专题03 圆锥曲线的方程（常考37题 压轴31题）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 圆锥曲线的方程（常考37题 压轴31题） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆锥曲线中的定义问题 · 圆锥曲线中上的点到定点的和差问题 · 焦点三角形问题 · 离心率问题 · 弦长问题（含焦点弦） · 中点弦问题 · 椭圆中的离心率最值（或范围） · 双曲线中的离心率最值（或范围） · 圆锥曲线中面积定值问题 · 圆锥曲线中面积最值（范围）问题 · 圆锥曲线中的定点问题 · 圆锥曲线中的定值问题 · 圆锥曲线中的定直线问题 常考题 一、圆锥曲线中的定义问题（共7小题） 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高二上·广东中山·期中）圆锥曲线光学性质（如图1所示）：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点路线长为；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点路线长为.若与的离心率之比为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 5．（23-24高三下·上海·期中）设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 . 6．（23-24高二上·北京海淀·期中）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：＝1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为 cm．    7．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 二、圆锥曲线中上的点到定点的和差问题（共5小题） 1．（23-24高二上·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 2．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 3．（21-22高二上·黑龙江鸡西·期中）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 . 4．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ． 5．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）已知抛物线：的准线为，，点是上任意一点，过作，垂足为，则的最小值为 . 三、焦点三角形问题（共4小题） 1．（多选）（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 2．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（     ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．直线的斜率之积为 D．椭圆的焦距为 3．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（    ） A．若，则的面积为 B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则 C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为 D．存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为 4．（多选）（23-24高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 四、离心率问题（共6小题） 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 4．（23-24高二下·江苏南通·期中）设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为 ． 5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为 . 6．（23-24高三上·广东广州·期中）已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为 . 五、弦长问题（含焦点弦）（共8小题） 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 3．（23-24高二下·湖南·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ． 5．（23-24高二下·湖南常德·期中）设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ． 6．（23-24高二上·天津·期中）设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点.已知，. (1)求椭圆方程及离心率. (2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点.若，求直线的方程. 7．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知焦点在轴上，焦距为的椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线交椭圆于A，两点，且，求直线的方程． 8．（23-24高二上·河北保定·期中）已知定点，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程． 六、中点弦问题（共7小题） 1．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ． 4．（23-24高二上·重庆·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 . 5．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 6．（23-24高二上·河南·期中）已知抛物线C：（）过点. (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)求以为中点的抛物线C的弦所在直线的方程. 7．（22-23高二上·黑龙江绥化·期中）已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为． (1)求的方程； (2)已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程． 压轴题 一、椭圆中的离心率（共6小题） 1．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·福建福州·期中）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 5．（23-24高二上·湖南·期中）如图，椭圆：和：有相同的焦点，，离心率分别为，，为椭圆的上顶点，，，，三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是 .    6．（21-22高二上·重庆·期末）已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 . 