第三章 概率的进一步认识（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第三章 概率的进一步认识（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．小刚、小强计划利用暑期从A，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 2．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 3．2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 5．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表： 试验种子数粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（   ） A．2500 B．2700 C．2800 D．3000 6．从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 7．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 8．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数是3的倍数的概率是 ． 10．一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为 个． 11．为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083 试估计“点落入圆形区域内”的概率 （精确到0.01）． 12．如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 13．现有2个，1个的电阻，若首先将两个并联，然后再和另一个串联，那么整个电路的总电阻恰好为的概率为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛． (1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概念是________； (2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．（用树状图或列表的方法求得） 15．（5分）（1）转动如图1所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当转盘停止转动时指针落在红，黄、绿某一颜色区域（若指针落在交界线上，则重新转动）． 下列事件：①指针指向红色区域；②指针指向绿色区域；③指针指向黄色区域；④指针不指向黄色．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ． （2）请你在图2中设计一个转盘，使指针落在红色区域和黄色区域的可能性一样大，且指针落在绿色区域的可能性最大．    16．（5分）有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由． 17．（5分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 18．（5分）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 19．（6分）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 20．（6分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． 王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整； 王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ 如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程) 21．（6分）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 22．（6分）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 23．（7分）下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况． 抽取的排球数描取格品数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中 ， ． (2)从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是 精确到 (3)如果生产个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？ 24．（7分）如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 25．（8分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 26．（10分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．小刚、小强计划利用暑期从A，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用树状图法或列表法求解概率，画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率， 故选：B． 2．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找恰好选中《周髀算经》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的结果数有6种， ∴选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为， 故选：B. 3．2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， 他们恰好从同一出口走出的概率是， 故选：C． 4．如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，能让灯泡发光的有6种情况， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 5．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表： 试验种子数粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（   ） A．2500 B．2700 C．2800 D．3000 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据图表中数据得出种子的发芽率大约，进而利用需要保证的发芽数为2500粒，则需试验的种子数粒数为x，得出等式求出即可 【详解】解：利用图表中数据可得出：种子的发芽率大约， ∴需要保证的发芽数为2500粒，则需试验的种子数粒数为x，根据题意得出： ， 解得：， ∴需试验的种子数最接近的粒数为2700. 故选：B 6．从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下，    一共有种可能，其中经过第二象限的共有种可能，分别为，；，；，；，； ∴经过第二象限的概率是， 故选：． 7．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用七巧板拼图形、几何概率 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设①的面积为， 则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为． 故选：A． 8．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何概率、利用垂径定理求值 【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率． 【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设， ， ∴， 解得：，， ∴M部分面积与整个圆面积的比：， ∴等于， 故选A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数是3的倍数的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了求概率的方法：列表法和树状图法，解题关键是能够通过画表格（图）或者树状图列出所有可能情况． 根据所抽取的数据拼成两位数画出表格，得出总数及能被3整除的数，再求概率即可． 【详解】解：如图，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共6种情况，其中是3的倍数的有24，42两种， 2 3 4 2 23 24 3 32 34 4 42 43 ∴组成两位数是3的倍数的概率为． 故答案为：． 10．一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为 个． 【答案】8 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得：（个）， ∴估计袋子中白球的个数约为8个； 故答案为：8． 11．为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083 试估计“点落入圆形区域内”的概率 （精确到0.01）． 【答案】0.08 【知识点】由频率估计概率 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．本题考查了利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到0.08附近， ∴估计“点落入圆形区域内”的概率为0.08， 故答案为：0.08． 12．如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、几何概率 【分析】本题考查了几何概率和概率公式及菱形的性质．由题意可证，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：，， ，， 、分别是的三等分点， ，， ， ， 同理可得，， 小球最终停在阴影区域上的概率是． 故答案为：． 13．现有2个，1个的电阻，若首先将两个并联，然后再和另一个串联，那么整个电路的总电阻恰好为的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了概率的计算．熟练掌握画树状图法求概率，是解决问题的关键． 先两个并联，再与第三个串联，画出树状图，用总电阻为的可能情况数除以总可能情况数，即得． 