专题11 一次函数几何压轴题归纳（十九种题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题11 一次函数几何压轴题归纳（十九种题型） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数种求三角形面积（铅锤法） 4 类型二、一次函数中已知面积求动点坐标 5 类型三、一次函数已知面积相等求动点坐标 6 类型四、一次函数存在等腰三角形求动点坐标 8 类型五、一次函数存在直角三角形求动点坐标 9 类型六、一次函数存在全等三角形求动点坐标 11 类型七、一次函数存在45°求动点坐标 13 类型八、一次函数存在等角求动点坐标 14 类型九、一次函数存在2倍角求动点坐标 14 类型十、一次函数存在等腰直角三角形问题 16 类型十一、一次函数过定点问题 17 类型十二、一次函数与线段结合求动点问题 18 类型十三、一次函数与动点线段比例问题 19 类型十四、一次函数存在线段和最小值求动点坐标 21 类型十五、一次函数求点到直线距离最小值问题 22 类型十六、一次函数存在平行四边形求动点坐标 24 类型十七、一次函数存在矩形求动点坐标 25 类型十八、一次函数存在菱形求动点坐标 27 类型十九、一次函数存在正方形求动点坐标 28 压轴能力测评（5题） 28 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。 【技巧点睛5】最值问题 （1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 类型一、一次函数种求三角形面积（铅锤法） 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作轴垂线，点是一次函数图象上的一个动点． (1)直接写出直线的函数解析式是： ； (2)在图1中，连接，，当的面积等于10时，求点D的坐标； (3)如图2，点P是直线l上位于x轴下方的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点D的坐标是 ． (4)若M为x轴上一动点，N为坐标平面内一动点，且点A，M，N为顶点的三角形始终是一个以M为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值是 ． 【变式1-1】已知一次函数的图象经过点．    (1)求一次函数的解析式； (2)求面积． 【变式1-2】如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接． (1)求的值和两直线交点的坐标； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 类型二、一次函数已知面积求动点坐标 【典例2】如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，连接，将线段平移，使平移后的线段的端点分别落在坐标轴上，点A的对应点记作点D，点B的对应点记作点C，点是直线上的动点． (1)写出点C，D的坐标． (2)①点P在运动的过程中，x和y之间的关系是　　　　　　　； ②当三角形的面积等于10时，求点P的坐标． 【变式2-1】如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． (1)求直线和的解析式； (2)若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 类型三、一次函数已知面积相等求动点坐标 【典例3】如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求点D的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、 (1)求直线的解析式； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，如果面积等于，直接写出点的坐标． 【变式3-2】如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 类型四、一次函数存在等腰三角形求动点坐标 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点 A、B分别在x轴与y轴上．已知A点坐标为，B点坐标为，且a，b满足 ，为 y 轴上一点，其坐标为，点P 从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒． (1)求点B与点C的坐标． (2)求的面积S关于t的关系式． (3)点P 在运动过程中，是否存在一点，使为等腰三角形？ 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点 (1)求正比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、一次函数存在直角三角形求动点坐标 【典例5】如图，已知经过点的直线（，为常数，且）分别与轴、轴交于、两点．    (1)求该直线的函数解析式和点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该直线的函数表达式和点B的坐标； (2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上．    (1)求直线表达式； (2)过点作轴平行线，交轴于点，求； (3)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标． 【变式5-3】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．    (1)在轴上存在点，使得，求点的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型六、一次函数存在全等三角形求动点坐标 【典例6】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、一次函数存在45°求动点坐标 【典例7】如图，直线（m为常数，）与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，且． (1)求m的值； (2)动点P、Q分别从点A、点B出发，均以1单位/秒的速度同时沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒． ①如图（1），连接，当t为何值时，是以为腰的等腰三角形； ②如图（2），点C与O关于直线对称，连接，若，补全图形，并求的面积． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、． (1)求线段的中点坐标； (2)若点M是直线上的一点，连接，若，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 类型八、一次函数存在等角求动点坐标 【典例8】如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)求的面积； (3)已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【变式8】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴负半轴交于点C，且．直线与直线交于点D，点P在x轴上． (1)求直线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若，求点P的坐标． 类型九、一次函数存在2倍角求动点坐标 【典例9】如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点．    (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 类型十、一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为． (1)求正比例函数与一次函数的关系式． (2)若点D在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例图像交于点 (1)求一次函数函数关系式． (2)求的面积 (3)若点直线的上方，是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 【变式10-2】如图①，为等腰直角三角形，，于点，于点． (1)求证： (2)如图②为等腰直角三角形，其中点坐标为，点的坐标为，求点的坐标． (3)如图③在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，，与轴交于点，若，求点的坐标． 类型十一、一次函数过定点问题 【典例11】（1）已知直线：和直线：，请在下面的坐标系中作出这两条直线，并直接写出方程组的解______； （2）直线：与轴，轴的交点分别为A，，第一象限内有一点的坐标为，且与的面积相等，求点坐标； （3）在（2）的条件下，若线段与一次函数的图像有交点． ①一次函数的图像必过某个定点，则该定点的坐标为______； ②一次函数中的取值范围是______．      【变式11-1】已知与成正比例，且当时，， (1)求与x之间的函数解析式； (2)已知（1）中函数的图象为直线，关于x的函数的图象为直线． ①若无论非零实数k取何值，直线恒过一定点P，则点P的坐标是 ； ②当时，若点始终在直线，及x轴所围成的封闭区域内（包括边界），求a的取值范围． 【变式11-2】设一次函数（是常数，）． (1)无论取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： (2)若时，该一次函数的最大值是6，求的值． 类型十二、一次函数与线段结合求动点问题 【典例12】一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点，点．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段于点D，交直线于点E．其中实数a、b满足． (1)求直线AB解析式； (2)如图，当时，求E点坐标； (3)在（2）的条件下，点H在直线上运动，当为等腰三角形时，求点H的坐标． 【变式12】如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 类型十三、一次函数与动点线段比例问题 【典例 3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)求函数的表达式； (2)求的表达式及A点的坐标； (3)点D为直线上一点，其横坐标为，过点D作轴于点F，交交于点E，且，求点D的坐标． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)函数和的表达式分别为______________________________； (2)点D为直线上一点，其横坐标为．过点D作轴于点F，与直线交于点E，且，求点D的坐标． 类型十四、一次函数存在线段和最小值求动点坐标 【典例14】在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点B为y轴上一动点，如图以为边在其一侧作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)当点B在y轴上运动时，点C的运动轨迹是一条直线，延长交y轴于点，求点C所在直线的解析式； (3)连接，请直接写出的最小值． 【变式14-1】如图，直线与x轴交于点，直线与x轴，轴分别交于两点，并与直线相交于点D． (1)点D的坐标为___________； (2)求四边形的面积； (3)若点P为x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【变式14-2】如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．    (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 类型十五、一次函数求点到直线距离最小值问题 【典例15】如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，以线段为边在第一象限内作等腰直角，使. （1）直接写出点和点的坐标：（ ， ）（ ， ）； （2）求点到直线的距离； （3）求出点的坐标. 【变式15-1】已知直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行． （1）求直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积； （2）求原点到直线l1的距离． 【变式15-2】已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，3）、B（-4，0）． （1）求此函数的解析式． （2）若点（a，6）在此函数的图象上，求a的值为多少？ （3）求原点到直线AB的距离． 类型十六、一次函数存在平行四边形求动点坐标 【典例16】 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 【变式16-1】如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【变式16-2】综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转90°得到线段，此时点D恰好落在直线上． (1)求出线段的长度； (2)求出直线的函数关系式； (3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点(不与点B、C重合)，找一点E，使得以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？请直接写出所有E点的坐标． 类型十七、一次函数存在矩形求动点坐标 【典例17】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17】已知，A（0，a）是y轴上一点，直线l：与x轴交于点（-16，0），与y轴交于点D． (1)b= ，点D的坐标为 ； (2)如图1，过点A作AB⊥l于点B，作∠BAC=45°，AC交直线l于点C（点C在点B右侧）， ①当a=-3时，求点B，C的坐标； ②如图2，过点A作AE∥BC，交x轴于点E，求当a为何值时，四边形ABDE为矩形． 类型十八、一次函数存在菱形求动点坐标 【典例18】如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值； (3)已知直线上有两个动点（在的下方），线段在直线上平移且，在平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式18-1】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式18-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为，点E是的中点，连接交于点F．    (1)求点F的坐标． (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标. 【变式18-3】如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型十九、一次函数存在正方形求动点坐标 【典例19】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【变式19-1】如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 【变式19-2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 2．如图，直线 与x轴交于点D，直线 与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点. (1)求k、b和m的值； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短?若存在，请求出点E的坐标和的最短周长；若不存在，请说明理由. 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A， (1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________； (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点O作交直线于点F， ①求证：； ②求点F的坐标； (3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一次函数几何压轴题归纳（十九种题型） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数种求三角形面积（铅锤法） 4 类型二、一次函数中已知面积求动点坐标 10 类型三、一次函数已知面积相等求动点坐标 12 类型四、一次函数存在等腰三角形求动点坐标 17 类型五、一次函数存在直角三角形求动点坐标 22 类型六、一次函数存在全等三角形求动点坐标 28 类型七、一次函数存在45°求动点坐标 29 类型八、一次函数存在等角求动点坐标 35 类型九、一次函数存在2倍角求动点坐标 38 类型十、一次函数存在等腰直角三角形问题 41 类型十一、一次函数过定点问题 47 类型十二、一次函数与线段结合求动点问题 51 类型十三、一次函数与动点线段比例问题 51 类型十四、一次函数存在线段和最小值求动点坐标 56 类型十五、一次函数求点到直线距离最小值问题 65 类型十六、一次函数存在平行四边形求动点坐标 68 类型十七、一次函数存在矩形求动点坐标 76 类型十八、一次函数存在菱形求动点坐标 80 类型十九、一次函数存在正方形求动点坐标 94 压轴能力测评（5题） 101 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。 【技巧点睛5】最值问题 （1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 类型一、一次函数种求三角形面积（铅锤法） 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作轴垂线，点是一次函数图象上的一个动点． (1)直接写出直线的函数解析式是： ； (2)在图1中，连接，，当的面积等于10时，求点D的坐标； (3)如图2，点P是直线l上位于x轴下方的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点D的坐标是 ． (4)若M为x轴上一动点，N为坐标平面内一动点，且点A，M，N为顶点的三角形始终是一个以M为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，轴对称的性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于，设点，则，根据的面积等于10即可求解； （3）①当点为直角顶点时，过点作轴于，延长交于，构造出，建立方程求解即可得出结论；②当点为直角顶点时，同理即可得出结论； （4）设过点作轴交轴于，根据对称的性质可得答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式是， 点坐标为，点坐标为， ，解得， 直线的函数解析式是， 故答案为：； （2）解：过点作轴，交于， 点是一次函数图象上的一个动点， 设点，则， ， 则， 解得， 点的坐标为，； （3）解：①当点为直角顶点时，如图，过点作轴于，延长交于， 点坐标，点坐标， ， 点在直线上， 设点， ，，， 轴，， ， 轴，轴， ， ， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ，， ， ， 或， 或，， 当时，，， ， （不合题意，舍去）， 当时，， ，， ， ，符合题意， 点的坐标是，； ②当点为直角顶点时，如图3，过点作轴于，延长交于， 同（3）得，不符合题意， 综上，点的坐标是，， 故答案为：，； （4）解：设，过点作轴交轴于， 同理可得， ，， ， ， 故可以看作点到和两点距离之和，在上， 如图5， 是上的动点， ，， ， 关于的对称点为， ， 当、、三点共线时，取得最小值为， 即的最小值是． 故答案为：． 【变式1-1】已知一次函数的图象经过点．    (1)求一次函数的解析式； (2)求面积． 【答案】(1)； (2)5． 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，熟知待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解答此题的关键． （1）直接把点，代入一次函数，求出、的值即可； （2）利用割补法进行计算即可． 【详解】（1）解：将点的坐标分别代入中， 得，解得， 故一次函数的解析式； （2）解：设一次函数的图象与轴交点为，    令，则，解得， ， ． 【变式1-2】如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接． (1)求的值和两直线交点的坐标； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 【答案】(1)，，点的坐标为； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法求出的值，进而可得一次函数解析式，再联立函数解析式可得方程组，解方程组即可得到点的坐标； （）求出点坐标，可得，再根据即可求解； （）根据图象解答即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数与不等式，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， 由，解得， ∴点的坐标为； （2）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图象可得，当时，， ∴时自变量的取值范围为． 类型二、一次函数已知面积求动点坐标 【典例2】如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，连接，将线段平移，使平移后的线段的端点分别落在坐标轴上，点A的对应点记作点D，点B的对应点记作点C，点是直线上的动点． (1)写出点C，D的坐标． (2)①点P在运动的过程中，x和y之间的关系是　　　　　　　； ②当三角形的面积等于10时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①②或 【分析】本题主要考查一次函数的性质和平移的性质，以及求一个数的绝对值， 根据题意得．结合平移即可得，即可求得答案； ①利用待定系数法求得所在直线的解析式为．结合题意即可知点P满足此解析式；②根据面积求得点P纵坐标，代入直线解析式中求得其横坐标即可． 【详解】（1）解：∵A，B， ∴． 由题意可得点C在x轴上，点D在y轴上． ∵将线段平移，使平移后的线段的端点分别落在坐标轴上， ∴， ∴，． （2）解：①设所在直线的解析式为， ∴ 解得 ∴． ∵点是直线上的动点， ∴点P在运动的过程中，x和y之间的关系是． 故答案为， ②∵三角形的面积等于10， ∴， 解得， 当时，即， 解得， ∴； 当时，即， 解得， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【变式2-1如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． (1)求直线和的解析式； (2)若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2)或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得直线的解析式，从而可得点的坐标，再根据可得点的坐标，然后利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴， ∵点位于轴负半轴， ∴， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积是9， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为或． 