二、双曲线中的离心率（共6小题） 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知椭圆的右焦点与双曲线的一个焦点的连线与的一条渐近线平行，设C的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点且点在轴上的射影恰为该双曲线的右焦点交双曲线于另一点，满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·上海·期中）设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点M，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 6．（23-24高二上·湖南·期中）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线l交双曲线于、两点，线段的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是 . 三、圆锥曲线中面积定值问题（共6小题） 1．（23-24高二上·江苏·期中）已知椭圆的左、右顶点为、，与y轴平行的直线交椭圆于两点、，直线与直线的交点为P． (1)求点P的轨迹方程Γ； (2)若曲线Γ上的点Q满足，求的面积． 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积． 4．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积． 5．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线， (1)若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； (2)若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 6．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知抛物线上的点到其焦点的距离为2． (1)求的方程及焦点的坐标． (2)过点的直线交抛物线于两点，且的面积为8，求直线的方程． 四、圆锥曲线中面积最值（范围）问题（共5小题） 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程及弦的长； (2)椭圆上有一动点，求的最大值． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设圆心的轨迹为 (1)求的方程 (2)若直线过点，且与交于两点 ①若直线与轴交于点，满足，试探究与的关系； ②过点分别作曲线的切线相交于点，求面积的最小值. 4．（23-24高二上·江苏常州·期中）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求M点的坐标，使得的面积最小. 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．    (1)若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值； (2)求四边形面积的取值范围． 五、圆锥曲线中的定点问题（共3小题） 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 2．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知点是抛物线上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点（位于对称轴异侧），（O为坐标原点）． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线l必过定点． 3．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 六、圆锥曲线中的定值问题（共3小题） 1．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 2．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线C的渐近线方程是，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的离心率e的值； (2)若动直线l：与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 3．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期中）已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求证：为定值． 七、圆锥曲线中的定直线问题（共2小题） 1．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴的左、右端点分别为，，短轴的上、下端点分别为，，设四边形的面积为S，且． (1)求，的值； (2)过点作直线与交于，两点（点在轴上方），求证：直线与直线的交点在一条定直线上． $$专题05 圆锥曲线的方程（常考37题 压轴31题） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆锥曲线中的定义问题 · 圆锥曲线中上的点到定点的和差问题 · 焦点三角形问题 · 离心率问题 · 弦长问题（含焦点弦） · 中点弦问题 · 椭圆中的离心率最值（或范围） · 双曲线中的离心率最值（或范围） · 圆锥曲线中面积定值问题 · 圆锥曲线中面积最值（范围）问题 · 圆锥曲线中的定点问题 · 圆锥曲线中的定值问题 · 圆锥曲线中的定直线问题 常考题 一、圆锥曲线中的定义问题（共7小题） 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 2．（23-24高二上·广东中山·期中）圆锥曲线光学性质（如图1所示）：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点路线长为；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点路线长为.若与的离心率之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆与反光镜的设计问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为,由椭圆与双曲线的定义求出两个图形中三角形的周长,再出离心率的比值求得，把转化为的关系得答案. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为, 在图2左边图形中,由椭圆定义可得：①， 由双曲线定义可得：②， 由①②可得： ∴△的周长为. 在图2右图中,光线从椭圆的一个焦点发出，被椭反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED经过，则△EDF1的周长为,又椭圆与双曲线焦点相同,离心率之比为， 所以，又两次所用时间分别为m,n,而光线速度相同， 所以. 故选：C 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】运用抛物线的定义将距离之和的最小值问题转化为三点共线问题，后求最值即可. 【详解】解：如图 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，， 要使点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和最小，则当Q，P，F三点共线时最小，最小值为. 