期中各名校真题-压轴必刷题（48题）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

期中各名校真题-压轴必刷题（48题） 范围：第一章～第三章 一、单选题 1．下列有理数大小关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 6．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 7．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 8．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（    ）上． A． B． C． D． 9．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 10．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 11．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 12．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 13．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按摇一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•“的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为......以此类排，的值为（   ） A． B． C． D． 14．已知整式的值是4，那么整式的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 15．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 16．按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为 ，则最后输出的结果是（   ） A．231 B．156 C．21 D．3 17．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第⑦个图形中●的个数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 18．如图，一条数轴上有点A，，，其中点A、表示的数分别是、9，现在以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，则点表示的数是 ． 19．A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 20．定义一种对正整数n的“F运算”：（1）当n为奇数时，结果为；（2）当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则：   若，则第2023次“F运算”的结果是 ． 21．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ．    22．国庆节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当时，s= ． 23．两个边长分别为，的正方形按如图两种方式放置，图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则大正方形的面积为 （用m，n的代数式表示）． 24．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 三、解答题 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】两个有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号，可知有两种可能：①当都正数；②当都是负数． ①若都是正数，即，有则； ②若都是负数，即，有，，，所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个有理数满足异号，求的值； (2)已知，，且，求的值． 26．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 27．已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 28．如图，在数轴上有两个长方形和，，， 点、、、都在效轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为______． 29．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 30．阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 31．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 32．已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． (2)在数轴上标出与点的距离为2的点（用不同于、的字母表示），并写出这些点表示的数． (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与5对应的点重合，回答以下问题： ①10对应的点与_______对应的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数． (4) 如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数． 33．定义“*”运算： ①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦． 据此回答下列问题： (1)计算：① ；② ； (2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）； (3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：） 34．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 35．观察下列算式： ，，①，②， ，， (1)①________，②________； (2)求的个位数字． 36．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 37．某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 _________ _________ _________ (1)请完成上表； (2)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？ (3)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (4)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 38．观察下列等式：；；； 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ① ＝______； ② ＝______． (3) 探究并计算： ． 39．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1) ______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 40．如图，一扇窗户，所有窗框为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是a米，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃（本题中π取3，长度单位为米）． (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米?（用含的代数式表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计（用含代数式表示） (3)某公司需要购进30扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价： 铝合金（米/元） 彩色玻璃（平方米/元） 透明玻璃（平方米/元） 甲厂商 200 80 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 220 60 80元/平方米，每购1平方米透明玻璃送0.1米铝合金 当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算? 41．仔细观察下列三组数： 第一组：﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…． 第二组：1，﹣4，9，﹣16，25，… 第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，… （1）第一组的第6个数是 　 　； （2）第二组的第n个数是 　 　； （3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和． 