第04讲 4.3.1等比数列的概念（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第04讲 4.3.1等比数列的概念 课程标准 学习目标 ①理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念。 ②能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题.。 能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题 知识点01：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 知识点02：等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 【即学即练1】（2025·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（    ）． A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列是等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 知识点03：等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 知识点04：等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【即学即练2】（23-24高二下·全国·课前预习）知识点03等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 （1）当 时，数列为递增数列； （2）当 时，数列为递减数列； （3）当 时，数列为常数列： （4）当 时，数列为摆动数列. 【答案】 或 或 【知识点】等比数列的单调性 【解析】略 知识点05：等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 知识点06：等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【即学即练3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）等比数列中，若，则 ． 【答案】 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的定义及等比中项计算即可. 【详解】设的公比为，则， 由等比中项的性质知. 故答案为：. 题型01 等比数列通项公式的应用 【典例1】（23-24高二下·广西桂林·期末）在数列中，，对任意m，，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、写出等比数列的通项公式 【分析】利用恒等式赋值得到等比递推，即可求解. 【详解】令得：，所以是等比数列，首项为，公比为， 则，即 ， 故选：C. 【典例2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的性质可得，即有，解出的值，即可求出公比，得出通项. 【详解】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得， 又，所以有， 由是递增的等比数列，解得， 所以， 即有. 故答案为：. 【典例3】（2024·四川达州·二模）等差数列的前项和为，当和5时，取得最大值． (1)求； (2)若为等比数列，，求通项公式． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设出公差，由题目条件得到，求出公差，从而得到； （2）计算出，得到公比，得到通项公式. 【详解】（1）设等差数列公差为，， ，即， ，． （2）由（1）得， ，， 数列公比为， ． 【变式1】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）设是等比数列的前三项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【详解】因为是等比数列的前三项，所以，解得：，，则公比，所以 故选：A 【变式2】（23-24高二下·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1)405； (2)5； (3). 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列性质计算即得. （2）（3）利用等比数列通项公式求解即得. 【详解】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求数列的通项公式； 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】将变形构造成，利用等比数列的定义进行证明，求出的通项公式，移项即可求解． 【详解】由已知， 所以， 又， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以， 即 题型02 等比中项 【典例1】（23-24高一下·四川泸州）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【答案】D 【知识点】等比数列子数列性质及应用 【分析】由等比数列的性质求解 【详解】数列是等比数列，则，， 而，故． 故选：D 【典例2】（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列，，，则 . 【答案】 【知识点】确定等比中项、等比中项的应用 【分析】利用等比中项的性质得出，，，再利用等比中项的性质可得出，即可计算出的值. 【详解】由等比中项的性质得出，，， 易知，、、成等比数列，则、、成等比数列， . 故答案为：. 【点睛】本题考查等比数列中项的计算，灵活利用等比中项的性质，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 【典例3】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知各项都为正数的等比数列，若，则 . 【答案】9 【知识点】等比中项的应用、对数的运算 【分析】首先分析题意，利用等比中项性质化简求解即可. 【详解】已知各项都为正数的等比数列，且， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：9. 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）如果，，，，成等比数列，那么 ， ． 【答案】 9 【知识点】等比中项的应用 【分析】根据等比中项及等比数列通项项的性质计算. 【详解】因为是，的等比中项， 所以，即， 又等比数列奇数项符号相同， 得，故. 而又是，的等比中项， 故，即. 故答案为：；9 【变式2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知在等比数列中，，．求，的等比中项． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、确定等比中项 【分析】利用等比数列的通项公式列式求解，再由等比中项的定义求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 得， 由立方差公式知， 所以，得. 所以. 设为，的等比中项， 则， 所以 所以，的等比中项是. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 【答案】(1)440 (2)205 【知识点】正项等比数列的对数成等差数列的应用、等比中项的应用、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】（1）利用等差数列的求和公式和下标和性质即可得到答案； （2）根据正项等比数列的性质即可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式和等比中项的性质即可得到答案. 【详解】（1）由等差数列求和公式知． （2）∵为正项等比数列，∴为等差数列，从而 ． 题型03 等比数列的判断与证明 【典例1】（23-24高一下·上海·期中）若数列的通项公式为，则这个数列是一个（    ） A．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以为公比的等比数列 C．以为首项，以3为公比的等比数列 D．以为首项，以为公比的等比数列 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列 【分析】利用等比数列的性质和定义求出首项和公比即可. 【详解】根据题意，数列的通项公式为， 当时，有， 当时，， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）数列的前项和．求的通项公式，并判断是否是等比数列． 【答案】；不是等比数列. 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列 【分析】利用前项和与的关系求出通项公式，再利用等比数列定义判断即得. 【详解】当时，， 当时，不适合上式， 所以的通项公式是； 由于，，，显然不是等比数列，所以不是等比数列. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知正项数列，其前项和为．求数列的通项公式： 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】利用的关系式证得是等比数列，从而得解. 