类型三、一次函数已知面积相等求动点坐标 【典例3】如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求点D的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）已知的解析式，令求出的值即可； （2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值； （3）联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析表达式为， 由图象知：，；，，代入表达式， ， ， 直线的解析表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ； （4）解：与底边都是，与的面积相等， 高就是点到直线的距离， ∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3， 点纵坐标是3， 当点在直线上时， 第一种情况，当时，则， ∴； 第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意； 当点在直线上时， 第一种情况，当时，则， ∴； 第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意； 综上所述，点的坐标是或． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、 (1)求直线的解析式； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，如果面积等于，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的运用，考查了过两点确定一条直线，考查了知道直线斜率和一点求直线， （1）设过点A，B的直线，代入坐标后求得b，k从而求得直线解析式； （2）先求出直线的的解析式，再由平行设直线的解析式为，代入，求得c则得到直线解析式，最后求点的坐标即可； （3）设，表示出面积，并求出的面积，再根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线为， 代入点，得， 解得 所以直线为． （2）解：设的解析式为，把，代入， 则， 解得：． 则， 当时，，则， ∵ ∴设直线的解析式为， 代入点，得 ∴直线为， 当时，， 则点E为 （3）解：∵点是直线上一动点， ∴设， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵面积等于， ∴，解得， ∴或． 【变式3-2】如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)点D坐标为 (2) (3)点P坐标为 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数表达式、两直线的交点问题、坐标与图形，正确求得函数表达式和交点坐标是解答的关键． （1）令直线的解析表达式求解点D坐标即可； （2）根据图象所给点A、B坐标，利用待定系数法求解直线的表达式即可； （3）先求得点C坐标，进而求得，然后利用坐标与图形得到点P的纵坐标是3，进而代入直线的表达式中求解x值即可． 【详解】（1）解：由，当，得，解得， 所以点D坐标为； （2）解：设直线的解析表达式为， 由图象知直线经过和， 得方程组，解得， 直线的解析表达式为； （3）解：由，解得，则． ∴， ∵． ∴． 与底都是，由面积相等得高相等．则高就是C到边的距离． 即C纵坐标的绝对值，则P到距离为． ∴P纵坐标的绝对值3，又点P不与点C重合． ∴点P纵坐标是3． 由，解得， 所以点P坐标为． 类型四、一次函数存在等腰三角形求动点坐标 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点 A、B分别在x轴与y轴上．已知A点坐标为，B点坐标为，且a，b满足 ，为 y 轴上一点，其坐标为，点P 从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒． (1)求点B与点C的坐标． (2)求的面积S关于t的关系式． (3)点P 在运动过程中，是否存在一点，使为等腰三角形？ 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)或或 【分析】此题属于一次函数综合题，求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想解本题的关键． （1）利用绝对值和算术平方根的非负性，可得，求得的坐标，再根据长方形的性质可得的坐标，即可解答； （2）当在段时，三角形底与高为固定值，求出此时面积；当在段时，底边为固定值，表示出高，即可列出与的关系式； （3）分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出坐标即可． 【详解】（1）解：根据，可得， 解得， ， 四边形是长方形， , ； （2）解：当点在线段上时，此时， 可得，边上的高为6， ； 当点在线段上时，此时 ，边上的高为， ； 综上，； （3）解：存在， 若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3， ①当， 在中，，， 根据勾股定理得：， ，即； ②当时，此时在的垂直平分线上， ； ③当时，过点作，交于点， 在中，， 根据勾股定理得：， ，即， 综上，满足题意的坐标为或或． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点 (1)求正比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3)存在，P坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；把点C的坐标代入中，即可求得的值，从而求得正比例函数解析式；把点A、C的坐标代入中即可求解； （2）求出点B的坐标，由三角形面积公式即可求解； （3）设点，分三种情况考虑：①当时；②当时；③当时，利用等腰三角形的性质及方程思想即可求解． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得，， 正比例函数关系式为； 将，代入得： ， 解得，， 一次函数关系式为； （2）解：在中，令，解得， ； （3）解：存在y轴上的点P，使为等腰三角形，理由如下： 设点，而，， ，，， ①当时，， ， 或， ②当时，， 或（舍去）， ， ③当时，， ， ， 综上所述，为等腰三角形，P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的三角形面积，等腰三角形的性质及勾股定理等知识． 【变式4-2】如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点P的坐标为或或或． 【分析】（1）由图形折叠的性质可得的长度，从而可求的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入点G的坐标，可得直线解析式； （2）根据一次函数的性质，可得直线l的解析式为，结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形的性质，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 由勾股定理得， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线l：平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时， 解得，， 当直线l经过点时， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时． （3）解：存在，点P的坐标为或或或，理由如下： ①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为； ②当时， ， ， 点P的坐标为； ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，同时考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质以及一次函数图象的性质与应用． 类型五、一次函数存在直角三角形求动点坐标 【典例5】如图，已知经过点的直线（，为常数，且）分别与轴、轴交于、两点．    (1)求该直线的函数解析式和点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该直线的函数解析式为； (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点、代入即可求解； （2）由题意得，分类讨论当点为直角顶点时和当点为直角顶点时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：直线经过点、， ， 解得， 该直线的函数解析式为． 在中，令，得， ． （2）解：点在轴上， ， 点不能成为直角顶点． ①当点为直角顶点时，点在的位置，如图．   点在轴上，点在轴上， ， 点与点重合， 点的坐标为； ②当点为直角顶点时，点在的位置，如图． 设， 则，，，， ，，． ， ， 解得， ． 综上可知，在轴上存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或． 【变式5-1】如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该直线的函数表达式和点B的坐标； (2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该直线的函数表达式为， (2)在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点、代入即可求解； （2）由题意得，分类讨论当点C为直角顶点时和当点A为直角顶点时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点、， ∴ 解得 ∴该直线的函数表达式为． 在中，令，得， ∴． （2）解：∵点C在y轴上， ∴， ∴点B不能成为直角顶点． ①当点C为直角顶点时，点C在的位置，如图． ∵点A在x轴上，点B在y轴上， ∴， ∴点与点O重合， ∴点的坐标为； ②当点A为直角顶点时，点C在的位置，如图． 设，则，，，， ∴，，． ∵， ∴， 解得， ∴． 综上可知，在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上．    (1)求直线表达式； (2)过点作轴平行线，交轴于点，求； (3)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)当的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理等知识． （1）根据非负数的性质求出a，b，然后根据待定系数法求直线表达式即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，，    设直线表达式为， 则， 解得， ∴直线解析式； （2）解：依题意知， ∴； （3）解：设，当时，轴， ∴的坐标为； 当时，    ∵点在直线上， ∴， ∴， 则，即， 解得， ∴的坐标为， 综上，当的坐标为或时，是直角三角形． 【变式5-3】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．    (1)在轴上存在点，使得，求点的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为或； (2)存在，点的坐标或． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据已知求得、坐标，由重点坐标公式求坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可； （2）设点坐标，当是直角三角形分两种情况：或时求解即可． 【详解】（1）解：与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则， 当时，，，则， ，， ∴， ∵点是的中点， ， ， 设， 则， ， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为或； （2）解：设轴存在一点，使得是直角三角形， ，，， 根据勾股定理可得：， ， ，， 是直角三角形，分两种情况： ①时，与原点重合，此时； ②时，则， ， 解得：，此时， 综上所述：点的坐标或． 类型六、一次函数存在全等三角形求动点坐标 【典例6】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，利用图象与坐标轴交点求法分别得出即可； （2）根据全等三角形的判定，以及的长度，得出对应边关系求出即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当，则； 当，则， ∴A点坐标为：，B点坐标为：； ∴； （2）解： ， ， ，点D在x上； ， ， 点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及一次函数与坐标轴交点坐标求法，找准D、C、O为顶点的三角形与对应顶点是解题关键． 类型七、一次函数存在45°求动点坐标 【典例7】如图，直线（m为常数，）与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，且． (1)求m的值； (2)动点P、Q分别从点A、点B出发，均以1单位/秒的速度同时沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒． ①如图（1），连接，当t为何值时，是以为腰的等腰三角形； ②如图（2），点C与O关于直线对称，连接，若，补全图形，并求的面积． 【答案】(1) (2)①当秒或秒时，是以为腰的等腰三角形；②见解析， 【分析】（1）先求出点坐标，进而得到点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①由题意可知，，，则，，进而表示出、、的长，再结合等腰三角形的定义，分别列方程求解即可； ②根据题意补全图形，过点作直线轴，延长交直线于点，连接、，证明，得出，再表示出、的长，列方程求出，从而得到，，即可求出的面积． 【详解】（1）解：直线（m为常数，）与x轴正半轴交于点B， ， ，即， ， ，直线与y轴正半轴交于点A， ，即， 将点代入解析式得：， 解得：； （2）解：①由题意可知，，，则，， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 若，则，解得：（负值舍去）； 若，则，解得：， 综上可知，当秒或秒时，是以为腰的等腰三角形； ②补全图形如下： 过点作直线轴，延长交直线于点，连接、， 由轴对称的性质可知，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 解得：， 此时，， 的面积． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，坐标两点的距离公式等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、． (1)求线段的中点坐标； (2)若点M是直线上的一点，连接，若，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 【答案】(1)线段的中点坐标为； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为． 【分析】（1）根据题意先求出点，，的坐标，根据中点坐标公式即可得出线段的中点坐标； （2）设，分两种情况，当点在直线上方时，当点在直线下方时，根据三角形面积的关系分别求解即可； （3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，证明，则，，可得，解方程可得，由，得直线解析式为，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、． ，，， 线段的中点坐标为； （2）解：设， 当点在直线上方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 当点在直线下方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：过作于，过作轴，过作于，过作于， 设， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， 点的坐标为，， ， 解得， ， 由，得直线解析式为， 令，得，解得， 点的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查中点坐标公式，三角形的面积，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题，以及分类讨论思想的应用． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点A作交于点E，过点E作轴于点F，则，可得是等腰直角三角形，再证明，可得，，从而得到，进而得到点E的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图， 过点A作交直线于E，过点E作轴于F， ∵点，， ∴， 根据题意得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． 类型八、一次函数存在等角求动点坐标 【典例8】如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)求的面积； (3)已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：；直线的表达式为： (2)15 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、平行线的性质等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）联立（1）中两个函数表达式得到交点坐标，由的面积，即可求解； （3）当点在轴右侧时，由，则，求出点，即可求解；当点在轴左侧时，得到直线的表达式为：，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线的函数表达式得：， 则直线的表达式为：； 将点、的坐标代入直线的函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：联立（1）中两个函数表达式得：， 解得：，则点， 由直线的表达式知，点，则， 则的面积； （3）解：当点在轴右侧时，令与直线的交点为， ，则， 设点，则， 解得：，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：.， 则点； 当点在轴左侧时， ，则， 则直线的表达式为：， 则点； 综上，点的坐标为：或． 【变式8】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴负半轴交于点C，且．直线与直线交于点D，点P在x轴上． (1)求直线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先根据已知求出点和点的坐标，再用待定系数法求直线的关系式． （2）根据线段垂直平分线的性质作辅助线，确定点的位置，用面积法列方程，求得点的坐标． （3）作直线，根据相似三角形的性质求出相应线段长，进而求解． 本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用辅助线构造相似的直角三角形是解题的关键，本题综合性较强． 【详解】（1）解：将代入， 解得， ， 将代入得 ， 解得， ， ， ， 设，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为：． （2）解：如图1，作的垂直平分线，垂足为点，交轴于点，连接、，作于点， 则， 直线与直线交于点， ， 解得， ， 点为的中点， ， 设点的坐标为，则， ， ， 即， ， 在中，，，， ， 即， 解得， ∴， 当时，点的坐标为． （3）解：如图2，作交于点， ，， ， ，， 点坐标为， 设解析式为， 把，分别代入， 得， ∴， 解析式为， 当时，， ， 利用对称性可另一个坐标为． 类型九、一次函数存在2倍角求动点坐标 【典例9】如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点．    (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是等腰直角三角形 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数的性质，勾股定理与逆定理，等腰直角三角形的判定等知识．解题的关键是： （1）先求点A的坐标，然后求点B的坐标，最后把B、D的坐标代入函数解析式求解即可； （2）把、函数解析式联立方程组，求出点C的坐标，然后国库三角形面积公式求解即可； （3）设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G，可证，求出点F的坐标，然后利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或； （3）解：是等腰直角三角形 理由：设设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G，    ∵ ∴， 对于，当，则， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 类型十、一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为． (1)求正比例函数与一次函数的关系式． (2)若点D在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)正比例函数，一次函数 (2)或 【分析】本题考查一次函数，全等三角形的判定与性质； （1），代入可求一次函数关系式，代入可求正比例函数关系式； （2）分两种情况：①点在第二象限，，；②点在第二象限，，，利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：，代入得： ，解得， 一次函数关系式为， 代入得： ，解得， 正比例函数关系式为； （2）解：对于一次函数， 当时，，即，， ， ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， 在和中，， ∴， ，， ， ； ②如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ， 综上，点的坐标为或． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例图像交于点 (1)求一次函数函数关系式． (2)求的面积 (3)若点直线的上方，是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【分析】（1）易求出点C的坐标，即可用待定系数法求解； （2）由解析式求得A的坐标，即可求出的面积； （3）由题意可分两种情况，即A为直角顶点和B为直角顶点，分别设对应的M点为和，过点作轴于点E，过点作轴于点F，可证明，可求得的坐标，同理可求得的坐标，可得出M点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图像上， ∴，得， ∴点C的坐标为 ∵点C，B在一次函数的图像上， ∴，解得， 故一次函数的解析式为：； （2）在一次函数中，令， 则，解得， ∴点A的坐标为， 即， ∵点C的坐标为 ∴； （3）过点作轴于点E，过点作轴于点F，如图， ∵点M在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 即可得出点M的坐标为； 同理可得出：， ∴，， ∴点M的坐标为． 