第五章《相交线与平行线》知识点讲解 2023--2024学年人教版七年级数学下册

七年级数学下册第五章相交线与平行线的知识点讲解与练习题 【知识积累】 一、相交线 1、邻补角：如下图，∠1和∠2（或∠3和∠4、或∠5和∠6、或∠7和∠8、或∠1和∠3、或∠2和∠4、或∠5和∠7、或∠6和∠8）有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角。 2、对顶角：如上图，∠1和∠4（或∠2和∠3、或∠5和∠8、或∠6和∠7）有一个公共顶点，并且∠1的两边分别是∠4的两边的反向延长线（∠1和∠4相等），具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 3、同位角：如上图，∠1和∠5（或∠3和∠7、或∠2和∠6、或∠4和∠8），这两个角分别在直线的同一侧，即左侧（或左侧、或右侧、或右侧），并且在另外两条直线的同一方，即上方（或下方、或上方、或下方），具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 4、内错角：如上图，∠3和∠6（或∠4和∠5），这两个角都在两条直线之间，并且分别在中间直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角。 5、同旁内角：如上图，∠3和∠5（或∠4和∠6），这两个角都在两条直线之间，并且分别在中间直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。 二、垂直 1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O。 垂直定义的两层含义： （1）∵∠AOC=90°（已知）， ∴AB⊥CD（垂直的定义） （2）∵AB⊥CD（已知）， ∴∠AOC＝90°（垂直的定义） 2、性质： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线段的概念：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。 4、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 三、平行 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。 2、平行公理（平行线的存在性与唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即，∵b∥a，c∥a∴b∥c 4、两直线平行的判定方法: （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行 （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∵ ∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 5、平行线的性质（如上图）： （1）两直线平行，同位角相等；几何符号语言：∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） （2）两直线平行，内错角相等； ∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） （3）两直线平行，同旁内角互补。∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 6、平行线的性质与判定的区别和联系：平行线的性质与判定是互逆的关系 平行线的判定 平行线的性质 条件 结论 条件 结论 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 内错角相等 同旁内角互补 同旁内角互补 7、两条平行线的距离：如下图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。 注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。 四、命题： （1）命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。每个命题都是题设、结论两部分组成。 命题常写成“如果…那么…”的形式。用“如果”开始的部分是题设，题设是已知事项；用“那么”开始的部分是结论，结论是由已知事项推出的事项。 （2）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题； （3）假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题。 五、定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理 六、平移变换： 1、把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。 3、平移的特征： （1）经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。 （2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 【典型习题】 1、如图，下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠3是对顶角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠2与∠6是同位角 D．∠3与∠5是同旁内角 2、如图，直线a、b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 3、如图所示，直线AB、CD，相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（ ） A. 20° B. 60° C. 70° D. 160° 4、某同学读了《庄子》“子非鱼，安知鱼之乐”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鲸鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（ ） 5、下列说法正确的有（ ） ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。 A. 1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6、如图，点O在直线AB上，∠COB=∠EOD=90°，那么下列说法错误的是（ ） A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余 C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOE与∠COD互余 7、下列命题是真命题的是（　　　） A．平行于同一直线的两条直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等 C．同旁内角互补 D．同位角相等 8、如图所示，CD∥AB，OE平分∠AOD，∠EOF=80°，∠D=60°，则∠BOF为（ 　） A．35° B．40° C．25° D．20° 9、如图所示，AC⊥BC与C，CD⊥AB于D，图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（       ） A．1条 B．2条 C．3条 D．5条 10、如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（       ） A.两点之间，线段最短 B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两点确定一条直线 D.直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 11、下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（       ） A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④ 12、下列说法正确的个数是   （      ） ①同位角相等；   ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总共有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13、在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线a、b．