4.4 一次函数的应用（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第4章 一次函数》 4.4 一次函数的应用 知识点一 用一次函数解决问题 ◆1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. ◆2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. 知识点二 分段函数 ◆1、分段函数：在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不同，我们这样的函数称为分段函数. ◆2、学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： （1）在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 （2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. （3）分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 题型一 利用一次函数解决销售问题 解题技巧提炼 本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2023秋•盐湖区校级期中）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（kg）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（　　） A．20kg B．21kg C．22kg D．23kg 2．（2023秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 3．（2023秋•安徽期中）如图所示，l1反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该种产品的销售成本与销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是（　　） A．当销售量为2吨时，销售成本是2000元 B．销售成本是5000元时，该公司的该产品盈利 C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元 D．l2的函数表达式为y＝400x+2000 4．（2023秋•南岗区校级期中）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（　　）千克土豆． A．15 B．32.4 C．40 D．45 5．（2024春•宁江区校级期中）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐!苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折． （1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）若小李在该果园购买8斤苹果，请你算一算，小李花了多少钱？ （3）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？ 6．（2023秋•武侯区校级期末）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？ 7．（2023秋•郫都区期末）某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 （1）若批发黄瓜和茄子共花220元，则黄瓜和茄子各多少千克？ （2）设批发了黄瓜x千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是W元，求W与x的函数关系式． 8．（2023秋•市南区期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示． （1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值． 9．（2024秋•武汉月考）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量y（件）月销售利润w（元）的部分对应值如下表：[月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）] 售价x/（元/件） 30 35 月销售量y/件 300 250 月销售利润w/元 4500 5000 （1）商品的进价为 　 元/件，y关于x的函数表达式为 　 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤10）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则m＝　5　． 题型二 利用一次函数解决工程问题 解题技巧提炼 本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2023•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（　　）米． A．150 B．110 C．75 D．70 2．（2023•洪山区模拟）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．每分钟进水5L B．每分钟出水3.75L C．容器中水为25L的时间是8min或14min D．第2或min时容器内的水恰为10升 3．（2023春•滨州期末）有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进水量都是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水、不出水，在随后的8分钟内既进水、又出水，得到时间x（分）与水量y（升）关系如图所示，则进水量比出水量每分钟多 　 　升． 4．（2024•济南模拟）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 　 　时． 5．（2023•龙川县校级开学）一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图． （1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？ （2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？ （3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间． 6．（2024春•广元期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 7．（2024春•西山区校级期中）某农户准备在一个大棚里种植甲、乙两种水果．实际种植中，甲种水果的种植费用y（元）与种植面积x（m2）的函数关系如图所示，乙种水果的种植费用为每平方米20元． （1）求y与x的函数关系式； （2）甲、乙两种水果种植面积共600m2，其中，甲种水果的种植面积x满足200＜x≤350，怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植费用最少？最少种植费用是多少？ 8．（2023•东河区模拟）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题： （1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式； （2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米． 9．为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？ 题型三 利用一次函数解决有关行程问题 解题技巧提炼 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024秋•道里区校级月考）甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，l1，l2分别表示甲、乙两车行驶的路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示），则乙比甲从A地到B地所用时间少（　　）时． A．2 B．1 C． D． 2．（2024•平房区一模）“梨花风起正清明，游子寻春半出城．日暮笙歌收拾去，万株杨柳属流莺．”古人在春季里都有踏青游乐的习俗，古时也叫行青、探春、寻春等，人们聚亲约友，承大好春光到郊外游玩，然后围坐野宴，抵暮而归．小明与家人乘车去阳屏湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离y（km）与所用时间t（h）的对应关系如图所示，以下说法错误的是（　　） A．小明全家去阳屏湖时的平均速度为80km/h B．小明全家停车游玩了4.5小时 C．小明全家返回时的平均速度为60km/h D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时 3．（2023秋•龙华区期中）甲从深圳匀速骑电动车到广州，乙从广州匀速骑摩托车到深圳，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离深圳的距离y（km）与他们骑车的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．深广两地的距离为120km B．甲的速度为20km/h C．乙的速度为30km/h D．乙运动3h到达深圳 4．（2023秋•横山区期中）已知A地在B地正南方3km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s（km）与所行时间t（h）之间的函数关系的图象如图中的OC和BD所示，当他们行走3h后，他们之间的距离为（　　） A．0.5km B．1km C．1.5km D．2.5km 5．（2024•二道区校级开学）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为0.1升/千米． （1）工厂离目的地的路程为 　 千米； （2）求s与t之间的函数表达式； （3）求货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 6．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　 km/h，乙的速度是　 km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝　 ，b＝　 ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 7．（2023•碑林区校级三模）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示． （1）a＝　 　； （2）求CD所在直线的函数表达式； （3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？ 8．（2023秋•兰考县期末）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？ 9．（2024秋•庐阳区校级月考）已知甲、乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发h后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数关系图象． （1）求a的值． （2）求出租车从乙地返回甲地的速度． （3）在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km？ 题型四 利用图表信息解决实际问题 解题技巧提炼 利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题. 1．（2023秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表： 目的地 甲地 乙地 每吨费用（元） 150 240 设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元． （1）求y与x间的函数表达式； （2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？ 2．（2023春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm． 第一套 第二套 椅子高度xcm 40 37 桌子高度ycm 75 70 （1）请确定y与x的函数关系式． （2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 3．（2023秋•兴化市期末）客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示． x（kg） … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … （1）求y关于x的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量； （3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是　 　． 4．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数． 5．（2023•利通区校级一模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x（cm） … 4 6 8 10 … 双层部分的长度y（cm） … 73 72 71 70 … （1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值； （2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； （3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围． 6．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？ （2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式． 日期 销售记录 6月1日 库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）． 6月9日 从6月1日至今，一共售出200kg． 6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg． 6月12日 补充进货200kg，成本价8.5元/kg． 6月30日 800kg水果全部售完，一共获利1200元． 题型五 实际问题中的分段函数 解题技巧提炼 学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： ⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 ⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. ⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 1．（2023秋•中原区校级期中）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．甲园的门票费用是60元 B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D．若顾客采摘15kg草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠 2．