综上可知点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等，在（3）中确定出M点的位置，求得M到两坐标轴的距离是解题的关键． 【变式10-2】如图①，为等腰直角三角形，，于点，于点． (1)求证： (2)如图②为等腰直角三角形，其中点坐标为，点的坐标为，求点的坐标． (3)如图③在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，，与轴交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，，，可得，从而可得答案； （2）如图，过作于，证明，结合，，可得，，从而可得答案； （3）如图，过作交的延长线于，交轴于，过作于，作于，证明，可得，同理可得：，，则设，求解为，可得，，，，过作，交的延长线于，交轴于，同理可得：，可得，，，，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵于点，于点． ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）如图，过作于， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴，而，， ∴，， ∴， ∴． （3）如图，过作交的延长线于，交轴于，过作于，作于， ∴， ∵， ∴，   ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，则设， 设为，而点坐标为，点的坐标为， ∴，解得：， ∴为， ∴，解得，即， ∴，，， 过作，交的延长线于，交轴于， ∴， 同理可得：， ∴，，   ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形，作出合适的辅助线，构建全等三角形是解本题的关键． 类型十一、一次函数过定点问题 【典例11】（1）已知直线：和直线：，请在下面的坐标系中作出这两条直线，并直接写出方程组的解______； （2）直线：与轴，轴的交点分别为A，，第一象限内有一点的坐标为，且与的面积相等，求点坐标； （3）在（2）的条件下，若线段与一次函数的图像有交点． ①一次函数的图像必过某个定点，则该定点的坐标为______； ②一次函数中的取值范围是______．      【答案】（1）见解析，；（2）；（3） ， 或 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，正确得出函数图像与坐标轴交点是解题关键． （1）如图：在方格纸中画出直线、，其交点坐标即为方程组的解； （2）根据与的面积相等，得出点C在过原点O且平行于直线的直线上，即，把点坐标代入求出t的值即可； （3）①把转化成，即可得出定点坐标；②先求出直线过点A，B时的k的值，再根据函数的性质确定k的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵直线：，直线：， ∴直线与x的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；直线过点、， 如图：在方格纸中描点、连线画出直线、，观察可知其交点坐标为，则方程组的解为；    故答案为：． （2）∵与的面积相等， ∴点C在过原点O且平行于直线的直线上，即， ∵点在直线上， '∴，解得：， ∴； （3）①∵， ∴次函数的图像必过定点； ②当直线经过点A时，则有：，解得：， 当直线经过点B时，则有：，解得：， ∴线段与一次函数的图像有交点，    ∴k的取值范围是或． 故答案为: ①； ②或． 【变式11-1】已知与成正比例，且当时，， (1)求与x之间的函数解析式； (2)已知（1）中函数的图象为直线，关于x的函数的图象为直线． ①若无论非零实数k取何值，直线恒过一定点P，则点P的坐标是 ； ②当时，若点始终在直线，及x轴所围成的封闭区域内（包括边界），求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求一次函数的自变量，一次函数的图象等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求一次函数的自变量，一次函数的图象是解题的关键． （1）设与x之间的函数解析式为，则，可求，则，整理作答即可； （2）①由题意知，，当时，，然后作答即可； ②当时，，如图，当时，，可求；当时，，可求；结合图象求a的取值范围即可． 【详解】（1）解：设与x之间的函数解析式为， ∵当时，， ∴， 解得，， ∴，即， ∴与x之间的函数解析式为； （2）①解：由题意知，， ∴当时，， ∴无论非零实数k取何值，直线恒过一定点P，点P的坐标是， 故答案为：； ②解：当时，， 如图， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； ∴a的取值范围． 【变式11-2】设一次函数（是常数，）． (1)无论取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： (2)若时，该一次函数的最大值是6，求的值． 【答案】(1)定点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）变形，即可确定定点坐标； （2）当时，根据一次函数的增减性可知当时，一次函数取得最大值6；当时，根据一次函数的增减性可知当时，一次函数取得最大值6，分别求解即可． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，， 无论取何值，该一次函数图象始终过定点； （2）解：当时，当时，一次函数， 解得， 当时，当时，一次函数， 解得（不合题意，舍去）， 综上，． 类型十二、一次函数与线段结合求动点问题 【典例12】一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点，点．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段于点D，交直线于点E．其中实数a、b满足． (1)求直线AB解析式； (2)如图，当时，求E点坐标； (3)在（2）的条件下，点H在直线上运动，当为等腰三角形时，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据实数a、b满足，可得到，，再将、两点坐标代入求解即可； （2）根据、长度结合勾股定理可得出长度，取为的中点，连接，证明为等边三角形，从而得到，根据，可得出的长度和，从而得出点坐标，为等边三角形，继而求得直线的解析式，根据三角形外角性质可得，从而得到，结合等边三角形性质可得出点纵坐标，代入到直线的解析式即可求得E点坐标； （3）根据题意考虑四种情况①当时，作轴于点，②，③当时，作作轴于点，④当时，作作轴于点，于点，根据上述情况作出草图，利用勾股定理，含角的直角三角形，等腰三角形的性质与判定分别求解即可． 【详解】（1）解：实数a、b满足，，， ，， ，， 将，代入得： ，解得， 直线AB解析式为； （2）解：由（1）可得：，， ， 取为的中点，连接， , , ， , 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点坐标为：即， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 由图可知，点的纵坐标为，将其代入得：，解得， 点的坐标为； （3）解：①如图，当时，作轴于点， 此时， ， ， ， 此时点H的坐标为即； ②由（2）可知，， 当点H位于点时，为等腰三角形， 此时点H的坐标为； ③如图，当时，作作轴于点， ，， ， ， 此时点H的坐标为即； ④如图，当时，作作轴于点，于点， 此时为等腰三角形， 为中垂线， ， ， ， ， ， ，， ， ， 此时点H的坐标为即； 综上所述，H的坐标可以为或或或． 【点睛】本题考查了求待定系数法一次函数解析式，绝对值和算术平方根非负性，坐标与图像，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 【变式12】如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解； （3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：， 解得：，即点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、， ， 则， 解得：或； （3）解：关于直线的对称点为， 当点落在直线上时， 则， 解得：； 当落在上时， 则， 解得：， 故． 类型十三、一次函数与动点线段比例问题 【典例 3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)求函数的表达式； (2)求的表达式及A点的坐标； (3)点D为直线上一点，其横坐标为，过点D作轴于点F，交交于点E，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得 （2）根据待定系数法求得的表达式，进而可求得A的坐标 （3）点D的坐标为，点E的坐标为，得出EF，DE的长度，再由题意得出关于m的一元二次方程，解方程即可 【详解】（1）解：将代入得：1=2a ∴a=， ∴函数 （2）由题意设y=kx+2，将代入得：1=2k+2， 解得k=， ∴ 令y=0，则，解得x=4， ∴ （3）∵点D为直线上一点，其横坐标为， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， 分两种情况： 当时，，解得， ∴， ∴D的坐标为 当时，，解得 ∴， ∴D的坐标为 综上所述：D的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及解一元一次方程，求得函数的解析式以及分类讨论思想的运用是解题关键 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）把利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M， ∴，解得：, ∴一次函数为， 当时，，解得， ∴点， （2）依题意得：的解析式为， ∵点， ∴点，点， ∴， ， 若，，解得：， （3）当时； ，， 当，即，解得， 当时； ，， 当，即，解得， 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)函数和的表达式分别为______________________________； (2)点D为直线上一点，其横坐标为．过点D作轴于点F，与直线交于点E，且，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据点可求出直线的解析式，根据可得点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的解析式； （2）求出点的坐标，从而可得点的坐标，代入直线求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：，解得， 则， ∵，且点位于轴正半轴上， ∴， 将点，代入直线得：，解得， 则． （2）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴， 将点代入得：， 解得， 则， 所以点的坐标为． 