期中复习（易错题50题22个考点）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期中复习（易错题50题22个考点） 范围：第1章-第3章 一．不等式的性质（共1小题） 1．若m＞n，则下列不等式中成立的是（　　） A．m+a＜n+b B．ma＜nb C．ma2＞na2 D．a﹣m＜a﹣n 二．解一元一次不等式（共2小题） 2．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 3．若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是　 　． 三．一元一次不等式的应用（共2小题） 4．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）． （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 5． 某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数． 四．解一元一次不等式组（共2小题） 6．若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2 7．不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a＞1 五．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 8．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 六．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 9．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 七．一元一次不等式组的应用（共2小题） 10．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[﹣3.6]＝﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　） A．[x]＝x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1 C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]＝n+[x]（n为整数） 11．好街坊橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压锅的利润的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 八．三角形的角平分线、中线和高（共3小题） 12．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（　　） A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线 13．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 14．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　cm． 九．三角形的面积（共1小题） 15．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 一十．三角形内角和定理（共2小题） 16．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 17．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　 　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　 　． 一十一．三角形的外角性质（共3小题） 18．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 19．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 20．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°． 一十二．全等图形（共1小题） 21．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　 　． 一十三．全等三角形的判定（共2小题） 22．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　 　时，能够使△BPE与△CQP全等． 23．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 　 　． 一十四．全等三角形的判定与性质（共3小题） 24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　） A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④ 25．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，若线段AE＝3，则四边形ABCD的面积是　 　． 26．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 一十五．角平分线的性质（共2小题） 27．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 28．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A． 四处 B．三处 C．两处 D．一处 一十六．线段垂直平分线的性质（共3小题） 29．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　 　． 30．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　． 31．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明． 一十七．等腰三角形的性质（共2小题） 32．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　） A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50° 33．如图，一钢架中，∠A＝15°，焊上等长的钢条来加固钢架．若A P1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（　　）条． A．4 B．5 C．6 D．7 一十八．等腰三角形的判定（共1小题） 34．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 一十九．勾股定理（共9小题） 35．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 36．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 38．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　 　． 39．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　 　，OPn＝　 　（n为自然数，且n＞0） 40．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要　 　米的地毯． 41．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　 　． 42．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为　 　厘米/秒． 43．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 二十．勾股定理的证明（共2小题） 44．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 45．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（　　） A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34 二十一．作图-轴对称变换（共1小题） 46．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出　 　个不同的格点三角形与△ABC成轴对称． 二十二．轴对称-最短路线问题（共4小题） 47．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 48．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 49．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 50．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝　 　时，四边形APQE的周长最小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题50题22个考点） 范围：第1章-第3章 一．不等式的性质（共1小题） 1．若m＞n，则下列不等式中成立的是（　　） A．m+a＜n+b B．ma＜nb C．ma2＞na2 D．a﹣m＜a﹣n 【答案】D 【解答】解：A、不等式两边加的数不同，错误； B、不等式两边乘的数不同，错误； C、当a＝0时，错误； D、不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，都加a，不等号的方向不变，正确； 故选：D． 二．解一元一次不等式（共2小题） 2．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 【答案】D 【解答】解：由mx+n＞0的解集为x＜，不等号方向改变， ∴m＜0且﹣＝， ∴＝﹣＜0， ∵m＜0． ∴n＞0； 由nx﹣m＜0得x＜＝﹣3， 所以x＜﹣3； 故选：D． 3．若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是　k＞3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 由①×2﹣②×3，并解得 y＝；③ 由①×3+②×2，得 13x＝3k+1，解得 x＝；④ 把③④代入4x+7y＞2，得 4×+7×＞2， 不等式的两边同时除以2，得 2×+7×＞1， 不等式是两边同时乘以13，得 2×（3k+1）+7×（k﹣4）＞13， 去括号，得 13k﹣26＞13， 移项，得 13k＞39， 不等式的两边同时除以13，得 k＞3； 故答案为：k＞3． 或①×2﹣②得到：4x+7y＝2k＝4， 由题意2k﹣4＞2， ∴k＞3． 三．一元一次不等式的应用（共2小题） 4．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）． （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得： ， 解得：， ∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元． （2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株， ∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍， ∴31﹣m＜2m， 解得：m＞， ∵m是正整数， ∴m最小值＝11， 设购买树苗总费用为W＝20m+5（31﹣m）＝15m+155， ∵k＞0， ∴W随m的增大而增大， 当m＝11时，W最小值＝15×11+155＝320（元）． 答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元． 5．某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设有宿舍x间．住宿生人数 4x+21人． 由题意得 4x+21＜55， ∴x＜8.5 1≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7 解得 7＜x≤9． ∴7＜x＜8.5． 因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是8间． 当宿舍8间时，住宿生53人， 答：住宿生53人． 四．解一元一次不等式组（共2小题） 6．若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2 【答案】A 【解答】解：因为不等式组有解， 由同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，如图 当k≥2时，无解， 当1＜k＜2时，有解， 当k≤1时，有解， ∴若不等式组有解，则k＜2． 