故选：A. 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆定义及辨析 【分析】设，，根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围求的范围即可. 【详解】椭圆，则，，所以， 设，，则， 所以， 又， 所以当时，，当时，， 即的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高三下·上海·期中）设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 . 【答案】3 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线定义可得，结合条件可求. 【详解】因为点在的右支上，为双曲线左、右焦点， 所以， 又，， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高二上·北京海淀·期中）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：＝1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为 cm．    【答案】 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、双曲线定义的理解 【分析】 根据题意求出，设出，代入双曲线方程，求出，进而得到直径. 【详解】 若该花瓶横截面圆的最小直径为，所以， 不妨设为双曲线与瓶口截面的一个交点，且该花瓶的瓶口半径为， 此时，因为点在双曲线上，所以， 解得， 则该花瓶的瓶口直径． 故答案为： ． 7．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 【答案】2 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线定义的理解 【分析】根据中线关系可得与垂直，即可得，进而可得，代入抛物线方程即可求解. 【详解】因为O为中点，轴平行于准线，所以为的中点， 因为，所以与垂直，因为，所以， 所以，故，代入可得， 化简得， 由于，所以，（舍去）， 故答案为：2 二、圆锥曲线中上的点到定点的和差问题（共5小题） 1．（23-24高二上·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值. 【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则， 且，，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为， 根据椭圆的定义得， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A    2．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 【答案】C 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设该椭圆的右焦点为， 因为点P在C上，所以， 所以， 当三点共线时，有最大值，即， 所以的最大值为， 故选：C    3．（21-22高二上·黑龙江鸡西·期中）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由双曲线的定义得出，再结合圆的对称性得出|PM|－|PN|的最大值. 【详解】设双曲线的左右焦点为，则，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为，由圆的对称性可得，，所以，即|PM|－|PN|的最大值为. 故答案为： 4．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ． 【答案】7 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】将曲线可变形为可得，进而可得的方程为，设点在准线上的投影为，抛物线的定义结合几何性质分析求解. 【详解】曲线可变形为 令，解得， 可知曲线恒过点， 因为在抛物线上，则，解得， 所以的方程为，可知的焦点为，准线为， 又因为，可知点在抛物线内， 设点在准线上的投影为，则， 因为， 当且仅当与的准线垂直时，等号成立， 所以点到的焦点与到点的距离之和的最小值为7． 故答案为：7. 5．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）已知抛物线：的准线为，，点是上任意一点，过作，垂足为，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义，可知的最小值为进而可得. 【详解】   如图，抛物线的焦点坐标为， 根据抛物线的定义，所以， 故当，，三点共线时，取得最小值为, , 故答案为： 三、焦点三角形问题（共4小题） 1．（多选）（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据斜率公式即可化简求解A； 根据椭圆定义，结合二次函数的性质即可求解B； 根据点到直线的距离公式即可求解C； 根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解D. 【详解】对于A，设，则， 故A正确， 对于B，由于又，即， 所以， 故当时，取最大值9，当或时，取最小值6，故B错误， 对于C，设方程为，所以，其中为到直线的距离，故C正确， 对于D，由余弦定理可得, 因此， 又， ，故， 故选：ACD 2．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（     ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．直线的斜率之积为 D．椭圆的焦距为 【答案】AB 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆方程，求得，然后逐项判断. 【详解】解：∵椭圆方程为：， ， 的周长为，∴A正确； 面积的最大值为，此时位于短轴的端点，∴B正确； 设在椭圆上，且异于，则， 所以，∴C错误； 椭圆的焦距为，∴D错误． 故选：AB 3．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（    ） A．若，则的面积为 B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则 C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为 D．存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为 【答案】ABC 【知识点】根据韦达定理求参数、由弦中点求弦方程或斜率、双曲线中的定值问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出，进而可得三角形的面积；对于B：设，与直线联立，发现均与无关，进一步分析可得；对于C：求出为定值，进而可得的斜率的范围；对于D：将直线方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果. 【详解】在双曲线中， 对于A：在双曲线的焦点三角形中， ，可得 所以，故A正确；    对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线. 设直线，其与的交点为 联立，可得， 应满足且. 由韦达定理可知，都与无关. 所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为. 