（2024•鹿城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为 　 　． 3．一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠． （1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？ （2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式． 4．（2024秋•包河区月考）某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人50元；超过20人的，超过的部分，每人40元． （1）写出门票收费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式； （2）701班班主任带领45名学生去该风景区游览，购买门票共需要多少元？ 5．（2024•辽宁模拟）辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． （1）当x≥4时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式； （2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算． 6．（2023•渭城区模拟）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价，超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元． （1）求总价y与购买水果质量x之间的函数表达式； （2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？ 7．（2024秋•庐阳区校级月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． （1）若用水不超过10吨，水费为 　 元/吨． （2）当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． （3）若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 8．（2023春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？ 9．（2023春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （2）求图中m的值，并说明m的实际意义； （3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？ 题型六 利用一次函数解决最值问题 解题技巧提炼 根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 1．（2023秋•济南期末）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x（1≤x≤90）天的售价y与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为（100﹣x）件． （1）试求出售价y与x之间的函数关系式； （2）请求出该商品在销售过程中的最大利润． 2．（2023秋•安徽期中）近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本． （1）设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？ 3．（2023春•抚顺期末）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求W与x的函数关系式； （3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 4．（2023•河南模拟）某绿植店购进两种多肉植物试销，已知A种“石榴籽”比B种“红莲花”的进货单价多6元，且购进25盆A种多肉和15盆B种多肉共花费310元． （1）A种“石榴籽”和B种“红莲花”的进货单价分别是多少元？ （2）由于多肉畅销，绿植店决定再购进这两种多肉共150盆，其中A种多肉数量不多于B种多肉的2倍，且每种多肉的进货单价保持不变，若A种的销售单价为14元，B种的销售单价为6元，试问如何进货才能使得第二次销售获利最大，最大利润为多少元？ 5．（2024秋•乌鲁木齐月考）乌鲁木齐市某水果店为庆祝2024年国庆节计划将50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）A礼盒最多可以装多少份？ （3）若哈密瓜成本每个10元，火龙果成本每个6元，装成礼盒后A礼盒每份售价90元，B礼盒每份售价30元，剩余火龙果售价每个8元，问怎样销售利润最大？最大利润为多少元？ 6．（2024•灌云县二模）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围 （2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 7．（2023春•固始县期末）我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 甲商品 乙商品 进价（元/件） 35 5 售价（元/件） 45 8 小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？ 8．（2023秋•庐阳区校级期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且a﹣b＝4，若最大利润为4000元，求a的值． 题型七 利用一次函数解决选择方案问题 解题技巧提炼 方案选择问题首先根据题意分别用函数表达式表示出各自的收费标准，然后列方程、不等式根据一次函数的性质来进行选择最佳的方案即可. 1．（2023•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式； （2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 2．（2023秋•连平县期中）一个代号为Master的神秘棋手打败众多围棋领域的高手，引起人们的广泛关注，后Master自曝身份，原来它是谷歌人工智能产品AlphaGo的升级版．某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（h） 超时费（元/h） A 70 25 6 B 100 50 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元（包时上网时间是指月使用费中包含的上网时间，超过该时间需另外付费）． （1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）若小明3月份上该网站学习的时间为60h，则他选择哪种方式上网学习合算？ 3．（2023•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球． （1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式； （2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 4．（2024秋•章丘区期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　 　元；甲复印社每张收费是 　 　元； （2）分别求出甲、乙两复印社收费情况关于复印张数x的函数解析式； （3）每月复印多少张时，选择乙复印社较为便宜？ 5．（2023秋•碑林区校级期末）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 6．（2024秋•历城区校级月考）某移动公司设了两类通讯业务，A类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴50元月租费，然后每通话1分钟，付0.4元，B类收费标准为用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，若一个月通讯x分钟，两种方式费用分别是yA，yB元． （1）分别写出yA，yB与x之间的函数关系式． （2）某人估计一个月通话时间为300分钟，应选哪种通讯方式合算些，请书写计算过程． （3）小明用的A卡，他计算了一下，若是B卡，他本月话费将会比现在多100元，请你算一下小明实际话费是多少元？ 7．（2023秋•天桥区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 8．（2024春•虞城县校级期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费0.45元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取600元管理费用，再每千克运费0.15元； 方案三：每月收取1350元包干，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元． （1）请直接写出y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算． 9．（2024•新安县一模）民族要复兴，乡村必振兴．2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下： 线下销售模式：标价5元/千克，八折出售； 线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元． 购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）请求出两种销售模式对应的函数解析式； （2）说明图中点C坐标的实际意义； （3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？ 题型八 利用一次函数解决几何问题 解题技巧提炼 本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法． 1．（2023春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0） （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）直接写出△APD的面积的最大值． 2．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2； （2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式； （3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2 3．（203春•景德镇期末）如图①所示，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，a秒时点P，Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/秒，点Q的速度变为ccm/秒，如图②所示的是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系．图③是△AQD的面积S2（cm2）与点Q出发时间x（秒）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）设点P，Q出发x（x＞a）秒后离开点A的路程分别为y1，cm，y2，cm，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并求出点P，Q相遇时x的值． 4．（2023春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： （1）△ABC的高AF的长为 　 　． （2）写出S与x的关系式 　 　． （3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？ 5．（2023春•朝阳区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿AB﹣BC﹣CD的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿DC﹣CB﹣BA路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒1cm，2cm，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm，cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值； （2）设点P已行的路程为y1，点Q还剩的路程为y2，请分别求出改变速度后，y1、y2与x的函数关系式； （3）当P、O两点都在BC边上时，若PQ＝3cm，求x的值． 6．（2023春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示． （1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式； （3）当y＝12时，求x的值； （4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第4章 一次函数》 4.4 一次函数的应用 知识点一 用一次函数解决问题 ◆1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. ◆2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. 知识点二 分段函数 ◆1、分段函数：在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不同，我们这样的函数称为分段函数. ◆2、学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： （1）在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 （2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. （3）分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 题型一 利用一次函数解决销售问题 解题技巧提炼 本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2023秋•盐湖区校级期中）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（kg）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（　　） A．20kg B．21kg C．22kg D．23kg 【分析】设超过部分的函数解析式为y＝kx+b，将点代入确定函数解析式，然后代入求解即可． 【解答】解：设超过部分的函数解析式为y＝kx+b， 将点（5，30），（15，80）代入得：， 解得：， ∴超过部分的函数解析式为y＝5x+5， 当y＝120时，即5x+5＝120， 解得：x＝23， ∴小丽购买的数量为23kg， 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键． 2．（2023秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润． 