故答案为：x+3×4.25%x＝33825． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，计算的关键是根据利息、利率、时间和本金的关系，进行计算即可． 3．小明的爸爸于2021年1月1号在银行存入了2年期的定期储蓄1万元，2022年年底到期后，按如图所示的程序，小明爸爸取出的本息和（本金与利息的和）为1.05万元，该银行2年期定期储蓄的年利率是 　 　．（结果用百分数表示） 【分析】设银行2年期定期储蓄的年利率是x，根据本息和（本金与利息的和）为1.05万元列方程即可解得答案． 【解答】解：设银行2年期定期储蓄的年利率是x， 根据题意得：1×（1+2x）＝1.05， 解得x＝0.025＝2.5%， ∴银行2年期定期储蓄的年利率是2.5%； 故答案为：2.5%． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，掌握本金，利息，利率，期数的关系． 4．越来越多的人在用微信付款、转账，把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现，每个微信账户终身享有1000元的免费提现额度，当累计提现金额超过1000元时，超出的部分需支付0.1%的手续费，以后每次提现支付的手续费均为提现金额的0.1%． （1）小新使用微信至今，用自己的微信账户共提现两次，提现金额均为1500元，则小新这两次提现分别需支付手续费多少元？ （2）小管使用微信至今，用自己的微信账户共提现三次，若小管第三次提现金额恰好等于前两次提现金额的差，提现手续费如表，求小管第一次提现的金额． 第一次 第二次 第三次 手续费/元 0 1.8 1.2 【分析】（1）利用手续费＝（提现金额﹣1000）×0.1%，即可求出结果； （2）可设小管第一次提现的金额为x元，根据小周第三次提现金额恰好等于前两次提现金额的差，得到关于x的方程，解方程即可得出结果． 【解答】解：（1）（1500﹣1000）×0.1%＝0.5（元）， 1500×0.1%＝1.5（元）， 故小新这两次提现分别需支付手续费0.5元，1.5元； （2）设小管第一次提现的金额为x元，由题意得： 0.1%（x+x+1.2÷0.1%﹣1000）＝1.8， 解得：x＝800． 故小管第一次提现的金额为800元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，列出一元一次方程． 题型09 比赛积分问题 1．篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队进行了6场比赛，得了14分，该队获胜的场数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据得分＝3×获胜的场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场， 依题意得：3x+（6﹣x）＝14， 解得：x＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以3：2逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【分析】设九（1）班获胜x场，则平（11﹣x）场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设九（1）班获胜x场，则平（11﹣x）场， 根据题意得：3x+（11﹣x）＝25， 解得：x＝7． 答：九（1）班获胜7场． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型10 数字问题 1．小王编了一道数学谜题：4×2□﹣23＝□3，若等号左、右两边的“□”内表示同一个数字，若设这个数字为x，则所列方程是（　　） A．4×2x﹣23＝10x+3 B．4（2+x）﹣23＝10x+3 C．4（20+x）﹣23＝3x D．4（20+x）﹣23＝10x+3 【分析】设这个数字为x，根据题意列出方程4（20+x）﹣23＝10x+3即可求解． 【解答】解：设这个数字为x，依题意， 得4（20+x）﹣23＝10x+3， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 2．一个两位数，个位上的数字为3，交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，则这个两位数是 　　． 【分析】设十位上的数字为a，根据交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，列出一元一次方程，解之即可得结论． 【解答】解：设十位上的数字为a，则这个两位数是10a+3， 根据题意得：10a+3﹣（30+a）＝45， 解得：a＝8， ∴10a+3＝80+3＝83， 即这个两位数是83， 故答案为：83． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两位数是 　　． 【分析】设十位数字为x，个位数字为x+4，根据数字问题的数量关系建立方程组求出其解即可． 【解答】解：设十位数为x，个位数字为x+4，根据题意得： 10x+x+4＝3（x+x+4）+2， 解得：x＝2， 则这个两位数是26； 故答案为：26． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答时运用数字问题的数量关系建立方程是关键． 题型11 规律问题 1．如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（　　） A．1002 B．1004 C．1006 D．1008 【分析】设最左边数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+2，进而可得出三个数之和为3x﹣5，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数，即可得到答案． 【解答】解：设最左边数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+2， ∴三个数之和为x+x﹣7+x+2＝3x﹣5． 