由可知，故B正确； 对于C，设，且， ， 所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确； 对于D，联立，消去可得，，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D错误. 故选：ABC. 4．（多选）（23-24高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据渐近线方程和点A的坐标求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析. 【详解】对于A选项：由渐近线方程可知，，离心率,即，故A正确； 对于B选项：由点A在双曲线上得，且，解得,即，,又，,故B正确； 对于C选项：,,，周长为，故C错误； 对于D选项：设，则，，在中，,，设的周长为l，内切圆半径为r，由三角形面积公式：，代入可得，故D正确. 故选:ABD 四、离心率问题（共6小题） 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围. 【详解】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知圆的弦长求方程或参数、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 3．（23-24高二下·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】对勾函数求最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线方程可得出的表达式，再结合并利用对勾函数性质可求得的最大值为. 【详解】由椭圆可得， 由双曲线可得， 所以， 又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最大值为，当且仅当时，等号成立； 故答案为： 4．（23-24高二下·江苏南通·期中）设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【知识点】利用椭圆定义求方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【分析】根据给定的条件，结合椭圆定义用a表示，在中利用余弦定理列式计算作答. 【详解】依题意，，由， 得：，而， 于是得， 令椭圆半焦距为c，有，如图， 在中，由余弦定理得：， 即，整理得， 因此，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由以及点在直线上，列出方程，根据抛物线的定义可知，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】设 由可知， 又点在直线上， 所以， 解得， 所以，轴， 于是根据抛物线的定义可知，且， 所以，即，所以， 则双曲线的离心率为. 故答案为： 6．（23-24高三上·广东广州·期中）已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、利用平面向量基本定理求参数、双曲线向量共线比例问题 【分析】结合圆的切线的性质利用双曲线的定义，可得，再由可得，进而由列方程可求离心率. 【详解】直线分别与内切圆的切点为，如图所示： 由切线的性质可得， 由双曲线的定义可得，即， 所以，即， 又，因此. 设，则， 又，因此.于是，即， 所以由，可得，即. 故答案为：2. 五、弦长问题（含焦点弦）（共8小题） 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】求双曲线中的弦长 【分析】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【详解】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 2．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点的横坐标，进而求出弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，    设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 3．（23-24高二下·湖南·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、由弦长求参数 【分析】由抛物线定义结合抛物线过焦点的弦长公式即可求得p值，则抛物线方程可求. 【详解】设，，则，即． 又，即，抛物线方程为． 故选：. 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【详解】由，得， 故两点在直线上， 联立，消得， 恒成立， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由，得出两点在直线上，是解决本题的关键. 5．（23-24高二下·湖南常德·期中）设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ． 【答案】 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设直线方程为，联立抛物线的方程可得，再由抛物线的定义表示出，解方程即可得出答案. 【详解】抛物线C：的焦点为， 则过焦点且斜率为的直线方程为：， 联立，消去可得：，, 设A、B两点的坐标分别为， 则， 由抛物线的性质可得：， 代入化简可得：，解得：. 则抛物线C的方程为:. 故答案为：. 6．（23-24高二上·天津·期中）设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点.已知，. (1)求椭圆方程及离心率. (2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点.若，求直线的方程. 【答案】(1)，离心率 (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式计算得，，，得解； （2）设直线为，由圆心到直线的距离小于半径得出的范围，由圆的性质求出弦的长，将直线的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，求出弦的长，由条件得出方程，可得答案. 【详解】（1）由题意，，，解得，， ， 所以椭圆方程为，离心率为. （2）设直线为，，，由题意，以为直径的圆的方程为， 则圆心到直线的距离，即，所以， 由，消去，整理得， ，解得，又，所以， ，， ， 因为，所以，解得，又，所以， 所以直线的方程为：或.    7．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知焦点在轴上，焦距为的椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线交椭圆于A，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据韦达定理求参数、根据弦长求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据已知得出，结合椭圆上的点以及的关系，求解即可得出答案； （2）根据已知设直线方程为，点，.联立直线与椭圆的方程，得出.计算得出的范围，由韦达定理得出的关系，代入弦长公式，根据已知得出方程，求解即可得出的值，代入直线方程即可得出直线方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由已知可得，且，， 所以，， 解得，， 故椭圆的标准方程为：． （2）由已知可得，直线的斜率， 设直线方程为，点，. 