类型十四、一次函数存在线段和最小值求动点坐标 【典例14】在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点B为y轴上一动点，如图以为边在其一侧作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)当点B在y轴上运动时，点C的运动轨迹是一条直线，延长交y轴于点，求点C所在直线的解析式； (3)连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的最小值为6，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式及轴对称的性质， （1）直接证明即可证明结论； （2）当点B与点O重合时，点C与点D重合，求出此时点C坐标；当点C运动到y轴负半轴时且C位于x轴上时，求出此时点C坐标；再用待定系数法求一次函数表达式即可； （3）证明直线是的中垂线，得出，从而得出点三点共线时，最小，并求出最小值即可； 【详解】（1）证明：和都为等边三角形， ， ， ， ； （2）， 如图1，当点B与点O重合时，点C与点D重合，此时点C坐标为， 如图2，当点C运动到y轴负半轴时且C位于x轴上时， ，， ， 设点C所在直线的解析式为，把，代入， ， 解得：， ； （3）的最小值为6，理由如下： 如图3，， 点D 为中点， 直线是的中垂线， 点C在直线上运动，所以点三点共线时，最小， 最小值为，即的最小值为6． 【变式14-1】如图，直线与x轴交于点，直线与x轴，轴分别交于两点，并与直线相交于点D． (1)点D的坐标为___________； (2)求四边形的面积； (3)若点P为x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）把的坐标代入函数解析式，求出函数解析式，即可求出D点的坐标； （2）根据面积公式求出面积即可； （3）找出P点的位置，求出直线的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∵直线与x轴，轴分别交于两点， ∴， 解方程组得：， ∴D点坐标为； （2）， ， ∴四边形的面积 ； （3）作D关于x轴的对称点E，连接交x轴于点P，此时的值最小， ∵D点坐标为， ∴E点的坐标为， 设直线CE的解析式为， 把E、C的坐标代入得：， 解得：， 即直线的解析式为， 当时，， 即当的值最小时，P点的坐标为． 【变式14-2】如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．    (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）结合正方形的性质与边长确定C、D的坐标，再利用待定系数法求解； （2）结合已知证明，由全等三角形的性质得到垂直平分，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答； （3）连接交直线于点P，由轴对称的性质不难得到的最小值为的长，从而解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， 为的中点， ， ， 设直线解析式为， 所以， 解得， ∴直线的函数关系式为； （2）证明：是的中点， ， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接交直线于点P， 由（2）可知点D与点F关于直线对称， ， ， 的最小值为的长． ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，掌握求一次函数解析式和求坐标点的坐标是解题关键． 类型十五、一次函数求点到直线距离最小值问题 【典例15】如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，以线段为边在第一象限内作等腰直角，使. （1）直接写出点和点的坐标：（ ， ）（ ， ）； （2）求点到直线的距离； （3）求出点的坐标. 【答案】（1）（0,4）；（3,0）；（2）2.4；（3）的坐标是． 【分析】（1）根据一次函数解析式与坐标轴的交点坐标即可求解； （2）先求出AB的长度，再根据等面积法求出高，即点到直线的距离； （3）作轴于点，证明，即可求出C的坐标. 【详解】解：（1）令x=0,得y=4,∴ 令y=0,解得x=3， ∴ （2）由图知 设点到直线的距离为 则： （3）如图，作轴于点． ∵， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴，，． 则的坐标是． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及全等三角形的判定与性质. 【变式15-1】已知直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行． （1）求直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积； （2）求原点到直线l1的距离． 【答案】（1）6；（2）． 【分析】（1）根据平行得出k=，求出与想、y轴的交点坐标，即可求出面积； （2）根据垂直求出a的值，求出组成的方程组的解，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行， ∴k=， 即直线l1：y=x﹣4， 当x=0时，y=﹣4， 当y=0时，x=3， 所以直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积是=6； （2）设过原点且垂直于直线l1的直线的解析式为y=ax， 则a•=﹣1， 解得：a=﹣， 即y=﹣x， 解方程组 得： ， = ， 即原点到直线l1的距离是 ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题关键是能根据两直线平行和垂直求出k和a的值． 【变式15-2】已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，3）、B（-4，0）． （1）求此函数的解析式． （2）若点（a，6）在此函数的图象上，求a的值为多少？ （3）求原点到直线AB的距离． 【答案】（1）一次函数解析式为y=x+3；（2）a=4；（3）原点到直线AB的距离为． 【分析】(1)把A、B两点坐标代入y＝ kx ＋ b中得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b，即可得到一次函数解析式； (2)根据一次函数图象上点的坐标特征,把(a，6)代入一次函数解析式中可求出a的值； (3)先利用勾股定理计算出AB的长，然后利用面积法求原点到直线AB的距离. 【详解】把代入得， 解得． 所以一次函数解析式为； 把代入得， 解得； ， 设原点到直线AB的距离为h， 则， 解得， 所以原点到直线AB的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解本题的要点在于能否求出一次函数的解析式. 类型十六、一次函数存在平行四边形求动点坐标 【典例16】 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 或 【分析】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据点的横坐标为，得，根据轴，得，求出，得出，再分当与当分别进行求解即可. 【详解】（1）解∶ 将点代入 中， 得∶， 解得∶， 直线为， 将点代入中， 得∶， 解得：， 直线为； （2）横坐标为， 则， 轴， 点在直线上， ， 直线 与轴交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 或 ． 【变式16-1】如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【答案】(1) ，； ，； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （）根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，求出解析式，可求点坐标和周长的最小值； （）作于，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【详解】（1）①∵矩形，，， ∴，，， ，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式，过点，点， ∴， ∴， ∴直线解析式， 故答案为，； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小， ∵，， ∴设直线解析式， ∴，解得 ∴直线解析式， 当时，y， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． （2）如图：作于， ∵， ∴且， ∴，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， 则有， ∴， ∴直线解析式． 【变式16-2】综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)36 (2)4或 (3)存在， 或或 【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质： （1）分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积． （2）分两种情况分别用含有m的代数式表示出根据列出方程,求出m的值即可； （3）分别求出点的坐标，分为对角线, 为对角线，为对角线，分别讨论求解即可, 【详解】（1）解：令直线中，则， 解得，， ∴； 令直线中，则， 解得，， ∴, ∴． 联立直线的解析式成方程组，， 解得， ∴交点C的坐标为 ∴． （2）①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴， 解得，； 当时， ∴ ∴ ∵ ∴， 解得，； 综上所述，m的值为4或； （3）解：∵，且轴，点D在上， ∴， ∴, 同理可得：， 又， 设 ①当为对角线，的交点重合，即对角线的交点， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ②当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ③当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； 综上所述，存在这样的点坐标为或或 【变式16-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转90°得到线段，此时点D恰好落在直线上． (1)求出线段的长度； (2)求出直线的函数关系式； (3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点(不与点B、C重合)，找一点E，使得以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？请直接写出所有E点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)E点坐标或 【分析】（1）分别求出A、B点坐标，再求的长即可； （2）过D点作轴交于G点，证明 ，设，，则，由D点在直线上，将D点坐标代入直线解析式求出t的值，可得C点坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）由（2）可知，设，，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分性质建立方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）过D点作轴交于G点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵D点在直线上， ∴ 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形， E点坐标 或 理由如下： 由(2)可知， 设，，， ①当为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； ③为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； 综上所述：E点坐标或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键． 