【详解】因为，所以，得， 又由，得， 两式相减，得，即，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【变式1】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）数列满足，，若，则项数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列 【分析】根据等比数列的通项公式可求的值. 【详解】因为，，故，故，故， 令，故， 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等比数列： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)是等比数列 (2)不是等比数列 (3)答案见解析 【知识点】由定义判定等比数列、等比数列的定义 【分析】（1）（2）（3）由等比数列定义判断或证明即可. 【详解】（1）记数列为，则． ， 数列为等比数列，且公比为3； （2）记数列为，则，，，…， ， 数列不是等比数列． （3）当时，数列为不是等比数列； 当时，因为， 所以数列是等比数列，且公比为； 综上所述，当时，数列不是等比数列； 当时， 数列是等比数列. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：是等比数列； 【答案】证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、由定义判定等比数列 【分析】变形得到，证明出结论. 【详解】因为数列中，，， 所以，且， 所以是等比数列，公比为2，首项为2. 题型04 等比数列性质的应用 【典例1】（2025·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（    ）． A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列是等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 【典例2】（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若为等比数列，，，则 . 【答案】或/或 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求，，可求的值. 【详解】因为数列为等比数列，所以，又， 所以或，因为，所以为或. 故答案为：或 【典例3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于 ； 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算 【分析】由得，再根据等比数列的性质得，进而可得. 【详解】由得， 所以， 因为等比数列的各项均为正数， 所以， 故，得. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比. 【详解】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选:：D 【变式2】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知等比数列满足，则的最小值是 ． 【答案】27 【知识点】基本不等式求和的最小值、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据题意利用等比数列性质可得，对于利用等边数列性质可得，再结合基本不等式运算求解. 【详解】因为数列是等比数列，则，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是27. 故答案为：27. 【变式3】（2024高一·全国）在等比数列中，已知，则 . 【答案】/ 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质，根据两根和，积，构造二次方程，即可求解，即可求解. 【详解】由， 由和分别为方程的根得 或，则. 故答案为： 题型05 构造等比数列求通项公式（构造法求通项） 【典例1】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】根据递推公式，构造等比数列得出数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】构造法得到新数列为等比数列，求出通项公式，再得到原数列通项公式. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，① 又因为，所以，数列为常数列， 故，② ②①可得，所以，， 所以，对任意的，. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求数列的通项公式； 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】将变形构造成，利用等比数列的定义进行证明，求出的通项公式，移项即可求解． 【详解】由已知， 所以， 又， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以， 即． 【变式1】（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】ABD 【知识点】判断数列的增减性、判断或写出数列中的项、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 题型06 等比数列在传统文化中的应用 【典例1】（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【知识点】等比数列的简单应用 【分析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗， 由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗. 故选：C. 【典例2】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（    ） A．12 B．13 C．40 D．121 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、根据规律填写数列中的某项 【分析】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果. 【详解】设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为， 依题意可得，且有， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， ①； 又，， 故有， ∴为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列， ②； 由①②相加减得： ，； 所以． 故选：C． 【典例3】（多选）（2024·湖北·模拟预测）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（ ） A．若n为质数，则 B．数列单调递增 C．数列的最大值为1 D．数列为等比数列 【答案】ACD 【知识点】判断数列的增减性、由定义判定等比数列、函数新定义 【分析】利用新定义，结合数列的单调性和等比数列的定义逐个判断即可. 【详解】因为为质数，故小于或等于的正整数中与互质的数的数目为 ，此时，故A正确. 因为，所以，故数列不是单调递增，故B错误. 小于等于的正整数中与互质的数为，数目为， 所以在时递减，故当时，数列的最大值为1，故C正确. 小于等于的正整数中与互质的数的数为，数目为， 故，而，故数列为等比数列，故D正确. 故选： ACD. 【点睛】关键点点睛：从质数定义入手，结合题目信息，逐步解答. 【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（     ） A． B．为等差数列 C．为等比数列 D． 【答案】C 【知识点】归纳推理概念辨析、由定义判定等比数列、根据规律填写数列中的某项 【分析】由题意可得，判断A；归纳得到，结合等差数列以及等比数列的概念可判断B，C；求出，判断D. 【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次： 若有2个圆盘，则移动情况为：，需移动3次； 若有3个圆盘，则移动情况如下： ，共7次，故，A错误； 由此可知若有n个圆盘，设至少移动次，则, 所以，而，故为等比数列， 故即，该式不是n的一次函数， 则不为等差数列，B错误； 又，则，，则为等比数列，C正确， ，D错误， 故选：C 【变式2】（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案. 【详解】依题意，（），， 当时， ， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A 【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解. 【变式3】（23-24高二下·辽宁·期末）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列是以黄金分割数为公比的等比数列，且，则 ． 【答案】2023 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据题意列方程求出黄金分割数，则可得等比数列的公比，然后根据等比数列的通项公式和黄金分割数的性质求解即可. 【详解】由题意，设整体为1，较大部分为，则较小部分为，则， 即，解得（舍去），故黄金分割数为． 