由方程组，化简得：， 由， 可得，解得． 由韦达定理可得，，， ， 整理可得，，解得， 直线方程或． 8．（23-24高二上·河北保定·期中）已知定点，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义求解； （2）设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理，由求解. 【详解】（1）由题意得：等于点到直线的距离， 即点M的轨迹是以为焦点，以l：为准线的抛物线， 则，解得， 所以抛物线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 当时，，此时，不合题意，舍去； 则直线l的斜率存在，设直线方程为，， 与抛物线方程联立，消去得， 因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点， 由韦达定理得， 所以弦长：， 解得，即， 所以直线l的方程为：. 六、中点弦问题（共7小题） 1．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段存在. 故选：C. 2．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】 运用点差法求得m的值，进而可求得椭圆的焦距. 【详解】如图所示， 依题意，直线的斜率为，设， 则，且 ， 由 两式相减得：， 于是，解得， 此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求， 所以椭圆的焦距为. 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ． 【答案】 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解. 【详解】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则， 即椭圆，所以P点为椭圆内一点， 设，则，， 两式相减得，变形得， 因为点为线段的中点，所以， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 4．（23-24高二上·重庆·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果. 【详解】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点， 则，又，两式相减并化简可得， 又直线的斜率，即， 设直线l的方程为，联立 , 化简可得 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 所以，又， 化简得，即或， 所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为， 故答案为：. 5．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 【答案】(1) (2)， 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线中的弦长、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用点差法求直线的斜率，并求解直线方程，与双曲线方程联立，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得椭圆的焦点为，， 设双曲线方程为， 则，∴， 解得， 双曲线方程; （2）把，分别代入双曲线，两式相减，得 ， 把，，代入，得， ，直线的方程为，即 把代入，消去y得， . 6．（23-24高二上·河南·期中）已知抛物线C：（）过点. (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)求以为中点的抛物线C的弦所在直线的方程. 【答案】(1)， (2) 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线的中点弦、根据抛物线上的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）由点在抛物线上，代入方程待定系数即可； （2）已知弦的中点，由点差法可求弦所在直线斜率，再由点斜式方程可求. 【详解】（1）根据抛物线C：过点， 可得，解得. 从而抛物线C的方程为，准线方程为； （2）设弦的两端点分别为，，设点为， 当直线垂直于轴时， 由对称性可知，的中点在轴上，则不为的中点，不符合题意， 故直线垂直于轴，即， 则 由②-①得，， 由点是的中点，，代入上式得， ， 故直线的斜率，且直线过， 所以弦所在直线的方程为，即.    7．（22-23高二上·黑龙江绥化·期中）已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为． (1)求的方程； (2)已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】抛物线的中点弦、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）由题意写出点横坐标代入抛物线方程，求出三角形高，利用三角形求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，利用点差法求出斜率即可得解. 【详解】（1）由题意可知，点F的坐标为， 因为，所以点P的横坐标为，不妨设， 将点P坐标代入得， 所以的面积，解得， 所以C的方程是. （2）当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，点(1,1)显然不在x轴上，不合题意. 当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB的斜率为k ，， 则，两式相减得， 因为点(1,1)是线段AB的中点，所以， 所以 所以直线的方程为，即. 压轴题 一、椭圆中的离心率（共6小题） 1．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由得，则求出，结合椭圆定义求出，再由可得答案. 【详解】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出，利用勾股定理求出答案. 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据韦达定理求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设切线为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，由得，进而，根据直线与圆的位置关系与点到直线的距离公式可得，则，即可求解. 【详解】如图，设切线方程为， ，消去，得， 则①，又，所以， 代入①，得，则，整理得②. 又圆心到直线的距离等于半径，半径， 则，解得，代入②，整理得， 所以，由，解得. 故选：C 3．（22-23高二上·福建福州·期中）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先满足，点Q在椭圆的内部，设线段长度及，利用余弦定理可得，结合对勾函数的性质得到答案. 【详解】解： 因为，， 不妨设，则，故， 设，则，， 因为点在线段的延长线上，且点在椭圆内， 所以且，所以， 又， 所以， 则离心率满足， 因为，由对勾函数的性质可得， 所以，所以， 所以 故选：B． 4．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【分析】由题意，，结合椭圆定义可将这些长度以及用同一个参数表示，然后分别在在、中，对利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解. 