专题03 第三章 圆锥曲线的方程（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

人教版（2024）数学高一上期中考点大串讲 串讲03 第三章 圆锥曲线的方程 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 知识回顾1：椭圆的定义 知识回顾1：椭圆的定义 知识回顾2：椭圆的标准方程 知识回顾3：双曲线的定义 知识回顾4：双曲线的标准方程 知识回顾5：抛物线的定义 知识回顾6：抛物线的标准方程 知识回顾7：弦长公式 知识回顾8：三角形面积问题 知识回顾9：焦点三角形的面积 知识回顾10：平行四边形的面积 考点一：圆锥曲线定义辨析 【答案】D 考点二：利用圆锥曲线定义求轨迹方程 考点三：圆锥曲线上点到焦点距离及最值 考点四：焦点三角形问题（周长问题） 【答案】C 考点五：焦点三角形问题（面积问题） 【答案】16 考点六：焦点三角形问题（其他问题） 【答案】BCD 考点七：圆锥曲线中线段和差最值问题 【答案】D 考点八：求圆锥曲线方程 考点九：判断方程为椭圆、双曲线的条件 【答案】BCD 考点十：圆锥曲线中的离心率（定值） 【答案】C 考点十一：圆锥曲线中的离心率（最值+范围） 【答案】B 考点十三：直线与圆锥曲线的位置关系的判断 【答案】ABD 考点十四：根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 考点十五：中点弦问题 【答案】B 考点十六：求弦长（定值） 考点十七：根据弦长求参数 考点十八：抛物线焦点弦问题 考点十九：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题） 考点二十：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题） 考点二十：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题） 考点二十一：圆锥曲线中的向量问题 考点二十一：圆锥曲线中的向量问题 考点二十二：圆锥曲线中的定点问题 考点二十二：圆锥曲线中的定点问题 考点二十三：圆锥曲线中的定值问题 考点二十三：圆锥曲线中的定值问题 考点二十四：圆锥曲线中新定义题 考点二十四：圆锥曲线中新定义题 【答案】A 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、定义的集合语言表述 集合. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （最常用公式，使用频率最高） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 直线方程： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 直线为，直线为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（23-24高二下·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由得， 等式左边表示点和点的距离， 等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆M与圆C1：和圆C2：一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当圆与圆内切，与圆外切时，，， 当圆与圆外切，与圆内切时，，， 所以，点的轨迹为双曲线，设轨迹方程为，，，则，所以轨迹方程为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3-1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，点M在E上，如果，则的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得,所以, 不妨设, 根据双曲线定义可得①， 又, 所以②， 联立①②解得, 所以的面积. 故答案为：16. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 取点在双曲线的右支上，如图所示， ， 又因为，解得，， 所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（2024·贵州六盘水·三模）（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】渐近线方程为， 由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为 ， ，所以 或，选项A错； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 记，则， 由，可得，即有，所以，选项B对： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 所以， 又因为，则，即， 又因为，所以， 解得， 当时，的一个标准方程为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9-1】（多选）（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，由，且即时，此方程表示圆，故A不正确； 当时，，，由方程可知表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 由A可知，当时，方程表示圆，故C正确； 当时，，，故方程表示焦点在轴上的双曲线，当时，由B可知，方程表示双曲线，故D正确. 故选：BCD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ∵离心率 ∴ ∴ 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10-1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上一点，且，H是线段上靠近的四等分点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可作图如下： 由题意可知：， ∴中点：，即 ∴四等分点：，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ∴， ∴，即 又∵， ∴ ∴ ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11-1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13-1】（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点. 当时，与的渐近线平行，与只有一个交点， 当时，与的左支和右支各有一个交点， 当时，与的左支有两个交点. 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交；(2)相切；(3)相离？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）联立，得， ， 当直线与椭圆相交，即，则，解得：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16-1】（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆的右焦点为，且经过点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意得， 解得， 故椭圆的标准方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则， 故 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17-1】（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意得，解得，， 椭圆方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设直线：，， 联立并整理得，，， ， 解得，符合， 直线方程为，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18-1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2），∴直线：， 联立方程组得 设， 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 点到直线的距离 ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为， 所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆过点， ∴， ∴，， ∴椭圆的标准方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设直线：（）， 由，得， 设，，所以，， 所以 ， 因为直线和的斜率互为相反数， 所以，所以， 所以， 所以. 即，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点 ②由①知，， 且，即， 又 令，则， ∴ （当且仅当时取“＝”） ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21-1】（23-24高三上·广西玉林·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，线段的中点分别为，．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） 椭圆左顶点为，， 又因为离心率， ， ， 的方程为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）如图所示： 设，， 则， 由                           得：， 则， ，； 直线方程为：，， ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 同理可得：，又， ，， ， 为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． (1)求的方程； (2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得， 解得， 由三角形面积为，得，则，， 所以的方程是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，点，当直线的斜率为0时，设直线， 则，，且，即， ，不合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设， 由消去x得：， 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线：恒过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）如图，已知抛物线：上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． (1)求抛物线的方程； (2)试求的长是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）抛物线：的焦点，准线， 则，则，抛物线的方程为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）（ⅰ）设直线：，由，可得， 则，解得， 则，解得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 不妨令直线：，直线：， 则，设，， 设直线：， 由，可得， 由，可得或（舍）， 则，直线：，由，可得， 故，为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆，椭圆与是“相似椭圆”，已知椭圆的短半轴长为． （1）写出椭圆的方程（用表示）； （2）若椭圆的焦点在轴上，且上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由椭圆与是相似椭圆，得， ∴椭圆的方程为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题设知：椭圆为， 设，，，的中点为，． ∴联立与椭圆的方程，整理得， ∴，即且， ，， 由在直线，得，于是， ∴的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（23-24高二下·广东茂名·期中）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，由，设直线的方程为，， 由直线与圆相切，可得， 解得，即直线的方程为， 由，可得直线的方程为， 与切线的方程联立，可得，， 由，可得，， 若，则， 化为，即， 即为， 则． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知双曲线及直线. (1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围； (2)若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）直线与双曲线有两个不同的交点，则方程组有两组不同的实数根， 整理得. ， 解得且，双曲线与直线有两个不同的交点时，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知双曲线及直线. (1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围； (2)若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解法一：设交点， 由（1）知双曲线与直线联立的方程为. 由韦达定理得：， 则 又到直线的距离， 所以的面积，解得或， 又因为且，所以或. 所以当或时，的面积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 解法二：设交点，直线与轴交于点， 由（1）知双曲线与直线联立的方程为. 由韦达定理得：， 当在双曲线的一支上且时， ； 当在双曲线的两支上且时， 综上，. 由已知得，故，即 所以，解得或， 又因为且，所以或. 所以当或时，的面积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$