根据题意得：3x﹣5＝1002、3x﹣5＝1004、3x﹣5＝1006、3x﹣5＝1008， 解得：x＝335.7（舍去），x＝336.3（舍去），x＝337，x＝337.6（舍去）， ∴3×337﹣5＝1006． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．有一列数，按一定规律排列成﹣1，3，﹣9，27，﹣81，⋯．其中某三个相邻数的和是﹣567，这三个数中的第一个数是 　　． 【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x， 依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567， 解得：x＝﹣81． 故答案为：﹣81． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵： （1）如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？ （2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由； （3）十字框中五个数的和能等于295吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【分析】（1）将十字框中五个数相加，由85＝17×5，可得出十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍； （2）设框正中心的数是x，则另外四个数分别为x﹣12，x﹣2，x+2，x+12，将五个数相加，即可得出这五个数的和是框正中心的数的5倍； （3）假设十字框中五个数的和能等于295，由（2）的结论，可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合59在最右边一列，不能为框正中心的数，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵5+15+17+19+29＝85，85＝17×5， ∴十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍； （2）这五个数的和是框正中心的数的5倍，理由如下： 设框正中心的数是x，则另外四个数分别为x﹣12，x﹣2，x+2，x+12， ∴十字框中五个数的和是x﹣12+x﹣2+x+x+2+x+12＝5x， ∴这五个数的和是框正中心的数的5倍； （3）十字框中五个数的和不能等于295，理由如下： 假设十字框中五个数的和能等于295， 根据题意得：5x＝295， 解得：x＝59， 又∵59在最右边一列，不能为框正中心的数， ∴假设不成立，即十字框中五个数的和不能等于295． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，解题的关键是：（1）将十字框中五个数相加，求出十字框中五个数之和；（2）根据各数之间的关系，用框正中心的数表示出五个数之和；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型12 分段计费问题 1．九江市城区的出租车收费标准如下：2公里内起步价为7元，超过2公里以后按每公里1.4元计价．若某人坐出租车行驶x公里，应付给司机21元，则x＝　　． 【分析】车费＝起步价+超过2千米需出的钱，据此列出方程． 【解答】解：因为21＞7， 所以x＞2． 由题意知，7+1.4（x﹣2）＝21 解得x＝12． 故答案为：12． 【点评】此题考查一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 2．大润发和贵城两家超市相同商品的标价相同，在2022新年即将到来之际，两大超市分别推出如下促销活动： 大润发超市：全场均按八五折优惠； 贵城超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打八八折；超过500元时，其中的500元优惠12%，超过500元的部分打八折； （1）当购物总额是多少时，大润发、贵城两家超市实际付款相同？ （2）某顾客在贵城超市购物实际付款490元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由． 【分析】（1）设购物总额为x元时，大润发、贵城两家超市实际付款相同，根据两大超市的促销活动结合在两家超市实际付款相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）该顾客的选择不划算，设该顾客在贵城超市购物原标价为y元，根据贵城超市推出的促销活动结合实际付款490元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，利用在大润发超市购买实际付款金额＝购物的原标价×85%，即可求出在大润发超市购买实际付款金额，再将其与490元比较后即可得出该顾客的选择不划算． 【解答】解：（1）设购物总额为x元时，大润发、贵城两家超市实际付款相同， 依题意得：85%x＝500×（1﹣12%）+80%（x﹣500）， 解得：x＝800． 答：当购物总额是800元时，大润发、贵城两家超市实际付款相同． （2）该顾客的选择不划算，理由如下： 设该顾客在贵城超市购物原标价为y元， 依题意得：500×（1﹣12%）+80%（y﹣500）＝490， 解得：y＝562.5， 若在大润发超市购买实际付款金额为562.5×85%＝478.125（元）． ∵478.125＜490， ∴该顾客的选择不划算． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含10人）没有优惠：团购：超过10人，其中10人按原价售票，超出部分每张票打八折． （1）若有8名学生乘客买票，则总票款为 　　元； （2）若20名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 　　元； （3）一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【分析】（1）根据题目所给优惠方案进行计算即可； （2）根据题意所给优惠方案进行计算即可； （3）设车上有学生乘客x人，非学生乘客（50﹣x）人，然后根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 75×8×0.6＝360（元）， 故答案为：360； （2）由题意可得， 75×10+75×（20﹣10）×0.8＝1350（元）， 故答案为：1350． （3）设车上有学生乘客x人，非学生乘客（50﹣x）人， 当x＜40时，75x×0.6+75×10+75×（50﹣x﹣10）×0.8＝3000， 解得：x＝10， ∴50﹣x＝40； 当x≥40时，75x×0.6+75×（50﹣x）＝3000， 解得x＝25（不符合题意，舍去）， 答：车上有学生乘客10人，非学生乘客40人． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，列出相应的方程是解答本题的关键． 4．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过40立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按3.5元/立方米计费．设每户家庭月用水量为x立方米． （1）当x不超过40时，应收水费为 　　（用x的代数式表示）；当x超过40时，应收水费为 　　（用x的代数式表示化简后的结果）； （2）小明家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费？ （3）小明家六月份交水费150元，请帮小明计算一下他家这个月用水量多少立方米？ 【分析】（1）根据题意，可以写出当x不超过40和当x超过40时相应的水费； （2）根据题意，可以分别计算出四月份和五月份的水费，然后相加，即可解答本题； （3）根据小明家六月份交水费150元，可以列出相应的方程，然后即可求得小明家这个月用水量多少立方米． 【解答】解：（1）由题意可得， 当x不超过40时，应收水费为2x元， 当x超过40时，应收水费为：40×2+3.5（x﹣40）＝（3.5x﹣60）（元）， 故答案为：2x元，（3.5x﹣60）元； （2）由题意可得， 小明家四月份的水费为：26×2＝52（元），五月份的水费为3.5×52﹣60＝122（元）， ∵52+122＝174（元）， ∴小明家这两个月一共应交174元水费； （3）设小明家这个月用水量x立方米， ∵40×2＝80＜150， ∴3.5x﹣60＝150， 解得x＝60， 答：小明家这个月用水量60立方米． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 1．已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有x人，则（　　） A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72 【分析】男生人数+女生人数＝30．本题中，男生有x人．男生人数×3+女生人数×2＝72． 【解答】解：由题意可得：3x+2（30﹣x）＝72． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 2．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（　　） A．5x﹣45＝7x+3 B．5x+45＝7x﹣3 C．5x﹣45＝7x﹣3 D．5x+45＝7x+3 【分析】设买羊的人数为x人，则这头羊的价格是（7x+3）文或（5x+45）文，根据羊的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程． 【解答】解：设买羊的人数为x人， 根据题意，可列方程为5x+45＝7x+3， 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总的工作量，根据此列方程即可． 【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的． 根据等量关系列方程得：1， 故选：A． 【点评】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找． 4．如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（　　） A．m B． C． D． 【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可． 【解答】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n， 由图（1）得4x＝n， 由图（2）得2x+y＝m，y＝3x， ∴5x＝m， ∴， 图（1）中阴影部分的周长为：， 图（2）中阴影部分的周长为：， ∴阴影部分的周长之差为：． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键． 5．如图，沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以63米/分的速度，乙从B以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（　　） A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D 【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上90×3，根据其相等关系列方程得72x＝63x+90×3，再根据72x＝7×360+4×90可得出答案． 【解答】解：设乙第一次追上甲用了x分钟， 由题意得：72x＝63x+90×3， 解得：x＝30， 而72×30＝7×360+4×90． 所以乙第一次追上甲时是在正方形的顶点B处． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 6．在数轴上，点A、点B表示的数分别是﹣8，16．点P以2个单位/秒的速度从A出发沿数轴向右运动，同时点Q以3个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B、A之间往返运动．当点P到达点B时，点Q表示的数是 　4　． 【分析】先求出点P到达点B所用时间，从而可知Q运动的路程，即可得到Q表示的数． 