期中复习（易错题50题21个考点）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

期中复习（易错题50题21个考点） 范围：第1章-第3章 一．三角形的角平分线、中线和高（共3小题） 1．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 2．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 3．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　cm． 二．三角形的面积（共1小题） 4．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三．三角形内角和定理（共6小题） 5．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（　　） A．120° B．60° C．140° D．无法确定 6．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 7．如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若∠A＝65°，则∠1+∠2＝（　　） A．25° B．65° C．115° D．130° 8．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　 　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　 　． 9．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　 　． 10．已知，如图，AB与CD交于点O （1）如图1，若∠A＝∠B，求证：∠A+∠C＝∠B+∠D （2）如图2，若∠A≠∠B，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论（注：不能用三角形内角和定理） （3）如图3，若∠B＝65°，∠C＝25°，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，请你（2）中结论求出∠P的度数，请直接写出结果∠P＝　 　． 四．三角形的外角性质（共4小题） 11．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 12．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 13．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°． 14．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点． （1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，若∠BAC＝60°，则∠BDC＝　 　°，∠BEC＝　 　°； （2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数． 五．全等图形（共1小题） 15．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　 　． 六．全等三角形的判定（共3小题） 16．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4） 17．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　 　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 18．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 　 　． 七．全等三角形的判定与性质（共9小题） 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论： ①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH； ⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 　 　．（只填写序号） 20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4） （1）运动　 　秒时，AE＝DC； （2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由； （3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝　 　（用含α的式子表示）． 21．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数； （3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形． 23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点． （1）求证：△ADB≌△CDE； （2）求∠MDN的度数． 24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． （1）求证：BE＝CG； （2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）求OA、OB的长； （2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围； （3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90° （1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5， ①求证：AF⊥BD； ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD． 27．如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P． （1）求证：△AOD≌△COB； （2）求∠APC（用含α的式子表示）； （3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系． 八．角平分线的性质（共2小题） 28．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 九．线段垂直平分线的性质（共1小题） 30．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝22°，∠PCB＝33°，则∠PAB的度数为（　　） A．33° B．35° C．37° D．39° 一十．等腰三角形的性质（共1小题） 31．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 一十一．等腰三角形的判定（共1小题） 32．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 一十二．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 33．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定 一十三．等边三角形的性质（共1小题） 34．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　 　． 一十四．等边三角形的判定与性质（共2小题） 35．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 36．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 一十五．含30度角的直角三角形（共1小题） 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 一十六．多边形内角与外角（共3小题） 38．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（　　） A．360° B．540° C．180°或360° D．540°或360°或180° 39．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　） A．240° B．360° C．540° D．720° 40．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β． （1）如图1，若α+β＝100°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式； （3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 一十七．生活中的轴对称现象（共1小题） 41．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 一十八．轴对称的性质（共1小题） 42．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH （1）求∠BPD的大小； （2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BAP＝∠CAH． 一十九．作图-轴对称变换（共1小题） 43．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二十．剪纸问题（共1小题） 44．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　） A． B． C． D． 二十一．轴对称-最短路线问题（共6小题） 45．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 46．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 47．如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（　　） A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α 48．