期中各名校真题-压轴必刷题（50题）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期中各名校真题-压轴必刷题（50题） 范围：第一章～第三章 一、单选题 1．对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 2．定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 3．已知关于x、y的方程组，下列结论中正确的个数有（    ） ① 当时，是方程组的解； ② 不存在一个实数，使得x、y的值互为相反数； ③ 当方程组的解是时，方程组的解为； ④ x、y都为自然数的解有3对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　） A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm 6．如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 7．如图，平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，； ④当时，．其中正确的说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（  ） A．n B．2n-1 C． D．3（n+1） 10．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 11．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（    ）    ①；②；③；④． A． ①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 12．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 13．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 16．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是 ． 17．不等式组有解，则的取值范围是 ． 18．若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ． 19．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．在运动过程中： （1）斜边中线的长度是否发生变化 （填“是”或“否”）； （2）点D到点O的最大距离是 ． 20．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 21．在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为 ． 22．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则 ． 23．如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，则 度． 24．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有 ． 25．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    26．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ． 27．如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则 ． 三、解答题 28．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围． 分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得又因为x＞1，y＜0所以解得a的取值范围是　 　． 因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围； ②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围． 29．某市环保局决定购买A、B两种型号的扫地车共40辆，对城区所有公路地面进行清扫．已知1辆A型扫地车和2辆B型扫地车每周可以处理地面垃圾100吨，2辆A型扫地车和1辆B型扫地车每周可以处理垃圾110吨． （1）求A、B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾多少吨？ （2）已知A型扫地车每辆价格为25万元，B型扫地车每辆价格为20万元，要想使环保局购买扫地车的资金不超过910万元，但每周处理垃圾的量又不低于1400吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金是多少？ 30．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：∵， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①  ，或②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 请你模仿例题的解法，解决下列问题： (1)不等式解集为 ； (2)不等式解集为 ； (3)拓展延伸：解不等式． 31．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 32．某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元． （1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ （2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 33．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，如：方程就是不等式组的“关联方程”． (1)方程①，②是不等式是的关联方程的是___________________． (2)若关于x的方程（k为整数）是不等式组的一个关联方程，求整数k的值． (3)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 34．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 35．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发． (1)经过多少秒，△BMN为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN为直角三角形． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB． (1)比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明； (2)用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明． 37．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长． (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形． (3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间． 38．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 39．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． (1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ； (2)如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 40．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． (1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． (2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 41．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 42．【问题情境】在和中，，，．    (1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； (2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 43．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数． 44．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：． (2)如图2所示，，则的度数为　 　． (3)如图3，若和的平分线和相交于点P，且与，分别相交于点M，N． ①若，，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“， ”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 45．如图，已知中，，点D为的中点． (1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度 (2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出： ①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？ ②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？ 46．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 47．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：． 48．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：    ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    49．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 50．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中各名校真题-压轴必刷题（50题） 范围：第一章～第三章 一、单选题 1．对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围． 【详解】解：有正整数解， ， 即，， ， 是正整数，为正数， ，即可取1、2； ①当取1时， ，， ； ②当取2时， ，， ； 综上可得的范围是：或． 故选：D． 【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度． 