【详解】如图所示： 由题意，，， 所以不妨设， 而由椭圆定义有， 所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 交叉相乘得，即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出以及，然后利用余弦定理即可顺利得解. 5．（23-24高二上·湖南·期中）如图，椭圆：和：有相同的焦点，，离心率分别为，，为椭圆的上顶点，，，，三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是 .    【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】将表示为三角函数的形式，然后根据三角恒等变换以及三角函数最值的知识求得的最大值. 【详解】由图知， 则，设， 则， 则 ， 由于， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆的离心率，方法有很多，如根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得的齐次式，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得的齐次式，先求得，然后利用求得椭圆的离心率. 6．（21-22高二上·重庆·期末）已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解 【分析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则， 所以，即， 故，当且仅当时取等， 所以， 故答案为：. 二、双曲线中的离心率（共6小题） 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义可得，取的中点，连接，由面积可得，利用余弦定理结合双曲线离心率分析求解. 【详解】由题意可知：，可得， 取的中点，连接，可知， 因为，可得， 则， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知椭圆的右焦点与双曲线的一个焦点的连线与的一条渐近线平行，设C的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的右焦点与双曲线的一个焦点与渐近线平行，得到斜率相等，从而表示出离心率，判断大小即可. 【详解】设，则椭圆的离心率，C的右焦点为，的上焦点为， 直线的斜率为， 因为直线与的一条渐近线平行， 所以，即，即， 所以，整理得， 解得， 因为，所以， 因为，所以． 故选：B． 3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点且点在轴上的射影恰为该双曲线的右焦点交双曲线于另一点，满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，可得，利用点在双曲线上，可求得，可求离心率的范围. 【详解】设又 由，则，可得， 所以，解得， ， 点在双曲线上， ， ， 故双曲线离心率的取值范围是. 故选：C． 4．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案. 【详解】 根据椭圆及双曲线的定义可得， 所以. 在中，，由余弦定理可得 ， 整理可得，， 两边同时除以可得，. 又，， 所以有， 所以，. 因为，所以， 所以，所以，，， 所以，. 则， 故. 故选：C. 5．（23-24高二下·上海·期中）设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点M，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出、，由勾股定理即可得到、的关系，从而解出的范围． 【详解】由椭圆及双曲线定义得，所以， 因为， 由余弦定理得， 同时除以得， 因为，，， 所以，则， 故答案为： 6．（23-24高二上·湖南·期中）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线l交双曲线于、两点，线段的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段的中垂线的方程，进而可求得点D和，结合，运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，，， 则直线，联立方程， 消去得：，直线l交双曲线于、两点， 则可得，，，， 则， 设线段的中点， 则，， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故答案为:. 三、圆锥曲线中面积定值问题（共6小题） 1．（23-24高二上·江苏·期中）已知椭圆的左、右顶点为、，与y轴平行的直线交椭圆于两点、，直线与直线的交点为P． (1)求点P的轨迹方程Γ； (2)若曲线Γ上的点Q满足，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的轨迹方程 【分析】（1）设,，则，且，写出直线与的方程，联立可解出点P的轨迹方程； （2）设，则，设，在中，由余弦定理求得，从而得，利用三角形面积公式可求得答案. 【详解】（1） ，设, 则，且①， 直线的方程为：②， 直线的方程为：③， ②×③得，由①得， ，即， 故点P的轨迹方程Γ为：. （2）设，则，即， 设， ， ， 在中，，， 由余弦定理得，即， 即， ∵，，∴， ∴上式两边平方整理得， ， ∴（舍）或， ∴， ∴的面积. 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的轨迹方程 【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析即可得解； （2）联立直线与曲线的方程，利用弦长公式求得，再利用点线距离求得到直线的距离，从而利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由条件可得，即， 则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支， 则，可得， 所以曲线的方程为． （2）依题意，直线的方程为，即， 联立，消去，得， 易知，设，则， 所以， 而到直线的距离为， 所以的面积为. 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆中的弦长、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由离心率的值及椭圆过的点的坐标，可得，的值，即求出椭圆的方程； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得参数的值，求出点到直线的距离及弦长的值，进而求出的面积． 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆的方程为：； （2）由（1）可得右焦点， 当直线的斜率为0时，则直线的方程为， 因为，可得，， 所以，，，显然与，与已知条件矛盾， 所以直线的斜率不为0， 由于，故设直线的方程为，且， 设，， 联立，整理可得：， 可得①,② 因为，即,,， 可得，即，③ 将③代入①，可得，， 再代入②可得：，可得， 点到直线的距离， 弦长， 所以 由于，且，所以． ，    4．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据计算可得； 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆方程为； （2）依题意，，过且斜率为的直线为， 联立，消去整理得， 易知，设、，所以，， 所以 . 