专题09 实数压轴六大类型归纳-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题09 实数压轴六大类型归纳 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用数轴化简根式 1 类型二、大小比较和实数估算 2 类型三、新定义问题 3 类型四、程序设计与实数运算 4 类型五、实数综合应用 6 类型六、实数中规律问题 7 压轴能力测评（12题） 9 知识点：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 类型一、利用数轴化简根式 【典例1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【变式1-1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【变式1-2】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（    ） A．a B． C． D． 【变式1-3】实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 类型二、大小比较和实数估算 【典例2-1】已知，则，和大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【变式2-1】比较大小: 1．（填“>”“<”或“=”） 【变式2-2】阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：的小数部分为．类似地，因为，所以的小数部分就是． 请根据上述材料，解答下列相关问题． (1)的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)若的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【变式2-3】阅读下面的内容：因为，所以．所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题： (1)求的整数部分和小数部分． (2)若和的小数部分分别是和，求的值． 类型三、新定义问题 【典例3】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式3-1】我们数学人智慧的光芒，永远照耀在对未知的探索道路上，亲爱的同学们，你能挑战一下自己吗？ 阅读理解∶一般地，n个相同因数a相乘∶，记为，如∶，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，（即）． (1)计算∶ _____； _____；_____． (2)观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出，，之间的关系式____________________________． (3)由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果∶ ________（ 且，）； (4)根据上述结论解决下列问题∶已知，求和的值(且)． 【变式3-2】若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数（且a、b、c均为整数）的． (1)判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由； (2)已知数（）是“顺利数”，且能被11整除，求所有符合题意的S的值． 【变式3-3】当， 都是实数，且满足，就称点为“友好点”． (1)判断点是否为“友好点”，并说明理由； (2)若点是“友好点”，且，为有理数，求，的值． 类型四、程序设计与实数运算 【典例4】思考与探究： （1）在如图所示的计算程序中，若开始输入的数值是4，则最后输出的结果是___________． （2）在如图所示的计算程序中，若最后输出的结果是58，则开始输入的数值是___________． （3）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为1621，则满足条件的x的不同值最多有多少个？ 【变式4-1】如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（　　） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【变式4-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 【变式4-3】如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 类型五、实数综合应用 【典例5】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【变式5-1】阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 【变式5-2】综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【变式5-3】下面是李老师带领同学们探索的近似值的过程． 因为面积是2的正方形的边长是，且，所以设， 可画出如图所示的示意图．由各部分面积之和等于总面积，可列方程． 因为，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去，可得方程，解得，即．请你仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 类型六、实数中规律问题 【典例6】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数相等． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有_______项，请你写出它的展开式_____________________________； (2)的展开式共有_______项，系数和为_______； (3)利用上面的规律计算：． (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期_______． 【变式6-1】有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制记数法”的人，用“二进制”记数只需数字和．对于整数可理解为逢二进一．例如：自然数在二进制中就表示为，表示为，表示为，表示为，若（为正整数）可表示为二进制表达式为，则，其中，或．下列说法正确的个数为（   ） 二进制数转化为十进制数为； 十进制数转化为二进制数为； 记，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-3】观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 1．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 3．通过估算，比较大小： ． 4．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 5．已知，则 ． 6．如图所示为一个计算程序； （1）若输入的x＝3，则输出的结果为　 　； （2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多有　 　； （3）规定：程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围． 7．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|a－b|－＋()2＋2. 8．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是__________，的整数部分是__________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根． 9．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，．