【详解】画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中恰好为的结果有2种， ∴总电阻恰好为的概率为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛． (1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概念是________； (2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．（用树状图或列表的方法求得） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是利用例举法，列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用． （1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可； （2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种， ∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是； 故答案为：； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种， 所以一定有丁的概率为：． 15．（5分）（1）转动如图1所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当转盘停止转动时指针落在红，黄、绿某一颜色区域（若指针落在交界线上，则重新转动）． 下列事件：①指针指向红色区域；②指针指向绿色区域；③指针指向黄色区域；④指针不指向黄色．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ． （2）请你在图2中设计一个转盘，使指针落在红色区域和黄色区域的可能性一样大，且指针落在绿色区域的可能性最大．    【答案】（1）；（2）见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、几何概率 【分析】本题主要考查了求概率： （1）分别求出指针落在各色区域的概率，即可比较出可能性的大小． （2）根据题意分成4绿1红1黄的六部分，即可． 【详解】解：∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为， ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为， ④指针不指向黄色的概率为， 则这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：； 故答案为： （2）如图，即为所求．    16．（5分）有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出小胡和小明拥有电影票的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下，    共有9种等可能的情况数，其中两人摸到纸牌的点数和为奇数有4种情况，两人摸到纸牌的点数和为偶数有5种情况， 则小胡拥有电影票的概率是，小明拥有电影票的概率是， ∵， ∴这个拥有电影票的游戏规则对双方不公平． 17．（5分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 18．（5分）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 【答案】(1) (2)设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张（答案不唯一） 【知识点】根据概率公式计算概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题主要考查了随机事件的可能性，掌握可能性的计算公式是解题的关键． （1）先确定所有等可能结果数、翻到“手机”的结果数，然后运用概率公式计算即可； （2）设计一个有等可能结果数为9，翻到“球拍”的结果数为4的方案即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：． （2）解：设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一） 19．（6分）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 20．（6分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． 王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整； 王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ 如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程) 【答案】（1）12；3；补充图见详解 （2）4个班平均作品数为： （件）；估计全年级共征集到作品： （件） （3）恰好抽中一男一女的概率为，过程见详解. 【知识点】概率在比赛中的应用、由扇形统计图求总量 【分析】（1）根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式计算出总数，即可求得B的件数. （2）求出平均一个班的作品件数，再乘以班级数，计算即可. （3）列表分析，再根据概率公式计算即可. 【详解】(1)所调查的四个班总数为：(件)，B作品的件数为：12-2-5-2=3(件)；补充图如下 （2）王老师所调查的4个班平均作品数为： （件） 估计全年级共征集到作品： （件） （3）列表如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 ______ 男1 男2 男1 男3 男1 女1 男1 女2 男2 男2 男1 ______ 男2 男3 男2 女1 男2 女2 男3 男3 男1 男3 男2 ______ 男3 女1 男3 女2 女1 女1 男1 女1 男2 女1 男3 ______ 女1 女2 女2 女2 男1 女2 男2 女2 男3 女2 女1 ______ 共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种， 所以 即恰好抽中一男一女的概率为. 【点睛】本题考查了统计的相关知识，复杂的统计问题用列表或者树状图分析. 21．（6分）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 【答案】(1) (2)小玲胜小军的概率是 (3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大 【知识点】概率的其他应用、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可； （2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率； （3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，画出树状图：    共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个， 所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是； （2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为； （3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜， 小玲胜小军的概率是； ④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大． 【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键． 22．（6分）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 【答案】(1)见解析 (2)甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查用列表法或者画树状图法求概率，游戏公平性； （1）列表找出所有的可能性及符合条件的数量，再求概率即可； （2）分别求出三种方案甲乙的获胜概率，再判断即可． 【详解】（1）列表如下： 红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3 红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4 黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5 （2）由（1）可得： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高． 23．（7分）下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况． 抽取的排球数描取格品数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中 ， ． (2)从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是 精确到 (3)如果生产个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？ 【答案】(1)0.942；1898 (2)0.95 (3)个 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据表格中的数据计算即可得解； （2）利用频率估算出概率即可得解； （3）根据概率计算即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）解：由题意得：从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是； （3）解：（个）， 故如果生产个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有个． 24．（7分）如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况， ∵， ∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为． 25．（8分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、折叠问题、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 26．（10分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率、求方差、求中位数、求扇形统计图的圆心角 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可． （2）根据中位数与方差的定义即可求解； （3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率． 【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$