5．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线， (1)若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； (2)若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】（1）根据焦点到准线的定义可知，则方程可得. （2）先写出过焦点的直线的方程，联立抛物线求出弦长，再根据点到直线的距离求原点到直线的距离，代入面积公式即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为1， 所以， 故抛物线的标准方程为. （2）因为， 所以抛物线方程为，焦点坐标为 又因为直线过焦点且斜率为2. 所以直线的方程为： 设两交点坐标为、 联立方程得，化简得. 、 所以 又因为到直线的距离 所以. 6．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知抛物线上的点到其焦点的距离为2． (1)求的方程及焦点的坐标． (2)过点的直线交抛物线于两点，且的面积为8，求直线的方程． 【答案】(1)，. (2) 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线定义的理解 【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，然后代入点P横坐标即可求得； （2）由题意可知直线斜率存在，设出直线方程以及交点坐标，将直线方程带入抛物线方程化简利用根与系数的关系，代入面积公式即可求得. 【详解】（1）由抛物线的定义可得：， 解得， 所以抛物线的方程为，其焦点坐标为. （2）由题意可设直线方程为，，， 由，得， 所以，，， 因为． 所以，得，故直线的方程为：. 四、圆锥曲线中面积最值（范围）问题（共5小题） 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程； （2）设，，利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点的轨迹方程； （3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； （2）设，， ，且为线段的中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； （3）①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ． 又点到直线的距离． ， ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时，当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程及弦的长； (2)椭圆上有一动点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）首先根据已知条件和平方关系求出椭圆方程，然后联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式运算即可求解. （2）由题意只需求出动点到直线的最大值即可，此时可利用三角换元结合辅助角公式、三角函数性质即可，最终结合弦的长即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以椭圆的方程为， 设， 而过点且斜率为1的直线的方程为，即， 将其与椭圆方程联立得，消去并整理得， 所以， 所以弦的长为 . （2） 由（1）椭圆的方程及弦的长分别为，，且直线的方程为， 由题意动点在椭圆上，不妨设点， 所以点到直线的距离 ， 而， 所以， 所以， 所以点到直线的距离有最大值， 所以， 即的最大值为. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设圆心的轨迹为 (1)求的方程 (2)若直线过点，且与交于两点 ①若直线与轴交于点，满足，试探究与的关系； ②过点分别作曲线的切线相交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②16 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）设，列出满足的方程即可； （2）①利用直线的斜率和，之间的关系求解即可； ②设点的坐标，联立方程，用韦达定理将的面积表示出来即可. 【详解】（1）设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧 因为圆与定直线相切，所以 又圆与圆内切 所以 所以，化简得，即的方程为 （2）①由题意得，直线的斜率一定存在， 故设直线的方程为 则，因为，所以， 解得 因为点在上，所以，即 所以 同理，由， 解得 因为点在上，所以，即，所以 由，得 因为，所以，即； ②由题意得直线的斜率一定不为0， 设直线的方程为 设直线的方程为， ，消去，得， 因为直线与抛物线有一个交点， ，解得， 直线的方程为 同理可得，直线的方程为 联立方程 联立方程 则弦长， 点到直线的距离为 因为函数随着的增加，面积也单调递增，则当时，取到最大值为16. 【点睛】关键点点睛：第二问②的关键是得出的表达式，由此即可顺利得解. 4．（23-24高二上·江苏常州·期中）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求M点的坐标，使得的面积最小. 【答案】(1)， (2)存在或， (3)的坐标是或. 【知识点】双曲线中向量点乘问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的最值问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据渐近线方程得,点在双曲线上，列出方程组求解即可; （2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论; （3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【详解】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）设,如图: 根据题意知，直线斜率存在，则，则 则直线:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为即，所以, 则,即, 所以存在或满足条件; （3）如图 因为 ， 又，则,代入上式得: , 当时，时，， 则， 当且仅当，即时取等. 当时，，则， 当且仅当,即时等号成立, 故应在时取得取最小值， 此时,即 所以的坐标是或时,的面积最小. 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．    (1)若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值； (2)求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题、双曲线中的参数及范围 【分析】（1）由题意可设，则，结合直线与双曲线都有两交点得，再联立双曲线求各交点坐标，应用两点式求、、、，即可求结果； （2）由题设且同（1）得，联立直线与双曲线，应用韦达定理和弦长公式求，根据及换元法求其取值范围即可. 【详解】（1）由题设，的斜率都存在且不为0，令，则， 所以，即， 联立与双曲线，得， 不妨令，同理， 由，则、、、， 所以. （2）由题设且同（1）得， 联立，则， 所以， 联立，同理可得， 所以四边形面积， 则，令， 所以 ， 而且，故，， 当时，， 当趋向于时，趋向于0，即趋向于正无穷， 所以四边形面积的取值范围是.    