解决下列问题： (1) ； (2)若，则实数a的取值范围是 ； (3)若，且m是整数，求m的值． 10．设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，． (1)若，则 ；若，则 ； (2)若且，求x、y的值． 11．对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 12．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 实数压轴六大类型归纳 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用数轴化简根式 1 类型二、大小比较和实数估算 3 类型三、新定义问题 6 类型四、程序设计与实数运算 9 类型五、实数综合应用 12 类型六、实数中规律问题 16 压轴能力测评（12题） 19 知识点：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 类型一、利用数轴化简根式 【典例1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式1-1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案． 【详解】解；由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值和求算术平方公式，实数与数轴，先根据数轴上点的位置得到．进而判断出，据此化简绝对值和求算术平方根，再化简即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-3】实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴推出，，再化简绝对值和计算算术平方根，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解；由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 类型二、大小比较和实数估算 【典例2-1】已知，则，和大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 【典例2-2】【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)5， (2)1 (3) 【分析】此题考查了无理数的估算； （1）确定即可解答； （2）利用估算分别得到，，再代入计算即可； （3）利用估算方法得到，确定的整数部分是10，小数部分是，由此得到，计算出的值即可． 【详解】（1）解： ，即， 的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； （2）解： ， 即， 的小数部分， ， 即， 的整数部分， ； （3）解： ， ， 即， 的整数部分是10，小数部分是， 是整数，且， ， ， 的相反数是． 【变式2-1】比较大小: 1．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】先估算出，再根据不等式的基本性质即可得出． 本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小，解题的关键是准确估算出无理数的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：>． 【变式2-2】阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：的小数部分为．类似地，因为，所以的小数部分就是． 请根据上述材料，解答下列相关问题． (1)的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)若的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了无理数的估算、无理数整数部分和小数部分的计算． （1）由得到，即可得到答案； （2）分别求出的小数部分为，的整数部分为，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：， （2）∵，， ∴， ∴的小数部分为，的整数部分为， ∴ 【变式2-3】阅读下面的内容：因为，所以．所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题： (1)求的整数部分和小数部分． (2)若和的小数部分分别是和，求的值． 【答案】(1)整数部分是3，小数部分是 (2)1 【分析】本题考查了无理数的整数和小数部分问题，正确理解题意是解题关键． （1）根据即可求解； （2）由（1）即可确定和，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是； （2）解：的小数部分是，的整数部分是5， 的小数部分是， ，， ． 类型三、新定义问题 【典例3】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)14； (2) 【分析】此题考查了新定义运算，求算术平方根，平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）先根据新定义求出，再次利用新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ∴ ∴的平方根是． 【变式3-1】我们数学人智慧的光芒，永远照耀在对未知的探索道路上，亲爱的同学们，你能挑战一下自己吗？ 阅读理解∶一般地，n个相同因数a相乘∶，记为，如∶，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，（即）． (1)计算∶ _____； _____；_____． (2)观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出，，之间的关系式____________________________． (3)由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果∶ ________（ 且，）； (4)根据上述结论解决下列问题∶已知，求和的值(且)． 【答案】(1)2；4；6 (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据题目给出的定义，即可求解， （2）根据题意，找到规律，即可求解， （3）根据（2）中的规律，即可求解， （4）根据题目给出的运算法则，即可求解， 本题考查了新定义运算，解题的关键是：理解题意，找到规律． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2；4；6， （2）∵，，，， ∴， 故答案为：， （3）解：， 故答案为：， （4）解：， ． 【变式3-2】若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数（且a、b、c均为整数）的． (1)判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由； (2)已知数（）是“顺利数”，且能被11整除，求所有符合题意的S的值． 【答案】(1)326不是“顺利数”，875是“顺利数”．理由见解析 (2)224 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算．整式加减的应用,关键是理解新定义. （1）根据“顺利数”的定义代入计算即可得出答案． （2）由“顺利数”的定义得出，再根据定义得出，能被11整除，是整数，再结合n，p，m的取值范围讨论判断即可． 【详解】（1）解：326不是“顺利数”，875是“顺利数”． 理由：∵， ∴326不是顺利数 ∵， ∴875是顺利数； （2）解：∵（，且 m，n，p 均为整数）是“顺利数“； ∴， ∴， ∵， ∴，且能被11整除，是整数， ∵， 当时，，此时能被11整除，此时，即； 当时，，此时能被11整除，此时（舍去）； 当时，无整数 p； 当时，无整数 p． ∴所有符合题意的S的值为224． 