【解答】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上， ∴， 解得， 即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100， 当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60， 则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元）， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 3．（2023秋•安徽期中）如图所示，l1反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该种产品的销售成本与销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是（　　） A．当销售量为2吨时，销售成本是2000元 B．销售成本是5000元时，该公司的该产品盈利 C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元 D．l2的函数表达式为y＝400x+2000 【分析】利用图象交点得出天利公司盈利以及天利公司亏损情况． 【解答】解：A．当销售量为2吨时，销售成本是3000元，故选项A说法错误，不符合题意； B．销售成本是5000元时，销售利润是4500元，该公司的该产品盈利，故选项B说法正确，符合题意； C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利5000﹣4500＝500元，故选项C说法错误，不符合题意； D．设l2的解析式为y2＝kx+b，， 把（0，2000），（4，4000）代入解析式得： ， 解得， 故l2的解析式为：y2＝500x+2000，所以，选项D说法错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，熟练利用数形结合得出是解题关键． 4．（2023秋•南岗区校级期中）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（　　）千克土豆． A．15 B．32.4 C．40 D．45 【分析】根据图象先求出农民自带零钱和降价前的销售量，再求出降价前每千克的售价，从而得出降价后每千克的售价，从而得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，农民自带零钱为5元，降价前售出土豆30千克， 降价前每千克售价为0.5（元）， ∴降价后每千克售价为0.4元， ∴降价后销售的土豆为15（千克）， ∴这个农民一共带了土豆30+15＝45（千克）， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图象获取信息是解题关键． 5．（2024春•宁江区校级期中）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐!苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折． （1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）若小李在该果园购买8斤苹果，请你算一算，小李花了多少钱？ （3）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？ 【分析】（1）分没有超过10斤和超过10斤两种情况，分别根据“付款金额＝单价×数量”列出函数关系式即可； （2）将x＝8代入相应的解析式求解即可； （3）将y＝130代入函数解析式中计算对应的x的值即可． 【解答】解：（1）由题意得： 当0＜x≤10时，y＝5x， 当x＞10时，y＝5×10+0.8×5×（x﹣10）＝4x+10， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）∵8＜10， ∴小李在该果园购买8斤苹果的花费为：8×5＝40元． 答：小李花了40元． （3）令y＝130，则4x+10＝130，解得：x＝30． 答：小李一共能购买30斤苹果． 【点评】本题主要考查了函数的关系式，利用分类讨论的方法依据题意列出函数关系式是解题的关键． 6．（2023秋•武侯区校级期末）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？ 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式； （2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合“销售单价不低于成本价，且不高于60元”，即可确定x的值，再将其代入（﹣2x+160）中即可求出每天的销售量． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160； （2）依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800， 整理得：x2﹣110x+2800＝0， 解得：x1＝40，x2＝70． 又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售， ∴x＝40， 答：每天的销售单价应为每千克40元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数表达式． 7．（2023秋•郫都区期末）某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 （1）若批发黄瓜和茄子共花220元，则黄瓜和茄子各多少千克？ （2）设批发了黄瓜x千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是W元，求W与x的函数关系式． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意和表格中的数据，可以写出W与x的函数关系式． 【解答】解：（1）设批发黄瓜a千克，则批发茄子（50﹣a）千克， 由题意可得：4.8a+4（50﹣a）＝220， 解得a＝25， ∴50﹣a＝25， 答：批发黄瓜25千克，批发茄子25千克； （2）由题意可得， W＝（7.2﹣4.8）x+（5.6﹣4）×（50﹣x）＝0.8x+80， 即W与x的函数关系式是W＝0.8x+80． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式． 8．（2023秋•市南区期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示． （1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值． 【分析】（1）根据图象可知：甲种苹果销售额y甲与销售量x符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式； （2）求出AB段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点B的坐标，再写出点B表示的实际意义即可； （3）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，然后列出相应的方程，求解即可． 【解答】解：（1）设甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝kx， ∵点（120，2400）在该函数图象上， ∴2400＝120k， 解得k＝20， 即甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝20x； （2）当30≤x≤120时，设乙对应的函数解析式为y＝mx+n， ∵点（30，750），（120，2100）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当30≤x≤120时，乙对应的函数解析式为y＝15x+300， 由可得， 即点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元； （3）由图象可得， 甲种苹果的销售单价为：2400÷120＝20（元）， 当x＞30时，乙种苹果的销售单价为：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元）， 由题意可得：（20﹣8）a+（15﹣12）a＝1695， 解得a＝113， 即a的值为113． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．（2024秋•武汉月考）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量y（件）月销售利润w（元）的部分对应值如下表：[月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）] 售价x/（元/件） 30 35 月销售量y/件 300 250 月销售利润w/元 4500 5000 （1）商品的进价为 　 元/件，y关于x的函数表达式为 　 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤10）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则m＝　5　． 【分析】（1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设该商品的月销售利润为w元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润＝（单件利润﹣m）×销售量列出函数解析式，再根据x≤42时，利用函数性质求解即可． 【解答】解：（1）由表中数据知，每件商品进价为（元/件）， 设一次函数解析式为y＝kx+b， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为y＝﹣10x+600； 故答案为：15，y＝﹣10x+600； （2）设该商品的月销售利润为w元， 则w＝（x﹣15）y ＝（x﹣15）（﹣10x+600） ＝﹣10x2+750x﹣9000 ＝﹣10（x﹣37.5）2+5062.5， ∵﹣10＜0，x为整数， ∴当x＝37或38时，w最大，最大值为5060， ∴当该商品的售价是37或38元时，月销售利润最大，最大利润为5060元； （3）根据题意得： w＝（x﹣15﹣m）（﹣10x+600）＝﹣10x2+（750+10m）x﹣9000﹣600m， 对称轴为直线， ∵m≤10， ∴， ∵﹣10＜0， ∴当x＝42时，w取得最大值为3960元， ∴（42﹣15﹣m）（﹣10×42+600）＝3960， 解得：m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 题型二 利用一次函数解决工程问题 解题技巧提炼 本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2023•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（　　）米． A．150 B．110 C．75 D．70 【分析】设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b，用待定系数法求出函数解析式，然后求出x＝2时，y的值，再根据除以2即可． 【解答】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b（k≠0）， 把（4，370）和（5，480）代入解析式得：， 解得， ∴工程队提高了工作效率后修路的长度y与与修路时间t之间的函数关系为y＝110x﹣70， 当x＝2时，y＝110×2﹣70＝150， ∴该工程队提高效率前每天修路的长度是75（米）． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 2．（2023•洪山区模拟）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．每分钟进水5L B．每分钟出水3.75L C．容器中水为25L的时间是8min或14min D．第2或min时容器内的水恰为10升 【分析】由图象可得开始4min内进水20L，可求出每分钟进水5L，在随后的8min内既进水又出水，则12min时的水量是30L，列式计算求出每分钟出水量，当4≤x≤12时，求y与x的函数解析式，即可得出结论． 【解答】解：A．每分进水的速度为：20÷4＝5（L/min）； B．出水管的出水速度是每分钟53.75（L/min）； C．设当4≤x≤12时，求y与x的函数解析式为y＝kx+b， 根据题意得，解得， ∴yx+15（4≤x≤12）； 设t min时该容器内的水恰好为25升，根据题意得， t+15＝25或30﹣3.75×（t﹣12）＝25， 解得t＝8或． 即容器中水为25L的时间是8min或min； D．设m分钟时该容器内的水恰好为10升，根据题意得， 5m＝10或30﹣3.75×（m﹣12）＝10， 解得m＝2或， 即第2或min时容器内的水恰为10升． 故说法中错误的是C． 故选：C． 【点评】本题是一次函数实际应用问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2023春•滨州期末）有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进水量都是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水、不出水，在随后的8分钟内既进水、又出水，得到时间x（分）与水量y（升）关系如图所示，则进水量比出水量每分钟多 　 　升． 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出进水管和出水管的速度，然后作差即可． 【解答】解：由图象可得， 进水管的速度为20÷4＝5（升/分钟）， 则出水管的速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝3.75（升/分钟）， 5﹣3.75＝1.25（升）， 即水量比出水量每分钟多1.25升， 故答案为：1.25． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2024•济南模拟）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 　 　时． 【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，解方程组求出x即可． 【解答】解：设y1为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y1＝k1x+b1， ∴， 解得， 即y1＝﹣4x+4 （ 0≤x≤1）， 设y2乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y2＝k2x+b2， ∴， 解得， 即y2＝6x+2 （0≤x≤1）； 令y1＝y2，则﹣4x+4＝6x+2， 解得：x， ∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为小时． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． 5．（2023•龙川县校级开学）一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图． （1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？ （2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？ （3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间． 