【解答】解：∵点A，点B表示的数分别是﹣8，16， ∴AB＝16﹣（﹣8）＝24， ∴点P到达点B所用时间是24÷2＝12（秒）， ∴Q所运动的路程为12×3＝36， ∴Q运动到A后，又返回了36﹣24＝12个单位， ∴Q表示的数是﹣8+12＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查数轴上点表示的数，计算出Q运动的路程是解题的关键． 7．如下表，乐乐将﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，9分别填入九宫格内．使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a、b、c、d分别标上其中的一个数，则a﹣b+c﹣d的值为　﹣20　． a 9 ﹣5 ﹣3 1 b d c 3 【分析】根据三个数的和相等依次列式计算求出a、b、c、d，再代入代数式中即可求解． 【解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴a﹣3+d＝d+1﹣5， 解得，a＝﹣1， ∴3+b﹣5＝﹣1+9﹣5， 解得，b＝5， 又c+1+9＝﹣1+9﹣5， ∴c＝﹣7， 又d+1﹣5＝﹣1+9﹣5， 解得，d＝7， ∴a﹣b+c﹣d＝﹣1﹣5+（﹣7）﹣7＝﹣1﹣5﹣7﹣7＝﹣20， 故答案为：﹣20． 【点评】本题考查了正数和负数，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 8．一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180只，有的狗错认为自己是猫；有的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有认为自己是猫，那么狗有 　240　只． 【分析】设狗有x只，则猫有（x﹣180）只，根据有的狗错认为自己是猫；有的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有认为自己是猫，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设狗有x只，则猫有（x﹣180）只， 由题意得：（x+x﹣180）x+（1）（x﹣180）， 解得：x＝240， 即狗有240只， 故答案为：240． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．如图所示“L”形图形的面积为9cm2，如果b＝4cm，那么a＝　5　cm． 【分析】根据题意，可列方程a2﹣b2＝9，将b＝4代入方程计算出a值即可． 【解答】解：根据题意可得：a2﹣b2＝9， ∵b＝4， ∴a2﹣42＝9， 解得：a2＝25， ∴a＝5或﹣5（舍去）． 故答案为：5． 【点评】本题考查了根据平方差公式列方程，熟练掌握平方差公式是关键． 10．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港原路返回A港少用1小时，若船自身速度为20千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 　99　千米． 【分析】设A港和B港相距x千米，根据题意可得顺流航行的速度为22千米/时，逆流航行的速度为18千米/时，再根据时间＝路程÷速度列出方程求解即可． 【解答】解：设A港和B港相距x千米， 由题意得，， 解得x＝99， ∴A港和B港相距99千米， 故答案为：99． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式． 11．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0． （1）求出a，b的值； （2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①运动t秒（t＞0）时电子蚂蚁P表示的数是 　﹣10+3t　，Q表示的数是 　90﹣2t　（用含t的式子表示）； ②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ③经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 【分析】（1）根据题意可得a＝﹣10，根据a+b＝80可得b的值，本题得以解决； （2）①根据题意及点A和B表示的数即可求解；②根据题意可列方程﹣10+3t＝90﹣2t，求解得到t的值，即可求得C点坐标；③分为相遇前和相遇后两种情况讨论列方程求解． 【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0， ∴a＝﹣10，b＝90， 即a的值是﹣10，b的值是90； （2）①运动t秒（t＞0）时电子蚂蚁P表示的数是﹣10+3t，Q表示的数是90﹣2t， 故答案为：﹣10+3t，90﹣2t； ②由题意可得，相遇时P和Q两点表示的数字相同， ∴﹣10+3t＝90﹣2t， 解得：t＝20， 点C对应的数是：﹣10+3t＝﹣10+3×20＝50， 即点C对应的数为：50； ③设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， 3m+2m+20＝90﹣（﹣10）， 解得m＝16； 设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， 3n+2n﹣20＝90﹣（﹣10）， 解得n＝24； 由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度． 【点评】本题考查数轴，一元一次方程的应用，列代数式，绝对值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． 12．为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m m﹣2 售价（元/本） 20 13 （1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ （2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ （3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？ 