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 　 　． 49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是　 　． 50．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝，ON＝6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题50题21个考点） 范围：第1章-第3章 一．三角形的角平分线、中线和高（共3小题） 1．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 2．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 3．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　10　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线， ∴CE＝BE， 又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm， ∴AC﹣AB＝2cm， 即AC﹣8＝2cm， ∴AC＝10cm， 故答案为：10； 二．三角形的面积（共1小题） 4．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：C点所有的情况如图所示： 故选：D． 三．三角形内角和定理（共6小题） 5．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（　　） A．120° B．60° C．140° D．无法确定 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°， 又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6， ∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°， ∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°， 故选：C． 6．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝60°， ∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°， ∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF， ∴∠AED+∠AFD＝2（∠AEF+∠AFE）＝2×120°＝240°， ∴∠1+∠2＝180°×2﹣240°＝360°﹣240°＝120°． 故选：C． 7．如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若∠A＝65°，则∠1+∠2＝（　　） A．25° B．65° C．115° D．130° 【答案】D 【解答】解：∵△NDE是△ADE翻折变换而成， ∴∠AED＝∠NED，∠ADE＝∠NDE，∠A＝∠N＝65°， ∴∠AED+∠ADE＝∠NED+∠NDE＝180°﹣65°＝115°， ∴∠1+∠2＝360°﹣2×115°＝130°． 故选：D． 8．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　17.5°　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B， ∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°； 同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝． 故答案为：17.5°，． 9．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　92°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝46°， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D， 则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+92°， 则∠1﹣∠2＝92°． 故答案为：92°． 10．已知，如图，AB与CD交于点O （1）如图1，若∠A＝∠B，求证：∠A+∠C＝∠B+∠D （2）如图2，若∠A≠∠B，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论（注：不能用三角形内角和定理） （3）如图3，若∠B＝65°，∠C＝25°，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，请你（2）中结论求出∠P的度数，请直接写出结果∠P＝　45°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠A＝∠B， ∴AC∥BD， ∴∠C＝∠D， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图，过A作AE∥BD，过C作CF∥BD，则CF∥AE， ∴∠OAE＝∠B，∠OCF＝∠D， ∴∠D+∠B＝∠OAE+∠OCF， 又∵CF∥AE， ∴∠ACF＝∠CAE， ∴∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OCA+∠CAE， ∴∠D+∠B＝∠OAE+∠OCA+∠CAE＝∠CAO+∠ACO； （3）由（2）中结论可得， ∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BDP+∠B＝∠BAP+∠P， 两式相加，可得 ∠CAP+∠C+∠BDP+∠B＝∠CDP+∠P+∠BAP+∠P， ∵AP平分∠BAC，DP平分∠BDC， ∴∠CAP＝∠BAP，∠CDP＝∠BDP， ∴∠C+∠B＝∠P+∠P， ∴∠P＝（∠C+∠B）＝×90°＝45°． 故答案为：45°． 四．三角形的外角性质（共4小题） 11．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°， ∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°， ∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°， 整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD， 即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°． 故选：B． 12．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠1） ＝90°+∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 13．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 14．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点． （1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，若∠BAC＝60°，则∠BDC＝　120　°，∠BEC＝　100　°； （2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， 又∵点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣60°＝120°； ∵∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB， ∴∠EBC+∠ECB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（360°﹣120°）＝80°， ∴△BCE中，∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣80°＝100°； 故答案为：120，100； （2）由（1）可得，∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∴∠FDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A， ∵∠FCG是△BCF的外角，∠ACG是△ABC的外角， ∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC，∠A＝∠ACG﹣∠ABC， 又∵BF平分∠ABC，FC平分∠ACG， ∴∠FBC＝∠ABC，∠FCG＝∠ACG， ∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC＝∠ACG﹣∠ABC＝（∠ACG﹣∠ABC）＝∠A， ∵DC平分∠ACB，FC平分∠ACG， ∴∠DCF＝∠ACD+∠ACF＝∠BCG＝90°， 在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则 ①当∠FDC＝4∠F时，90°﹣∠A＝4×∠A， 解得∠A＝36°； ②当∠F＝4∠FDC时，∠A＝4×（90°﹣∠A）， 解得∠A＝144°（不合题意）； ③当∠DCF＝4∠FDC时，90°＝4×（90°﹣∠A）， 解得∠A＝135°（不合题意）； ④当∠DCF＝4∠F时，90°＝4×∠A， 解得∠A＝45°； 综上所述，锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°． 五．全等图形（共1小题） 15．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　45°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE， ∴∠1＝∠DBE， 又∵∠DBE+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°． ∵∠2＝45°， ∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45°． 六．全等三角形的判定（共3小题） 16．