2．定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】符号表示不大于的最大整数，即为小于等于a的最大整数. 【详解】因为为小于等于a的最大整数，所以， 若＝－6，则的取值范围是， 故选B. 【点睛】本题考查了对不等关系的理解，解题的关键是理解符号的本质是小于或等于a的最大整数. 3．已知关于x、y的方程组，下列结论中正确的个数有（    ） ① 当时，是方程组的解； ② 不存在一个实数，使得x、y的值互为相反数； ③ 当方程组的解是时，方程组的解为； ④ x、y都为自然数的解有3对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组， ①把代入方程组求出解，即可做出判断； ②根据题意得到，代入方程组求出a的值，即可做出判断； ③的各项和原方程成比例，故可得方程，即可解答； ④用表示，可得一元一次不等式组，再根据的取值范围，即可解答， 熟知方程的各项成比例时，两个方程的解相同，是解题的关键． 【详解】解：当时，原方程为，解得，故①错误； x、y的值互为相反数时，可得，可得方程，方程无解，故②正确； 的各项和原方程成比例，故可得，解得 ，故③正确； 解，可得，当为自然数时，可得，解得且为奇数，故，即x、y都为自然数的解有4对，故④错误； 故选：B． 4．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：由不等式，可得：， 由不等式，可得：， 由以上可得不等式组的解集为：， 因为不等式组恰好只有四个整数解， 即整数解为， 所以可得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式是解答本题的关键． 5．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　） A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm 【答案】D 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD，MA． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键． 6．如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 【答案】D 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键． 7．如图，平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证的外角和的外角是同角，分别可表示为与，根据角平分线性质可得，，将、代入计算即可求出． 【详解】解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图， ∵的外角和的外角是同角， ∵，， ∵平分和， ∴，， ∴，， ∵在中，， 在中， ∴，； ∵， ∴， ， 整理得，， 化简得， 将，代入，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键． 8．如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，； ④当时，．其中正确的说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断（1）；当时， 求得，，则，即可判断（2）；当时，先求出，则，，即可判断（3）；根据题意当时，只有如图②一种情况，据此判断（4）即可． 【详解】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②，设直线与直线交于F， ∴， ∴， 当时，即，如图①所示， ∴， ∴； 当三角板旋转角度大于时，如图②所示， ∴， ∴当时，即， ∴， ∴此时在图中的位置， ∴，故（1）正确； 当三角板旋转角度小于度时，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三角板旋转角的大于时，如图④所示， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故（2）错误； 如图⑤所示，当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故（3）正确； 由于顺时针旋转到B、C、E共线时停止， ∴当时，只有如下图⑥一种情况， ∴， ∴， ∴， ∴，故（4）正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． 9．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（  ） A．n B．2n-1 C． D．3（n+1） 【答案】C 【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD． 在△ABD与△ACD中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，△ABE≌△ACE， ∴BE=EC， ∵△ABD≌△ACD． ∴BD=CD， 又DE=DE， ∴△BDE≌△CDE， ∴图2中有3对三角形全等； 同理：图3中有6对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律． 10．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】作于E，于F，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断③的正误； 【详解】解：如图，作于E，于F．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于E，于F， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，故①正确． ∴定值，故③正确． ∴定值，故②正确． 故选：A． 【点睛】本题侧重考查角平分线的题目，需要掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（    ）    ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分，    ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确， 综上正确的有：①②④． 故选A 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 12．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 13．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为，    ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键． 14．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定． 【详解】解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确； ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠CGF=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确；    分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ ∵BD=CE ∴AM=AN ∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD． 故③错误；    ∵平分∠BFE， ∴ 故④正确． 故答案为C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键． 15．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明; ②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分. 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得： ∴°，②正确； 作于，于，如图所示 则°， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分，④正确； 正确的个数有3个； 故选B． 【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 二、填空题 16．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知符合不等式性质3，，解出a即可. 【详解】解：的解集是， ， 解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 17．不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先解不等式，利用m表示出两个不等式的解集，根据不等式组有解即可得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：∵不等式组有解， ∴， 解得   故答案为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ． 【答案】或2/2或-1 【分析】由不等式组的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：或，即可得出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组的解集中的整数和为-5， ∴或， ∴或， 则整数的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解，再确定参数的范围． 19．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．在运动过程中： （1）斜边中线的长度是否发生变化 （填“是”或“否”）； （2）点D到点O的最大距离是 ． 【答案】 否 / 【详解】（1）直接运用直角三角形斜边中线定理即可证明； （2）当D、Q、O三点共线时，此时，取得最大值，则有，由勾股定理求出即可得长度． 【解答】解：（1）如图，设斜边中点为Q，在运动过程中，斜边中线． 长度不变，故不变， 故答案为：否； （2）设斜边中点为Q，在矩形的运动过程当中，有， 当D、Q、O三点共线时，则有，此时，取得最大值，如图所示， 为中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了斜边中线定理，三角形三边关系，勾股定理，矩形的性质，找出最大时D、Q、O三点的位置是解题关键． 20．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 【答案】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 21．