高二上期中考前必刷卷03（范围：选择性必修第一册 综合卷）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

高二上期中考前必刷卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 7．若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 11．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有且仅有一个解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线平行，则 . 13．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 18．（17分） 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19． （17分） “曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. (1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； (2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； (3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上期中考前必刷卷03 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析 【分析】设其倾斜角为，求得直线的斜率，得到，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率， 设其倾斜角为，可得，所以. 故选：D. 2．直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】由空间向量线性运算法则即可求解． 【详解】. 故选：D． 3．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】直接法求解抛物线的准线方程. 【详解】抛物线即，它的的准线方程为. 故选：A. 4．已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 5．在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】坐标计算向量的模、空间向量的坐标运算 【分析】先根据点的坐标得到向量的坐标，根据向量的模求得最值即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 当时，为增函数， ∴， ∵为整数， ∴的最小值为， 故选：C. 6．已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【知识点】双曲线的对称性、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求点到直线的距离、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可. 【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 7．若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可. 【详解】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 8．在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、共面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出. 【详解】由题意，平面，四边形为正方形， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，则， 又，，所以，则， 由题意，四点共面，所以， 所以，解得， 所以，，所以， 所以，即， 所以， 所以， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 所以截面的面积为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标运算可判断A选项；利用空间向量平行的坐标表示可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，则、不共线，B错； 对于C选项，，所以，，C对； 对于D选项，， ，， ， 所以，，D对. 故选：ACD. 10．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BC 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、数量积的坐标表示 【分析】由题意设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，得，再表示出，则可表示出，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，所以A错误， 对于B，因为线段的中点为，，则 到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C正确， 对于D，因为 ，所以D错误， 故选：BC 11．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有且仅有一个解 【答案】AC 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项． 【详解】由已知， 设，，，则，如图， 由图形可得点关于对称时，的值相等，因此的图象是轴对称图形，它关于直线对称，A正确； 显然轴，当时，，即， 又，而不可能共线，即， 所以，B错； 设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，， ∴， ∴，在轴上点的右侧，， ∴，即 这说明点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确； ，， 设，则的解是和， 有一个解，而有两个解，因此有三个解，D错． 故选：AC． 【点睛】本题考查数形结合思想，题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，使得较为复杂的函数问题得到解决，解题关键是数与形的结合，如两点间距离公式，直线的斜率公式等等． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线平行，则 . 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】利用两直线平行各系数的关系列式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故答案为：. 13．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 【答案】 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、求椭圆中的参数及范围、根据韦达定理求参数 【分析】根据题意求出点的坐标，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出点坐标，根据，结合椭圆离心率与的关系求解. 【详解】设， 因为垂直于轴，所以代入椭圆方程， 得，所以， 设， 联立，消去整理得，， 所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解； （2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解. 【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标， 则，解得． 故其半径． 故圆的方程为：； （2）设直线l的方程为：， 因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）不妨设，结合余弦定理和相似三角形，即可以点为原点建立空间直角坐标系，根据即可得证. （2）由（1）可得相应点的坐标，平面的法向量可直接取，然后求出平面的法向量，即可利用向量进行求解. 【详解】（1）不妨设，又， 在中，， ，则， 所以，又， ，且也为等腰三角形． ，则， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， ， 则，所以． （2）由（1）可知，， 平面的法向量可取为， 且，， 设平面的法向量为， 则，可取， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 17．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式列出方程求解即得. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率.    18．（17分） 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量、证明线面垂直 【分析】（1）先证明四边形是菱形，从而证明平面ABC，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）证明：∵在梯形中，， ，，为的中点， ∴，，， ∴是正三角形，四边形为菱形， ∴，， ∵， 又∵平面ABC， ∴平面ABC， ∵平面， ∴平面⊥平面ABC. （2）存在，，理由如下： ∵平面，OP⊥AC， ∴，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， 设， ∵，， ∴， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， ∴线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 19．（17分） “曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. (1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； (2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； (3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求平面轨迹方程、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由等边三角形重心坐标求得坐标，知道的值，由椭圆基本性质得出的值，从而得出曲线方程； （2）设动点坐标，由题意列出线段得等量关系，由二次函数的性质得到最小值点即得证； （3）设出动直线，分别表示出两点坐标，由中点坐标公式得到中点坐标，由坐标的特征找到关系式，从而得出轨迹方程. 【详解】（1）解：因为等边的重心坐标为， . 在半椭圆中， 由， ， 解得， 因此“曲线”的方程为. （2）证明：设，则，. ，开口向下， 对称轴为：， 当或时， 取得最小值时，即在点或处. （3）由题可知，直线的斜率，则设直线， 设在上， 当时，. 设在半椭圆上， 当时，. 的中点为, 即线段中点的轨迹方程为：. ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$