这样操作的依据是（       ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 14、下列命题说法正确的有（　　） ①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15、如图，不能判定AB∥CD的条件是（       ） A．∠1＝∠2 B．∠B＋∠BCD＝180° C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠5 16、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED为（ ） A．130° B．115° C．125° D．120° 17、如图，l1∥l2，点O在直线l1上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l2交于A、B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（     ） A．35° B．45° C．55° D．65° 18、如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（     ） A．10° B．15° C．25° D．35° 19、已知直线l及l外一点P，若过点P画直线与l平行，那么这样的直线有 ______条． 20、如图，把线段AB沿水平方向向右平移3cm得到线段CD，如果AB＝5cm，那么CD＝______cm，AC＝______cm，BD＝______cm； 21、如图，A是线段BC外一点，连接AB，AC，过点A作线段BC的垂线AH，垂足为H．在AB、AC、AH这三条线段中，AH是最短的线段，依据是_______． 22、现有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若b∥c，a∥c，则b∥a； ④若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°； ⑤若b⊥c，a⊥c，则b∥a． 其中正确的是_______（填写序号）． 23、如图所示，已知a∥b，∠1=30°，∠2=40°，则∠3=_____°。 24、如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是___________（只填序号）． 25、如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段BN的长度，这样测量的依据是________________。 26、如图，AB∥CD，直线MN交AB于点F，过点F作FE⊥MN，交CD于点E，若∠1＝42°，则∠2＝_____。 27、已知线段DE是由线段AB平移得到的，且AB=DC=4cm，EC=3cm，则△DCE的周长为_________。 28、如图，将直角三角形ABC沿着AB方向平移得到三角形DEF，若AB=6cm，BC=4cm，CH=1cm，图中阴影部分的面积为cm2，则三角形ABC沿着AB方向平移的距离为______cm。 29、如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm． 30、如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝38°，则∠2＝______． 31、如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数。 32、如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE （1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明． （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 33、推理填空． 如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°。 将求∠AGD的过程填写完整． 因为EF∥AD， 所以∠2＝_____（_________________） 又因为∠1＝∠2                                                                    所以∠1＝∠3（___________） 所以AB∥____（____________） 所以∠BAC＋________＝180°（____________） 因为∠BAC＝70° 所以∠AGD＝________ 34、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF． 完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：∵∠3=∠4（已知） ∴AE∥_____（　   　） ∴∠EDC=∠5（　   　） ∵∠5=∠A（已知） ∴∠EDC=_______（　   　） ∴DC∥AB（　   　） ∴∠5+∠ABC=180°（　   　） 即∠5+∠2+∠3=180° ∵∠1=∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3=180°（　   　） 即∠BCF+∠3=180° ∴BE∥CF（　   　）． 35、如图所示，已知∠DAB=∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE=∠CEB，试说明：AF∥CE． 解：（1）因为∠DAB=∠DCB（            ）， 又AF平分∠DAB， 所以_____=∠DAB（               ）， 又因为CE平分∠DCB， 所以∠FCE=_____（                 ）， 所以∠FAE=∠FCE． 因为∠FCE=∠CEB， 所以______=________ 所以AF∥CE（                 ） 36、在下面的横线上，填上相应的结论： 已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1＝∠2，试说明：AB∥CD，BE∥CF． 理由：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）， ∴______＝_______＝______°（垂直的定义）； ∴AB∥CD（　 　）； 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴________＝________， ∴BE∥CF （　 　）。 37、填空并完成以下证明： 如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB. 证明：∵FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝________． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC，(_____________) ∴∠2＝______．(__________________) ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝______，(______________) ∴CD∥FH(________________) ∴∠BDC＝∠BHF＝_____°，(__________________) ∴CD⊥AB. 38、已知，如图，AB∥CD，EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD,求证：∠EGF=90°        39、如图，已知四边形ABCD中，∠A＝106°﹣α，∠ABC＝74°＋α，BD⊥DC于D，EF⊥DC于F，求证：∠1＝∠2． 40、如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上． （1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数． 参考答案 1、如图，下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠3是对顶角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠2与∠6是同位角 D．∠3与∠5是同旁内角 【解答】解：∠1与∠3是对顶角，A正确； ∠3与∠4是内错角，B正确； ∠2与∠6是同位角，错误； ∠3与∠5是同旁内角，D正确。 