类型十七、一次函数存在矩形求动点坐标 【典例17】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据矩形的性质得，设，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将点代入， ∴ ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式为得：， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在x轴上存在点M，平面内存在一点P，使得四边形是矩形， 设， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握待定系 数法，矩形的性质是解题的关键． 【变式17】已知，A（0，a）是y轴上一点，直线l：与x轴交于点（-16，0），与y轴交于点D． (1)b= ，点D的坐标为 ； (2)如图1，过点A作AB⊥l于点B，作∠BAC=45°，AC交直线l于点C（点C在点B右侧）， ①当a=-3时，求点B，C的坐标； ②如图2，过点A作AE∥BC，交x轴于点E，求当a为何值时，四边形ABDE为矩形． 【答案】(1)8，D（0，8） (2)①B（，），C（，）； ②a=2 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①过点B作BG⊥x轴，过点A作AG⊥BG于点G，过点C作CH⊥BG，交GB的延长线于点H，易证△BGA≌△CHB（AAS），进一步可得BG=CH，AG=BH，设B（m，m+8），表示出点C坐标，将点C坐标代入直线l解析式即可求出m，进一步确定点B和点C坐标； ②过点B作BM⊥y轴于点M，设CH交y轴于点N，同①中的方法可得点B和点C坐标，进一步可知BM=CN，从而△BDM≌△CDN（AAS），易证四边形ADCE为平行四边形，根据平行四边形的性质可知点C横坐标等于点E横坐标，可得−a+=-2a，即可求出a的值． 【详解】（1）将点（-16，0）代入y＝x+b， 得-8+b=0， 解得b=8， ∴点D（0，8）， 故答案为：8，（0，8）； （2）①过点B作BG⊥x轴，过点A作AG⊥BG于点G，过点C作CH⊥BG，交GB的延长线于点H，如图所示： 则∠G=∠H=90°， ∴∠GBA+∠GAB=90°， ∵AB⊥BC，∠BAC=45°， ∴∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴AB=AC，∠HBC+∠GBA=90°， ∴∠HBC=∠GAB， ∴△BGA≌△CHB（AAS）， ∴BG=CH，AG=BH， 设B（m，m+8）， 则BG=CH=m+11，AG=BH=-m， ∴C（m+11，-m+8）， ∵点C在直线l上， ∴（m+11）+8=-m+8， 解得m=−， ∴B(−，)，C（，）； ②过点B作BM⊥y轴于点M，设CH交y轴于点N，如图所示： 设B（n，n+8）， 则BG=n+8-a，AG=-n， ∴CH=BG=n+8-a，BH=AG=-n， ∴点C（n+n+8-a，n+8-n）， 将点C坐标代入直线l解析式， 得（n+n+8-a）+8=n+8-n， 解得n=a−， ∴点C的横坐标为−a+， ∴BM=CN， 在△BDM和△CDN中， ∴△BDM≌△CDN（AAS）， ∴BD=CD， 若四边形ABDE为矩形， 则BD=AE， ∴CD=AE， ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∴CE∥AD， ∴xC=xE， ∵直线AE的解析式为：y＝x+a， 当y＝x+a=0时，x=-2a， ∴xE=-2a， ∴−a+=-2a， 解得a=-2， 即当a=-2时，四边形ABDE为矩形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质等，本题综合性较强，难度较大． 类型十八、一次函数存在菱形求动点坐标 【典例18】如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值； (3)已知直线上有两个动点（在的下方），线段在直线上平移且，在平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)存在以为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点的坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令，，即可求解； （2）根据题意可求出的面积，再根据的面积为时，可求出点的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求解； （3）根据菱形的判定和性质，分类讨论，再图形结合，运用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线的图象与轴和轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则； ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得，，即， ∴． （2）解：已知，，是的垂直平分线， ∴，即，且， ∴， ∵，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在直线的图象上， ∴设， ∴， ∴， ∴，整理得，， 解得，，， ∴，， ∵点是射线上的动点，， ∴舍去， ∴点的坐标为， ∴当时，如图所示，作点关于轴对称的点，将线段向上平移至点与点重合，即，此时点三点共线，即四边形是平行四边形，则，此时的值最小， ∴， ∵， ∴， 如上所示，过点作轴于点，过点作轴于点，且， ∴，则，， ∴在中，，则， ∴的值最小为． （3）解：存在，理由如下， 已知，，在中，， ∵点的垂直平分线， ∴，且， ∴， ①如图所示，点与点重合，四边形是菱形，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，四边形是菱形，即，， ∴，即， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴； ②如图所述，点与点重合，四边形是菱形，过点作轴于点， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴，即点在轴上， ∴， ∴； ③如图所述， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴当点与点重合时，点与点重合，四边形是菱形，即四边形是菱形， ∴； ④如图所述，点在点的上方， ∵，， ∴，即， ∴四边形不是菱形，即这种情况不存在，同理，点在点的下方的情况也不存在； 综上所述，存在以为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最段路径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 【变式18-1】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，， 【分析】（1）运用待定系数法，将点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）先注意判定点P的位置，如图，，于是点P在第二象限，或第四象限．设，分点P在第二象限，或点P在第四象限，运用组合图形求面积的思路分别求解； （3）存在；由平移知，，，轴；设平移距离为s，则，，分情况讨论：①若以为对角线构成菱形，如图，则点M应在x轴上，②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，③若以为对角线构成菱形，根据菱形的判定方法，由边相等构造方程求解； 【详解】（1）解：，时，；时，，得； ∴点． 直线经过点A，C，所以 ，解得． ∴； （2）解：如图，，， ∴． ∵的面积为18， ∴点P在第二象限，或第四象限．设， 若点P在第二象限，则 ， 解得，，；    若点P在第四象限，则 ， 解得，,；    ∴点P的坐标为或． （3）解：存在；由平移知，，，轴； 设平移距离为s，则，， ①若以为对角线构成菱形，则,点M应在x轴上，令， 由,得，； 由,得； ∴ ∴时，，构成菱形． 此时，    ②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，令 由，得，，解得， ∴, 由,得， ∴， ； ∴时，，四边形是菱形． 此时，    ③若以为对角线构成菱形， 由，得， 解得（舍去）或， ∴, 由,设，由，得， 解得，（舍去）或， 此时, ∴时，，四边形构成菱形 ． 此时，．    【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，菱形的判定，直角坐标系内求解三角形面积；由菱形的判定方法转化为线段间的数量关系从而求解点坐标是解题的关键． 【变式18-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为，点E是的中点，连接交于点F．    (1)求点F的坐标． (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)满足条件的P的坐标为或或或 【分析】（1）求出直线，的解析式，构建方程组即可解决； （2）利用证明，则，，求出点T的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）如图，分四种情况：当四边形为菱形时；当四边形是菱形时；当四边形是菱形时；当点N在B的右侧，为菱形时；分别画出图形求解即可． 【详解】（1）   解：令直线中的，则， 则， ∴点A的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴由中点坐标公式得, 设直线为：，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线为，代入可得， ， 解得：， ∴直线为：， 联立， 解得：， ∴点的坐标为． （2）解：过点D作交于T，过点T作轴于H，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故为等腰直角三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 则， ∴， 把代入， 解得：． （3）解：如图所示，    当时，直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 当四边形为菱形时，连接交于，作于， ∵，，， ∴由角平分线定理得：， 又∵，， ∴， ∴，设， ∵在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 设直线为，代入,得： ， 解得：， ∴直线为：， 当时，， ∴的坐标为； 当四边形是菱形时，可得直线的解析式， 当时，， ， 当四边形是菱形时，在直线时， ∴， ∵与关于x轴对称， ； 当点N在B的右侧，为菱形时， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， 即， 解得或（舍去）， 此时； 综上所述，满足条件的P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质等知识点，综合性较强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式18-3】如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）对于直线的解析式，分别令与为求出与的值，确定出与B的坐标，再联立两直线解析式即可求出A的坐标； （2）设点坐标为，由三角形的面积公式可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）若以为边，设点，分情况利用菱形的性质和两点间距离公式列式求出a的值，然后可得点P坐标，进而可得点Q的坐标；若为对角线，由菱形的性质可得与互相垂直平分，求出点P坐标，进而可得点Q的坐标． 