期中各名校真题-压轴必刷题（53题）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

期中各名校真题-压轴必刷题（53题） 范围：第一章～第三章 1．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若，， 根据证得， ，即， 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故选：C． 2．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D 3．一个多边形的内角和是，则从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是（    ） A．11 B．13 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．先根据多边形的内角和公式求出，再根据从多边形一个顶点出发所画对角线条数是求解即可． 【详解】∵多边形的内角和为 ∴，解得： ∴ ∴从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是10 故选：D． 4．如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线平分三角形的面积，先延长交于一点E，根据平分，于，得出是的中点，结合中线平分三角形的面积，即可作答． 【详解】解：先延长交于一点E， ∵平分，于 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的中点 ∴ ∵ ∴的面积为 故选：C 5．若一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，求正多边形的边数通常用外角和除以每一个外角的度数．根据正多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数先求出边数，然后再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：多边形的每一个外角等于，， 这个多边形是12边形； 其内角和． 故选：C． 6．如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点为的中点得出，由点为的中点得出，最后再由点为的中点即可得出答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 7．在中，，点是线段上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． ；当时； 平分；无论怎样变化，始终存在，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据全等三角形的判定与性质逐一判断即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故正确； 当时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即，故正确； 由可知：， 因此当平分时，则点于点重合，这与点是线段上一点（不与重合）相矛盾，故不正确； 无论怎样变化，总有， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 综上所述：正确的有， 故选：． 8．如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点，下列结论中正确的结论有（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，根据三角形外角的定义及性质以及三角形内角和定理对各个选项进行角度的转化化简即可判断正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； ， ， ， ， ，故③正确； ，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 9．如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论： ①； ②∥； ③； ④． 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①由于和是等边三角形，可知，从而证出，可推知； ③由得，加之，得到，所以；故③正确； ②根据②，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ④利用等边三角形的性质，∥，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确． 【详解】解：①∵等边和等边， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故①正确； ③∵（已证）， ∴， ∵（已证）， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 故③正确； ②∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴∥； 故②正确； ④∵， ∴， ∵是等边三角形， ， ∴∥， ∴， ∴． 故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判断与性质、全等三角形的判定与性质和平行线的判定与性质，解题关键是掌握以上判定与性质并灵活运用，本题涉及的知识点比较综合，善于发现图中的全等三角形是解题关键. 10．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C 【点睛】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 二、填空题 11．如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出，根据翻折变换的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：，， ， 折叠后点落在边上处， ， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 12．如图，的面积为，平分，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：5． 13．如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则为 ．    【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和的应用，首先连接，根据三角形的内角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出，再根据是的平分线，是的平分线，判断出；最后根据三角形的内角和定理，用即可求出∠A的度数． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴ ， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 15．如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为 时，和全等． 【答案】4秒或0秒 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．当4秒或0秒时，和全等，根据定理推出即可． 【详解】解：当4秒或0秒时，和全等， 理由是：，， ， ①当时， 在和中， ， ， ②当时， 在和中， ， ， 点的运动速度为每秒钟， 当运动时间为4秒或0秒时，和全等． 故答案为：4秒或0秒． 16．工人师傅常用角尺平分一个任意伯．作法如下：如图所示，是一个任章角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，根据题意知和的三边对应相等，即可得证．解题的关键是掌握判定三角形全等的方法， 【详解】解：由图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线， ∴这种作法的依据是． 故答案为：． 17．如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键．利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用表示出、并找出规律，再利用规律得到结论． 【详解】解：和的平分线交于点， ，． ， ． ， ． 同理可得：， ． ． 故答案为： 18．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/112度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型．连接，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出，再由角平分线及三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 沿折叠， ，， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：． 19．如图，在中，，的平分线交于点O，平分外角，交的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点．若，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了内角的平分线，外角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线是解题的关键． 利用角的平分线，外角性质，三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵、的平分线交于点O，，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点， ∴ ， 解得， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 20．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 21．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 22．如图，的度数为 ．    【答案】/360度 【分析】本题考查多边形的内角和及三角形内角和，连接，可得，，然后利用多边形的内角和即可求得答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ，， ， ． ， ． 答案为：．    三、解答题 23．如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见详解 【分析】做出的垂直平分线和的平分线，其交点即为所求．本题考查了作图应用与设计作图，熟悉角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图：交点即为所求 24．如图，，分别是的边，上的高，且，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 25．如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是　　　　（请写序号），并给出证明过程． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． （1）欲证明，只要证明； （2）由，推出，由 可得； （3）结论：②；作于于J．利用角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴． （2）证明：∵ ∴ ∵ 又， ， ∴， ∴ （3）解：结论：② 理由：作于于J． ∵ ∴ ∴ •， ∴， ∵作于K，于J， ∴ 不妨设①成立，则，则显然不可能，故①错误． 故答案为：②． 26．已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 27．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， （1）根据角平分线的性质得出，证明，得出即可； （2）根据角平分线的定义得出，根据锐角三角形两锐角互余得出，根据，得出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 28．已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明 即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 29．如图，平分，为上一点，，，垂足分别为，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）依据，，可得，，即可根据得到； （2）依据可得，再依据，，可利用证明，即可得到，进而得出． 【详解】（1）证明：，，平分， ，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ， ． 30．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 31．