【变式3-3】当， 都是实数，且满足，就称点为“友好点”． (1)判断点是否为“友好点”，并说明理由； (2)若点是“友好点”，且，为有理数，求，的值． 【答案】(1)点不是为“友好点”，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查新定义问题，点的坐标， （1）根据“友好点”的定义判断即可； （2）根据“友好点”的概念得到，，得到，，然后由得到，然后根据，为有理数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴ ∴点不是为“友好点”； （2）∵点是“友好点”， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴为有理数， ∴ ∴． 类型四、程序设计与实数运算 【典例4】思考与探究： （1）在如图所示的计算程序中，若开始输入的数值是4，则最后输出的结果是___________． （2）在如图所示的计算程序中，若最后输出的结果是58，则开始输入的数值是___________． （3）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为1621，则满足条件的x的不同值最多有多少个？ 【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6个 【分析】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5，按运算顺序进行求解即可； （2）设输入的数字为m，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案； （3）根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的正数求出． 【详解】（1）由题意得：4×3+5=17， 故答案为：17； （2）设输入的数字为m，则有 （m+2）2-6=58， 解得：m=6或m=-10， 故答案为：6或--10； （3）∵最后输出的数为1621， ∴4[(x+5)-(-2)2]-3=1621， 解得：x=405>0， 又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=405， 解得：x=101>0， 又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=101， 解得：x=25>0， 又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=25， 解得：x=6>0， 又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=6， 解得：x=>0， 又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=， 解得：x=>0， 又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=， 解得：x=<0，（不符合题意） ∴符合题意的正数最多有6个. 【点睛】本题考查了程序运算，涉及了一元一次方程，利用平方根的解方程等知识，正确审题，弄清程序运算中的运算顺序，熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键． 【变式4-1】如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（　　） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据运算规则即可求解． 【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误； ②输入值x为16时，，故②说法正确； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误； ④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确． 其中错误的是①③． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【变式4-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，进行计算即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出， 故选A． 【变式4-3】如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【答案】 0或1 5，25（答案不唯一） 【分析】此题考查了算术平方根、实数的分类．熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键． （1）由，，即可得到答案为； （2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答； （3）根据题意写出两个满足要求的x值，如25和5，即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴输入的x为16，输出的y值是； 故答案为： （2）∵1和0的算术平方根还等于它本身， ∴输入0或1后，始终输不出y值， 故答案为：0或1； （3）∵，5的算术平方根是， ∴两个满足要求的x值可以是25或5． 故答案为：5，25（答案不唯一）． 类型五、实数综合应用 【典例5】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 【变式5-1】阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可； （2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可； （3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为：；1； （2）解：∵，，，，…， ∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：， ∵， ∴ ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 【变式5-2】综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】（1）2；；；（2）1；13；；（3）小思说得对，小明说得不对，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【变式5-3】下面是李老师带领同学们探索的近似值的过程． 因为面积是2的正方形的边长是，且，所以设， 可画出如图所示的示意图．由各部分面积之和等于总面积，可列方程． 因为，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去，可得方程，解得，即．请你仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用面积法和方程的思想，构建一元一次方程，解方程即可得出答案，采用类比的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵面积是的正方形的边长是，， ∴设， 画出示意图如图： 由各部分面积之和等于总面积，可列方程， ∵，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去， ∴可得方程， 解得，即． 类型六、实数中规律问题 【典例6】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数相等． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有_______项，请你写出它的展开式_____________________________； (2)的展开式共有_______项，系数和为_______； (3)利用上面的规律计算：． (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期_______． 