42．求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 43．为了培养德智体美劳全面发展的学生，某校为了增强学生的体质，准备购买足球50个，实心球x个，足球定价80元/个，实心球定价20元/个，甲、乙两商店向学校提供了各自的优惠方案： 商店甲：买一个足球送一个实心球； 商店乙：足球和实心球都按定价的付款． (1)若该校到甲、乙商店分别购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示） (2)若时，通过计算说明此时哪间商店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并把付款的钱算出来． 44．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2． (1)直接写出，，m的值； (2)求的值． 45．小亮房间窗户宽为，高为，窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同） (1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积是________．（结果保留） (2)当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是多少？（结果保留） 46．亮亮家买了新房，如图是房屋的平面图，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含x、y的代数式表示客厅的面积为________； (2)亮亮的爸爸打算在两个卧室内的四周贴上墙纸（门和窗户忽略不计），已知房间的高度是3米，若图中x、y的值满足，求需要购买多少平方米的墙纸？ 47．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 48．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中各名校真题-压轴必刷题（48题） 范围：第一章～第三章 一、单选题 1．下列有理数大小关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．A首先求出，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．B首先判断出，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．C首先判断出，，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．D算计算出，再按照A选项比较即可． 【详解】解：A．由于，，则，选项错误，不符合题意； B．由于，则，选项错误，不符合题意； C．由于，则，选项错误，不符合题意； D．由于，，则，选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查相反数、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．先化简，再根据只有符号不同的两个数是相反数，可判断互为相反数的两个数． 【详解】解：A．与不是互为相反数，故不符合题意； B．，则不是互为相反数，故不符合题意； C．与是互为相反数，符合题意； D．，，则不是互为相反数，故不符合题意； 故选：C． 3．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有绝对值的化简，数轴上两点间的距离，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例. 【详解】若，则， 故①错误， 不合题意； 若， 则或或或， 当时， 则有是是正数， 当时， 则有是正数， 当时， 则有是正数， 当时， 则有是是正数， 由上可得， 是正数， 故②正确，符合题意； 三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则或或，故③错误，不合题意； 若代数式的值与无关，则，故④错误，不合题意； ， ∴中一定是一负两正，，， 不妨设 ，故⑤错误，不合题意； 故选： A． 4．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 5．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 6．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键． 先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题． 【详解】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2022次爬行后的点所表示的数为， 则第2023次爬行后的点所表示的数为． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是101． 故选：C． 7．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律．观察所给图形，发现各部分数字变化的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给图形可知， 左上角的数字依次为：，，，，…， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：． 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第n个图形中右上角的数字可表示为：． 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第n个图形中下方的数字可表示为：． 当时， ， ， ， 所以． 故选：B． 8．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（    ）上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同， 所以乙所行的路程是甲所行的路程的3倍， ①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ∵， ∴第2022次相遇在边上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 9．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 10．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 11．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的顺序和法则是解题的关键． 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，根据图1和图2得出和，再利用得到，再表示出，代入计算即可． 【详解】解：将B向左推，可得如图， 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c， 根据图2是正方形，得， 即， 由图（2）两个A的位置，可得即， ∴图2正方形边长为 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 12．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可找出规律：，从而可将化为，对其进行裂项运算，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 第个图：； ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形规律问题，根据题意找出规律，并会利用规律对代数式进行裂项计算是解题的关键． 13．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按摇一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•“的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为......以此类排，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】由已知，，，， 以此类推可知：， 则有， ∴ = =+ =+ =+， 当n=23时， 有， 故选：D． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 14．已知整式的值是4，那么整式的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得，然后整体代入即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：C． 15．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，由前4个图形总结得到第n的图形的规律，即可得到第2024个图形含有的正方形数量． 【详解】解：第1个图中有正方形1个， 第2个图中有正方形个， 第3个图中有正方形个， 第4个图中有正方形个， 所以第n个图中有正方形个． 