在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】连接，，，利用三角形的中线的性质，三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算，得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴，， ∴； 同理可得；； ∴ ， ∵ ，， ∴，解得， 故答案为：2 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 22．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则 ． 【答案】52° 【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A． 【详解】解：、分别平分、， ，， ，， 即，， ， 、分别平分、， ，， ， ， ∴， ∴， 、分别平分、， ，， ∴， ， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 23．如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，则 度． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义，由BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，得∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．根据三角形外角的性质，得∠A1=∠A1CD-∠A1BC，那么∠A1=∠ACD−ABC=∠A．再根据特殊到一般的数学思想解决此题． 【详解】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC． ∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC， ∴∠A1=∠ACD−ABC=∠A． 同理可证：∠A2=∠A1． ∴∠A2=•∠A= ()2∠A． 以此类推，∠An=()n∠A． 当n=2022，∠A2022=()2022∠A=()2022•m°=()°． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质、角平分线的定义是解决本题的关键． 24．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断；④无法证明，从而无法证明． 【详解】∵在与中， ， ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故②正确； 如图，连接，过点D作，过点D作， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴是的角平分线 ∵ ∴ ∴ 故③正确； 如图，过点作交于点，连接， 若 ∵ 则 ∵ 则 若， 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 故④错误． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是能够根据题目条件，进行推论，能够作出辅助线连接，过点D作，过点D作． 25．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    【答案】105° 【详解】由图a知，∠EFC=155°. 图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°. 图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°. 故答案为105°. 点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在. 26．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ． 【答案】67°． 【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数． 【详解】解：∵∠B＝46°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°， ∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°， ∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA， ∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA， ∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°， ∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°． 故答案为：67°． 【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键． 27．如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了三角形外角定理，三角形内角和等知识．根据三角形外角定理得到，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图： ∵是外角， ∴， ∵是外角， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 28．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围． 分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得又因为x＞1，y＜0所以解得a的取值范围是　 　． 因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围； ②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围． 【答案】（1）0＜a＜2；（2）①2＜x+y＜6；②3-m＜a+b＜4-m． 【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可； （2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解； ②解方程组得：，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取值范围． 【详解】解：（1）， ∵解不等式①得：a＞0， 解不等式②得：a＜2， ∴不等式组的解集为0＜a＜2， 故答案为：0＜a＜2； （2）①设x+y=a，则， 解得：， ∵x＞3，y＜1， ∴， 解得：2＜a＜6， 即2＜x+y＜6； ②解方程组得：， ∵x＜0，y＞0， ∴， 解得：1.5＜a＜2， ∵a-b=m，a+b=2a-(a-b) 3-m＜a+b＜4-m． 故答案为：3-m＜a+b＜4-m． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 29．某市环保局决定购买A、B两种型号的扫地车共40辆，对城区所有公路地面进行清扫．已知1辆A型扫地车和2辆B型扫地车每周可以处理地面垃圾100吨，2辆A型扫地车和1辆B型扫地车每周可以处理垃圾110吨． （1）求A、B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾多少吨？ （2）已知A型扫地车每辆价格为25万元，B型扫地车每辆价格为20万元，要想使环保局购买扫地车的资金不超过910万元，但每周处理垃圾的量又不低于1400吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金是多少？ 【答案】(1)40，30；（2）购买方案见解析，方案一所需资金最少，900万元． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组即可解题,（2）设购买A型扫地车m辆，B型扫地车（40﹣m）辆，所需资金为y元，根据题意建立一元一次不等式组求出所有满足条件的方案,再表示出总资金y=5m+800，根据一次函数的单调性即可确定所选方案,求最少资金． 【详解】解：（1）设A、B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾a吨、b吨， ， 解得：， 答：（1）求A、B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾40吨，30吨； （2）设购买A型扫地车m辆，B型扫地车（40﹣m）辆，所需资金为y元， ， 解得，20≤m≤22， ∵m为整数， ∴m＝20，21，22， ∴共有三种购买方案， 方案一：购买A型扫地车20辆，B型扫地车20辆； 方案二：购买A型扫地车21辆，B型扫地车19辆； 方案三：购买A型扫地车22辆，B型扫地车18辆； ∵y＝25m+20（40﹣m）＝5m+800，k=50， ∴y随着x的增大而增大， ∴当m＝20时，y取得最小值，此时y＝900， 答：方案一：购买A型扫地车20辆，B型扫地车20辆所需资金最少，最少资金是900万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一次不等式在方案选择中的实际应用,一次函数的性质,难度较大,利用不等式和一次函数的性质进行方案选择是解题关键． 30．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：∵， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①  ，或②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 请你模仿例题的解法，解决下列问题： (1)不等式解集为 ； (2)不等式解集为 ； (3)拓展延伸：解不等式． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （3）根据有理数的乘除法法则，异号得负，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不等式组，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ① ②， 解不等式组①得， 解不等式组②得： ∴原不等式 的解集为或； （2）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ① ② 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为； （3）由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且分数的分母不为0，得 ① ② 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用和因式分解，解题关键是深刻理解“两数相乘，同号得正，异号得负”以及 “两数相除，同号得正，异号得负”，转化题目不等式为不等式组． 31．