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． （1）①根据，得出，从而得出，再利用即可证明；②由全等三角形的性质可得，，即可得证； （2）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得证； （3）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 32．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)不会变化，． 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过点作轴于，由可证，可得，可求解； （2）延长，交于点，由可证，可得，由可证，可得，可得结论； （3）作轴于，由可证，可得，，由可证，可得，可得，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于， 点的横坐标为， 在和中， ， 故答案为：； （2）， 如图②，延长，交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）与的面积比不会变化， 理由∶如图③，作轴于， ， 在和中， ， 在和中， ， ． 33．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析；②为最小值时，与的数量关系是 【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． （1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 34．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为 ． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质，分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程是解决本题的关键． （1）由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论． 【详解】（1）在中， ，， ， ， ，， ． 当时，为等边三角形， 即， ； 当时，为等边三角形； （2）若为直角三角形， ①当时，， 即， ， ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 35．在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点D坐标为，已知a，b，d满足，轴且，交y轴于点C，交x轴于点F． (1)求点A，B，D的坐标； (2)求点E，F的坐标； (3)如图，过作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在Р的右侧）使，OE交x轴于N，交y轴正半轴于M，求的值． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】本题是三角形综合题，涉及知识点有非负数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握非负数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由非负数的性质可求得、、的值，可求得、、的坐标； （2）由条件可证明，可求得和的长，可求得点坐标，由得，，在中，可得，从而得出，然后求出，可求得点坐标； （3）过点E作，，垂足分别为点G，H，在GA上截取，先证明，可得，，再证明，可得，再结合条件可求得，可求得答案． 【详解】（1）， ，，， ，，． （2），，， ，，， ， 在和中， ， ， ， 由得，， 在中， 即， 又在中，， ， ， 故在直角三角形中，， ， 点F的坐标为． （3）过点E作，，垂足分别为点G，H，在上截取，如图4， ，， ， 四边形为正方形， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ． 36．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明． （2）（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题． （4）由前面小题的结论易求，，再将已知条件代入化简可求，进而可求解． 本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】 解：（1）在中，， 在中，， ， ； （2）、分别平分． ， 由（1）的结论得：， ①②，得 ． （3）如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ，， ， ； （4）由（1）可知：，，， ，， ， ，，，， ，， ， ． 故答案为：． 37．如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且． (1)当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (3)在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的长为2或6 【分析】（1）根据三线合一定理和三角形外角的性质证明即可得到答案； （2）过作交于，先证明是等边三角形，再证明即可得到答案； （3）分在的延长线和在的延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形，点是的中点， ∴平分，， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ， ∴， 即． ∴是等边三角形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：∵三角形是等边三角形， ， 如图所示：当在的延长线上时，过点作交直线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在的延长线上时，如图，过点作交延长线于， 同理可以求得， ， ， 故的长为2或6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 38．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析过程 (2) (3)当为、、时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可求，由周角的性质可求的度数，由三角形内角和定理可求解； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中 ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ； （3）解：①要使，需， ， ； ②要使，需， ， ； ③要使，需， ， ． 所以，当为、、时，是等腰三角形． 39．如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据等量代换可得，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）根据垂直定义可得，从而可得，，然后根据三角形的外角性质可得，从而利用平角定义可得，最后根据等边三角形的判定即可解答； （4）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用证明，进而可得四边形的面积的面积，再根据已知可得，从而可得的面积的面积四边形的面积，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积公式求出的面积，即可解答． 【详解】（1）证明：如图：   ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是正三角形； （4）解：过点作，交的延长线于点，   ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形的面积的面积， ， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 在中，，， ， 的面积， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 40．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）证，得，，再证为等边三角形，即可得出结论； （3）延长、交于，证，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2， 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 41．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形，   ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即，   ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 42．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得： ，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 43．在中，平分交于点．    (1)如图1，若，则　 　．（直接写出结果） (2)如图2，点为延长线上的一点，于点，当时，求的度数． (3)如图3，平分的外角交的延长线于点，连，点是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）过点作于，作于，根据角平分线的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （2）设，则，，据此知，结合可得答案； （3）过点作于点，于点，，交延长线于点，证明得，从而得到平分，根据三角形外角的性质得，则，根据三角形外角的性质及平角的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于，作于，   ， 平分交于点， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：设，则， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：如图3，过点作于点，于点，，交延长线于点，   ， 平分，平分， ， 又， ， ， ， 平分， ， ，即， ， 则 ， ． 【点睛】本题主要三角形的内角和定理、外角的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线的性质和三角形外角的性质． 44．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的的关键． 45．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则___________°，___________°； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 46．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD．    (1)求AKO的度数； (2)如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系． （1）作于E，于F．只要证明，推出（全等三角形对应边上的高相等），，推出平分，再证明，即可解决问题； （2）结论：；过点B作轴交的延长线于H．只要证明，以及即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于E，于F．    ∵， ∴， ∴， ∴（全等三角形对应边上的高相等），， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论：． 理由：如图，过点B作轴交的延长线于H．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）过点作轴于点，通过证明，得到，，即可求解， （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，通过证明，，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 故答案为：， （2）解：在上截取，连接， 由对称性得，， ， ， 是的平分线， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：． 48．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）①④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，则，，，由，，可得，进而可证，则，，可判断①、④的正误；由，可知当时，，由，的关系未知，可判断②、③的正误； （3）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （4）如图4，由，，可得，，，由，可得，即，，由，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：如图2，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，，①④正确，故符合要求； ∵， ∴当时，， ∵，的关系未知， ∴②③错误，故不符合要求； 故答案为：①④； （3）证明：如图3，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 解：如图4，            ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质是解题的关键． 