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4） 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∵点A（2，0），B（0，4）， ∴OB＝4，OA＝2， ∵△BOC与△AOB全等， ∴OB＝OB＝4，OA＝OC＝2， ∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）． 综上可知，点C的坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）， 故选：A． 17．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　或3或或　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P在线段BC上运动的时间为t s， ①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm， ∵△BPE≌△CQP， ∴BE＝CP＝5， ∴5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）； ②点P由B向C运动时， ∵△BPE≌△CPQ， ∴BP＝CP， ∴3t＝8﹣3t， t＝， 此时，点Q的运动速度为：5÷＝（cm/s）； ③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8， ∵△BPE≌△CQP， ∴BE＝CP＝5， ∴5＝3t﹣8， 解得t＝， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷＝（cm/s）； ④点P由C向B运动时， ∵△BPE≌△CPQ， ∴BP＝CP＝4， 3t﹣8＝4， t＝4， ∵BE＝CQ＝5， 此时，点Q的运动速度为5÷4＝（cm/s）； 综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s； 故答案为：或3或或． 18．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． 故答案为：． 七．全等三角形的判定与性质（共9小题） 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论： ①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH； ⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 　①②③④⑤　．（只填写序号） 【答案】①②③④⑤． 【解答】解：①∵∠ACB＝45°，BE⊥AC， ∴∠BEA＝∠BEC＝90°， ∴∠EBD＝45°，故①正确； ②∵EH是∠AEB的角平分线， ∴∠HEB＝∠AEB＝45°， ∴∠HEB＝∠EBC＝45°， ∴EH∥BC， ∵AD⊥BC， ∴AD⊥EH， ∴∠AFE＝∠EAF＝45°， ∴AE＝EF， ∴EH是AF的垂直平分线， ∴AH＝HF；故②正确； ③∵∠BDF＝90°，∠FBD＝45°， ∴∠DFB＝45°， ∴DB＝DF， ∵∠ACB＝45°，AD⊥BC， ∴∠DAC＝45°， ∴AD＝CD， 在△ABD与△CFD中， ， ∴△ABD≌△CFD（SAS），故③正确； ④∵△ABD≌△CFD， ∴AB＝CF， ∴CH＝CF+FH＝AB+AH；故④正确； ⑤∵DF＝AD﹣AF， ∴BD＝CD﹣AF．故⑤正确． 综上所述①②③④⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4） （1）运动　3　秒时，AE＝DC； （2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由； （3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝　90°﹣α　（用含α的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t， ∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t， ∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t）， 解得t＝3， 故答案为：3； （2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8， ∴12﹣2t＝8， 解得t＝2， ∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立； （3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD， 又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB， ∴∠ADE＝∠B， 又∵∠BAC＝α，AB＝AC， ∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α． 故答案为：90°﹣α． 21．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC， 在△OBD和△OCD中， ， ∴△OBD≌△OCD（SAS）， ∴OB＝OC， 又∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， 又∵∠BAC＝120°， ∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°； （2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示： ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠HAO＝∠CAD＝60°， 又∵OH⊥BP， ∴∠OHA＝90°， ∴∠HOA＝30°， ∴AO＝2AH， 又∵BO＝PO，OH⊥BP， ∴BH＝PH， 又∵HP＝AP+AH， ∴BH＝AP+AH， 又∵AB＝BH+AH， ∴AB＝AP+2AH， 又∵AB＝AC，AO＝2AH， ∴AC＝AP+AO． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数； （3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE和△CEF中， ∵， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE， 即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE， ∵△BDE≌△CEF， ∴∠CEF＝∠BDE， ∴∠DEF＝∠B， 又∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝65°， ∴∠DEF＝65°； （3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF， 由（2）知，∠DEF＝∠B， 而∠B不可能为直角， ∴△DEF不可能是等腰直角三角形． 23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点． （1）求证：△ADB≌△CDE； （2）求∠MDN的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ABD与△CDE中， ， ∴△ABD≌△CDE（SAS）； （2）∵△ABD≌△CDE， ∴∠BAD＝∠DCE，AB＝CE， ∵M、N分别是AB、CE的中点， ∴AM＝AB，CN＝CE， ∴AM＝CN， 在△ADM和△CDN中， ， ∴△ADM≌△CDN（SAS）， ∴∠ADM＝∠CDN， ∵∠CDN+∠ADN＝90°， ∴∠ADM+∠ADN＝90°， ∴∠MDN＝90°． 24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． （1）求证：BE＝CG； （2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AB∥CG， ∴∠B＝∠DCG， 在△BDE和△CDG中， ∵∠BDE＝∠CDG， BD＝CD， ∠DBE＝∠DCG， ∴△BDE≌△CDG（ASA）， ∴BE＝CG； （2）BE+CF＞EF．理由： 如图，连接FG， ∵△BDE≌△CDG， ∴DE＝DG， 又∵FD⊥EG， ∴FD垂直平分EG， ∴EF＝GF， 又∵△CFG中，CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞EF． 25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）求OA、OB的长； （2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围； （3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6，3； （2）①4≤t＜6； ②4≤t≤8且t≠6； （3）t的值是3或9． 【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+＝0， ∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0， 解得：n＝3，m＝6， ∴OA＝6，OB＝3； （2）分为两种情况：①当P在线段OA上时， AP＝t，PO＝6﹣t， ∴△BOP的面积S＝×（6﹣t）×3＝9﹣t， ∵若△POB的面积不大于3且不等于0， ∴0＜9﹣t≤3， 解得：4≤t＜6； ②当P在线段OA的延长线上时，如图， AP＝t，PO＝t﹣6，∴△BOP的面积S＝×（t﹣6）×3＝t﹣9， ∵若△POB的面积不大于3且不等于0， ∴0＜t﹣9≤3， 解得：6＜t≤8； 即t的范围是4≤t≤8且t≠6； （3）当OP＝OB＝3时，分为两种情况（如图）：第一个图中t＝3， 第二个图中AP＝6+3＝9，即t＝9； 即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9． 26．