26.3 实践与探索（分层作业，5大题型）（题型专练）数学华东师大版九年级下册

26.3 实践与探索 二次函数求最值 1. 关于二次函数的最值，说法正确的是　　 A．最小值为 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3 2. 已知，则函数的最大值是　　 A． B．2 C． D． 3. 已知二次函数．当自变量取值在范围内时，下列说法正确的是　　 A．有最大值14，最小值 B．有最大值14，最小值7 C．有最大值7，最小值 D．有最大值14，最小值2 4. 已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二次函数实际应用 1. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是　　 A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 2. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是　　 A．40秒 B．30秒 C．20秒 D．10秒 3. 如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是　　 A． B． C． D． 4. 如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，拱顶到水面的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽为　　 A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 5. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为　　 A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 6. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．下列叙述正确的是　　 A．小球的飞行高度不能达到 B．小球的飞行高度可以达到 C．小球从飞出到落地要用时 D．小球飞出时的飞行高度为 7. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元件； ②“正”服装：48元件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人 每人每天加工量（件 平均每件获利（元 风 2 24 雅 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求、之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 8. 【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：与飞行时间（单位：的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：与飞行时间（单位：的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行高度 0 10 16 18 16 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，，求发射台高度的取值范围． 二次函数求利润最值 1. 某商店销售一种进价60元件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价（元件） 80 100 销售量件 100 60 （1）求销售量关于售价的函数关系式． （2）①设商店销售该商品每天获得的利润为（元，求与之间的函数关系式． ②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 2. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 3. 2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量（个与销售单价（元满足如图所示的一次函数关系． （1）求与的函数关系式； （2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 二次函数面积问题 1. 邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长34米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡场的面积为160平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ （3）鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 2. 如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米）．设花圃的一边长为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式并写出自变量的取值范围； （2）如果所围成的花圃的面积为63平方米，试求的长； （3）按题目的设计要求，能不能围成面积为80平方米的花圃，请说明理由． 二次函数与几何最值 1. 如图，在矩形中，是大于0的常数），，为线段上的动点（不与、重合）．连接，作，与射线交于点，设，． （1）求关于的函数关系式； （2）若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？ （3）若，要使△为等腰三角形，的值应为多少？ 2. 如图，在矩形中，，．设，分别为，上的动点，在点自点沿方向做匀速移动的同时，点自点沿方向向点做匀速移动，移动的速度均为，设，移动的时间为秒． （1）写出的面积与时间的函数关系式，当为何值时，有最大值，最大值是多少？ （2）当为何值时，为等腰三角形？ 1. 已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2. 设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值　　 A． B． C． D．1 3. 如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 4. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线、线段分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量（单位：之间的函数关系． （1）请解释图中点的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 5. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设 ． （1）若花园的面积为，求的值； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 6. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了和的几组对应值，如表． 米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在和这两个变量中， 是自变量， 是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度为 米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的，两处设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处距桥墩的距离至少为 米．（精确到0.1米） 7. 项目式学习 项目主题：合理设计智慧泉源 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一测量建模 建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为1.2米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； 任务二推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 8. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． （1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 竖直高度 2 2.72 3.28 3.68 3.92 4 3.92 3.68 请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标 ，并求出满足的函数解析式． （2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：，请回答下列问题： ①小明同学第一次投篮的出手点高度为 ； ②已知篮筐中心位置在水平距离，竖直高度处．