【点睛】关键点点睛：第二问，先求得，联立直线与双曲线求四边形对角线长度为关键. 五、圆锥曲线中的定点问题（共3小题） 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的轨迹方程 【分析】（1）设点，根据题意，由化简求解； （2）设直线的方程为，，，，与双曲线方程联立，表示直线的方程为，令，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设点，由题意得： ， 化简得： 所以点M的轨迹方程是； （2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，， 联立，消去整理得， 则，，解得， ， 直线的方程为， 令，得， ， ， 所以直线过定点 2．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知点是抛物线上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点（位于对称轴异侧），（O为坐标原点）． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线l必过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）将点P坐标代入抛物线方程求出p即可； （2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去x，利用韦达定理代入，求出t即可得证. 【详解】（1）由题可知，，解得， 所以抛物线的方程为． （2）因为A，B位于对称轴异侧，所以l与对称轴不平行， 设直线l的方程为，，，且， 联立，消去x可得， 则，且，，即， 所以， 由，得，即，解得（舍去）或， 故直线l的方程为，所以直线l必过定点，得证．    3．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)在x轴上存在点，使得为定值，理由见详解 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由已知,即可得到，，进而得到,即可得到椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，，，联立椭圆C的方程，写出韦达定理，设，化简，可得，若为定值，得，点R的坐标；再检验直线l的斜率不存在时，上述结论是否成立即可. 【详解】（1）依题意，得，， 所以， 所以椭圆C的标准方程为． （2） ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立椭圆C的方程，可得， 则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点R的坐标． ②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 代入，得 不妨设，，若，则，， 所以． 综上，在x轴上存在点，使得为定值． 六、圆锥曲线中的定值问题（共3小题） 1．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点坐标，即可得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合韦达定理探讨点的纵坐标的关系即可得解. 【详解】（1）直线与坐标轴的两个交点为，而，则，， 所以椭圆的方程为. （2）设过点的直线为，由题意直线斜率存在， 设方程为，即， 由，消去y得， 整理得， 由 ，得， 设，则， ， 将代入得，直线的方程为， 令得， 则 因此点是线段的中点，所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线C的渐近线方程是，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的离心率e的值； (2)若动直线l：与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)2 (2)是，3 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可； （2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解. 【详解】（1）由双曲线C的渐近线方程是，故设C：， 因为在双曲线C上，所以，所以：， 所以，，所以，所以； （2）设，，联立得， 则得且，，， 又， ， 所以 . 即直线MA，MB的斜率之和是3. 3．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期中）已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义即可求解值. （2）设出直线的方程并求出点的坐标，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理及共线向量的坐标表示推理即得. 【详解】（1）抛物线：的准线，由抛物线定义得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，，显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，则点， 由消去并整理得，显然，，， 而，， 由，得，即，解得， 由，同理得， 因此为定值， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 七、圆锥曲线中的定直线问题（共2小题） 1．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可. （2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）证明：如图所示， 由题意知，，， 由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，， ， 联立， ， 则，， 又因为过点T的直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内， 所以，，，， 所以，即，解得， 设直线方程为， 直线方程为， 联立， 即， 又， 所以， 所以点Q在直线上. 2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴的左、右端点分别为，，短轴的上、下端点分别为，，设四边形的面积为S，且． (1)求，的值； (2)过点作直线与交于，两点（点在轴上方），求证：直线与直线的交点在一条定直线上． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】椭圆中的定直线、求椭圆的顶点坐标 【分析】（1）根据题意结合椭圆性质列式求即可； （2）设直线的方程为，设，由直线与直线的方程整理可得，再联立椭圆与直线的方程，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）由已知，得，，， 因为，所以， 解得． （2）由（1）可知：椭圆的方程为， 因为在椭圆内部，则直线与必相交，    由题意可知：直线的斜率不为0，设直线的方程为， 与的方程联立得，消去可得， 设，则，， 即， 直线，直线， 联立上述两方程消去可得， 整理得， 即， 可得， 由，得， 即， 若，则由，可得得，， 又因为，则，即，不成立； 故，由，解得， 综上所述，动点在定直线上． 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． $$