令，则，即， 所以，故． 故答案为：2023 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）公比为的等比数列满足，，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列的通项公式：，代入解关于的方程，即可得的值. 【详解】由，知，又， 则， ，解得（舍），或. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列，，中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比中项的应用 【分析】根据等比数列的定义及等比中项的性质列方程可得解. 【详解】由题意可得， 解得或， 当时，，，不满足条件； 当时，等比数列为，，，满足条件， 故选：B. 3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等比数列的公比为4，则的值为（    ） A．4 B． C． D．16 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列项的性质化简计算即得. 【详解】因等比数列的公比为4，故. 故选：A. 4．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，得． 故选：C 5．（23-24高二下·河南·期末）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（    ） A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质计算即可. 【详解】因为与的等比中项为2， 所以， 所以． 故选：D． 6．（2025·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（    ）． A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列是等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 7．（24-25高二上·全国·随堂练习）若互不相等的实数，，成等差数列，是，的等比中项，且，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比中项的应用、等差中项的应用 【分析】根据等差中项、等比中项及题意列出方程，求解即可. 【详解】因为成等差数列， 所以, 因为是的等比中项， 所以, 又因为, 联立, 解得, 故选：D. 8．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【答案】B 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、等比数列的简单应用、由递推关系式求通项公式 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】ABD 【知识点】判断数列的增减性、判断或写出数列中的项、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 10．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（    ） A．一定为等差数列 B．可能为等比数列 C．若，则一定为递增数列 D．若，则存在，使得 【答案】BD 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列、判断等差数列、判断数列的增减性 【分析】对于A：证明，才是等差数列，对于B：取，即可说明；对于C：证明可判断，对于D：用二次函数的性质说明即可. 【详解】对于A：当时，， 该通项公式为一次函数形式，所以从第二项起为等差数列， 所以数列是等差数列的条件只需满足当时满足的通项公式即可， 即当，，所以只有当时，才是等差数列，故A错误； 对于B：当时，，满足要求，故B正确； 对于C：若，则，所以，故C错误； 对于D，若，函数的图象关于直线对称，因此，从而，故D正确. 故选：BD 三、填空题 11．（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若为等比数列，，，则 . 【答案】或/或 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求，，可求的值. 【详解】因为数列为等比数列，所以，又， 所以或，因为，所以为或. 故答案为：或 12．（2024·四川雅安·三模）等比数列中，每项均为正数，且，则 . 【答案】4 【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列性质和对数运算求解即可. 【详解】由题意得. 故答案为：4. 四、解答题 13．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可. 【详解】（1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． B能力提升 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】根据递推公式，构造等比数列得出数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二下·广东湛江·期中）在数列中，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】对于这种类型的递推公式，一般构造成等比数列，进而利用待定系数法求即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 3．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数字，则= ． 【答案】4 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】由已知整理得，再由已知得 ，则数列的通项公式为 ，根据指数运算得出数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，由此可得选项. 【详解】因为， 整理得，由已知得， 所以，则有，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则其通项公式为，所以， 又，个位数字为2；，个位数字为4；，个位数字为8；，个位数字为6， 所以数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，所以与的个位数字相同， 所以. 故答案为：4. 4．（24-25高三上·北京·开学考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，给出下列四个结论： ①；②；③有最小值；④的最大值为. 上述结论中正确的是 . 【答案】①②③④ 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列下标和性质及应用、确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】②分类讨论的取值，当与时均不满足题意，故；①由等比数列得数列单调性，由得与的大小进而得到；③由，可知最小值为；④由与的大小讨论的单调性，可得的最大值为. 【详解】②由等比数列的公比为，则， 若，由，则，且， 即，且，则，这与已知矛盾，故； 若，由，得，且， 则，这与矛盾，故； 综上可知，，故②正确； ①由，得， 则，故是递减数列， 故，由，则，且， 所以，故①正确； ③当时，，恒成立，即是递增数列， 所以有最小值， 且最小值为，故③正确； ④由上可知，，且恒有， 故当时， ，则有， 当时，，则有， 所以是的最大值，故④正确. 故答案为：①②③④. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】证明见解析， 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列 【分析】根据求出和的关系式，求出，根据得到数列的首项和公比，求出，求出. 【详解】因为，所以， 则，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以. 6．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可得出，再由可得出，求出的值，确定等比数列的公比，即可求得数列的通项公式； （2）假设在数列中是否存在三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，由等比数列的定义结合已知条件化简得出，结合以及可得出结论. 【详解】（1）等比数列中，，当时，， 两式相减得，则，于是等比数列的公比为3， 当时，，即，解得， 所以数列的通项公式是. （2）依题意，， 假设存在满足题意的3项， 由成等比数列，得，即①， 由成等差数列，得，代入①，有，故其分母相等， 因此， 整理得：，又，则 即，解得，则，与题设矛盾， 所以假设错误，即不存在满足题意的3项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 4.3.1等比数列的概念 课程标准 学习目标 ①理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念。 ②能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题.。 