故答案为C。 2、如图，直线a、b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【解答】解：直线a、b相交于点O， ∠1=∠2（内错角相等） ∵∠1+∠2=60°（已知） ∴∠1=30°，∠2=30° ∵∠1+∠3=180°（邻补角定义） ∴∠3=180°—∠1=180°—30°=150° 故答案选A 3、如图所示，直线AB、CD，相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（ ） A. 20° B. 60° C. 70° D. 160° 【解答】解：直线AB、CD，相交于点O， ∵∠AOD=160°（已知） ∴∠BOC=∠AOD=160°（对顶角相等） 故答案选：D 4、某同学读了《庄子》“子非鱼，安知鱼之乐”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鲸鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（ ） 【解答】解：A、B、C三个选项中，都是通过已知图像旋转得到的，只有D是通过平移得到的，故D正确。 故答案为D。 5、下列说法正确的有（ ） ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。 A. 1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解答】解：①根据对顶角的性质可知对顶角相等，故①正确； ②对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角，故②错误； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，故③正确； ④例如与的角不一定是对顶角，但这两个角一定相等， 综上所述，②④错误；正确的有①③两个． 故答案选B．   6、如图，点O在直线AB上，∠COB=∠EOD=90°，那么下列说法错误的是（ ） A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余 C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOE与∠COD互余 【解答】解：∵∠COB=∠EOD=90° ∴∠1+∠COD=90°， ∠2+∠COD=90° ∴∠1=∠2，A正确； ∠AOE+∠1=∠AOE+∠2=90°，∠AOE与∠2互余，B正确； ∠AOD+∠2=∠AOD+∠1=180°，∠AOD与∠1互补，C正确； 故D错误， 故答案选D 7、下列命题是真命题的是（　　　） A．平行于同一直线的两条直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等 C．同旁内角互补 D．同位角相等 【解答】解：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即，∵b∥a，c∥a∴b∥c，A正确； 两直线平行，同旁内角互补，B、C错误； 两直线平行，同位角相等，D错误。 故答案选A。 8、如图所示，CD∥AB，OE平分∠AOD，∠EOF=80°，∠D=60°，则∠BOF为（ 　） A．35° B．40° C．25° D．20° 【解答】解：CD∥AB（已知） ∠D=∠BOD=60° ∵∠BOD+∠AOD=180° ∴∠AOD=180°—∠BOD=120° ∵OE平分∠AOD ∴∠AOE=∠DOE=∠AOD=60° ∵∠EOF=80° ∴∠DOF=∠EOF—∠DOE=20° ∠BOF=∠BOD—∠DOF=40° 故答案选B 9、如图所示，AC⊥BC与C，CD⊥AB于D，图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（       ） A．1条 B．2条 C．3条 D．5条 【解答】解：表示点C到直线AB的距离的线段为CD， 表示点B到直线AC的距离的线段为BC， 表示点A到直线BC的距离的线段为AC， 表示点A到直线DC的距离的线段为AD， 表示点B到直线DC的距离的线段为BD， 共五条． 故答案选D． 10、如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（       ） A.两点之间，线段最短 B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两点确定一条直线 D.直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 【解答】解：因为CD⊥l于点D，根据垂线段最短，所以CD为C点到河岸l的最短路径． 故答案选：D． 11、下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（       ） A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④ 【解答】解：根据同位角的定义可知：图①②④中，∠1和∠2是同位角；图③中，∠1和∠2不是同位角； 故答案选C． 12、下列说法正确的个数是   （      ） ①同位角相等；    ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三条直线两两相交，总共有三个交点； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①同位角相等，错误，只有两直线平行，才有同位角相等； ②应为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②错误； ③应为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； ④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故④错误； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，平行于同一直线的两条直线平行，正确． 综上所述，正确的只有⑤共1个． 故答案选：A． 13、在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线a、b．这样操作的依据是（       ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 【解答】解：如图， 由题意得，∠1=∠2， 根据内错角相等，两直线平行可得．a∥b。 故答案选：D． 14、下列命题说法正确的有（　　） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①根据线段的定义可知，两点之间的所有连线中，线段最短，故①正确； ②相等的角指的是大小相等的角；对顶角是如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角就是对顶角；可见，对顶角一定是相等的角，而相等的角未必是对顶角，故②错误； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④错误； ⑤两点之间的距离是点与点之间的距离，而两点间的线段不一定是两点之间的距离，故⑤错误； ⑥在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，⑥正确。 故答案选B 15、如图，不能判定AB∥CD的条件是（       ） A．∠1＝∠2 B．∠B＋∠BCD＝180° C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠5 【解答】解：A、∠1＝∠2，则AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以A选项符合题意； B、∠B＋∠BCD＝180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；所以B选项不符合题意； C、∠3＝∠4，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以C选项不符合题意； D、∠B＝∠5，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以D选项不符合题意． 故答案选A． 16、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED为（ ） A．130° B．115° C．125° D．