当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：，已知两次投篮只有一次投中，则 投中（填写“第一次”或“第二次” ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.3 实践与探索 二次函数求最值 1. 关于二次函数的最值，说法正确的是　　 A．最小值为 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3 【解答】解：二次函数中， ， 函数图象开口向下， 函数有最大值， 函数图象的顶点坐标为， 二次函数的最大值为3． 故选：． 2. 已知，则函数的最大值是　　 A． B．2 C． D． 【解答】解：， 当时，随着增大而增大， 当时有最大值， 故选：． 3. 已知二次函数．当自变量取值在范围内时，下列说法正确的是　　 A．有最大值14，最小值 B．有最大值14，最小值7 C．有最大值7，最小值 D．有最大值14，最小值2 【解答】解：， 该抛物线的对称轴为直线， 又抛物线的开口向上， 当时，函数取得最小值为， 时，， 在范围内，函数有最大值14，最小值， 故选：． 4. 已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由二次函数， 当时，最大值为3，最小值为2， ． 故选：． 二次函数实际应用 1. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是　　 A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 【解答】解：， 当时，即：， 解得：或， 球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒． 故选：． 2. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是　　 A．40秒 B．30秒 C．20秒 D．10秒 【解答】解：， 当时，取最大值， 即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒． 故选：． 3. 如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当时，， 解得：（舍，， 该同学掷实心球的成绩是， 故选：． 4. 如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，拱顶到水面的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽为　　 A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 【解答】解：由题可知点的坐标为， 设抛物线解析式为，把点的坐标代入得： ， 解得， 抛物线解析式为， 当水位上升5米时，， 即， 解得， 水面宽为（米， 故选：． 5. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为　　 A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【解答】解：水面离桥顶的高度为米， 当时，得， 解得或． 水面宽度为（米． 故选：． 6. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．下列叙述正确的是　　 A．小球的飞行高度不能达到 B．小球的飞行高度可以达到 C．小球从飞出到落地要用时 D．小球飞出时的飞行高度为 【解答】解：、当时，， 解得：，， 故小球的飞行高度能达到，故此选项错误； 、， 故时，小球的飞行高度最大为：，故此选项错误； 、时，， 解得：，， 小球从飞出到落地要用时，故此选项正确； 、当时，， 故小球飞出时的飞行高度为，故此选项错误； 故选：． 7. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元件； ②“正”服装：48元件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人 每人每天加工量（件 平均每件获利（元 风 2 24 雅 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求、之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【解答】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， 安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装， 加工“正”服装的有人， “正”服装总件数和“风”服装相等， ， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ， 整理得：， ， 任务3：由任务2得， 当时，获得最大利润， ， ， 开口向下， 取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 8. 【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：与飞行时间（单位：的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：与飞行时间（单位：的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行高度 0 10 16 18 16 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，，求发射台高度的取值范围． 【解答】解：任务二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为． 设抛物线解析式为：． 抛物线经过点， ． 解得：． 关于的函数表达式为：； 任务， ． ． 当水火箭落地（高度为时，． 解得：（不合题意，舍去），． 答：水火箭飞行的水平距离为36米； 任务3：设的长度为． 水火箭的抛物线解析式为． ①当抛物线经过点时． ， 点的坐标为． ． 解得：． ②当抛物线经过点时． ，． ． 点的坐标为，． ． 解得：． 水火箭落到内（包括端点，， ． ． 答：发射台高度的取值范围为：． 二次函数求利润最值 1. 某商店销售一种进价60元件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价（元件） 80 100 销售量件 100 60 （1）求销售量关于售价的函数关系式． （2）①设商店销售该商品每天获得的利润为（元，求与之间的函数关系式． ②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设． 根据题意，得， 解得：， 销售量关于售价的函数关系式为：． （2）①由（1）知每天的销售量． 商品进价为60元件， 与之间的函数关系式为， 即； ②． ， ． 当时，有最大值为2400， 当售价定为90元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．最大利润为2400元． 2. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【解答】解：（1）某天该商品每件降价3元，利润为（元， 由题意得：（元； 答：当天可获利1692元． （2）设每件商品降价元， 由题意得：盈利与的函数关系式为： ， 盈利与的函数关系式； （3）由（2）即题意得： ， 解得：，， 为了尽快减少库存， ， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 3. 2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量（个与销售单价（元满足如图所示的一次函数关系． （1）求与的函数关系式； （2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设，将，代入得： ， 解得， ， 销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ， 与的函数关系式为； （2）设商家获得的利润为元， 根据题意得：， ，抛物线对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为（元， 当玩具的销售单价为72元时，该商家获得的利润最大，最大利润是2432元． 二次函数面积问题 1. 邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长34米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡场的面积为160平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ （3）鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 【解答】解：（1）根据题意，鸡场与墙平行的一边长为米，可得鸡场与墙垂直的一边长为米，即米， 可得； （2）令，即， 解得，（不合题意，舍去），所以． 