故选：A． 7．不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a＞1 【答案】C 【解答】解：， ∵解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＞a+1， 又∵不等式组的解集是x＞2， ∴a+1≤2， ∴a≤1． 故选：C． 五．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 8．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B． 六．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 9．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 【答案】C 【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1）， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵， ∴可列不等式组为：， 即． 故选：C． 七．一元一次不等式组的应用（共2小题） 10．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[﹣3.6]＝﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　） A．[x]＝x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1 C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]＝n+[x]（n为整数） 【答案】C 【解答】解：A、∵[x]为不超过x的最大整数， ∴当x是整数时，[x]＝x，成立； B、∵[x]为不超过x的最大整数， ∴0≤x﹣[x]＜1，成立； C、例如，[﹣5.4﹣3.2]＝[﹣8.6]＝﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]＝﹣6+（﹣4）＝﹣10， ∵﹣9＞﹣10， ∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]， ∴[x+y]≤[x]+[y]不成立， D、[n+x]＝n+[x]（n为整数），成立； 故选：C． 11．好街坊橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压锅的利润的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台， 根据题意得：， 解得：， ∴18×（250﹣200）+12×（200﹣160）＝1380（元）． 答：橱具店在该买卖中赚了1380元． （2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台， 根据题意得：， 解得：18≤a≤21． 又∵a为正整数， ∴a可取19，20，21． 故有三种方案：①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台． （3）设橱具店赚钱数额为w元， w＝（250﹣200）a+（50﹣a）（200﹣160）＝10a+2000， ∵10＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当x＝21时，w有最大值， 即购进电饭煲21台、电压锅29台时，橱具店赚钱最多． 八．三角形的角平分线、中线和高（共3小题） 12．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（　　） A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线 【答案】D 【解答】解： （1） 三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定； （2） 三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得： 三角形面积为梯形面积的； （3） 三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定； （4） 三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为•CD•AE； 因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD＝CD， 所以△ABD的面积等于△ACD的面积． ∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 故选：D． 13．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 14．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　10　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线， ∴CE＝BE， 又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm， ∴AC﹣AB＝2cm， 即AC﹣8＝2cm， ∴AC＝10cm， 故答案为：10； 九．三角形的面积（共1小题） 15．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：C点所有的情况如图所示： 故选：D． 一十．三角形内角和定理（共2小题） 16．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝60°， ∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°， ∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF， ∴∠AED+∠AFD＝2（∠AEF+∠AFE）＝2×120°＝240°， ∴∠1+∠2＝180°×2﹣240°＝360°﹣240°＝120°． 故选：C． 17．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　17.5°　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B， ∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°； 同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝． 故答案为：17.5°，． 一十一．三角形的外角性质（共3小题） 18．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠1） ＝90°+∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 19．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°； ②如图2，当∠ACD＝90°时， ∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°， 综上，∠BCD的度数为60°或10°， 故选：D． 20．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 一十二．全等图形（共1小题） 21．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　45°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE， ∴∠1＝∠DBE， 又∵∠DBE+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°． ∵∠2＝45°， ∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45°． 一十三．全等三角形的判定（共2小题） 22．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　3厘米/秒或厘米/秒　时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t， ∵∠B＝∠C， ∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等， 此时，5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒； ②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等， 此时，3t＝8﹣3t， 解得t＝， ∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒； 故答案为：3厘米/秒或厘米/秒． 23．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． 故答案为：． 一十四．全等三角形的判定与性质（共3小题） 24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　） A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确； ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE，故④是正确的， 综上所述：其中正确的有①③④． 故选：D． 25．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，若线段AE＝3，则四边形ABCD的面积是　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图， ∵AE⊥BC，AF⊥CF， ∴∠AEC＝∠CFA＝90°， 而∠C＝90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴∠2+∠3＝90°， 又∵∠BAD＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△ABE和△ADF中， ∵， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF＝3，S△ABE＝S△ADF， ∴四边形AECF是边长为3的正方形， ∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝32＝9． 故答案为：9． 26．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC， 在△OBD和△OCD中， ， ∴△OBD≌△OCD（SAS）， ∴OB＝OC， 又∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， 又∵∠BAC＝120°， ∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°； （2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示： ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠HAO＝∠CAD＝60°， 又∵OH⊥BP， ∴∠OHA＝90°， ∴∠HOA＝30°， ∴AO＝2AH， 又∵BO＝PO，OH⊥BP， ∴BH＝PH， 又∵HP＝AP+AH， ∴BH＝AP+AH， 又∵AB＝BH+AH， ∴AB＝AP+2AH， 又∵AB＝AC，AO＝2AH， ∴AC＝AP+AO． 一十五．角平分线的性质（共2小题） 27．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示： ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°， ∠ADB+∠A+∠ABD＝180° ∠ADB＝∠C，∠A＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是∠ABC的角平分线， 又∵AD⊥AB，DH⊥BC， ∴AD＝DH， 又∵AD＝3， ∴DH＝3， 又∴点D是直线BC外一点， ∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3， 即DP长的最小值为3． 故选：C． 28．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【答案】A 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：A． 一十六．线段垂直平分线的性质（共3小题） 29．