49．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立；理由见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，可得，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为8． 50．在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【详解】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3）结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 51．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么． 【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接， ，， 在与中 ， ， ，， ， 在与中 ， ， ， ， 即； （2）线段、、之间的数量关系是， 在上截取，连接， ，，， ， 在与中 ， ， ， ， 又∵， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 52．在四边形中，的平分线交边于点，的平分线交直线于点． (1)当点O在四边形的内部时． ①如图①，若，，，则_______°， (2)如图②，试探索和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当点在四边形的外部时，请你直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）由平行线可得，，再根据得出，根据角平分线的定义即可得出，，进而得出答案； （）由平行线可得，，再根据角平分线的定义即可得出，，又由外角的性质得出答案； （）根据角平分线的定义得出，，再根据四边形的内角和得出，最后根据三角形的内角和得出答案即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵的平分线交边于点，的平分线交直线于点， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴，， ∵的平分线交边于点，的平分线交直线于点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的平分线交边于点，的平分线交直线于点， ∴，， 在四边形中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和，三角形内角和定理应用，掌握以上知识点是解题的关键． 53．综合与探究 如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现． (1)请你证明老师的发现； (2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？” ①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；②，证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键． （1）根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明结论； （2）①根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．②根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可． 【详解】（1）证明：∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ． ∴． （2）解：①如图2：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴． ②如图3：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中各名校真题-压轴必刷题（53题） 范围：第一章～第三章 一、单选题 1．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 2．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 3．一个多边形的内角和是，则从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是（    ） A．11 B．13 C．9 D．10 4．如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．若一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 6．如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 7．在中，，点是线段上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． ；当时； 平分；无论怎样变化，始终存在，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点，下列结论中正确的结论有（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 9．如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论： ①； ②∥； ③； ④． 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 10．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 二、填空题 11．如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为 ． 12．如图，的面积为，平分，，则的面积为 ． 13．如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则为 ．    14．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 15．如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为 时，和全等． 16．工人师傅常用角尺平分一个任意伯．作法如下：如图所示，是一个任章角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 17．如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则 ． 18．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ． 19．如图，在中，，的平分线交于点O，平分外角，交的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点．若，则的度数为 ． 20．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 21．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 22．如图，的度数为 ．    三、解答题 23．如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 24．如图，，分别是的边，上的高，且，． 求证： (1)； (2)． 25．如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是　　　　（请写序号），并给出证明过程． 26．已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 27．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 28．已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 29．如图，平分，为上一点，，，垂足分别为，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 30．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 31．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 32．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 33．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 34． 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为 ． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 35．在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点D坐标为，已知a，b，d满足，轴且，交y轴于点C，交x轴于点F． (1)求点A，B，D的坐标； (2)求点E，F的坐标； (3)如图，过作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在Р的右侧）使，OE交x轴于N，交y轴正半轴于M，求的值． 36．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 37．如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且． (1)当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (3)在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长． 38．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 39．如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 40．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 41．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 42．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 43．在中，平分交于点．    (1)如图1，若，则　 　．（直接写出结果） (2)如图2，点为延长线上的一点，于点，当时，求的度数． (3)如图3，平分的外角交的延长线于点，连，点是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 44．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    45．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则___________°，___________°； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 46．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD．    (1)求AKO的度数； (2)如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明． 47．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 48．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 49．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 50．在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 51．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 52．在四边形中，的平分线交边于点，的平分线交直线于点． (1)当点O在四边形的内部时． ①如图①，若，，，则_______°， (2)如图②，试探索和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当点在四边形的外部时，请你直接写出和之间的数量关系． 53．综合与探究 如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现． (1)请你证明老师的发现； (2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？” ①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$