【分析】（1）根据图象中数据，可以写出水泵抽水前，该蓄水池内有多少水，抽完这些水需要多长时间； （2）根据图象中数据，可以写出水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量； （3）根据图象中的数据，先计算出抽水速度，然后即可计算出当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间． 【解答】解：（1）由图象可得， 水泵抽水前，该蓄水池内有600m3的水；抽完这些水需要12h； （2）由图象可得， 水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是200m3； （3）由图象可得， 抽水的速度为：（600﹣200）÷8＝50（m3/h）， 当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为：（600﹣100）÷50＝10（h）， 即当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为10h． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2024春•广元期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）根据函数图象中的数据，可以得到甲的速度，然后即可计算出a的值，然后再说明a的实际意义即可； （3）根据题意，可以列出相应的方程，然后即可得到甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【解答】解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt+b， ， 解得， 即y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）； （2）由图象可得， 甲的工作效率为120÷3＝40（个/时）， a＝120+40×（8﹣4）＝280， 即a的值是280，实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件； （3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个， 120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480， 解得c＝7， 即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（2024春•西山区校级期中）某农户准备在一个大棚里种植甲、乙两种水果．实际种植中，甲种水果的种植费用y（元）与种植面积x（m2）的函数关系如图所示，乙种水果的种植费用为每平方米20元． （1）求y与x的函数关系式； （2）甲、乙两种水果种植面积共600m2，其中，甲种水果的种植面积x满足200＜x≤350，怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植费用最少？最少种植费用是多少？ 【分析】（1）利用待定系数法求解，并写为分段函数的形式即可； （2）乙种水果种植面积为（600﹣x）m2，由“种植费用＝甲种水果的种植费用+乙种水果的种植费用”写出种植费用关于x的函数，根据函数的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最小，求出最小值和此时600﹣x的值即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤200时，设y与x的函数关系式为y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）． 将坐标（200，5000）代入 y＝k1x， 得200k1＝5000， 解得k1＝25， ∴y＝25x； 当x＞200时，设y与x的函数关系式为y＝k2x+b（k2为常数，且k2≠0）． 将坐标（200，5000）和（400，8600）代入y＝k2x+b， 得， 解得， ∴y＝18x+1400． 综上，y与x的函数关系式为y． （2）乙种水果种植面积为（600﹣x）m2． 根据题意，得种植费用W＝18x+1400+20（600﹣x）＝﹣2x+13400， ∵﹣2＜0， ∴W随x的增大而减小， ∵200＜x≤350， ∴当x＝350时，W值最小，W最小＝﹣2×350+13400＝12700，此时乙种水果种植面积为600﹣350＝250（m2）， ∴甲种水果的种植面积为350m2、乙种水果种植面积为250m2才能使种植费用最少，最少种植费用是12700元． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式和一次函数的增减性是解题的关键． 8．（2023•东河区模拟）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题： （1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式； （2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式； （2）根据图象中的数据，可以计算出甲的速度，再根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝kx+b． 由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50）， ∴， 解得， 即乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝5x+20； （2）由图可知， 甲队速度是60÷6＝10（m/h）． 设甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为z m， 由题意可得：， 解得z＝110． 答：甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为110m． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，列出相应的方程． 9．为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时． 【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b， ， 解得，， 即y与t的函数关系式是y＝140t+100， 同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）； （2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍． ∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的， ∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h， ∴甲进水口的进水速度为：140÷（1）60（m3/h）， 480÷60＝8（h）， 即单独打开甲进水口注满游泳池需8h． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 题型三 利用一次函数解决有关行程问题 解题技巧提炼 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024秋•道里区校级月考）甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，l1，l2分别表示甲、乙两车行驶的路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示），则乙比甲从A地到B地所用时间少（　　）时． A．2 B．1 C． D． 【分析】先求出乙的速度，可得甲行驶300千米时，所用的时间为时，从而得到甲的速度，进而得到甲到达B地所用的时间，即可求解． 【解答】解：根据图象中所给的数据可得：乙速度为千米/时， 当y＝300时，乙用的时间为300÷100＝3时， 甲行驶的时间为时， ∴甲的速度为千米/时， ∴甲到达B地的时间为400÷80＝5时， ∴乙比甲从A地到B地时间少5﹣4＝1时． 故选：B． 【点评】本题主要查一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（2024•平房区一模）“梨花风起正清明，游子寻春半出城．日暮笙歌收拾去，万株杨柳属流莺．”古人在春季里都有踏青游乐的习俗，古时也叫行青、探春、寻春等，人们聚亲约友，承大好春光到郊外游玩，然后围坐野宴，抵暮而归．小明与家人乘车去阳屏湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离y（km）与所用时间t（h）的对应关系如图所示，以下说法错误的是（　　） A．小明全家去阳屏湖时的平均速度为80km/h B．小明全家停车游玩了4.5小时 C．小明全家返回时的平均速度为60km/h D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时 【分析】根据函数图象逐项判断即可． 【解答】解：A、小明全家去阳屏湖时的平均速度为80（km/h）， 故A选项错误，符合题意； B、由图象可知，小明全家停车游玩的时间为6﹣1.5＝4.5（h）， 故B选项正确，不符合题意； C、小明全家返回时的平均速度为60（km/h）， 故B选项正确，不符合题意； D、设小明全家出发后x小时时距家90km， 根据题意得：80x＝90或120﹣60（x﹣6）＝90， 解得x或x， ∴小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时或小时． 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，正确获取信息是解题的关键． 3．（2023秋•龙华区期中）甲从深圳匀速骑电动车到广州，乙从广州匀速骑摩托车到深圳，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离深圳的距离y（km）与他们骑车的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．深广两地的距离为120km B．甲的速度为20km/h C．乙的速度为30km/h D．乙运动3h到达深圳 【分析】根据图象信息可判断选项A正确；根据甲行120km用时6小时，可对选项B作出判断；先求出甲、乙多长时间相遇，即可求出乙的速度，可对选项C作出判断；根据路程和乙的速度可求出乙到深圳需要多长时间，可对选项D作出判断． 【解答】解：由图象可知：深广两地的距离为120km， 故选项A正确，不符合题意； ∵甲120km花了6h， ∴甲的速度为20km/h， 故选项B正确，不符合题意； 由图象可知：甲离深圳的距离y（km）与他们骑车的时间x（h）之间的函数关系式为：y＝20x， 当y＝40时，即40＝20x， 解得x＝2， ∴乙的速度为：（120﹣40）÷2＝40（km/h）， 故选项C错误，符合题意； 乙到达深圳的时间为：120÷40＝3（h）， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，能从图象中获取有用信息是解题的关键． 4．（2023秋•横山区期中）已知A地在B地正南方3km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s（km）与所行时间t（h）之间的函数关系的图象如图中的OC和BD所示，当他们行走3h后，他们之间的距离为（　　） A．0.5km B．1km C．1.5km D．2.5km 【分析】根据图象用待定系数法求出AC，BD的解析式，再令t＝3，求出sCA与sDB的差即可． 【解答】解：由图可知甲走的是AC路线，乙走的是BD路线， 设sAC＝kt+b， ∵AC过（0，0），（2，4）点， ∴ 解得， ∴sAC＝2x， 设sBD＝k't+b'， ∵BD过（2，4），（0，3）点， ∴ 解得， ∴sBD＝0.5t+3， 当t＝3时，sAC﹣sBD＝6﹣4.5＝1.5（km）， 故选：C． 【点评】本题主要考查的是一次函数在实际生活中的应用，数形结合，求其解析式，可根据题意解出符合题意的解，中档题很常见的题型． 5．（2024•二道区校级开学）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为0.1升/千米． （1）工厂离目的地的路程为 　 千米； （2）求s与t之间的函数表达式； （3）求货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 【分析】（1）根据图象中的数据，可以写出工厂离目的地的路程； （2）根据图象中的数据，可以计算出s与t之间的函数表达式； （3）根据题意和题目中的数据，可以计算出货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 【解答】解：（1）由图可得， 工厂离目的地的路程为880千米， 故答案为：880； （2）设s与t之间的函数表达式为s＝kt+b， ∵点（0，880），（4，560）在该函数图象上， ∴， 解得， 即s与t之间的函数表达式为s＝﹣80t+880； （3）（60﹣10）÷0.1 ＝50÷0.1 ＝500（千米）， 令s＝880﹣500＝380， 则380＝﹣80t+880， 解得t＝6.25， 答：货车行驶6.25小时后会显示加油提醒． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　 km/h，乙的速度是　 km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝　 ，b＝　 ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到a、b的值； （3）由图象可知甲乙相距7.5km有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， 故答案为：25，10； （2）由图可得， a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， b＝1.5， 故答案为：10；1.5； （3）由题意可得， 前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5， 则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后， 设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km， 25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5， 解得，x， 25﹣10x＝7.5，得x； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 7．（2023•碑林区校级三模）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示． （1）a＝　 　； （2）求CD所在直线的函数表达式； （3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？ 【分析】（1）根据图象中的数据和小林的速度，可以求得小林家与公园之间的路程； （2）根据图象可知：点（9，600），（12，0）在哥哥返回家的过程中y与x之间的函数图象上，然后即可求得该函数的解析式； （3）可以分别计算出两次时间，然后作差即可得到小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔． 【解答】解：（1）由图象可得， 小林家与公园之间的路程为：12×50＝600（米）， 故答案为：600； （2）设哥哥返回家的过程中y与x之间的函数关系式是y＝kx+b， ∵点（9，600），（12，0）在该函数图象上， ∴， 解得， 即哥哥返回家的过程中y与x之间的函数关系式是y＝﹣200x+2400（9≤x≤12）； （3）哥哥的速度为：600÷（9﹣6）＝200（米/分钟）， 设小林出发a分钟时，两人相遇， 第一次相遇时，200（a﹣6）＝50a， 解得a＝8； 第二次相遇时，200（a﹣9）+50a＝600， 解得a＝9.6； 即小林出发9.6分钟与哥哥第二次相遇． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2023秋•兰考县期末）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？ 【分析】（1）根据路程与相应的时间，求得慢车的速度，再根据慢车速度是快车速度的一半，求得快车速度； （2）先求得点C的坐标，再根据点D的坐标，运用待定系数法求得CD的解析式； （3）分三种情况：在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间即可． 【解答】解：（1）慢车的速度＝180÷（）＝60千米/时， 快车的速度＝60×2＝120千米/时； （2）快车停留的时间：2（小时）， 2（小时），即C（2，180）， 设CD的解析式为：y＝kx+b，则 将C（2，180），D（，0）代入，得 ， 解得， ∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝﹣120x+420（2≤x）； （3）相遇之前：120x+60x+90＝180， 解得x； 相遇之后：120x+60x﹣90＝180， 解得x； 快车从甲地到乙地需要180÷120小时， 快车返回之后：60x＝90+120（x） 解得x，综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．求一次函数y＝kx+b，需要两组x，y的值或图象上两个点的坐标．在解题时注意分类思想的运用． 9．（2024秋•庐阳区校级月考）已知甲、乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发h后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数关系图象． （1）求a的值． （2）求出租车从乙地返回甲地的速度． （3）在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km？ 【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到结论； （2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120120＝60（km/h）故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论； （3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）由图象知，点C（4，480），设直线OC的表达式为y＝kx， 把点C（4，480）代入，得 480＝4k， 解得 k＝120， ∴直线OC的表达式为y＝120x． 把点 （1，a）代入y＝120x，得a＝120×1． 解得 a＝120； （2）由（1），得 a＝120， ∴货车卸货时与乙地相距120km． 停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km， ∴此时出租车距离乙地 120+120＝240（km）， ∴出租车距离甲地 480﹣240＝240（km）． 把 y＝240 代入 y＝120x，得 240＝120x， 解得x＝2， ∴货车装完货物时，x＝2，即点B（2，120）． 根据直线OC的表达式为y＝120x（0＜x＜4）， 可得出租车从甲地到乙地的速度为 120km/h． 根据货车继续出发后，与出租车相遇， 可得 （出租车的速度+货车的速度）＝120， ∴相遇时，货车的速度为， 故可设直线BG的表达式为y＝60x+b． 将点B（2，120）代入，得 120＝120+b， 解得 b＝0， ∴直线BG的表达式为y＝60x． 把y＝480代入y＝60x，得 480＝60x， 解得 x＝8， ∴点G（8，480）． ∵出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地， ∴点． ∴出租车从乙地返回甲地的速度为； （3）设出租车在返回的过程中，货车出发t小时与出租车相距12km， 此时货车距离乙地60tkm，出租车距离乙地128（t﹣4）＝（128t﹣512）km． 分两种情况： ①出租车和货车二次相遇前，相距12km时， 可得60t﹣（128t﹣512）＝12， 解得； ②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时， 可得（128t﹣512）﹣60t＝12， 解得． 综上所述，出租车在返回的过程中，货车出发 h或与出租车相距12km． 【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意，根据题中信息求得所需的数据是解题的关键． 题型四 利用图表信息解决实际问题 解题技巧提炼 利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题. 1．（2023秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表： 目的地 甲地 乙地 每吨费用（元） 150 240 设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元． （1）求y与x间的函数表达式； （2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？ 【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式； （2）令y＝5400，解方程即可． 【解答】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨， 根据题意得：y＝150x+240（30﹣x）＝﹣90x+7200， ∴y与x间的函数表达式为y＝﹣90x+7200； （2）当y＝5400时，﹣90x+7200＝5400， 解得x＝20， 此时30﹣x＝10， 答：若该公司运出货物的总费用为5400元，则该公司运往乙地10吨货物． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 2．（2023春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm． 第一套 第二套 椅子高度xcm 40 37 桌子高度ycm 75 70 （1）请确定y与x的函数关系式． （2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 【分析】（1）由于y应是x的一次函数，根据表格数据利用待定系数法即可求解； （2）利用（1）的函数关系式代入计算即可求解． 【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b， 则， 解之得：k，b， ∴yx； （2）当x＝39时，y3978.2， ∴一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌不配套． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，解题时扇形正确理解题意，然后根据题意求出函数关系式即可解决问题． 3．（2023秋•兴化市期末）客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示． x（kg） … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … （1）求y关于x的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量； （3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是　 　． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）令y＝0时求出x的值即可； （3）分别求出2≤y≤7时的x的取值范围，然后解答即可． 【解答】解：（1）∵y是 x的一次函数， ∴设y＝kx+b（k≠0） 将x＝30，y＝4；x＝40，y＝6分别代入y＝kx+b，得 ， 解得： ∴函数表达式为y＝0.2x﹣2， （2）将y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2， ∴x＝10， （3）把y＝2代入解析式，可得：x＝20， 把y＝7代入解析式，可得：x＝45， 所以可携带行李的质量x（kg）的取值范围是20≤x≤45， 故答案为：20≤x≤45． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量． 4．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数． 【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可； （2）当x＝6.2时，代入（1）的解析式就可以求出y的值． 【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴yx+29.75． ∴y关于x的函数关系式为：y29.75； （2）当x＝6.2时， y6.2+29.75＝37.5． 答：此时体温计的读数为37.5℃． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 5．（2023•利通区校级一模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x（cm） … 4 6 8 10 … 双层部分的长度y（cm） … 73 72 71 70 … （1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值； （2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； （3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围． 【分析】（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题； （2）列出方程组，即可解决问题； （3）由题意当y＝0，x＝150，当x＝0时，y＝75，可得75≤l≤150． 【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b， 则有， 解得， ∴yx+75， 当x＝150时，y＝0， 答：y关于x的函数解析式为yx+75，当x＝150时y的值为0； （2）由题意， 解得， 所以单层部分的长度为90cm； （3）由题意得l＝x+y＝xx+75x+75， 因为0≤x≤150， 所以75x+75≤150， 即75≤l≤150． 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 6．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？ （2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式． 日期 销售记录 6月1日 库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）． 6月9日 从6月1日至今，一共售出200kg． 6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg． 6月12日 补充进货200kg，成本价8.5元/kg． 6月30日 800kg水果全部售完，一共获利1200元． 【分析】（1）由表格信息可知，从6月1日到6月9日，成本价8元/kg，售价10元/kg，一共售出200kg，根据利润＝每千克的利润×销售量列式计算即可； （2）设B点坐标为（a，400），根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可． 【解答】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元） 答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元； （2）设点B坐标为（a，400），根据题意得： （10﹣8）×[600﹣（a﹣200）]+（10﹣8.5）×200＝1200， 解这个方程，得a＝350， ∴点B坐标为（350，400）， 设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），则： ，解得， ∴线段BC所在直线对应的函数表达式为． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． 题型五 实际问题中的分段函数 解题技巧提炼 学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： ⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 ⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. ⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 1．（2023秋•中原区校级期中）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．甲园的门票费用是60元 B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D．若顾客采摘15kg草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 甲园的门票费用是60元，故选项A正确； 草莓优惠前的销售价格是200÷5＝40（元/千克），故选项B正确； 乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打40×10＝5折，故选项C正确； 若顾客采摘15千克草莓，那么到甲园和乙园采花费一样多，故选项D错误； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2024•鹿城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为 　 　． 【分析】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s﹣18s＝6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s﹣24s＝18s，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可． 【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s）， 这段高度为：14﹣11＝3（cm）， 设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18•x＝30×3， 解得x＝5， 即匀速注水的水流速度为5cm3/s； “几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5， 解得a＝6， 所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm）， 设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18）， 解得S＝24， 即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2． 故答案为：24cm2． 【点评】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题． 3．