当时，图中有个正方形． 故选：D． 16．按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为 ，则最后输出的结果是（   ） A．231 B．156 C．21 D．3 【答案】A 【分析】本题是通过程序图考查代数式求值的计算题．首先要看懂程序，尤其是在最后的程序中看所求的值是否大于100，大于100就输出计算结果，否则把结果再次代入代数式求值知道符合大于100为止． 【详解】解：当时，， 当，； 当，； 当时，，则输出结果231． 故选：A． 17．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有个●，第②个图中共有个●，第③个图中共有个●，第④个图中共有个●，…，照此规律排列下去，则第⑦个图形中●的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形及数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中点的个数为，再将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中●的个数为：（个）， 第②个图中●的个数为：（个）， 第③个图中●的个数为：（个）， 第④个图中●的个数为：（个）， …， ∴图中●的个数为：为（个）， ∴第⑦个图形中●的个数为：（个）． 故选：C． 二、填空题 18．如图，一条数轴上有点A，，，其中点A、表示的数分别是、9，现在以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上点表示的数，涉及两点间距离，读懂题意，分类讨论，准确边上线段和差倍分关系是解决问题的关键． 根据题意，点分两种情况：①在右侧；②在左侧，作图求解即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： ①点在右侧，如图所示： 点A、表示的数分别是、9， ， 以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且， ， ， 点表示的数是； ②点在左侧，如图所示： 点A、表示的数分别是、9， ， ， 以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上， ∴， ∴， ∵点表示的数分别是9， 点表示的数是； 综上所述，点表示的数是或． 19．A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 【答案】 2.5 3.2 80 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键． （1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间． 【详解】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 甲船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 乙船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 故答案为：2.5，3.2； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时， 所以乙往返的次数为． 因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口， 所以为整数，且最小， 所以x最小可取32， 所以航行时间为时． 故答案为：80． 20．定义一种对正整数n的“F运算”：（1）当n为奇数时，结果为；（2）当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则：   若，则第2023次“F运算”的结果是 ． 【答案】 【分析】根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、．．．次的运算结果，即可发现从第次开始，每次运算为一个周期循环，据此可求解． 【详解】解：由题意得 当时， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 后面按，循环， ， 第2023次“F运算”的结果与第次运算结果相同，为； 故答案：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，首先要根据题目的要求计算出几个结果，然后利用结果找出循环规律是解题的关键． 21．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ．    【答案】25 【分析】本题考查了有理数运算和等式的性质，由题意得出的关系式，分别求出的值即可，解题关键是根据题目信息列出等式，求出相关字母的值． 【详解】∵， ∴， 由图知，的值由中取得， ∵， 假设取，则， 这时a的值从中取得， 当和6，计算验证，都不符合题意， ∴，这时，符合题意， ∴ 故答案为：25． 22．国庆节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当时，s= ． 【答案】94 【分析】根据图形的变化规律，结合数字规律列出式子求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴当时，， 故答案为：94． 【点睛】本题考查了图形和数字规律，解题的关键是找到合适的规律列出代数式． 23．两个边长分别为，的正方形按如图两种方式放置，图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则大正方形的面积为 （用m，n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式．根据题意，用含，的代数式表示出和，进一步用和表示出即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， ， 所以， 则， 即大正方形的面积为． 故答案为：． 24．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：； 三、解答题 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】两个有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号，可知有两种可能：①当都正数；②当都是负数． ①若都是正数，即，有则； ②若都是负数，即，有，，，所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个有理数满足异号，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）由异号分种情况讨论：①；②，分别求解即可； （）利用绝对值的代数意义，以及小于，求出与的值，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了绝对值、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵异号， ∴分种情况讨论： ①，则有，， ∴； ②，则有，， ∴； 综上，的值为； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． 26．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 27．已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 【答案】(1)4秒 (2)13秒或72秒 (3)秒，秒 【分析】本题主要考查了点在数轴上的移动，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，动点表示的数的表示，列方程，是解题的关键． （1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案； （2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到的值． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意可得：， ∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由，得， 解得或13， ∴运动13秒或72秒时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． 当秒时， P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时， 此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了−33时， 此时N、P之间为38个整数点， 故（秒）， ∴秒，秒． 28．如图，在数轴上有两个长方形和，，， 点、、、都在效轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为______． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，；②或 【分析】本题考查数轴上点的运动，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题关键是表示出运动后点表示的数． （1）根据绝对值的非负性即可得解即可求解； （2）根据题意，由建立方程，求解即可得出答案； （3）①分别求得点与点重合、点与点重合所需时间，求出两个时间差即可；②分两种情况：当点在线段上，当点在线段上，根据题意建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ∵， ∴， 解得：或， ∴的值为或； （3）①由题意得：当长方形完全落在长方形上时，重叠部分的面积最大，最大面积为长方形的面积，为， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时：， 解得：， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴点与点重合时有， 解得， ∵（秒）， ∴的最大值为，持续的时间为秒， 故答案为：， ； ②由，得重叠部分面积为， 当点在线段上，且时，即， ∴， 解得， ∴表示的数为， 当点在线段上，且时，即， ∴， 解得， ∴表示的数为， 故答案为或； 29．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 【答案】(1)132；6；61 (2)存在点M，使，点M对应的数为或 (3)当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ②点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； （3）解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 30．阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 【答案】(1)和 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题关键是“分类讨论思想”． （1）由即可求解． （2）分三种情况讨论当时，当时，当时化简即可． （3）根据（2）中化简结果即可求解． 【详解】（1）解∶ 和 和． （2）当时，； 当时，； 当时，． （3）， ， 整数解为∶． 31．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 32．已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． (2)在数轴上标出与点的距离为2的点（用不同于、的字母表示），并写出这些点表示的数． (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与5对应的点重合，回答以下问题： ①10对应的点与_______对应的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数． (4)如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)1， (2)见解析，和3 (3)①；②点为，点为 (4) 【分析】本题主要考查数轴有关知识，熟练掌握数轴上两点间的距离，中心对称，点的平移规律左移减右移加是解题的关键． （1）根据数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数可知表示1，表示为，即可求解； （2）与点距离为2的点，即左右两边距离两个单位长度的点，也就是数为和的点； （3）①先求出和5的中点，再根据中心对称列式计算即可得解；②根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解； （4）先求出圆的周长，再根据平移规律即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，点表示的数为1， 则点表示的数为． （2）解：数轴与点的距离为2的点分别为和， 即数轴中和为所求， 其中点表示3，点表示． （3）解：① 故答案为：； ② 、两点之间的距离为2024 由①可知，对折点的数为2，且在的左侧 点为，点为． （4）解：圆的半径 圆的周长 将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点所处的位置的点在数轴上所表示的数为． 33．定义“*”运算： ①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦． 据此回答下列问题： (1)计算：① ；② ； (2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）； (3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：） 【答案】(1)①；②17； (2)两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加．特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0； (3)，或，或，或． 【分析】（1）①根据示例参照求解；②根据示例参照求解； （2）根据示例，参照有理数乘法法则归纳； （3）由新定义知与异号，，得到，或，或，或，求得参数值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：； ②； 故答案为：； （2）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加． 特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0． （3）解：存在， ∵， ∴与异号，， ∵m，n是整数， ∴，或，或，或， ∴，或，或，或． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合运算．熟练掌握定义新运算的法则，有理数混合运算顺序，运算法则，运算律，整数性质，分类讨论，是解决问题的关键． 34．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 35．观察下列算式： ，，①，②， ，， (1)①________，②________； (2)求的个位数字． 【答案】(1) ； ； (2)． 【分析】（）根据乘方的定义计算即可求解； （）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解； 本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； ， 故答案为：； （2）解：∵，，，，，， ， ∴个位数字按照的规律循环， 又∵， ∴的个位数字之和为： ， ∴为． 36．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 37．某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 _________ _________ _________ (1)请完成上表； (2)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？ (3)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (4)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)1千米 (3)20.4升 (4)下降千米 【分析】（1）利用正负数的意义解答即可； （2）求出表格中四个数值的代数和即可得出结论； （3）分别计算表格中四个数值的绝对值的和，再乘以2升即可得出结论； （4）计算飞机的前三次的高度的代数和与飞机的高度作比较即可得出结论． 【详解】（1）解：填表如下： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 （2） （千米）； （3） （千米）， （升）， 答：飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了升燃油． （4）要使飞机在完成第4个动作后与飞机完成4个动作后的高度相同，飞机的第4个动作是下降千米，理由： 飞机完成3个动作后的高度为： （千米）， 飞机的高度是1千米， 要使飞机在完成第4个动作后与飞机完成4个动作后的高度相同，飞机的第4个动作是下降， （千米）， 飞机的第4个动作是下降千米． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正负数的应用，正确理解正负数的意义是解题的关键． 38．观察下列等式：；；； 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ① ＝______； ② ＝______． (3)探究并计算： ． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】(1)利用题中的等式写出结果； (2)①利用(1)中的结论得到原式，然后合并即可； ②利用(1)中的结论得到原式，然后合并即可； （3）每个分数提，然后利用中的结论计算． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）①原式 ； ②原式= ； （3）原式= ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 39．