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 【答案】（1）、的值分别为和；（2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；（3）的最大值为 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案； （3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意得 ， 解得：； 答：、的值分别为和； （2）根据题意， 解得：， 因为是整数 所以为、、； ∴共3种方案，分别为： 方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； 方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； 方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； （3）方案一的利润为：元， 方案二的利润为：元， 方案三的利润为：元， 利润最大值为元，甲售出，乙售出， ∴ 解得： 答：的最大值为； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程组，以及不等式组的知识解答． 32．某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元． （1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ （2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元； （2）利润最大为4400元． 【分析】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据“若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元”即可列方程组求解； （2）设购进电脑机箱z台，根据“可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，所获利润不少于4100元”即可列不等式组求解. 【详解】解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元； （2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台， 根据题意得：， 解得：24≤m≤26， 因为m要为整数，所以m可以取24、25、26， 从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台， ②电脑箱：25台，液晶显示器：25台； ③电脑箱：26台，液晶显示器：24台． ∴方案一的利润：24×10+26×160=4400， 方案二的利润：25×10+25×160=4250， 方案三的利润：26×10+24×160=4100， ∴方案一的利润最大为4400元． 答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4400元． 【点睛】考点：方案问题，方案问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握. 33．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，如：方程就是不等式组的“关联方程”． (1)方程①，②是不等式是的关联方程的是___________________． (2)若关于x的方程（k为整数）是不等式组的一个关联方程，求整数k的值． (3)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【答案】(1)② (2)，0 (3) 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组的关联方程是②； （2）解方程为整数）得： 解不等式组得：， 关于的方程为整数）是不等式组的一个关联方程， ， 解得 整数，0； （3）解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 方程，都是关于的不等式组的关联方程， ， 即的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解关联方程的定义是解此题的关键． 34．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 35．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发． (1)经过多少秒，△BMN为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN为直角三角形． 【答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形． 【分析】（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30－x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得． 【详解】解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形， 则AM＝x，BN＝2x， ∴BM＝AB－AM＝30－x， 根据题意得30－x＝2x， 解得x＝10， 答：经过10秒，△BMN为等边三角形； (2)经过x秒，△BMN是直角三角形， ①当∠BNM＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BMN＝30°， ∴BN＝BM，即2x＝(30－x)， 解得x＝6； ②当∠BMN＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BNM＝30°， ∴BM＝BN，即30－x＝×2x， 解得x＝15， 答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB． (1)比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明； (2)用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析； (2)AB=AM+AE，证明见解析． 【分析】（1）连接CM，由AB＝AC， D是BC中点得AD垂直平分线段CD， ，从而有BM=CM=ME，于是得，，即可得； （2）AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，AB＝AC， D是BC中点，∠BAC＝120°得，进而证明是等边三角形，得AG=AM=MG，从而证明 ，即可证明AB=AM+AE， 【详解】（1）解： ，理由如下：如下图1，连接CM， AB＝AC， D是BC中点， AD垂直平分线段CD，即 ， BM=CM， ME＝MB， BM=CM=ME， ，， ， ； （2）解： AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG， AB＝AC， D是BC中点，∠BAC＝120°， ， AG=AM， 是等边三角形， AG=AM=MG，， ， 在和中， ， ， EG=AE+AG，AG=AM， AB=AM+AE． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质，利用旋转思想作出手拉手全等三角形是解题的关键． 37．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长． (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形． (3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间． 【答案】(1) (2)出发时间为秒时，是等腰三角形 (3)当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时（图，则，易求得； ②当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出． 【详解】（1）， ， ， ； （2）根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 由上可知，当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形． 38．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）①． 理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 39．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． (1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ； (2)如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【答案】(1)DE＝BD+CE/DE=CE+BD (2)成立，证明见详解 (3)等边三角形，理由见详解 【分析】（1）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE； （2）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE； （3）先由α=120°和AF平分∠BAC得到∠BAF=∠CAF=60°，然后结合AB=AF=AC得到△ABF和△ACF是等边三角形，然后得到FA=FC、∠FCA=∠FAB=60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD=∠ACE、AD=CE，从而得到∠FAD=∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF=EF、∠DFA=∠EFC，最后得到∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=60°，即可得证△DEF是等边三角形． 【详解】（1）DE=BD+CE，理由如下， ∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， ∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°， ∴∠DBA=∠EAC， ∵AB=AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴AD=CE，BD=AE， ∴DE=AD+AE=BD+CE， 故答案为：DE=BD+CE． （2）DE=BD+CE仍然成立，理由如下， ∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α， ∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α， ∴∠DBA=∠EAC， ∵AB=AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴BD=AE，AD=CE， ∴DE=AD+AE=BD+CE； （3）△DEF是等边三角形， 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点 ∴∠BAF＝∠CAF＝60°， ∵AB=AF=AC ∴△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE·10分 在△DBF和△EAF中， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等． 