一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠． （1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？ （2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式． 【分析】（1）依题意计算求解即可； （2）依题意可知y与x的函数关系式为分段函数，列出一次函数即可． 【解答】解：（1）180×9＝1620（元），180×10+180×60%×（30﹣10）＝3960（元） 答：若旅游团人数为9人，门票费用是1620元；若人数为30人，门票费用是3960元； （2）设旅游团人数为x人，该旅游团门票费用y元，则 ， 即函数关系式为： ． 【点评】本题重点考查了一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键． 4．（2024秋•包河区月考）某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人50元；超过20人的，超过的部分，每人40元． （1）写出门票收费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式； （2）701班班主任带领45名学生去该风景区游览，购买门票共需要多少元？ 【分析】（1）根据题意，分两种情况：当0≤x≤20时或当x＞20时求解析式即可； （2）当x＝46时，x＞20，所以代入第二个解析式求得y的值即是所求． 【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y＝50x； 当x＞20时，y＝40x+200（其中x是整数）， 综上所述，y与x的关系式为； （2）老师和学生的总人数为：45+1＝46（人）， 当x＝46时， y＝40x+200＝40×46+200＝2040（元）． 答：购买门票共需要2040元． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，理解题意求出一次函数解析式是解题的关键． 5．（2024•辽宁模拟）辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． （1）当x≥4时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式； （2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算． 【分析】（1）设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为y＝kx+b，用待定系数法即可求解； （2）分别计算两个超市所需费用，比较，即可求解． 【解答】解：（1）当x≥4时，设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为y＝kx+b， 将（4，80），（10，152）代入得， ， 解得， ∴当x≥4时，销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为：y＝12x+32； （2）依题意，甲超市：12×12+32＝176（元）， 乙超市：20×0.8×12＝192（元）， ∵176＜192， ∴甲超市更划算． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息，掌握待定系数法是解题的关键． 6．（2023•渭城区模拟）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价，超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元． （1）求总价y与购买水果质量x之间的函数表达式； （2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？ 【分析】（1）根据图象可确定甲网店和线下乙店的y与x的函数关系式； （2）当0≤x≤5时，x＞5时，根据甲店购买比在乙店购买更省钱列一元一次不等式，求解即可． 【解答】解：（1）根据图象可知，甲网店水果的试吃价：（30﹣20）÷5＝2（元/千克）， 甲网店水果原价为（60﹣30）÷（8﹣5）＝10（元/千克）， ∴甲网店y与x的函数关系式为y， 线下乙店的总价y与x的函数关系式为y＝8x； （2）当0≤x≤5时，2x+20＜8x， 解得x， ∴x≤5时，甲网店省钱； 当x＞5时，10x﹣20＜8x， 解得x＜10， ∴5＜x＜10时，甲网店省钱； 综上所述，当x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱． 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立函数关系式是解题的关键． 7．（2024秋•庐阳区校级月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． （1）若用水不超过10吨，水费为 　 元/吨． （2）当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． （3）若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出用水不超过10吨时，每吨的水费； （2）根据图象中的数据，可以计算出当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）先判断用水的范围，再计算即可． 【解答】解：（1）由图象可得， 若用水不超过10吨，水费为25÷10＝2.5（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y＝kx+b． ∵点（10，25），（16，49）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y＝4x﹣15； （3）∵65＞25， ∴该户居民用水量超过10吨． 将y＝65 代入y＝4x﹣15， 4x﹣15＝65， 解得x＝20， 答：该户居民8月共用水20吨． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2023春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？ 【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可． （2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500， 解得k1＝30； ∴y＝30x； 当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0）， 根据题意得，， 解得：， ∴y＝24x+300． ∴y； （2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克， ∴50≤x≤60， w＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800． ∵﹣1＜0 ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝60时，wmin＝2740元， 此时乙种水果100﹣60＝40（千克）． 答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少，最少是2740元． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． 9．（2023春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （2）求图中m的值，并说明m的实际意义； （3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？ 【分析】（1）根据甲、乙商店的不同销售方案，可得关系式，注意乙商店的； （2）根据等量关系：甲商店所需费用＝乙商店所需费用，列出方程并求解即可； （3）注意分情况讨论，当m＝7m+90时，当m＜7m+90时，当m＞7m+90时，解之即可． 【解答】解：（1）文件夹的原价：300÷30＝10（元），30个文件夹的价格：30×10×0.85＝255（元）， 由题意得，设y1＝kx， 把（30，255）代入得，k， ∴y1x； 当0≤x≤30时，设y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10， ∴y2＝10x； 当x＞30时，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90， ∴y2， 答：y1关于x的函数解析式是y1x，y2关于x的函数解析式是y2． （2）当m＝7m+90时，m＝60， m的实际意义是当购买60个朗诵文件夹时，甲乙两家商店花费相同． （3）当x＝7x+90时，即x＝60，两家店铺所需费用相同； 当x＜7x+90时，即40＜x＜60，选择甲店铺更合算； 当x＞7x+90时，即60＜x≤90，选择乙店铺更合算． 【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用．题目难度不大．理解两个店铺不同的销售方案是解决本题的关键． 题型六 利用一次函数解决最值问题 解题技巧提炼 根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 1．（2023秋•济南期末）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x（1≤x≤90）天的售价y与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为（100﹣x）件． （1）试求出售价y与x之间的函数关系式； （2）请求出该商品在销售过程中的最大利润． 【分析】（1）根据题意结合图象解答即可； （2）设该商品在销售过程中的利润为w，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质和一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y与x的解析式为：y＝kx+40，则 50k+40＝90， 解得k＝1， ∴当0≤x≤50时，y与x的解析式为：y＝x+40， ∴售价y与x之间的函数关系式为：y； （2）设该商品在销售过程中的利润为w， 当0≤x≤50时，w＝（x+40﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+90x+1000＝﹣（x﹣45）2+3025， ∵a＝﹣1＜0且0≤x≤50， ∴当x＝45时，w取最大值，最大值为3025元； 当50≤x≤90时，w＝（90﹣30）（100﹣x）＝﹣60x+6000， ∵﹣60＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝50时，该商品在销售过程中的利润最大，最大值为：（90﹣30）×（100﹣50）＝3000（元）． ∵3025＞3000， ∴x＝45时，w增大，最大值为3025元． 答：第45天时，该商品在销售过程中的利润最大，最大利润为3025元． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．解答时求出函数的解析式是关键． 2．（2023秋•安徽期中）近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本． （1）设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？ 【分析】（1）设买A种笔记本n本，则买B种笔记本（30﹣n）本，根据总费用＝A，B两种笔记本费用之和列出函数解析式； （2）根据购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，求出n的取值范围，再由函数的性质求最值． 【解答】解：（1）由题意得：w＝12n+8（30﹣n）＝4n+240， ∴w关于n的函数表达式为w＝4n+240； （2）由题意得，， 解得5≤n， ∵w＝4n+240， ∴w随着n的增大而增大， ∴当n＝5时，w取最小值，最小值为260， 此时30﹣n＝25． 答：购买A种笔记本5本，B种笔记本25本时费用最少，最少的费用是260元． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 3．（2023春•抚顺期末）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求W与x的函数关系式； （3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨； （2）根据（1）的结论，结合“总利润＝甲种特产的利润+乙种特产的利润”解答即可； （3）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值． 【解答】解：（1）根据题意可知销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨， 10x+（100﹣x）×1＝235， 解得，x＝15， ∴100﹣x＝85， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨； （2）W＝（10.5﹣10）x+（1.2﹣1）×（100﹣x）＝0.3x+20； （3）由（2）可知W＝0.3x+20， ∵0.3＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵0≤x≤20， ∴当x＝20时，W取得最大值，此时W＝26， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． 4．（2023•河南模拟）某绿植店购进两种多肉植物试销，已知A种“石榴籽”比B种“红莲花”的进货单价多6元，且购进25盆A种多肉和15盆B种多肉共花费310元． （1）A种“石榴籽”和B种“红莲花”的进货单价分别是多少元？ （2）由于多肉畅销，绿植店决定再购进这两种多肉共150盆，其中A种多肉数量不多于B种多肉的2倍，且每种多肉的进货单价保持不变，若A种的销售单价为14元，B种的销售单价为6元，试问如何进货才能使得第二次销售获利最大，最大利润为多少元？ 【分析】（1）设A种“石榴籽”进货单价为x元，B种“红莲花”的进货单价为y元，根据A种“石榴籽”比B种“红莲花”的进货单价多6元，且购进25盆A种多肉和15盆B种多肉共花费310元，列二元一次方程组，求解即可； （2）设第二批购进A种多肉m盆，总利润为w元，根据A种多肉数量不多于B种多肉的2倍，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出总利润w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货使得第二次销售获得最大利润，并求出最大利润即可． 【解答】解：（1）设A种“石榴籽”进货单价为x元，B种“红莲花”的进货单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种“石榴籽”进货单价为10元，B种“红莲花”的进货单价为4元； （2）设第二批购进A种多肉m盆，总利润为w元， 根据题意，得m≤2（150﹣m）， 解得m≤100，m为正整数， w＝（14﹣10）m+（6﹣4）（150﹣m）＝2m+300， ∵2＞0， ∴w随着m的增大而增大， 当m＝100时，w取得最大值，最大值为200+300＝500（元）， 此时购进A种多肉100盆，B种多肉150﹣100＝50（盆）， 答：第二批购进A种多肉100盆，B种多肉50盆时，总利润最大，最大利润为500元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键． 5．