能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题 知识点01：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 知识点02：等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 【即学即练1】（2025·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（    ）． A．2 B． C．4 D．8 知识点03：等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 知识点04：等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【即学即练2】（23-24高二下·全国·课前预习）知识点03等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 （1）当 时，数列为递增数列； （2）当 时，数列为递减数列； （3）当 时，数列为常数列： （4）当 时，数列为摆动数列. 知识点05：等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 知识点06：等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【即学即练3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）等比数列中，若，则 ． 题型01 等比数列通项公式的应用 【典例1】（23-24高二下·广西桂林·期末）在数列中，，对任意m，，都有，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为 ． 【典例3】（2024·四川达州·二模）等差数列的前项和为，当和5时，取得最大值． (1)求； (2)若为等比数列，，求通项公式． 【变式1】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）设是等比数列的前三项，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求数列的通项公式； 题型02 等比中项 【典例1】（23-24高一下·四川泸州）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【典例2】（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列，，，则 . 【典例3】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知各项都为正数的等比数列，若，则 . 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）如果，，，，成等比数列，那么 ， ． 【变式2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知在等比数列中，，．求，的等比中项． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 题型03 等比数列的判断与证明 【典例1】（23-24高一下·上海·期中）若数列的通项公式为，则这个数列是一个（    ） A．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以为公比的等比数列 C．以为首项，以3为公比的等比数列 D．以为首项，以为公比的等比数列 【典例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）数列的前项和．求的通项公式，并判断是否是等比数列． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知正项数列，其前项和为．求数列的通项公式： 【变式1】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）数列满足，，若，则项数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等比数列： (1)； (2)； (3). 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：是等比数列； 题型04 等比数列性质的应用 【典例1】（2025·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（    ）． A．2 B． C．4 D．8 【典例2】（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若为等比数列，，，则 . 【典例3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于 ； 【变式1】（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【变式2】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知等比数列满足，则的最小值是 ． 【变式3】（2024高一·全国）在等比数列中，已知，则 . 题型05 构造等比数列求通项公式（构造法求通项） 【典例1】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求数列的通项公式； 【变式1】（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式3】（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 题型06 等比数列在传统文化中的应用 【典例1】（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【典例2】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（    ） A．12 B．13 C．40 D．121 【典例3】（多选）（2024·湖北·模拟预测）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（ ） A．若n为质数，则 B．数列单调递增 C．数列的最大值为1 D．数列为等比数列 【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（     ） A． B．为等差数列 C．为等比数列 D． 【变式2】（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·辽宁·期末）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列是以黄金分割数为公比的等比数列，且，则 ． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）公比为的等比数列满足，，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列，，中，等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等比数列的公比为4，则的值为（    ） A．4 B． C． D．16 4．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（23-24高二下·河南·期末）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（    ） A．4 B．3 C．1 D．2 6．（2025·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（    ）． A．2 B． C．4 D．8 7．（24-25高二上·全国·随堂练习）若互不相等的实数，，成等差数列，是，的等比中项，且，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 8．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 二、多选题 9．（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 10．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（    ） A．一定为等差数列 B．可能为等比数列 C．若，则一定为递增数列 D．若，则存在，使得 三、填空题 11．（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若为等比数列，，，则 . 12．（2024·四川雅安·三模）等比数列中，每项均为正数，且，则 . 四、解答题 13．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． B能力提升 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东湛江·期中）在数列中，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数字，则= ． 4．（24-25高三上·北京·开学考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，给出下列四个结论： ①；②；③有最小值；④的最大值为. 上述结论中正确的是 . 5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 6．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$