【详解】（1）解：分别与轴、轴交于点、， 当时，； 当时，； 点坐标为，点坐标为， 直线：与直线：交于点， ， 解得：， 当时，， 点A坐标为， （2）解：设点坐标为， 的面积为，， ， ， 点， 设直线解析式为：， 代入得：， ， 直线的解析式为：； （3）解：存在； 若以为边，设点，如图，    当四边形是菱形时， ，， ， ，舍去， 点， ∵， 点； 当四边形是菱形时， ∵，， ， （舍去），， 点， 点； 若为对角线， 以、、、为顶点的四边形是菱形， 与互相垂直平分， 点的纵坐标为， 当时， 解得：， 点， 点坐标为； 综上所述：存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，函数图象的交点坐标，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点间距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 类型十九、一次函数存在正方形求动点坐标 【典例19】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为 【分析】（1）由折叠得，结合点的坐标得，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）运用全等性质以及勾股定理列式，得出，再运用待定系数法解直线的解析式为，即可作答． （3）取点B的对称点，连接交轴于一点，把和代入，得直线的解析式为，令，则，得； （4）结合正方形的性质运用分类讨论思想，则当为对角线时，当为对角线时；当为对角线时，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处， ∴ ∴ ∵直线与轴、轴分别交于、两点 ∴当 ∴ ∴ ∴在中， ∴； （2）解： 依题意， ∴ 由（1）知 ∴ 设 则 ∴ 解得 ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 （3）解：依题意， 解得 把代入 解得 ∴ 如图：取点B的对称点，连接交轴于一点 该点P是满足的值是最小的 则 ∵ ∴ ∵ ∴设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 令，则 ∴ ∴ （4）解：设点 ∵点在轴上方 ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 综上：点的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数的几何运用，正方形的性质，勾股定理，最短路径，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式19-1】如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为 【分析】本题综合考查一次函数的应用． （1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式； （2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标； （3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ． 即． 将点，代入中， 得：． 解得：． 直线的函数解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 点的坐标为， ． 则， 解得：或． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； （3）解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，． 点在直线上， 设． 点在直线上， 设点的坐标为：． ，． ， ， 点的坐标为． 【变式19-2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点的Q，其坐标为或 【分析】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、正方形的性质及分类讨论思想等．其中（3），确定出P点的位置是解题的关键． （1）令，求出的值即可得出点C的坐标； （2）设点，根据三角形面积公式结合的面积为12列式求出m的值即可得出点D的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种情况考虑：（i）当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；（ii）当四边形为正方形时分别求出P坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点C的坐标为 （2）解：∵是线段上的点， ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （3）解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形， 如图所示，分两种种情况考虑： （i）对于，当时，， ∴, ∴ 当四边形为正方形，此时， ∴； （ii）当四边形为正方形时，直线 ∵ ∴是中点， ∵ ∴，即 由对称性可得， 综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或． 1．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2)存在，P点的坐标或 (3)点Q的坐标为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）由得：，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设点，对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， 根据题意可知：， 解得， 当时，， 当时，， ∴P点的坐标或； （3）解：设点， 则， 即， 解得：， 即点Q的坐标为：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点以及一次函数几何问题等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 2．如图，直线 与x轴交于点D，直线 与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点. (1)求k、b和m的值； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短?若存在，请求出点E的坐标和的最短周长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，， (2)6 (3) 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积等知识，． （1）由直线 经过定点，可得：，由直线经过点，可得，把代入，得到； （2）先求解，再求解，结合，可得； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标． 【详解】（1）∵直 与x轴交于点A，且经过定点， ∴, 解得：， ∴直线． ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴， ∴，，． （2）对于直线，令，得到， ∴， ∴． 对于直线，令，得到， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）在x轴上存在一点E，使的周长最短． 如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短． 根据轴对称图形的性质可知的坐标为． 设直线的函数解析式为． 将代入，得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得到， 解得，， ∴点E的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形面积分割，，从而转化为方程，然后解方程即可求解； （3）利用平行四边形的性质①当为对角线时，，②当为对角线时， ，③当为对角线时，即可求解． 【详解】（1）∵直线交轴于点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵直线交轴于点， ∴当时，，即点， ∴， ∴， 设， ∵，点到直线的距离为， 即：， 解得：，， ∴点， （3）由(1)(2)可知：，，， 如图，设， ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点，    ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点， ②当为对角线时， ，， 解得：，， ∴点， ③当为对角线时，，， 解得：，， ∴点， 综上可知： 【点睛】此题考查了一次函数的应用和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和平行四边形性质的应用． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A， (1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________； (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 (3)存在，点Q的坐标为或或（2，- 2） 【分析】（1）根据的表达式即可求出B、C两点的坐标. （2）设点D的坐标为由，先求出D点的横坐标，再代入中求出纵坐标即可. 设直线的解析式为将D点坐标代入求出k的值，即可得到直线的函数表达式. （3）设点，分情况讨论：①若以为边时，四边形是菱形，列出关于a的方程求出a的值，即可求出点Q的坐标.②当四边形 是菱形时，画出图形，先写出P点的坐标，则易得Q点的坐标.③当与互相垂直平分时四边形是菱形，画出图形，先写出P点的坐标，则易得Q点的坐标. 【详解】（1）由得， 时， 时，         ∴点B的坐标为，点C的坐标为. （2）设点D的坐标为 ∵的面积为6， ∵D是线段上的点， ∴点 设直线的解析式为 ∴直线的解析式为 （3）若以为边，设点 ①如图1， 当时，四边形是菱形， ∴点 ②如图2，当 四边形 是菱形时， ∴点 ∴点 ③若为对角线，如图3 当与互相垂直平分时以为顶点的四边形是菱形， ∴点P的纵坐标为2 ∴点P的坐标 ∴点 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形的相关问题.利用图形的面积求点的坐标，以及用分类讨论法求特殊四边形中点的坐标.解题的关键是要学会分类讨论及数形结合法，正确的画出图形，不要漏解. 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点O作交直线于点F， ①求证：； ②求点F的坐标； (3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)或或 【分析】（1）由旋转的性质得出结论，进而判断出得出，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）①证明，即可得出是等腰直角三角形，即可得出结论；②先确定出点E的坐标，再借助①的结论判断出，即可得出，可得出F的坐标； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B， ∴， ∴， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：①由（1）得：， ∴， ∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为； （3）解：∵， ∴， 若，此时轴，， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，若，此时，， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 当点Q在点D的右侧时，， ∴点Q的坐标为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：， ∴点P的坐标为； 当点Q在点D的右侧时，， 同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$