（2024秋•乌鲁木齐月考）乌鲁木齐市某水果店为庆祝2024年国庆节计划将50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）A礼盒最多可以装多少份？ （3）若哈密瓜成本每个10元，火龙果成本每个6元，装成礼盒后A礼盒每份售价90元，B礼盒每份售价30元，剩余火龙果售价每个8元，问怎样销售利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）根据“50个哈密瓜搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜，B礼盒装1个哈密瓜，结果哈密瓜全部装完，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份．”可得2x+y＝50，变形即可求解； （2）根据“50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余”可列不等式，求解即可； （3）根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【解答】解：（1）由题意可得：y关于x的函数关系式为y＝﹣2x+50； （2）由题意得：y＝﹣2x+50①，7x+2y＜140②， 把①代入②，得7x+2（﹣2x+50）＜140， 解得， ∵x为整数， ∴x的值最大为13． 答：A礼盒最多可以装13份； （3）设利润为w， 则w＝90x+30y+8（140﹣7x﹣2y）﹣10×50﹣6×140＝34x+14y﹣220， 把y＝﹣2x+50代入，整理得w＝6x+480， ∵6＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝13时，w的值最大，最大值为：6×13+480＝558（元）， 此时y＝﹣2x+50＝﹣2×13+50＝24（份）， 答：装13份A礼盒，24份B礼盒时利润最大，最大利润为558元． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是根据题意列出不等式或函数解析式去求解． 6．（2024•灌云县二模）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围 （2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【分析】（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆（10﹣x﹣y）辆．根据表格可列出等量关系式7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60，化简得y＝﹣2x+10（2≤x≤4）； （2）由利润＝车辆数×每车水果获利可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆（10﹣x﹣y）辆． 7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60， ∴y＝﹣2x+10（2≤x≤4）； （2）w＝7×0.15x+6×0.2（﹣2x+10）+5×0.1[10﹣x﹣（﹣2x+10）]， 即w＝﹣0.85x+12， ∵﹣0.85＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝2时，w有最大值10.3万元， ∴装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元． 【点评】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键． 7．（2023春•固始县期末）我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 甲商品 乙商品 进价（元/件） 35 5 售价（元/件） 45 8 小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？ 【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式； （2）根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【解答】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300， ∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300； （2）由题意，得100﹣x≥3x， 解得x≤25． ∵y＝7x+300， ∴k＝7＞0， ∴y随x增大而增大， ∴x＝25时，y的值最大， 100﹣25＝75， 答：当购进甲种商品25件，乙种商品75件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题． 8．（2023秋•庐阳区校级期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且a﹣b＝4，若最大利润为4000元，求a的值． 【分析】（1）根据总利润＝甲、乙两种服装利润之和列出函数解析式； （2）先确定自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值； （3）先写出y与x之间的函数关系式，再一次项系数大于0，等于0，小于0三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由题意得：y＝（210﹣160）x+（150﹣120）×（100﹣x）＝20x+3000， ∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+3000； （2）由题意得：， 解得60≤x≤75， ∵y＝20x+3000中，20＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y有最大值，最大值＝20×75+3000＝4500（元）． ∴最大利润为4500元； （3）∵a﹣b＝4， ∴b＝a﹣4， 由题意得：y＝（210﹣160﹣a）x+（150﹣120+b）（100﹣x） ＝（50﹣a）x+（30+b）×100﹣（30+b）x ＝（24﹣2a）x+100a+2600． ∵60≤x≤75，0＜a＜20， ∴当0＜a＜12时，24﹣2a＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y最大＝（24﹣2a）×75+100a+2600＝4000， 解得a＝8，符合题意； 当a＝12时，y＝100×12+2600＝3800≠4000，不合题意； 当12＜a＜20时，24﹣2a＜0， y随x的增大而减小． ∴当x＝60时，y最大＝（24﹣2a）×60+100a+2600＝4000， 解得a＝2，不合题意，舍去． 综上，a＝8． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． 题型七 利用一次函数解决选择方案问题 解题技巧提炼 方案选择问题首先根据题意分别用函数表达式表示出各自的收费标准，然后列方程、不等式根据一次函数的性质来进行选择最佳的方案即可. 1．（2023•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式； （2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【分析】（1）根据题意直接写出y1，y2与x之间的关系式； （2）把x＝10代入（1）中解析式求出y的值进行比较即可． 【解答】解：（1）根据题意得：方案①：y₁＝15x+4×（x+10﹣x）＝15x+40； 方案②：y₂＝{15x+4（x+10）]×80%＝15.2x+32． ∴y₁与x之间的关系式为y1＝15x+40，y2与x之间的关系式为y2＝15.2x+32； （2）当x＝10时，y1＝15×10+40＝190； y2＝15.2×10+32＝184， ∵190＞184， ∴选择方案②更为优惠． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出y1，y2与x之间的关系式． 2．（2023秋•连平县期中）一个代号为Master的神秘棋手打败众多围棋领域的高手，引起人们的广泛关注，后Master自曝身份，原来它是谷歌人工智能产品AlphaGo的升级版．某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（h） 超时费（元/h） A 70 25 6 B 100 50 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元（包时上网时间是指月使用费中包含的上网时间，超过该时间需另外付费）． （1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）若小明3月份上该网站学习的时间为60h，则他选择哪种方式上网学习合算？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）将x＝60代入（1）中的函数关系式，求出yA，yB的值，然后比较大小，即可得到选择哪种方式上网学习合算． 【解答】解：（1）由题意可得， 当x≥50时，yA与x之间的函数关系式为：yA＝70+（x﹣25）×6＝6x﹣80， yB与x之间的函数关系式为：yB＝100+（x﹣50）×8＝8x﹣300； （2）当x＝60时， yA＝6×60﹣80＝280， yB＝8×60﹣300＝180， ∵280＞180， ∴yA＞yB， 故选择B方式上网学习合算． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式和函数值． 3．（2023•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球． （1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式； （2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【分析】（1）利用两种优惠方案的优惠方式分别列式计算即可； （2）利用分类讨论的方法和（1）中的结论分三种情形讨论解答即可． 【解答】解：（1）方案一的总费用为y1＝0.8×50x＝40x； 当x≤80时，方案二的总费用为y2＝50x， 当x＞80时，方案二的总费用为y2＝50×80+50（x﹣80）×0.6＝30x+1600， ∴方案二的总费用为y2； （2）当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱．理由： ①当x≤80时， ∵40x＜50x， ∴y1＜y2， ∴选择方案一更省钱； 当80＜x＜160时， ∵40x＜30x+1600， ∴y1＜y2， ∴选择方案一更省钱； ②当x＝160时， ∵40x＝30x+1600， ∴y1＝y2， ∴两种购买方式花费相同； ③当x＞160时， ∵40x＞30x+1600， ∴y1＞y2， ∴选择方案二更省钱． 综上，当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 4．（2024秋•章丘区期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　 　元；甲复印社每张收费是 　 　元； （2）分别求出甲、乙两复印社收费情况关于复印张数x的函数解析式； （3）每月复印多少张时，选择乙复印社较为便宜？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元和甲复印社每张收费； （2）用待定系数法可以求得； （3）根据（2）的结论列不等式解答即可． 【解答】解：（1）由图可知， 乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元； 甲复印社每张收费是10÷50＝0.2（元）． 故答案为：18；0.2； （2）设乙复印社收费情况y关于复印张数x的函数解析式为y＝kx+b， 把（0，18）和（50，22）代入解析式得： ， 解得：， ∴乙复印社收费情况y关于复印张数x的函数解析式为y＝0.08x+18； 设甲复印社收费情况y关于复印张数x的函数解析式为y＝mx， 则50x＝10， 解得：x＝0.2， ∴y＝0.2x； （3）当0.08x+18＜0.2x时， 解得：x＞150， 即每月复印大于150张时，选择乙复印社较为便宜． 【点评】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 5．（2023秋•碑林区校级期末）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y甲、y乙的解析式； （2）根据（1）中解析式，将x＝15代入分别求出，比较即可； （3）分三种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论． 【解答】解：（1）由题意得： y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550， y乙＝25×0.9x+80×0.9×10＝22.5x+720， （2）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720， 当x＝15时y甲＝25×15+550＝925（元）， y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元）， ∵925＜1057.5， ∴方案甲更省钱； （3）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720， 当y甲＝1800元时，1800＝25x+550，解得：x＝50， 当y乙＝1800元时，1800＝22.5x+720，解得：x＝48， ∵50＞48， ∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 【点评】本题考查一次函数的实际应用以及方案设计，理清数量关系是解决问题的关键． 6．（2024秋•历城区校级月考）某移动公司设了两类通讯业务，A类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴50元月租费，然后每通话1分钟，付0.4元，B类收费标准为用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，若一个月通讯x分钟，两种方式费用分别是yA，yB元． （1）分别写出yA，yB与x之间的函数关系式． （2）某人估计一个月通话时间为300分钟，应选哪种通讯方式合算些，请书写计算过程． （3）小明用的A卡，他计算了一下，若是B卡，他本月话费将会比现在多100元，请你算一下小明实际话费是多少元？ 【分析】（1）A类应缴50元月租费，每通话1分钟，付0.4元，则费用是月租费加上通话费；B类不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，则费用是通话费与时间的乘积，通讯x分钟，由此即可求解； （2）由（1）的结论可知，当x＝300时，yA＝170元，yB＝180元，由此即可求解； （3）由题意可知选择A卡的费用比选择B卡的费用少100元，由此可列出等量关系yA+100＝yB，由此即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得，A类的费用是月租费加上通话费，即yA＝50+0.4x； B类的费用是通话费与时间的乘积，即yB＝0.6x， ∴yA＝50+0.4x，yB＝0.6x． （2）通话时间为300分钟，根据（1）中的结论得， yA＝50+0.4x＝50+0.4×300＝170（元），yB＝0.6x＝0.6×300＝180（元）， ∵yA＜yB， ∴选择A类； （3）根据题意得，yA+100＝yB， ∴50+0.4x+100＝0.6x，解方程得，x＝750，即小明打电话的时间为750分钟， ∴yA＝50+0.4x＝50+0.4×750＝350（元）， ∴小明实际话费是350元． 