第四章 图形的相似（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第四章 图形的相似（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 4．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 5．在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（     ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 6．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 7．如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，若，下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 8．如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．两个相似三角形的一组对应边分别为和，如果较小三角形的周长为，那么较大三角形的周长为 ． 10．若，则的值为 ． 11．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 12．如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米． 13．如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，，，求证：． 15．（5分）已知，求值． 16．（5分）如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 17．（5分）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    18．（5分）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画，使它与的相似比为，变换后点A、B的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ． 20．（6分）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 21．（6分）在平行四边形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，分别交、于M，N． (1)求证：； (2)若，求证：． 22．（7分）如图，在地面上的点处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的吸睛到地面的距离米．将平面镜从点沿的延长线移动10米到点处，小华移动到点处时，小华又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． = 23．（7分）表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 24．（7分）如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与相似？ 25．（8分）近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 26．（10分）问题提出：如图1，点E是菱形的边上的一点，，将线段绕点E顺时针旋转至，连接、，交于点G，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，在上截取，使得．连接，______． （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 问题解决： （3）如图3，某公园计划在一片足够大的空地上修建一个五边形花园，其中菱形区域种植向日葵，区域种植薰衣草，为提高观赏体验现计划给该花园修建三条笔直的通道、、，通道的入口为点A，游客可走通道观赏花海，交于点G，同时计划在点G处修建一个拍照打卡地，通道与长度相等且夹角为，米，，点F在上且，请你通过计算帮助公园设计者确定点G、E之间的距离为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：A． 2．如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选C． 3．下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 【答案】D 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，利用边对应成比例，角对应相等的两个多边形相似逐一判断即可. 【详解】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意； B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B不符合题意； C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意； D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D符合题意； 故选：D． 4．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 5．在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（     ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A、， ， ， ， 又∵， ，故该选项不符合题意； B、，，，， ， ， ，故该选项不符合题意； C、，，，， ， 不能判定这两个三角形相似，故该选项符合题意； D、，，，， ， ， ，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 7．如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，若，下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、证明两三角形相似 【分析】先求出，再根据旋转和全等的性质得到，即可判断①；，，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到，，再根据三角形三边关系即可判断③；证明，在中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8．如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．两个相似三角形的一组对应边分别为和，如果较小三角形的周长为，那么较大三角形的周长为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比定理的应用是解此题的关键．由两个相似三角形的一组对应边分别为和，可求得相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，较小三角形的周长为，即可求得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的一组对应边分别为和， ∴相似比为：， ∴周长比为：， ∵较小三角形的周长为， ∴较大三角形的周长为：． 故答案为： 10．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 11．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 12．如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米． 【答案】/ 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点作于点，推出，得到米，再根据勾股定理求出米，由题意得：米，米，，利用相似三角形的性质求出米，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ， ， 米， 米， 米， 由题意得：米，米，， ，即， 米， 米， 大树的高度是米， 故答案为：． 13．如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，过点C作，使，连接，如图，则为等腰直角三角形，证明，则，得到，当取最小值时，最小，过点H作，由于垂线段最短，点D和点重合时，最小，得到，连接，过点作于点K，求出,证明是等腰直角三角形，得到的面积,即可得到答案． 【详解】解：过点C作，使，连接，如图，则为等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 当取最小值时，最小， 过点H作，由于垂线段最短，点D和点重合时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 连接，过点作于点K， ∴， ∴，， ∴, ∵是等腰直角三角形， ∴的面积, 即取最小值时，的面积是， 故答案为： 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，，，求证：． 【答案】见详解 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 15．（5分）已知，求值． 【答案】1或 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，当，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值1或． 16．（5分）如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 【答案】 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 17．（5分）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了三角形相似，尺规作图，解题的关键是熟悉相似三角形的性质与判定．已知，要使，只需再证另一组角相等即可，由可知作即可． 【详解】解：如解图，点即为所求．    ，， ， ． 18．（5分）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画，使它与的相似比为，变换后点A、B的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）∵为线段上的任一点， ∴变换后点P的对应点的坐标为． 20．（6分）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】城楼的高度为米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出是解题的关键．过点作于点，交于点，由题意得：米，米，米，米，进而得到米，米，米，证明得到，求出米，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得：米，米，米，米， ， 四边形是矩形， 又， 米， （米），（米）， ， ， ，即， 米， 城楼的高度为：（米）． 21．（6分）在平行四边形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，分别交、于M，N． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平行四边形的性质得到，，然后证明出，即可得到四边形是平行四边形； （2）首先由平行四边形的性质得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ． 22．（7分）如图，在地面上的点处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的吸睛到地面的距离米．将平面镜从点沿的延长线移动10米到点处，小华移动到点处时，小华又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． = 【答案】树的高度为米． 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案． 【详解】解：设米，米． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 树的高度为米． 23．（7分）表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 【答案】方案一：，方案二：，方案一的正方形水池面积更大． 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形性质理解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】方案一：设正方形边长为x米，利用平行线分线段成比例定理即可求出正方形的边长；方案二：根据题意画出图形，作交于点．根据直角三角形的面积得出的长，利用相似三角形的判定定理即可得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；把两方案中正方形的边长进行比较即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为米． 方案一：∵， ∴， ∴， ∴； 方案二：如图2，作于H，交于点， 则四边形是矩形， ∴米，米； 由勾股定理得：米， ∵， ∴米； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∵， ∴方案一的正方形水池面积更大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质等知识，利用相似三角形的性质是解题的关键． 24．（7分）如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与相似？ 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3)或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解； （2）由勾股定理得：，即可求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒以后，面积为（） 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）． （2）解：设经过秒后，的长度等于， 由，得， 解得：（舍去），． 答：2秒后，的长度为． （3）解：当时， 即，解得 当时， ， 即， 解得， 或． 25．（8分）近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 【答案】 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答. 证明得到对应边成比例，列方程解决即可. 【详解】解：设米，米， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 26．（10分）问题提出：如图1，点E是菱形的边上的一点，，将线段绕点E顺时针旋转至，连接、，交于点G，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，在上截取，使得．连接，______． （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 问题解决： （3）如图3，某公园计划在一片足够大的空地上修建一个五边形花园，其中菱形区域种植向日葵，区域种植薰衣草，为提高观赏体验现计划给该花园修建三条笔直的通道、、，通道的入口为点A，游客可走通道观赏花海，交于点G，同时计划在点G处修建一个拍照打卡地，通道与长度相等且夹角为，米，，点F在上且，请你通过计算帮助公园设计者确定点G、E之间的距离为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）米 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点O，由，求出米，米，同理（2）得：，推出，根据等腰三角形及勾股定理求出米，得到米，再求出米，米，通过证明，得到，设米，则米，米，即可求解． 【详解】（1）解：过点F作交延长线于H，如图所示： ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴，， ，， ， ． ， 即； （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点O，如图所示： ∵四边形为菱形，米， 米， ， 米，米， 同理（2）得：， ， ，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴米， 根据勾股定理得：即， 解得：米（负值舍去）， 米， 米， ， ∴， ， ∴ 米， ∴米， ， ∴由（2）知，． ， ， ， ， 设米，则米，米， ， 解得：， 米． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$