当时，． 所以，鸡场的长与宽分别为16米、10米； （3）对于，，所以函数有最大值，当时，函数有最大值，最大值， 当时，． 所以鸡场的最大面积为162平方米，此时鸡场的长与宽分别为18米、9米． 2. 如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米）．设花圃的一边长为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式并写出自变量的取值范围； （2）如果所围成的花圃的面积为63平方米，试求的长； （3）按题目的设计要求，能不能围成面积为80平方米的花圃，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，得， 即． （2）当时，， 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 故所围成的花圃的面积为63平方米时，的长为7米； （3）不能围成面积为80平方米的花圃．理由： 当时， 整理，得， △， 这个方程无实数根， 不能围成面积为80平方米的花圃． 二次函数与几何最值 1. 如图，在矩形中，是大于0的常数），，为线段上的动点（不与、重合）．连接，作，与射线交于点，设，． （1）求关于的函数关系式； （2）若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？ （3）若，要使△为等腰三角形，的值应为多少？ 【解答】解：（1）， ， 又， △△， ，即，解得； （2）由（1）得， 将代入，得， 所以当时，取得最大值为2； （3），只有当时，△为等腰三角形， △△， ， 此时，解方程，得，或， 当时，， 当时，． 2. 如图，在矩形中，，．设，分别为，上的动点，在点自点沿方向做匀速移动的同时，点自点沿方向向点做匀速移动，移动的速度均为，设，移动的时间为秒． （1）写出的面积与时间的函数关系式，当为何值时，有最大值，最大值是多少？ （2）当为何值时，为等腰三角形？ 【解答】解：（1）矩形中，， 过点作，垂足为， ， ， ， 当时，有最大值； （3）①当时，， ， ②当时，作，垂足为， 此时，， 即， ． ③当时，作，垂足为， 此时，， 即， ． 或或均使为等腰三角形． 1. 已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：解法一：函数的对称轴为直线， 当时，有最小值，此时， 函数在上的最小值是， ； 当时，，对称轴为直线， 当时，， 函数在上的最大值是1，且； ． 解法二：画出函数图象，如图所示： ， 当时，； 当，，当，， 函数在上的最大值是1，最小值是， ． 故选：． 2. 设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值　　 A． B． C． D．1 【解答】解：如图，分别作、垂直于轴于点、， 设，，由抛物线解析式为， 则，， 作于，交轴于点，连接交轴于点， 设点， ， ， ，即． 化简得：． ， ， 又， ， 又， ． ， 即， 化简得． 则，说明直线过定点，点坐标为． ，， 点是在以为直径的圆上运动， 当点到轴距离为时，点到轴的距离最大． 故选：． 3. 如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【解答】解：作，，两线交于点，作垂足为点， ，即 又， ，， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得， ，即， 解得：， ． 故选：． 4. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线、线段分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量（单位：之间的函数关系． （1）请解释图中点的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）点的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元； （2）设线段所表示的与之间的函数关系式为， 的图象过点与， ， 这个一次函数的表达式为；； （3）设与之间的函数关系式为， 经过点与， ， 解得：， 这个一次函数的表达式为， 设产量为时，获得的利润为元， 当时，， 当时，的值最大，最大值为2250； 当时，， 由知，当时，随的增大而减小，时，， 当时，， 因此当该产品产量为时，获得的利润最大，最大值为2250． 5. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设 ． （1）若花园的面积为，求的值； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【解答】解：（1），则， ， 解得：，， 答：的值为12或16； （2） ， ， ， 在处有一棵树与墙，的距离分别是和， ， ， 当时，取到最大值为：， 答：花园面积的最大值为195平方米． 6. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了和的几组对应值，如表． 米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在和这两个变量中，　　是自变量，　　是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度为 　　米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的，两处设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处距桥墩的距离至少为 　　米．（精确到0.1米） 【解答】解：（1）是自变量，是这个变量的函数， 故答案为：，； （2）如图， （3）①当时，， 桥墩露出水面的高度为0.88米， 故答案为：0.88； ②设，把、、代入得， ， 解得， ，对称轴为直线， 令，则， 解得（舍去）或0.7． 故答案为：0.7． 7. 项目式学习 项目主题：合理设计智慧泉源 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一测量建模 建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为1.2米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； 任务二推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， 解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为． （2）对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， 点的坐标为； （3）矩形，其水平宽度米，竖直高度米， 米， 则（米 点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 8. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． （1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 竖直高度 2 2.72 3.28 3.68 3.92 4 3.92 3.68 请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标 　　，并求出满足的函数解析式． （2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：，请回答下列问题： ①小明同学第一次投篮的出手点高度为 　　； ②已知篮筐中心位置在水平距离，竖直高度处．当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：，已知两次投篮只有一次投中，则 　　投中（填写“第一次”或“第二次” ． 【解答】解：（1）抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为：直线， 篮球飞行轨迹的最高点坐标为， 设此函数满足的函数解析式为：， 将代入函数解析式得：， 解得：， 篮球飞行轨迹满足的函数解析式为：． 故答案为：； （2）①当时，， 小明同学第一次投篮的出手点高度为， 故答案为：2.1； ②在中，令，则， 解得：，， 在中，令，则， 解得：，， ，，且当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离， 第一次投中， 故答案为：第一次． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$