高二上学期期中模拟测试卷（一）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

2024-2025学年高二上学期期中模拟测试卷（一） 【人教A版2019】范围：第一章～第三章第一节 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若椭圆 上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若 平面，则（    ） A． B．8 C． D．1 5．圆与圆的公切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C． D．4 7．直线经过点和以为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(多选题)已知是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（ ） A． B． C． D． 10．已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （    ） A．直线与圆相切 B．圆截轴所得的弦长为 C．的最大值为 D．的面积的最小值为 11．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线恒过定点 ． 13．已知点在直线上，点以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点. 若则圆的方程为 ． 14．如图，在正方体中，，为的中点，记平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的余弦值为 ．    四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知从圆外一点P(4，6)作圆O：的两条切线，切点分别为A，B． (1)求以OP为直径的圆的方程； (2)求直线AB的方程． 16．（15分）已知，且. (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 17．（15分）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 19．（17分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．，是棱上的动点（除端点外），分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成的最大角为30°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上册期学期模拟测试卷（一） 【人教A版2019】范围：第一章～第三章第一节 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若椭圆 上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】化简即得解. 【详解】解：由椭圆方程知：，又，， ∴. 故选：D 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线一般式方程化为点斜式方程得直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】解：将直线化为点斜式方程得， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 3．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数即可求解. 【详解】关于轴对称点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数， 对称点为. 故选：C. 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若 平面，则（    ） A． B．8 C． D．1 【答案】C 【分析】由题知，再结合向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】解: 若 平面，则， 因为， 所以，解得. 故选：C 5．圆与圆的公切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先判断两个圆的位置关系，由此判断出公切线的条数. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径. ，所以， 所以两个圆相交，公切线有条. 故选：B 6．在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理得，然后平方转化为数量积的运算求得线段长． 【详解】由已知，同理， 由得 ， 所以． 故选：B． 7．直线经过点和以为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线和的斜率，结合图象求得正确答案. 【详解】， 画出图象如下图所示， 由图可知，直线l的斜率满足或 所以直线的斜率的取值范围是. 故选：D 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据目标式的几何意义，将问题转化为动点到定点和的距离之和的最小值问题，然后求出点A关于的对称点为，结合图形可解. 【详解】因为， 所以，目标式表示动点到定点和的距离之和. 点在直线上， 设点A关于的对称点为， 则，解得， 由对称性可知，， 当三点共线时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：C 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(多选题)已知是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解. 【详解】对于A，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底； 对于B，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底； 对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，使得， 因不共面，则，即，与不全为0矛盾，因此，不共面，它们能构成一个基底； 对于D，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底， 所以不能构成一个基底的一组向量是ABD. 故选：ABD 10．已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （    ） A．直线与圆相切 B．圆截轴所得的弦长为 C．的最大值为 D．的面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】求得圆的圆心，半径，以及，根据，可判定A正确；由圆的弦长公式，可判定B不正确；求得，得到的最大值为，可判定C正确；求得圆心到直线的距离为，求得最小距离，结合面积公式，可判定D正确. 【详解】由圆，可得，可得圆心，半径为， 因为点分别为直线与轴、轴的交点，可得， 对于A中，因为圆心到直线的距离为，所以A正确； 对于B中，由圆截轴的弦长为，所以B不正确； 对于C中，点在圆上，且，其中，所以的最大值为，所以C正确； 对于D中，因为圆心到直线的距离为， 则圆上点到直线的最小距离为， 因为，所以的面积的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 11．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再令解得即可. 【详解】解：直线，即， 令，解得，所以直线恒过定点； 故答案为： 13．已知点在直线上，点以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点. 若则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】根据几何位置关系确定圆心坐标和圆的半径即可. 【详解】由圆心在直线上，且圆与轴正半轴相切， 可得点的横坐标为，圆的半径为，. 又因为 所以所以 因为所以，所以， 所以点的纵坐标为. 所以圆的方程为. 故答案为: . 14．如图，在正方体中，，为的中点，记平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的余弦值为 ．    【答案】/ 【分析】根据题意可利用空间向量求解直线与直线之间夹角，从而求解. 【详解】设，连接,如下图所示，则直线即为直线l． 因为平面平行于，且平面平面， 平面平面，故， 由，为的中点，得：． 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设：，则得：，，，， ，， 所以得： ， 故直线l与直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知从圆外一点P(4，6)作圆O：的两条切线，切点分别为A，B． (1)求以OP为直径的圆的方程； (2)求直线AB的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由已知求得圆心和半径可得所求的圆的方程； （2）联立两圆的方程即得直线的方程． 【详解】（1）∵所求圆的圆心为线段的中点， 半径为， ∴以为直径的圆的方程为； （2）∵、是圆的两条切线， ∴，， ∴A，B两点都在以为直径的圆上， 由，可得直线的方程为. 16．（15分）已知，且. (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【详解】（1） ， ， ； （2）由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 17．（15分）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式列出方程求解即得. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率.    19．（17分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．，是棱上的动点（除端点外），分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成的最大角为30°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，先明平面平面，再证明结论； （2）先根据题意，建立空间直角坐标系，利用用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：证明：取中点，连接， 因为为中点，所以， 因为平面，平面 所以平面， 又因为，为中点， 所以， 因为平面，平面 所以平面， 因为，MN、平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， 则，，， ，， 平面的法向量为， 直线与平面所成的正弦值为， 当时，取最大值， 解得，， 设平面的法向量为， ，令，， ． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$