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90° （1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5， ①求证：AF⊥BD； ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①证明：如图1， ∵在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵∠AEC＝∠BEF， ∴∠BFE＝∠ACE＝90°， ∴AF⊥BD． ②∵∠ECD＝90°，BC＝AC＝12，DC＝EC＝5， ∴根据勾股定理得：BD＝13， ∵S△ABD＝AD•BC＝BD•AF， 即 ∴AF＝． （2）证明：如图2，∵∠ACB＝∠ECD， ∴∠ACB+∠ACD＝∠ECD+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4， ∴∠BFA＝∠BCA＝90°， ∴AF⊥BD． 27．如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P． （1）求证：△AOD≌△COB； （2）求∠APC（用含α的式子表示）； （3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠APC＝α；（3）OM＝ON，理由见解析． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD， ∴∠AOD＝∠COB， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（SAS）； （2）由（1）可知△AOD≌△COB， ∴∠OAD＝∠OCB， 令AD与OC交于点E， 则∠AEC＝∠OAD+∠AOC＝∠OCB+∠APC， ∴∠AOC＝∠APC， ∵∠AOC＝α， ∴∠APC＝α； （3）∵△AOD≌△COB， ∴∠PAO＝∠BCO，即∠MAO＝∠NCO， ∵OM⊥AD，ON⊥BC， ∴∠AMO＝∠CNO＝90°， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴OM＝ON． 八．角平分线的性质（共2小题） 28．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【答案】A 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：A． 29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【解答】解：作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝4， ∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30， 故选：B． 九．线段垂直平分线的性质（共1小题） 30．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝22°，∠PCB＝33°，则∠PAB的度数为（　　） A．33° B．35° C．37° D．39° 【答案】B 【解答】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠PCA＝∠PAC＝22°，∠PBC＝∠PCB＝33°，∠PAB＝∠PBA， ∵∠PCA+∠PAC+∠PBC+∠PCB+∠PAB+∠PBA＝180°， ∴∠PAB＝∠PBA＝35°， 故选：B． 一十．等腰三角形的性质（共1小题） 31．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 【答案】C 【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°； ②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°． 故选：C． 一十一．等腰三角形的判定（共1小题） 32．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置； 以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置； 作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点． 故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选：B． 一十二．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 33．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：如图，延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2）， 故选：B． 一十三．等边三角形的性质（共1小题） 34．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　30a　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手， 比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x， 则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a， 所以六边形周长是， 2x+2（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）＝7x+9a， 而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍， 即x+3a＝2x， 故x＝3a． 所以周长为7x+9a＝30a． 故答案为：30a． 一十四．等边三角形的判定与性质（共2小题） 35．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∵∠AFE＝∠ABC＝120°， ∴∠AFD＝∠ABD＝90°， 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°， ∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI＝∠FAD＝60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM＝60°＝∠M， ∴ED＝EM， 同理AF＝QF， 即AF＝QF＝EF＝EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF＝ZN＝a， ∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证）， ∴∠GFZ＝30°， ∴GZ＝GF＝a， 同理IN＝a， ∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a； 同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a； 同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×a， 故选：A． 36．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）故答案为：＝． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵等边三角形ABC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°， ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴BD＝EF＝AE， 即AE＝BD， 故答案为：＝． （3）解：CD＝1或3， 理由是：分为两种情况：①如图1 过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AB＝1，AE＝2， ∴AB＝BE＝1， ∵EN⊥DC，AM⊥BC， ∴∠AMB＝∠ENB＝90°， 在△ABM和△EBN中， ， ∴△AMB≌△ENB（AAS）， ∴BN＝BM＝， ∴CN＝1+＝， ∴CD＝2CN＝3； ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AM∥EN， ∴＝， ∴＝， ∴MN＝1， ∴CN＝1﹣＝， ∴CD＝2CN＝1， 即CD＝3或1． 一十五．含30度角的直角三角形（共1小题） 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【答案】（1）； （2）或t＝1． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝t cm. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 一十六．多边形内角与外角（共3小题） 38．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（　　） A．360° B．540° C．180°或360° D．540°或360°或180° 【答案】D 【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°， 边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°． 故选：D． 39．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　） A．240° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【解答】解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N， 在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°， ∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故选：B． 40．