120° 【解答】解： ∵AB∥CD（已知） ∴∠C+∠BAC=180° 即∠BAC=180°—∠C=130° ∵AE平分∠CAB交CD于点E ∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=65° ∠CAE+∠AED=180° ∠AED=180°—∠CAE=115° 故答案选B 17、如图，l1∥l2，点O在直线l1上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l2交于A、B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（     ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠1+∠BOA+∠OBA=180°， ∵∠1=35°，∠BOA=90°， ∴∠OBA=55°， ∴∠2=∠OBA=55°， 故答案选：C． 18、如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（      ） A．10° B．15° C．25° D．35° 【解答】解：如图， ∵∠1=65° ∴∠3=∠1=65°， ∴∠2=90°−65°=25°. 故答案选C. 19、已知直线l及l外一点P，若过点P画直线与l平行，那么这样的直线有 ______条． 【解答】解：直线l及l外一点P，若过点P画直线与l平行，那么这样的直线有且只有一条． 故答案为：且只有一 20、如图，把线段AB沿水平方向向右平移3cm得到线段CD，如果AB＝5cm，那么CD＝______cm，AC＝______cm，BD＝______cm； 【解答】解：∵将线段AB向右平移3cm，得到线段CD，AB＝5cm， ∴CD＝AB＝5cm，AC＝BD＝3cm． 故答案为：5，3，3． 21、如图，A是线段BC外一点，连接AB，AC，过点A作线段BC的垂线AH，垂足为H．在AB、AC、AH这三条线段中，AH是最短的线段，依据是_______． 【解答】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 22、现有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若b∥c，a∥c，则b∥a； ④若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°； ⑤若b⊥c，a⊥c，则b∥a． 其中正确的是_______（填写序号）． 【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误； ③若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确； ④若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确； ⑤若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误． 所以其中正确的是③④． 故答案为：③④． 23、如图所示，已知a∥b，∠1=30°，∠2=40°，则∠3=_____°。 【解答】解：如图，过∠3的顶点作c∥a， ∴∠4＝∠1＝30°， ∵a∥b， ∴b∥c， ∴∠5＝∠2＝40°， ∴∠3＝∠4＋∠5＝70°． 故答案为：70． 24、如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是___________（只填序号）． 【解答】解：∠2与∠3是内错角，①正确； ∠2与∠B是同位角，②正确； ∠A与∠B是同旁内角，③正确； ∠A与∠ACB是同旁内角，④错误； 故答案为：①②③. 25、如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段BN的长度，这样测量的依据是________________。 【解答】解：测量的依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 26、如图，AB∥CD，直线MN交AB于点F，过点F作FE⊥MN，交CD于点E，若∠1＝42°，则∠2＝_____。 【解答】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠3=∠1=42°． 又∵FE⊥MN， ∴∠MFE=90°， ∴∠2=90°—∠3=48°． 故答案为：48°． 27、已知线段DE是由线段AB平移得到的，且AB=DC=4cm，EC=3cm，则△DCE的周长为_________。 【解答】解：∵线段DE是由线段AB平移而得， ∴DE=AB=4cm， ∴△DCE的周长=DE+CE+CD=4+3+4=11cm． 故答案为：11． 28、如图，将直角三角形ABC沿着AB方向平移得到三角形DEF，若AB=6cm，BC=4cm，CH=1cm，图中阴影部分的面积为cm2，则三角形ABC沿着AB方向平移的距离为______cm。 【解答】解：根据题意，得 HB=BC—CH=4—1=3cm ∵ ∠ABC=90° ∴三角形DBH为直角三角形 ∴S△ABC=AB×BC=12cm2，S△DBH=DB×HB=DB 根据题意得：阴影部分的面积=S△ABC—S△DBH，且阴影部分的面积为cm2 ∴12—DB= ∴ DB=cm ∴AD=AB—DB=6—=cm，即三角形ABC沿着AB方向平移的距离为cm 故答案为：． 29、如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm． 【解答】解：∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移acm ∴DE=AB=3cm，BE=acm ∴EC=BC－BE=(4－a)cm ∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm 故答案为：9 30、如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝38°，则∠2＝______． 【解答】解：分析：延长AB交l2于点E根据∠α=∠β可得AB∥DC，进而可得∠3+∠2=180°，再根据平行线的性质可得∠1=∠3=38°，从而可得答案． 解答 解：延长AB交l2于点E， ∵∠α=∠β， ∴AB∥DC， ∴∠3+∠2=180°， ∵l1∥l2， ∴∠1=∠3=38°， ∴∠2=180°—38°=142°， 故答案为：142°． 31、如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数。 【解答】解：∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC， ∴∠ACB＋∠DAC＝180°， ∵∠DAC＝120°， ∴∠ACB＝60°， 又∵∠ACF＝20°， ∴∠FCB＝∠ACB−∠ACF＝40°， ∵CE平分∠BCF， ∴∠BCE＝20°， ∵EF∥BC， ∴∠FEC＝∠ECB， ∴∠FEC＝20°． 32、如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE （1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明． （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【解答】解：（1）OF⊥OD． 证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE， ∴∠FOE＝∠AOE，∠EOD＝∠EOB． ∵∠AOE+∠EOB＝180°， ∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°． ∴OF⊥OD． （2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD， ∴∠BOD：∠AOD＝1：5． ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°． ∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE， ∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE． ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF＝60°． 33、推理填空． 如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°。 将求∠AGD的过程填写完整． 