【答案】(1)6， (2)， (3)1 (4)三 【分析】本题考查了整式的混合运算，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则 ； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 【变式6-1】有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 【变式6-2】十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制记数法”的人，用“二进制”记数只需数字和．对于整数可理解为逢二进一．例如：自然数在二进制中就表示为，表示为，表示为，表示为，若（为正整数）可表示为二进制表达式为，则，其中，或．下列说法正确的个数为（   ） 二进制数转化为十进制数为； 十进制数转化为二进制数为； 记，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算和新定义运算，根据题意，利用二进制数与十进制数的转化方法，逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】二进制数转化为十进制数为： ，故正确； ∵， ∴十进制数转化为二进制数为，故正确； ③记， 则， ， ∴，故错误； 正确，共个， 故选：． 【变式6-3】观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 1．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 【详解】一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 2．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 3．通过估算，比较大小： ． 【答案】 【分析】考查实数的大小比较，不等式的性质，用夹逼法估算出无理数的大小是解题的关键． 先估算出，再利用不等式的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了实数的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键．由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根，且前行的数据个数为，则第（是整数，且）行从左向右数第个数为，整理作答即可． 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数为， 故答案为：． 5．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图所示为一个计算程序； （1）若输入的x＝3，则输出的结果为　 　； （2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多有　 　； （3）规定：程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围． 【答案】（1）31；（2）3个；（3）＜x≤． 【分析】（1）根据计算程序代入可解答； （2）逆着运算顺序，输出的结果是40，列3x+1=40依次计算可解答； （3）由经过2次运算结果不大于30及经过3次运算结果大于30，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论. 【详解】解：（1）当x＝3时，3x+1＝3×3+1＝10＜30， 当x＝10时，3x+1＝3×10+1＝31， 故答案为31； （2）当3x+1＝40时，x＝13， 3x+1＝13，x＝4， 3x+1＝4，x＝1， 则满足条件的x的不同值最多有3个，分别是13，4，1， 故答案为3个； （3）依题意，得：， 解得：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算程序，理解题意是解决问题的关键. 7．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|a－b|－＋()2＋2. 【答案】0 【详解】试题分析：利用数轴得出a、b的符号，进而利用绝对值的性质、二次根式和立方根的性质化简求出即可． 试题解析： 解：由图知，a>0，b<0，a－b>0， ∴原式＝a－b－a－b＋2b＝0． 点睛：本题考查的是实数与数轴、二次根式的性质和立方根的性质，引入无理数后有理数的相关运算性质和法则仍然适用，＝|a|，＝a（a≥0），＝a． 8．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是__________，的整数部分是__________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】(1)；1 (2)4 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，求一个数的平方根，关键是确定出无理数的整数部分与小数部分； （1）估算出的整数部分，即可求得其小数部分；估算出的整数部分，即可确定的整数部分； （2）求出的整数数部分，即可求得a；估算出的整数部分，即可求得b，代入即可求解； （3）估算出的整数部分与小数部分，从而确定出x与y的值，进而求得的值，从而求得其平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴小数部分为； ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为1； 故答案为：；1； （2）解：∵， ∴的整数部分为2， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴的整数部分为4， ∴的整数部分与小数部分分别为14与， ∴， 则， ∵， ∴的平方根为． 9．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，．解决下列问题： (1) ； (2)若，则实数a的取值范围是 ； (3)若，且m是整数，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查新定义，求不等式组的解集，无理数的估算，掌握新定义，是解题的关键： （1）求出的范围，根据新定义即可得出结果； （2）根据新定义，得到的范围即可； （3）根据新定义，列出不等式组，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， 解得：， ∵m是整数， ∴或． 10．设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，． (1)若，则 ；若，则 ； (2)若且，求x、y的值． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了新定义下幂的运算性质，运算律的混合运算和解二元一次方程组， （1）利用新运算的规定列式运算即可； （2）利用新运算的规定列式，再利用幂的运算性质列出关于x，y的方程组，解方程组解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：6；； （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 11．对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)①56；②2 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，化简后代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． 故答案为：． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 故答案为：． （3）解：①根据定义，得 ， 当时， 原式． ②解：根据题意，得 ． 又图中阴影部分的面积为45，， 故， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 12．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$