【点评】本题主要考查一次函数在实际中的运用，解题的关键是理解两类缴费的方式，A类的费用是月租费加上通话费，B类的费用是通话费与时间的乘积． 7．（2023秋•天桥区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）的结论联立方程组解答即可； （3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可． 【解答】解：（1）设y甲＝k1x， 根据题意得4k1＝80，解得k1＝20， ∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x+80， 根据题意得：12k2+80＝200， 解得k2＝10， ∴y乙＝10x+80； （2）解方程组 解得：， ∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元； （3）当y＝240时，y甲＝20x＝240， ∴x＝12； 当y＝240时，y乙＝10x+80＝240， 解得x＝16； ∵12＜16， ∴选择乙种更合算． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键． 8．（2024春•虞城县校级期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费0.45元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取600元管理费用，再每千克运费0.15元； 方案三：每月收取1350元包干，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元． （1）请直接写出y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算． 【分析】（1）根据题意可得y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）根据（1）的结论列方程可得点C，D，E的坐标，再根据点C，D，E的坐标可得结论． 【解答】解：（1）由题意得y1＝0.45x；y2＝0.15x+600；y3＝1350； （2）解方程0.45x＝0.15x+600，得x＝2000， 0.45×2000＝900， 故点C的坐标为（2000，900）； 解方程0.45x＝1350，得x＝3000， 故点D的坐标为（3000，1350）； 解方程0.15x+600＝1350，得x＝5000， 故点E的坐标为（5000，1350）； 由图象可知，当0＜x＜2000时，采用方案一更合算；当x＝2000时，费用方案一，二费用一样；当2000＜x≤5000时，采用方案二更合算；当x＝5000时，方案二，三费用一样，当x＞5000时，采用方案三更合算． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 9．（2024•新安县一模）民族要复兴，乡村必振兴．2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下： 线下销售模式：标价5元/千克，八折出售； 线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元． 购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）请求出两种销售模式对应的函数解析式； （2）说明图中点C坐标的实际意义； （3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？ 【分析】（1）由题意，用待定系数法求函数解析式即可； （2）由图象知，点C是射线OA和折线OBD的交点，说明x取同一个值时，函数值y相等，从而说明点C坐标的实际意义； （3）把x＝10分别代入y＝4x和y＝3x+9求值即可． 【解答】解：（1）由题意知，图中射线OA为线下销售，折线OBD为线上销售， 线下销售：y＝5×0.8x＝4x； 线上销售：当0≤x≤6时，y＝5×0.9x＝4.5x， 当x＞6时，y＝5×0.9×6+（x﹣6）×（5×0.9﹣1.5）＝27+3（x﹣6）＝3x+9， ∴y， ∴线下销售y与x之间的函数关系为y＝4x，线上销售y与x之间的函数关系为y； （2）图象得：4x＝3x+9， 解得：x＝9， y＝4×9＝36， ∴C（9，36）， ∴图中点C坐标的实际意义为当购买9千克产品时，线上线下都花费36元； （3）购买10千克产品线下需花费：4×10＝40（元）， 线上需花费：3×10+9＝39（元）， ∴购买这种产品10千克，线上购买最省钱． 或：根据图象，当x＞9时，线上购买比线下购买省钱． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键． 题型八 利用一次函数解决几何问题 解题技巧提炼 本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法． 1．（2023春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0） （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）直接写出△APD的面积的最大值． 【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x之间的函数解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象可得答案． 【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，yAD×AP4×x＝2x； 当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，yAD×AB4×3＝6； 当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，yAD×PD4×（10﹣x）＝﹣2x+20， 综上所述，y； （2）函数图象如下： 由图象可得，y最大为6， ∴△APD的面积的最大值是6． 【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． 2．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2； （2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式； （3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2 【分析】（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的时间为6s，在CD上运动的速度为 6÷3＝2cm/s； （2）用t表示PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，代入面积公式可求S＝90﹣6t； （3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S＝10，分别在S＝3t和S＝90﹣6t，上代入即可求得t，t． 【解答】解：（1）点P在AB上运动的时间为 6s，在CD上运动的速度为 6÷3＝2cm/s， 当点P运动到点B时，△APD的面积S最大，最大值是6×6＝18cm2； 故答案为：6，2，18； （2）PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t， SAD•PD6×（30﹣2t）＝90﹣6t； （3）当0≤t≤6时，S＝3t， △APD的面积为10cm2，即S＝10时， ∴3t＝10， ∴t， 当12≤t≤15时，90﹣6t＝10， ∴t， 所以当t为（s）、（s）时，△APD的面积为10cm2． 【点评】本题是四边形综合题，考查了三角形面积，正方形的性质，函数的图象，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意分类讨论思想的运用． 3．（203春•景德镇期末）如图①所示，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，a秒时点P，Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/秒，点Q的速度变为ccm/秒，如图②所示的是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系．图③是△AQD的面积S2（cm2）与点Q出发时间x（秒）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）设点P，Q出发x（x＞a）秒后离开点A的路程分别为y1，cm，y2，cm，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并求出点P，Q相遇时x的值． 【分析】（1）根据题意和S△APD求出a，b，c的值； （2）首先求出y1，y2关于x的等量关系，然后根据题意可得y1＝y2求出x的值． 【解答】解：（1）观察图象得，S△APDPA•AD（1×a）×6＝24， 解得a＝8， ∴b2， （22﹣8）c＝（12×2+6）﹣2×8 解得c＝1， 故答案为：8，2，1； （2）依题意得：y1＝1×8+2（x﹣8），即y1＝2x﹣8（x＞8）， y2＝（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）＝22﹣x（x＞8）， ∵P与Q相遇时，y1＝y2， ∴2x﹣8＝22﹣x， 解得x＝10， ∴点P，Q相遇时x的值为10． 【点评】本题考查的是一次函数与图象的综合运用，主要考查一次函数的基本性质和函数的图象，难度中等． 4．（2023春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： （1）△ABC的高AF的长为 　 　． （2）写出S与x的关系式 　 　． （3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？ 【分析】（1）由图象知，当x＝0时，S＝12，代入三角形面积公式，可得AF的长； （2）根据SCP×AF12﹣2x即可； （3）由题意知，y2x，当△APC的面积与△ABP的面积相等时，则2x＝12﹣2x，从而得出答案． 【解答】解：（1）当x＝0时， S＝S△ABC12， ∴12， ∴AF＝4， 故答案为：4； （2）SCP×AF12﹣2x， 故答案为：12﹣2x； （3）由题意知，y2x， 当△APC的面积与△ABP的面积相等时， 2x＝12﹣2x， ∴x＝3， ∴x＝3时，△APC的面积与△ABP的面积相等． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解函数图象中关键点所代表的意义，理解动点的完整运动过程． 5．（2023春•朝阳区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿AB﹣BC﹣CD的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿DC﹣CB﹣BA路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒1cm，2cm，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm，cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值； （2）设点P已行的路程为y1，点Q还剩的路程为y2，请分别求出改变速度后，y1、y2与x的函数关系式； （3）当P、O两点都在BC边上时，若PQ＝3cm，求x的值． 【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a； （2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．； （3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程． 【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变， 则a秒时，点P在点AB上，则10AP＝30， ∴AP＝6，即6秒时，P、Q两点同时改变速度， ∴a＝6； （2）由（1）6秒后点P变速， ∴点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6（6≤x≤20）， ∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm， ∴点Q还剩的路程为y2＝34﹣12（x﹣6）x（6≤x）； （3）当P、Q两点相遇前相距3cm时， x（2x﹣6）＝3， 解得x＝10； 当P、Q两点相遇后相距3cm时， （2x﹣6）﹣（x）＝3， 解得x， ∴当x＝10或时，P、Q两点相距3cm． 【点评】本题是四边形综合题，考查双动点问题，矩形的性质，一次函数的基本性质和函数的图象，路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（2023春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示． （1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式； （3）当y＝12时，求x的值； （4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数． 【分析】（1）由题意得出AB＝6，AB+BC＝18，得出AD＝BC＝12即可； （2）当0≤x≤3时，由三角形面积公式得出y＝6x； （3）分两种情况：①当点P在AB上时，则y＝12x＝12，得出x＝1； ②当点P在CD上时，由三角形面积公式得出y＝144﹣12x，由题意得出144﹣12x＝12，解得x＝11即可； （4）延长AB至A'，使A'B＝AB，连接A'D交BC于P，连接AP，此时△APD的周长最小；证出△AA'D是等腰直角三角形，得出∠A'＝45°，由线段垂直平分线的性质得出AP＝PA'，得出∠A'＝∠BAP＝45°，由三角形外角性质即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：CD＝AB＝3×2＝6，AB+BC＝9×2＝18， ∴AD＝BC＝18﹣6＝12， 故答案为：6，12； （2）当0≤x≤3时，动点P在线段AB上，如图1所示： ∴y12×2x＝12x； 即y与x之间的关系式为y＝12x（0≤x≤3）； （3）分两种情况： ①当点P在AB上时，如图1所示： 则y＝12x＝12， 解得：x＝1； ②当点P在CD上时，如图3所示： 则AB+BC+CP＝2x，CP＝2x﹣6﹣12＝2x﹣18， ∴PD＝CD﹣CP＝6﹣（2x﹣18）＝24﹣2x， ∴△APD的面积为yAD×PD12×（24﹣2x）＝144﹣12x， 当y＝12时，144﹣12x＝12， 解得：x＝11； 综上所述，当y＝12时，x的值为1s或11s； （4）存在点P使得△APD的周长最小，∠APD＝90°；理由如下： 延长AB至A'，使A'B＝AB，连接A'D交BC于P，连接AP，如图4所示： 此时△APD的周长最小； AA'＝AB+A'B＝6+6＝12， ∴AD＝AA'＝12， ∴△AA'D是等腰直角三角形， ∴∠A'＝45°， 又∵∠ABC＝90°，BP是AA'的中垂线， ∴AP＝PA'， ∴∠A'＝∠BAP＝45°， ∴∠APD＝∠A'+∠BAP＝90°． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角形面积公式、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、函数图象以及分类讨论等知识；理解题意和图象，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！71 学科网（北京）股份有限公司 $$