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　10　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G， ∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC， ∵CF⊥EF，CG⊥EG， ∴CF＝CG， 在Rt△AEF和Rt△BEG中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL）， ∴AF＝BG， 设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x， ∴12﹣x＝8+x， 解得x＝2， ∴AF＝12﹣2＝10． 故答案为：10． 30．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　10°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠B＝40°，∠C＝45°， ∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°， ∴∠BAD+∠CAE＝85°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°， 故答案为：10° 31．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∴点A、D都在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）， 证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠EAD＝30°， ∴DE＝AD， ∵∠EAD＝30°，DE⊥AB， ∴∠DEO＝30°， ∴OD＝DE， ∴DO＝AD． 一十七．等腰三角形的性质（共2小题） 32．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　） A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50° 【答案】A 【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°， ①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°， ②当这个角80°是顶角， 设等腰三角形的底角是x°， 则2x+80°＝180°， 解可得，x＝50°， 即该等腰三角形的底角的度数是50°； 故选：A． 33．如图，一钢架中，∠A＝15°，焊上等长的钢条来加固钢架．若A P1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（　　）条． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：如图： ∵∠A＝∠P1P2A＝15° ∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30° ∴∠P1P2P3＝120° ∴∠P3P2P4＝45° ∴∠P3P4P2＝45° ∴∠P2P3P4＝90° ∴∠P4P3P5＝60° ∴∠P3P5P4＝60° ∴∠P3P4P5＝60° ∴∠P5P4P6＝75° ∴∠P4P6P5＝75° ∴∠P4P5P6＝30° ∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故应选B． 一十八．等腰三角形的判定（共1小题） 34．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个， 当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个； ∴这样的顶点C有8个． 故选：A． 一十九．勾股定理（共9小题） 35．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 【答案】D 【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积． 即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积． ∵G的面积是62＝36cm2， ∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2． 故选：D． 36．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 【答案】C 【解答】解：（1） △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5 ∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84； （2） △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5 ∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24． 故选：C． 37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N， 由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG， ∴∠BCP＝45°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB， 又∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴PM＝PN， ∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7， ∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3， ∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3， ∴AC：BC＝2：， ∴＝＝＝， 即S△ACP：S△BCP等于2：． 故选：A． 38．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　12　． 【答案】12． 【解答】解：如图，延长BE交AD于点F， ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠BCE， ∵∠FED＝∠BEC， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13， 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12． 故答案为：12． 39．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　　，OPn＝　　（n为自然数，且n＞0） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得，OP1＝； OP2＝； OP3＝， … 则OP2018＝，OPn＝， 故答案为：；． 40．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要　7　米的地毯． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据勾股定理，另一直角边＝＝3， ∴3+4＝7， 故应填7． 41．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　169　． 【答案】169． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得， BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝169； 故答案为：169． 42．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为　2或3　厘米/秒． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN， ∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1， ∴点N运动的速度为2厘米/秒． ②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM， ∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米， ∴点N的速度为：＝3厘米/秒． 故点N的速度为2或3厘米/秒． 故答案为：2或3． 43．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，理由见解答； （4）30． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c． ∴S2＝π2＝，S3＝π（）2＝，S1＝π（）2＝， ∵+＝， ∴S1+S2＝S3； （4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． ∴阴影部分的面积＝直角三角形面积 ∴阴影部分的面积＝5×12÷2＝30． 二十．勾股定理的证明（共2小题） 44．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵S正方形ABCD＝21， ∴AB2＝21， 设DH＝x， 则AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝21， ∴x2＝， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： S梯形NGFM＝（NG+FM）•FG ＝（EM+MF）•FG ＝FE•FG ＝×（2x）2 ＝2x2 ＝． 故选：B． 45．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（　　） A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34 【答案】B 【解答】解：根据题意得： 小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45， 9﹣45＝﹣36． 故选：B． 二十一．作图-轴对称变换（共1小题） 46．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出　5　个不同的格点三角形与△ABC成轴对称． 【答案】答案请看解析过程． 【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示， 在图中最多能画出5个不同的格点三角形与△ABC成轴对称． 最后一个图的三角形BNC和三角形ANC都与三角形ABC成轴对称， 故答案为：5． 二十二．轴对称-最短路线问题（共4小题） 47．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°， 故选：B． 48．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图， 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∴∠AE′F′＝65°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， ∵AG＝AG， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， ∴∠E′B′G＝∠E′BG， ∵∠BAC＝50°， ∴∠AB′F′＝40°， ∴∠ABE＝40°， ∴∠BE′F′＝50°， ∴∠AE′B＝115°． 故选：B． 49．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP， 设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE， ∵∠BAD＝90°，AD∥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2， ∴82+x2＝（16﹣x）2， 解得x＝6， ∴BC＝6， 故选：B． 50．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝　　时，四边形APQE的周长最小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q， 此时MQ+EQ最小， ∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2， ∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行， 即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N， 设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x， ∵△MNQ∽△FCQ， ∴＝， ∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x， 解得：x＝，则CQ＝ 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$