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1) ______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值； （2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值； （3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：，； （2）依题意， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 40．如图，一扇窗户，所有窗框为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是a米，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃（本题中π取3，长度单位为米）． (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米?（用含的代数式表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计（用含代数式表示） (3)某公司需要购进30扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价： 铝合金（米/元） 彩色玻璃（平方米/元） 透明玻璃（平方米/元） 甲厂商 200 80 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 220 60 80元/平方米，每购1平方米透明玻璃送0.1米铝合金 当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算? 【答案】(1)米 (2) (3)在甲厂购买窗户合算 【分析】（1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （2）按照矩形与半圆的面积的和即为窗框的面积； （3）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断． 【详解】（1）解：米； （2）解： （3）解：当时，30个这样窗户共用铝合金为： （米） 30个共用彩色玻璃为： 30个共用透明玻璃为： 甲费用：（元） 乙费用：（元） 因为122000<128460    ∴在甲厂购买窗户合算． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，弄清题意，正确列式是解题的关键． 41．仔细观察下列三组数： 第一组：﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…． 第二组：1，﹣4，9，﹣16，25，… 第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，… （1）第一组的第6个数是 　 　； （2）第二组的第n个数是 　 　； （3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】（1）216；（2）（﹣1）n+1 n2；（3）700 【分析】（1）观察各数可以得到各数的绝对值为各数序号的立方，结合符号，即可得到规律，即可求出第6个数； （2）观察各数，可以得到各数的绝对值为各数序号的平方，第奇数个数为正，偶数个数为负，即可得到规律； （3）根据观察第三组数，可以得到都是负数，绝对值是第（2）组数的绝对值的2倍，据此即可确定每一组的第10个数，相加即可求解． 【详解】解：（1）因为第一组数为：﹣13，23，﹣33，43，…， 所以第6个数为：63＝216； 故答案为：216； （2）因为第二组数为：12，﹣22，32，﹣42，…， 所以第n个数为：（﹣1）n+1n2； 故答案为：（﹣1）n+1n2； （3）因为每组数的第10个数分别为：1000，﹣100，﹣200， 所以这三个数的和为：﹣100+1000﹣200＝700． 【点睛】本题考查了根据数列找规律，理解题意，准确找出规律是解题关键，一般情况下，数列找规律要从数据的符号和绝对值两方面进行确定规律． 42．求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 【答案】 【分析】仿照例题可令，从而得出，二者做差后即可得出结论． 【详解】解：令， 则， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出是解题的关键． 43．为了培养德智体美劳全面发展的学生，某校为了增强学生的体质，准备购买足球50个，实心球x个，足球定价80元/个，实心球定价20元/个，甲、乙两商店向学校提供了各自的优惠方案： 商店甲：买一个足球送一个实心球； 商店乙：足球和实心球都按定价的付款． (1)若该校到甲、乙商店分别购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示） (2)若时，通过计算说明此时哪间商店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并把付款的钱算出来． 【答案】(1)元，元 (2)去甲商店购买较为合算 (3)见解析 【分析】本题考查了列代数式，根据题意得出数量关系，列出代数式是解题的关键． （1）根据题目所给的两种优惠方案，列出代数式即可； （2）将分别代入（1）中的两个代数式进行计算即可； （3）先将代入（1）中的两个代数式进行计算，再计算去甲商店买50个足球（送50个实心球）去乙商店买250个实心球的钱即可． 【详解】（1）解：甲： 元， 乙： 元； （2）解：时， 甲：（元）， 乙：（元）， ∵， ∴去甲商店购买较为合算． （3）解：时 甲：（元）， 乙：（元）， 更省钱的方案为：去甲商店买50个足球（送50个实心球）去乙商店买250个实心球． （元）． 44．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2． (1)直接写出，，m的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)3或 【分析】（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解： 、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2， ，，； （2）解：当，，时，原式； 当，，时，原式， 则的值为：3或； 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 45．小亮房间窗户宽为，高为，窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同） (1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积是________．（结果保留） (2)当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式以及代数式求值，灵活运用长方形和圆的面积公式是解答本题的关键． （1）根据长方形的面积公式表示出长方形的面积，然后再根据圆的面积公式表示窗帘部分的面积，最后作差即可； （2）根据（1）得出的式子，再把a、b的数值代入即可求出答案； （3）利用（1）的方法列出代数式． 【详解】（1）解：长方形的面积为，窗帘部分的面积为：， 所以窗户能射进阳光的面积是； 故答案为： （2）解：当时， ． 答：窗户能射进阳光的面积是； （3）解：长方形的面积为，窗帘部分的面积为：， 所以窗户能射进阳光的面积是． 46．亮亮家买了新房，如图是房屋的平面图，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含x、y的代数式表示客厅的面积为________； (2)亮亮的爸爸打算在两个卧室内的四周贴上墙纸（门和窗户忽略不计），已知房间的高度是3米，若图中x、y的值满足，求需要购买多少平方米的墙纸？ 【答案】(1) (2)购买96平方米的墙纸 【分析】（1）结合图形列得代数式即可； （2）结合图形及已知条件列得代数式，然后利用绝对值的非负性求得，的值，将其代入代数式中计算即可． 本题考查列代数式及代数式求值，绝对值的非负性，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键． 【详解】（1）解： 即客厅的面积为， 故答案为：； （2）解： （平方米）， ， ，， 解得：，， 则， 即需要购买96平方米的墙纸． 47．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)4 (2)8 (3)0 【分析】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键． （1）观察等式可发现只要令，即可求出的值； （2）观察等式可发现只要令即可求出的值． （3）令即可求出等式①，令即可求出等式②，两个式子相加即可求出来． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，可得； （3）解：当时，可得①， 由（2）得②； 得：， ， ． 48．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解； 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是65岁． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$