40．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． (1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． (2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数． 【详解】（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为AB的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴DE与DC之间的数量关系是． （3）如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ED⊥DC， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． 41．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析 【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案； （3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）如图2， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC， 令AD与CE交于点G， ∵∠AGE=∠DGO， ∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE， ∴∠DOE=∠DAE=60°， ∴∠BOC=60°； （3）∠A+∠BCD=180°．理由： 如图3，延长DC至P，使DP=DB， ∵∠BDC=60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴BD=BP，∠DBP=60°， ∵∠ABC=60°=∠DBP， ∴∠ABD=∠CBP， ∵AB=CB， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP=∠A， ∵∠BCD+∠BCP=180°， ∴∠A+∠BCD=180°． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 42．【问题情境】在和中，，，．    (1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； (2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 【答案】(1)； (2)成立，理由见详解； (3)，理由见详解． 【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【详解】（1）证明：如图1，    在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：成立，证明：如图2，   ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）， 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，   ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等． 43．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数． 【答案】（1）， ；（2）， ；（3）． 【分析】（1）先判断出，再判定，再判断， （2）先判断出，再得到同理（1）可得结论； （3）先判断出，再判断出，最后计算即可． 【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是． 理由如下： 如图1，延长交于点． 于， ． ，， ， ，，． ， ． AE⊥BC ∴， ， ． （2）与的位置关系是：，数量关系是． 如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G， ， ， 即． ，， ， ，． AE⊥BC ∴， 又∵ ， ． （3）如图，线段AC与线段BD交于点F， 和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ， 与的夹角度数为． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断． 44．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：． (2)如图2所示，，则的度数为　 　． (3)如图3，若和的平分线和相交于点P，且与，分别相交于点M，N． ①若，，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“， ”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）利用（1）的结论，结合三角形外角的性质即可求解； （3）①根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相减得到，即，然后把，代入计算即可； ②与①的证明方法一样得到． 【详解】（1）证明：在图1中，有，， ∵， ∴； （2）解：如图2所示，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （3）解①以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②，其理由是： ∵，， ∴，， 以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有， ∴， ． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，三角形外角的性质，角平分线的定义．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 45．如图，已知中，，点D为的中点． (1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度 (2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出： ①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？ ②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？ 【答案】(1)①全等，见解析；②7.5厘米/秒 (2)①秒；②点P与点Q第2023次在AC边上相遇 【分析】（1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明； ②因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度； （2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得结果；②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，据此列出方程，解这个方程即可求得结果. 【详解】（1）①全等， 因为（秒， 所以（厘米）， （厘米），为中点， （厘米）， （厘米）， ， ， 在与中， ， ； ②因为， 所以， 因为， 要使与全等，只能， 即， 故， 所以点、的运动时间：（秒， 此时（厘米秒）； （2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程， 设经过秒后与第一次相遇，依题意得， 解得（秒， 此时运动了（厘米）， 又因为的周长为56厘米，， 所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇； ②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇， ， 解得：， ， ， ， ， 点在边上． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 46．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②，图见解析 【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解； （2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解； ②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； ②如图：； 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． 47．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：． 【答案】见解析 【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证； 方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得； 方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证． 【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使， 连接DE， 因为BD是的平分线， 所以． 在和中， 因为 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 方法2  补短 如图，延长BA到点E，使． 因为BD是的平分线， 所以 在和中， 因为， 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 方法3  构造直角三角形全等 作于点E．交BA的延长线于点F 因为BD是的平分线， 所以． 因为，， 所以， 在和中， 因为， 所以， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 48．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：    ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），，证明见解析 【分析】（1）先证，推出，再利用三角形三边关系求解； （2）根据可得，即可证明； （3）同（1）可证，得出，，进而可得，推出，可得，，即可求解． 【详解】解：（1） 是的中线， ， 又 ，， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2），证明如下： 由（1）知， ， ； （3），，证明如下： 如图，延长至点Q使得，连接，延长交于点P，    同（1）可得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上可得，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形． 49．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 50．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$