因为EF∥AD， 所以∠2＝_____（_________________） 又因为∠1＝∠2                                                                    所以∠1＝∠3（___________） 所以AB∥____（____________） 所以∠BAC＋________＝180°（____________） 因为∠BAC＝70° 所以∠AGD＝________ 【解答】解：因为EF∥AD， 所以∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）， 又因为∠1＝∠2，                                                                    所以∠1＝∠3（等量代换）， 所以AB∥DG（内错角相等，两直线平行）， 所以∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 因为∠BAC＝70°， 所以∠AGD＝110°， 故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°． 34、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF． 完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：∵∠3=∠4（已知） ∴AE∥_____（　   　） ∴∠EDC=∠5（　   　） ∵∠5=∠A（已知） ∴∠EDC=_______（　   　） ∴DC∥AB（　   　） ∴∠5+∠ABC=180°（　   　） 即∠5+∠2+∠3=180° ∵∠1=∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3=180°（　   　） 即∠BCF+∠3=180° ∴BE∥CF（　   　）． 【解答】解：∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行） ∴∠EDC=∠5 （ 两直线平行，内错角相等） ∵∠5=∠A（已知） ∴ ∠EDC=∠A （ 等量代换） ∴DC∥AB   （ 同位角相等，两直线平行） ∴∠5+∠ABC=180° （ 两直线平行，同旁内角互补） 即∠5+∠2+∠3=180° ∵∠1=∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3=180°（ 等量代换 ） 即∠BCF+∠3=180° ∴BE∥CF （ 同旁内角互补，两直线平行 ） ． 35、如图所示，已知∠DAB=∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE=∠CEB，试说明：AF∥CE． 解：（1）因为∠DAB=∠DCB（            ）， 又AF平分∠DAB， 所以_____=∠DAB（               ）， 又因为CE平分∠DCB， 所以∠FCE=_____（                 ）， 所以∠FAE=∠FCE． 因为∠FCE=∠CEB， 所以______=________ 所以AF∥CE（                 ） 【解答】解：因为∠DAB=∠DCB（已知）， 又因为AF平分∠DAB， 所以∠FAE=∠DAB（角平分线的性质）． 又因为CE平分∠DCB， 所以∠FCE=∠DCB（角平分线的性质）． 所以∠FAE=∠FCE． 因为∠FCE=∠CEB， 所以∠FAE=∠CEB， 所以AF∥CE（同位角相等，两直线平行）． 故答案是：已知；∠FAE，角平分线的性质；∠DCB，角平分线的性质；∠FAE，∠CEB；同位角相等，两直线平行． 36、在下面的横线上，填上相应的结论： 已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1＝∠2，试说明：AB∥CD，BE∥CF． 理由：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）， ∴______＝_______＝______°（垂直的定义）； ∴AB∥CD（　 　）； 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴________＝________， ∴BE∥CF （　 　）。 【解答】解：证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°（垂直的定义）， ∴AB∥CD（垂直于同一条直线的两直线平行）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠3＝∠4， ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）． 37、填空并完成以下证明： 如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB. 证明：∵FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝________． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC，(_____________) ∴∠2＝______．(__________________) ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝______，(______________) ∴CD∥FH(________________) ∴∠BDC＝∠BHF＝_____°，(__________________) ∴CD⊥AB. 【解答】解：∵FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝90°． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC，（同位角相等，两直线平行） ∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等） ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠BCD，（等量替换） ∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行） ∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等） ∴CD⊥AB. 38、已知，如图，AB∥CD，EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD,求证：∠EGF=90°        【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF +∠EFD =180°， ∵EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD,∴∠GEF=∠BEF, ∠GFE=∠EFD, 故∠GEF+∠GFE=∠BEF+∠EFD=（∠BEF +∠EFD）=90°. 则∠EGF=90° 39、如图，已知四边形ABCD中，∠A＝106°﹣α，∠ABC＝74°＋α，BD⊥DC于D，EF⊥DC于F，求证：∠1＝∠2． 【解答】解：∵∠A＝106°﹣α，∠ABC＝74°＋α， ∴∠A＋∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠DBC， ∵BD⊥DC，EF⊥DC， ∴∠BDC＝∠EFC＝90°， ∴BD∥EF， ∴∠2＝∠DBC， ∴∠1＝∠2． 40、如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上． （1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数． 【解答】解：（1）AB∥CD； 理由：∵AD⊥BE，BC⊥BE， ∴∠EFD＝∠EBC＝90°， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠C， ∵∠A＝∠C， ∴∠ADE＝∠A， ∴AB∥CD； （2）∵∠ABC＝130°，∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝130°﹣90°＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠BEC＝∠ABE＝40°． 学科网（北京）股份有限公司 $$