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β． （1）如图1，若α+β＝100°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式； （3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β）， ∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝100°． （2）β﹣α＝80° 理由：如图1，连接BD， 由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC， ∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β）， 在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β， 在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°， ∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°， ∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°， ∴（α+β）+180°﹣β+40°＝180°， ∴β﹣α＝80°， （3）平行， 理由：如图2，延长BC交DF于H， 由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC， ∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β）， ∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB， ∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB， ∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β）， ∵α＝β， ∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β， ∴∠CBE＝∠DHB， ∴BE∥DF． 一十七．生活中的轴对称现象（共1小题） 41．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是4号． 故选：D． 一十八．轴对称的性质（共1小题） 42．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH （1）求∠BPD的大小； （2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BAP＝∠CAH． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°， ∴∠APC＝15°+45°＝60°， ∵点C关于直线PA的对称点为D， ∴PD＝PC，AD＝AC， ∴△ADP≌△ACP， ∴∠APC＝∠APD＝60°， ∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°； （2）直线BD，AH平行．理由： ∵BC＝3BP， ∴BP＝PC＝PD， 如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形， ∴∠BEP＝60°， ∴∠BDE＝∠BEP＝30°， ∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC． 又∵△APC的PC边上的高为AH， ∴AH⊥BC， ∴BD∥AH； （3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F． ∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上， ∴AH＝AF． ∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠GBA＝∠CBA＝45°， 即点A在∠GBC的平分线上， ∴AG＝AH， ∴AG＝AF， ∴点A在∠GDP的平分线上． 又∵∠BDP＝30°， ∴∠GDP＝150°， ∴∠ADP＝×150°＝75°， ∴∠C＝∠ADP＝75°， ∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°， ∴∠BAP＝∠CAH． 一十九．作图-轴对称变换（共1小题） 43．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD， ∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确； ∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°， 由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC， 又∵∠EPO＝∠BPA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确； ∵△ACE≌△ADB， ∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE， ∴BD边上的高与CE边上的高相等， 即点A到∠BOC两边的距离相等， ∴OA平分∠BOC，故③正确； 只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误； 在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°， ∴BP＜EQ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：B． 二十．剪纸问题（共1小题） 44．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B． 故选：B． 二十一．轴对称-最短路线问题（共6小题） 45．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°， 故选：B． 46．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图， 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∴∠AE′F′＝65°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， ∵AG＝AG， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， ∴∠E′B′G＝∠E′BG， ∵∠BAC＝50°， ∴∠AB′F′＝40°， ∴∠ABE＝40°， ∴∠BE′F′＝50°， ∴∠AE′B＝115°． 故选：B． 47．如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（　　） A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α 【答案】B 【解答】解：作点C关于OM的对称点C′，过点C′作射线OP，则∠MOP＝α，连接C′B，C′D，则C′B＝CB，C′D＝CD，作点D关于OP的对称点D′，过点D′作射线OQ，则∠POQ＝α，连接C′D′，则C′D′＝C′D＝CD， ∴AB+BC+CD＝AB+BC′+C′D′， 要使AB+BC+CD最小，需点A，B，C′，D′在一条直线上，且AD′⊥OQ， ∵α＜30°， ∴∠NOQ＝3α＜90°， ∴可以过点A作AD′⊥OQ， 此时∠BCD＝BC'D＝∠MOQ＝2α， ∠ABC＝∠BCD+∠BC′D＝4α， ∴当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝2α+4α＝6α， 故选：B． 48．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 　30°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接CF， ∵△ABC、△BEF都是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°， ∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△BAE和△BCF中， ， ∴△BAE≌△BCF（SAS）， ∴∠BCF＝∠BAD＝30°， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG， ∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小， 由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG， ∴△DCG是等边三角形， ∴DG＝DC＝DB， ∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°， 故答案为：30°． 49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′． ∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q， ∴∠PAQ＝∠P′AQ． 又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上， ∴∠PAQ＝∠BAQ， ∴∠P′AQ＝∠BAQ， ∴点P′在边AB上． ∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短． ∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4， ∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB， 此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2． 故填：2． 50．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝，ON＝6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝，ON′＝ON＝6， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′＝＝＝． 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/25 12:34:57；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$