【分析】（1）根据购买400本甲和300本乙共需要6400元列方程，解方程即可求解； （2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本，由全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲书刊打了a折，分别求解800本书的进价和售价，根据800本书的利润列方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意得400m+300（m﹣2）＝6400， 解得m＝10， ∴m﹣2＝10﹣2＝8（元）， 答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元； （2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本， 由题意得（20﹣10）x+（13﹣8）（800﹣x）＝5750， 解得x＝350， ∴800﹣x＝800﹣350＝450（本）， 答：甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本； （3）设甲书刊打了a折， 800本书的进价为（350×10+450×8）×（1﹣10%）＝6390（元）， 800本书的售价为350×20450×13＝700a+5850， 800本书的利润为700a+5850﹣6390＝5750+10， 解得a＝9， 答：甲书刊打了9折． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 13．现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物． （1）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？ （2）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？ 【分析】（1）根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，得出等式进而求出即可，然后可得出怎样购买合算； （2）首先假设进价为y元，则可得出（300+3500×0.8）﹣y＝25%y进而求出即可． 【解答】解：（1）设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等． 根据题意，得300+0.8x＝x， 解得x＝1500， 所以，顾客购买1500元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等； ∴小张买卡合算， ∴3500﹣（300+3500×0.8）＝400（元）， 所以，小张能节省400元钱； （2）设进价为y元，根据题意，得， （300+3500×0.8）﹣y＝25%y， 解得：y＝2480， 答：这台冰箱的进价是2480元． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． 14．4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，如图是两个孩子与记者的对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【分析】根据“两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄”列方程求解． 【解答】解：设妹妹的年龄为x岁，则哥哥的年龄为（16﹣x）岁， 则：3（x+2）+（16﹣x+2）＝34+2， 解得：x＝6， ∴16﹣x＝10． 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【点评】本题考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系是解题的关键． 15．为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为： 购买服装的套数 1套至50套 51套至90套 91套及以上 每套服装的价格 50元 40元 30元 （1）甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款 　2760　元； （2）如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出？ （3）如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案． 【分析】（1）甲、乙两个班级合起来统一购买，总套数超过91套，则每件30元，即可求得30×92＝2760（元），于是得到问题的答案； （2）设甲班有x名学生准备参加演出，共需要[40x+50（92﹣x）]元，可列方程40x+50（92﹣x）＝4080，解方程求出x的值及代数式92﹣x的值即可； （3）有三种方案，一是两班级单独购买，二是两班联合按准备参加演出的学生数购买，三是两班联合购买91套服装，计算出按每种方案购买分别需要多少钱，再比较三个计算结果的大小，即可得到题意的答案． 【解答】解：（1）30×92＝2760（元）， ∴甲、乙两个班级合起来统一购买服装共需付款2760元， 故答案为：2760． （2）设甲班有x名学生准备参加演出， ∵甲、乙两个班级共92人，其中甲班51人以上，不足55人， ∴乙班少于50人， 根据题意得40x+50（92﹣x）＝4080， 解得x＝52， ∴92﹣52＝40（名）， 答：甲、乙两个班级分别有52名学生和40名学生准备参加演出． （3）甲班准备参加演出的学生： 若单独购买，需要的钱数为：50×（52﹣8）+50×40＝4200（元）； 若两班联合按准备参加演出的学生数购买，需要的钱数为：40×（92﹣8）＝3360（元）； 若两班联合购买91套服装，需要的钱数为：30×91＝2730（元）， ∵2730元＜3360元＜4200元， ∴甲、乙两班联合购买91套演出服装最省钱． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示甲、乙两班单独购买时所需要的总钱数及两班联合购买时所需要的总钱数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$